精品解析：湖南省娄底市双峰县2024-2025学年下学期八年级期末数学试题

2025年八年级第二学期期末质量检测卷 数学 时量：100分钟 总分：100分 一、选择题（本大题共10小题，满分30分，每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填在下表中相应题号下的方框里．） 1. 下列图案是我国四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. 哪吒 B. 蔚来 C. 小鹏 D. 理想 2. 下列条件不能够判定是直角三角形的是（ ） A. ， B. ，， C. 点D是边的中点， D. 3. 如图，，于点E，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图象中，表示y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，三个边长相等的正方形重叠在一起，是其中两个正方形的对角线交点，阴影部分的面积和为8，则正方形的边长为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 某次体能测试，学校抽取了部分同学的成绩（得分为整数），整理制成如图所示的频数分布直方图，根据图示信息描述不正确的是（ ） A. 频数分布直方图中组距是10 B. 本次抽样样本容量是50 C. 若低于70.5分记为不合格，则不合格的人数为10人 D. 80分以上的人数占总体的 7. 如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为的长为6，则小正方形的边长为（　　） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 8. 若一个正多边形的每个外角是，则它共有几条对角线（ ） A. 9 B. 6 C. 18 D. 12 9. 如图，在的外角的平分线上任取一点P，作，，垂足分别为点E、F．则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 10. 如图，在正方形中，，点E在边上，且，将沿所在直线翻折得到，延长交边于点G，连接、，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论是（ ） A. ①②③ B. ①②③④ C. ①③⑤ D. ①②④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 如图，AB∥CD，∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点，E为AC的中点，若EH＝4．则AC＝___． 12. 当直线经过第二、三、四象限时，k的取值范围是______． 13. 如图，在中，，，，分别平分，，点C在线段上，当，时，______． 14. 如图，在中，，以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧交于点P，连接交于点，点为线段上一点，连接，若，则当最小时，的面积为______． 15. 如图，四边形和均为平行四边形，，，则______． 16. 如图，在平行四边形中，、相交于点，点是的中点．若，则的长是_________． 17. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为______． 18. 在平面直角坐标系中,对于点,我们把点叫作点的“相伴点”．已知点的“相伴点”为,点的“相伴点”为,点的“相伴点”为,……,这样依次得到点,,,……,．若点的坐标为,则点的坐标为______． 三、解答题（第19、20、21、22题每小题5分，共20分） 19. 数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据 抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15m，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17m．牵线放风筝的手到地面的距离为1.8m． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12m，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是三角形的边上的一点，把三角形平移后得到三角形，其中点的对应点分别为点，点的对应点为． （1）写出点的坐标： ， ， ； （2）画出三角形； （3）写出三角形的面积为 ． 21. 如图，的对角线，相交于点O，点E，F在上，且．连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 22. 如图，已知直线与坐标轴分别交于两点，与直线交于点． （1）求的坐标； （2）若点在直线上，点横坐标为，过点作直线平行于轴，该直线与直线交于点，且，求点的坐标． 四、应用题（每小题8分，共16分） 23. 某中学为了了解学生的课外阅读情况，就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学仅选一项），并根据调查结果制作了如表： 类别 频数（人数） 频率 文学 0.42 艺术 22 0.11 科普 66 其他 合计 1 （1）上表中________，_______； （2）在这次抽样调查中，哪类遗物最受业生欢迎？哪类读物受欢迎程度最少？ （3）若学校计划购买3000册图书，你对购书计划能提出什么好的建议吗？ 24. 某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元． （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．求该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 五、综合探究题（10分） 25. 如图所示，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接，． （1）用t的代数式表示： ， （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （3）当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年八年级第二学期期末质量检测卷 数学 时量：100分钟 总分：100分 一、选择题（本大题共10小题，满分30分，每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填在下表中相应题号下的方框里．） 1. 下列图案是我国四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. 