14.3 角的平分线 同步作业 2025-2026学年人教版八年级数学上册

14.3 角的平分线 第1 课时 角的平分线的画法及性质 A知识要点分类练 夯实基础 知识点 1 角的平分线的画法 1. (2024天津)如图14-3-1,Rt△ABC 中,∠C=90°,∠B=40°,以点 A 为圆心,适当长为半径画弧,交AB 于点 E,交AC 于点 F;再分别以点E，F为圆心，大于 EF 的长为半径画弧，两弧(所在圆的半径相等)在∠BAC 的内部相交于点 P;画射线 AP,与 BC 相交于点D,则∠ADC 的大小为 ( ) A.60° B.65° C.70° D.75° 2.如图14-3-2是用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图，则此作法的数学依据是 (请从“SSS,SAS,AAS,ASA,HL”中选择一个填入). 3. 如图14-3-3,已知 E 是∠AOB 的边AO 上一点，EF∥OB.请用尺规作图的方法在 EF 上求作一点 P，连接OP，使得 (保留作图痕迹，不写作法) 知识点 2 角的平分线的性质 4. (2024 红桥区期中) 如图 14-3-4,在 Rt△ABC中,∠B=90°,AD 平分∠BAC,交 BC 于点D,DE⊥AC,垂足为 E,若 BD=4,则 DE 的长为 ( ) A.8 B.2 C.4 D.6 5. 如图14-3-5,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,以点A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 AB，AC 于点 D,E,再分别以点 D,E 为圆心,大于 DE 的长为半径作弧，两弧交于点 F，作射线AF,交 BC 于点G,若AB=12,CG=3,则△ABG 的面积是 ( ) A.12 B.18 C.24 D.36 6. (2024 西青区期中)如图14-3-6,△ABC 的外角的平分线 BD 与CE 相交于点 P,若点 P 到AC 的距离为3，则点 P 到AB 的距离为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 7. 如图 14-3-7, 已 知 在 四 边 形 ABCD 中,∠BCD=90°,BD 平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边形 ABCD 的面积是 . 8. 如图14-3-8,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE 与CD 相交于点O,且∠1=∠2. 求证:OB=OC. B规律方法综合练 训练思维 9. 如图 14-3-9,四边形 ABCD 中,∠A =90°,AD=3,连接 BD,BD⊥CD,垂足是 D,且∠ADB=∠C,P 是边 BC 上的一个动点,则DP 的最小值是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 10. 如图14-3-10,已知△ABC 的周长是21,BO,CO 分别平分∠ABC 和∠ACB,OD⊥BC于 点 D, 且 OD = 3, 则 △ABC 的 面积是 . 11. (2024南开区期中)在△ABC 中,BD 是角平分线,点 E 在边 AB 上,BD 与 CE 交于点O. (1)如图 14-3-11(a),若 CE 是△ABC 的中线,BC=3,AC=2,则△BCE 与△ACE 的周长差为 . (2)如图(b),若CE 是△ABC 的高,∠ABC=62°,则∠BOC= °. (3)①请在图(c)中利用尺规作图画出∠ACB 的平分线CF,射线 CF 分别与AB,BD 相交于点 F，G；(保留作图痕迹，不写作法) ②若∠A=78°,根据你的作图求出∠BGC的度数. 拓广探究创新练 提升素养 12.【发现】如图14-3-12①,在四边形ABCD 中,∠ABC=∠C=90°,E 为BC 的中点,DE 平分∠ADC,过点E 作EF⊥AD,垂足为 F,连接AE. (1)求证:AE 是∠DAB 的平分线;, 【拓展】如图②,AB∥DC,∠BAD 和∠ADC的平分线AE 和DE 相交于点 E，过点 E 的直线与AB,DC 分别相交于点B,C(点 B,C在AD 的同侧). (2)判断 E 是否为线段 BC 的中点，并说明理由； (3)若四边形 ABCD 的面积为16,△ABE的面积为2，则△CDE 的面积是 . 第 2课时 角的平分线的判定 A知识要点分类练 夯实基础 知识点 1 角的平分线的判定 1. 如图14-3-13,直线AB,CD 相交于点O,PE⊥AB 于点 E,PF⊥CD 于点 F.若 PE=PF,且∠AOC=50°,则∠EOP 的度数为 ( ) A.65° B.60° C.45° D.30° 2.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图14-3-14，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA 并且与第一把直尺交于点 P，小明说：“射线OP就是∠AOB 的平分线.”他这样做的依据是( ) A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B.角的平分线上的点到角的两边的距离相等 C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D.