哪吒 B. 蔚来 C. 小鹏 D. 理想 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，利用“一个图形绕着某点旋转后能与原图重合”进行逐一分析判定 根据中心对称图形的定义，逐一分析判定即可 【详解】A、B、D的图形中，不能找到一点，把图形绕着这个点旋转后能与原图重合，故它们不是中心对称图形， C图中，绕着正中的一点，把图形绕着这个点旋转后能与原图重合，故它是中心对称图形； 故选：C． 2. 下列条件不能够判定是直角三角形的是（ ） A. ， B. ，， C. 点D是边的中点， D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，掌握三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据三角形内角和定理判定A和D，根据勾股定理的逆定理判定B，利用直角三角形斜边中线的性质判定C． 【详解】A．，，则，故为直角三角形，此选项不符合题意； B．，即，故为直角三角形，此选项不符合题意； C．点D为中点，且，根据定理“若一边的中线等于该边的一半，则三角形为直角三角形”，可知为直角三角形，此选项不符合题意； D．，令，则，，由内角和得：，解得，则，非直角．故D不能判定为直角三角形，此选项符合题意； 故选：D． 3. 如图，，于点E，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，垂线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握相关的性质是解题的关键． 根据垂线的性质可得，根据平行线的性质可得，利用“直角三角形两个锐角互余”计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 4. 下列图象中，表示y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数的概念和函数图象，利用“对于自变量的每一个值，因变量只有唯一的值与之对应”，结合函数图象逐一分析判定． 【详解】A、C、D中，对于的每个值，有唯一的值与之对应，则是的函数， 在B中，当时，对于的每个值，有两个值与之对应，则不是的函数， 故选：B． 5. 如图，三个边长相等的正方形重叠在一起，是其中两个正方形的对角线交点，阴影部分的面积和为8，则正方形的边长为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的证明，根据题意作图，连接、，可得，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案． 【详解】解：连接、，如图： ∵三个边长相等的正方形重叠在一起，是其中两个正方形的对角线交点， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴、两个正方形阴影部分的面积是，同理另外两个正方形阴影部分的面积也是， ∴阴影部分的面积和， ∴， ∴， 故选：B． 6. 某次体能测试，学校抽取了部分同学的成绩（得分为整数），整理制成如图所示的频数分布直方图，根据图示信息描述不正确的是（ ） A. 频数分布直方图中组距是10 B. 本次抽样样本容量是50 C. 若低于70.5分记为不合格，则不合格的人数为10人 D. 80分以上的人数占总体的 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，熟练掌握频数分布直方图的相关知识是解题的关键． 根据频数分布直方图的相关知识并结合图示信息逐项分析判断即可． 【详解】解：A、 频数分布直方图中组距是10，描述正确，故选项不符合题意； B、本次抽样样本容量是，描述正确，故选项不符合题意； C、若低于70.5分记为不合格，则不合格的人数为人，描述不正确，故选项符合题意； D、 80分以上的人数占总体的，描述正确，故选项不符合题意； 故选：． 7. 如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为的长为6，则小正方形的边长为（　　） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．先由勾股定理求得，进而得，即可得解． 【详解】解：由题意得为直角三角形，，， ∴， ∴， 故选：D． 8. 若一个正多边形的每个外角是，则它共有几条对角线（ ） A. 9 B. 6 C. 18 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质，多边形的外角和定理和对角线的数量，掌握多边形的外角和定理和对角线数量的公式是解题的关键． 先根据正多边形外角和为360°，求出边数n，再利用对角线公式计算． 【详解】正多边形每个外角为60°，外角和为360°，故边数 ． 正n边形的对角线总数为 ．代入 ，得： 因此，该正六边形共有9条对角线， 故选：A． 9. 如图，在的外角的平分线上任取一点P，作，，垂足分别为点E、F．则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的三边关系，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．由角平分线的性质可得，再结合三角形的任意两边之和大于第三边求解即可． 【详解】解：是的平分线，，， ， ， 故选：B． 10. 如图，在正方形中，，点E在边上，且，将沿所在直线翻折得到，延长交边于点G，连接、，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论是（ ） A. ①②③ B. ①②③④ C. ①③⑤ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形和折叠的性质，易证，可判断①结论；根据全等三角形的性质和勾股定理，可判断②结论；根据全等三角形的性质和三角形内角和定理，可判断③结论；根据三角形面积公式可判断④结论；根据叠的性质和全等三角形的性质，结合三角形内角和定理，可判断⑤结论． 【详解】解：四边形是正方形，， ，， ， ， ， 由折叠的性质可知，，，， ， 在和中， ， ，①结论正确； ， 设，则，， 在中，， ， 解得：，即， ， ，②结论正确； ， ， ， ，， ， ，③结论正确； ，， ，④结论正确； 由折叠的性质可知，， 由全等的性质可知，，， ， ， ， ， ，⑤结论错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平行线的判定等知识，掌握相关知识点是解题关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 如图，AB∥CD，∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点，E为AC的中点，若EH＝4．则AC＝___． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线和角平分线的性质可得，，再利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 由题意可得：平分，平分 ∴ ∴ ∴ 又∵E为AC的中点 ∴，即 故答案为 【点睛】此题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，涉及了平行线和角平分线的性质，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解． 12. 当直线经过第二、三、四象限时，k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系；掌握一次函数中与对函数图象的影响是解题的关键．根据一次函数的性质，当，时图象经过第二、三、四象限，可得，，即可求解． 【详解】解：∵经过第二、三、四象限， ． 解得：． 故答案是：． 13. 如图，在中，，，，分别平分，，点C在线段上，当，时，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，同样的方法可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧交于点P，连接交于点，点为线段上一点，连接，若，则当最小时，的面积为______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的性质，直角三角形全等的判定和性质．根据点为线段上的一个动点，最短，则，由基本尺规作图可知，是的角平分线，根据角平分线的性质可得，证明可得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：点为线段上的一个动点，最短， ，如图， 由基本尺规作图可知，是的角平分线， ， ， ，，平分， ， 又，， ， ， 当最小时，， 故答案为：30． 15. 如图，四边形和均为平行四边形，，，则______． 【答案】##82度 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的内角和定理，根据平行四边形的对角相等求出，，进而根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形和均为平行四边形，，， ∴，， ∴． 故答案为： 16. 如图，在平行四边形中，、相交于点，点是的中点．若，则的长是_________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理可得，再根据平行四边形的性质可得． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形 ∴，点O是AC的中点 ∵点E是AB的中点 ∴ ∴ 故答案为：6． 【点睛】本题考查了平行四边形的边长问题，掌握三角形中位线定理、平行四边形的性质是解题的关键． 17. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为______． 【答案】1.2 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线性质；由直角三角形的面积求出是解决问题的关键． 先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用等面积法即可求得最短时的长，然后即可求出最短时的长． 【详解】解：连接，如图所示： ，，， ， ，， ∴， 四边形是矩形， ．， 是的中点， ∴， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即时，最短，同样也最短， 当时，，此时最短， ， 当最短时， 故答案为：． 18. 在平面直角坐标系中,对于点,我们把点叫作点的“相伴点”．已知点的“相伴点”为,点的“相伴点”为,点的“相伴点”为,……,这样依次得到点,,,……,．若点的坐标为,则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题是对点的变化规律的考查,读懂题目信息,理解“和谐点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键．根据“和谐点”的定义依次求出各点,不难发现,每4个点为一个循环组依次循环,用2025除以4,根据商和余数的情况确定点的坐标即可． 【详解】解：∵的坐标为, ∴, …, 依此类推,每4个点为一个循环组依次循环, ∵, ∴点的坐标与的坐标相同,为． 故答案为：． 三、解答题（第19、20、21、22题每小题5分，共20分） 19. 数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据 抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15m，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17m．牵线放风筝的手到地面的距离为1.8m． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12m，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】（1）9.8米；（2）8米 【解析】 【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理计算即可得到结论． 【详解】解：（1）由题意得，，米，米， 在中，由勾股定理，可得：（米）， （米）． 答：风筝离地面的垂直高度为9.8米； （2）如图，当风筝沿方向再上升12米， 所以米， 在中，，米， 由勾股定理，可得（米）， 则应该再放出（米）， 答：他应该再放出8米长的线． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是三角形的边上的一点，把三角形平移后得到三角形，其中点的对应点分别为点，点的对应点为． （1）写出点的坐标： ， ， ； （2）画出三角形； （3）写出三角形的面积为 ． 【答案】（1），， （2） 解：画出三角形如图所示： ． （3）7 【解析】 【分析】（1）先确定平移方式，再根据点坐标的平移变换规律解答即可； （2）先在平面直角坐标系中描出点，再顺次连接即可； （3）利用一个长方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：∵点的对应点为， ∴平移方式是：先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度， ∵把三角形平移后得到三角形，其中点的对应点分别为点，且，，， ∴，，， 即，，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：三角形的面积为． 