以上均不正确 3. 尺规作图:已知△ABC,在 AC 上找一点 D,使点 D 到 BA，BC 的距离相等(保留作图痕迹，不写作法). 4. 如图14-3-16,在△ABC 中,D 是BC 的中点,DE⊥AB 于 点 E, DF ⊥ AC 于 点 F,且∠BDE=∠CDF.求证:AD 平分∠BAC. 知识点 2 三角形三内角的平分线 5. 如 图 14-3-17 所 示,△ABC 的三边AB,BC,CA 的长分别为 40,50,60，其三条角平分线相交于点 O, 则 S△ABO : S△BCO : S△CAO = 6.求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. B规律方法综合练 训练思维 7. 如图14-3-18,在△ABC 中,AB=9,AC=3,BC=7,点 D 在边 BC 上,点 D 到边AB,AC的距离相等,且AE=AC,则△BDE 的周长等于 ( ) A.10 B.13 C.16 D.19 8. (2024部分区期末)如图14-3-19,直线l₁,l₂,l₃表示三条公路.现要建造一个中转站 P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站 P 可选择的点有 ( ) A.一处 B.二处 C.三处 D.四处 9. (2024 滨海新区期末)如图14-3-20, 在 △AOB 和△COD 中,OA=OB,OC=OD,OA<OC,∠AOB=∠COD=36°.连接 AC,BD 交于点 M,连接OM.下列结论： ①∠AMB =36°;②AC= BD;③OM 平分∠AOD;④MO平分∠AMD. 其中正确结论的个数为 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 10.如图14-3-21，要在河流的右侧、公路的左侧M 区建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉点 A 处的距离为1 cm(指图上距离)的地方，则图中工厂的位置应选在哪里?请画出图形. 11. (教材练习 T2 变式)如图 14-3-22,∠ABC 的平分线与 的外角 的平分线相交于点 D,连接AD.求证:AD 是 的外角∠CAQ 的平分线. 拓广探究创新练 提升素养 12. 如图 14-3-23,在△ABC 中,点 D 在 BC 边上,∠BAD=80°,∠ABC 的平分线交AC 于点 E,过点 E 作 EF⊥AB,垂足为 F,且∠AEF=40°,连接DE. (1)求∠CAD 的度数; (2)求证:DE 平分∠ADC; (3)若AB=6,AD=3,CD=7.2,且 S△ACD=10.2,求△ABE 的面积. 14.3第1课时 角的平分线的画法及性质 1. B 2. SSS 3. 略 4. C 5. B 6. C7. 30 8. 证明:∵CD⊥AB,BE⊥AC,且∠1=∠2,∴OD=OE,∠ODB=∠OEC=90°. 在△OBD 和△OCE 中 ∴△OBD≌△OCE(ASA).∴OB=OC. 9. C 10. 6 11. (1)1(2)121(3)①略 ②129° 12. 解:(1)证明:∵∠C=90°, ∴EC⊥CD. 又∵EF⊥AD,DE平分∠ADC, ∴EF=EC. ∵E 为BC 的中点, ∴EB=EC, ∴EF=EB.在Rt△AEB 和 Rt△AEF 中, ∴Rt△AEB ≌ Rt△AEF, ∴∠BAE =∠FAE, ∴AE 是∠DAB 的平分线. (2)E 为线段BC 的中点. 理由：过点E 作AB 的垂线，交AB 的延长线于点 F,交 CD 于点G,如图. ∵AB∥CD, ∴FG⊥CD. 作EP⊥AD 于点 P,由角平分线的性质可得 EF=EP=EG. 在△BEF 与△CEG中, ∴△BEF≌△CEG(ASA), ∴BE=CE, ∴E 为线段BC 的中点. (3)6 第2课时 角的平分线的判定 1. A 2. A 3.解：如图，点D 即为所求. 4. 略 5. 4:5:6 6.解：已知：如图，在△ABC 中,角平分线BM 与 CN 相交于点P,过点 P 分 别作AB,BC, AC 的 垂线,垂足分别为 D,E,F. 求证:∠A 的平分线经过点 P,且 PD =PE=PF. 证明:∵BM 是△ABC 的角平分线,点 P 在BM上,且PD⊥AB,PE⊥BC, ∴PD=PE(角的平分线上的点到角的两边的距离相等). 同理,PE = PF.∴ PD =PE=PF. 7. B 8. D 9. B 10.解：工厂的位置应选在∠A 的平分线上，且距点 A 1 cm处(图略). 11.证明:过点 D 分别作 DE⊥ BQ 于点E,DF ⊥AC 于点F,DG⊥BP 于点G,如图. ∵BD,CD 分别是∠ABC 与∠ACP 的平分线,∴DE=DG,DF=DG. ∴DE=DF.又∵DE⊥BQ,DF⊥AC, ∴AD 是△ABC 的外角∠CAQ 的平分线. 12. 解:(1)∵EF⊥AB,∠AEF=40°, 又∵∠BAD=80°, ∴∠CAD = 180°—∠BAD — ∠FAE = (2)证明:过点 E 分别作 EG⊥AD 于点G,EH⊥BC于点 H,如图. ∵ ∠FAE =∠CAD = 50°,EF⊥BF, EG⊥AD, ∴EF=EG. ∵BE平分∠ABC,EF⊥BF,EH⊥BC, ∴EF=EH. ∴EG=EH. 又∵EG⊥AD,EH⊥BC, ∴DE平分∠ADC. (3) 即 7.2EG=10.2. ∴EG=2. ∴EF=EG=2. ∴△ABE 的面积 2=6. 学科网（北京）股份有限公司 $$