21. 如图，的对角线，相交于点O，点E，F在上，且．连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理等知识，解题的关键是利用平行四边形的性质求得待求线段的长，再利用勾股定理求解． （1）先利用平行四边形的性质证得，，再利用线段的和证得，从而可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得出结论； （2）先求得与，再利用勾股定理求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 如图，已知直线与坐标轴分别交于两点，与直线交于点． （1）求的坐标； （2）若点在直线上，点横坐标为，过点作直线平行于轴，该直线与直线交于点，且，求点的坐标． 【答案】（1），， （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据直线与坐标轴的交点的计算方法得到，，联立两条直线解方程可得到，由此即可求解； （2）根据题意得到，，由列式求解即可． 【小问1详解】 解：直线与坐标轴跟别交于两点， 当时，；当时，， ，， 直线与直线交于点， ， 解得， ， ； 【小问2详解】 解：点在直线上，点横坐标为， ，， ， ， 或， 点M的坐标为或． 四、应用题（每小题8分，共16分） 23. 某中学为了了解学生的课外阅读情况，就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学仅选一项），并根据调查结果制作了如表： 类别 频数（人数） 频率 文学 0.42 艺术 22 0.11 科普 66 其他 合计 1 （1）上表中________，_______； （2）在这次抽样调查中，哪类遗物最受业生欢迎？哪类读物受欢迎程度最少？ （3）若学校计划购买3000册图书，你对购书计划能提出什么好的建议吗？ 【答案】（1）84，0.33； （2）“文学”读物最受学生欢迎，“艺术”读物受欢迎程度最小； （3）420 【解析】 【分析】（1）根据频数、频率、总数之间的关系，分类进行计算即可； （2）求出“其它”类读物的频数、频率，通过比较得出答案； （3）样本估计总体，计算出总体为3000本中各类读物的本数，即可得出合理化的建议． 【小问1详解】 解：22÷0.11=200人，m=200×0.42=84（人），n=66÷200=0.33， 故答案为：84，0.33； 【小问2详解】 解：“其它”的频数为：200-84-22-66=28（人），频率为：28÷200=0.14， 因为“文学”占比最高，因此“文学”读物最受学生欢迎，“艺术”读物占比最小，仅为11%，因此“艺术”读物受欢迎程度最小； 【小问3详解】 解：“文学”读物：3000×0.42=1260本， “艺术”读物：3000×0.11=330本， “科普”读物：3000×0.33=990本， “其它”读物：3000×0.14=420本， 因此，在购书时，“文学”类的读物购买1260本，“艺术”类的读物购买330本，“科普”类的读物购买990本，“其它”类读物购买420本． 【点睛】本题主要考查频率分布表的意义和制作方法，理解频率、频数、总数之间的关系是正确计算的前提． 24. 某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元． （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．求该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）A型电脑的单价是100元，B型电脑的单价是150元 （2）购进A型电脑34台，B型电脑66台，利润最大，最大为13300元 【解析】 【分析】设A型电脑的单价是x元，B型电脑的单价是y元，根据销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．列出二元一次方程组，解方程组即可； 设购进A型电脑x台，则B型电脑台，根据题意，这100台电脑的销售总利润为y元，则，根据一次函数的性质，不等式的解集求出正整数解，即可解决问题． 本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式的应用，熟练掌握解方程组。一次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：设A型电脑的单价是x元，B型电脑的单价是y元， 由题意得： 解得：， 答：A型电脑的单价是100元，B型电脑的单价是150元． 【小问2详解】 解：设购进A型电脑x台，则B型电脑台， 根据题意， 解得， 由x是正整数， 故x最小为34台， 由这100台电脑的销售总利润为y元， 则， 由y随x的增大而减小，得当时，利润最大，最大为13300元．  故购进A型电脑34台，B型电脑66台，利润最大，最大为13300元． 五、综合探究题（10分） 25. 如图所示，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接，． （1）用t的代数式表示： ， （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （3）当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】（1）， （2）四边形AEFD能够成为菱形， （3）当t为或20时，为直角三角形 【解析】 【分析】（1）根据点的运动，含角的直角三角形的性质即可求解； （2）先证明四边形为平行四边形，如果四边形能够成为菱形，则必有邻边相等，则，列方程求出即可； （3）当为直角三角形时，有三种情况：①当时，如图3，②当时，如图4，③当不成立；分别找一等量关系列方程可以求出的值． 【小问1详解】 证明：由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：四边形能够成为菱形，理由是： 由（1）得：， ， ， 四边形为平行四边形， 若为菱形，则， ，， ， ， ， 当时，四边形能够成为菱形； 【小问3详解】 解：分三种情况： 当时，如图3， 则四边形为矩形， ， ，， ， ， 当时，如图4， 四边形为平行四边形， ， ， 在中，，， ， ， 则， ， 当不成立； 综上所述：当为或20时，为直角三角形． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形、菱形、矩形的性质和判定，也是运动型问题，难度不大，是常出题型；首先要表示出两个动点在时间时的路程，弄清动点的运动路径，再根据其运动所形成的特殊图形列式计算；同时，所构成的直角三角形因为直角顶点不确定，所以要分情况进行讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $