11.3 多面体与旋转体讲义-2025-2026学年高二上学期数学沪教版（2020）必修第三册

【阿波罗计划·数学必修三】：11.3 多面体与旋转体 【知识梳理】： 1．将圆锥沿一条母线剪开，展开在一个平面内，所得的圆锥侧面的平面展开图是扇形。 2．多面体的定义：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体成为多面体。 3．多面体的分类： 多面体可以用它的面的数量进行命名，有几个面的多面体就叫做几面体。例如，三棱锥是四面体；长方体（四棱柱）是六面体。一般地，一个n棱锥是n+1面体；n棱柱或n棱台是n+2面体。一个多面体至少有4个面． Eg. 一个几何体有6个顶点，则这个几何体可能是______棱柱．_________棱锥。 4．与平面上的正多边形类似，如果一个多面体的所有面都是全等的三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体，可以验证只有5种正多面体．（正4,6,8,12,20面体） 5．一个多面体至少有4个面。 6．旋转体的定义：旋转体是由一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体，这条直线叫做该旋转体的轴．如：圆柱是由一个矩形绕它的一条边旋转一周所形成的旋转体；圆锥是由一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周所形成的旋转体． 7．直线a与直线l平行，直线a绕同一平面内的直线l旋转一周所形成的曲面是圆柱面。 8．三维勾股定理：长方体三边为：a,b,c，体对角线长度为 9．如图所示，图①是正方体木块，把它截去一块，可能得到的几何体有②③④⑤. （1）我们知道，正方体木块有8个顶点，12条棱、6个面，请你将②③④⑤⑥中木块的顶点数、面数填入下表： 图号 顶点数V 棱数E 面数F ① 8 12 6 ② ③ ④ ⑤ ⑥ （2）观察你填出的表格，归纳出上述各种木块的顶点数V、棱数E、面数F之间的关系式：______________． 【同步练习】：夯实双基 一、单选题 1．正方体的截面不可能是（ ） ①钝角三角形；②直角三角形；③菱形；④正五边形；⑤正六边形. A．①②⑤ B．①②④ C．②③④ D．③④⑤ 2．图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为5，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为（    ） A． B． C． D． 3．圆柱内有一内接正三棱锥，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图是（    ） A． B． C． D． 4．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径意思是：球的体积V乘16，除以9，再开立方，即为球的直径d，由此我们可以推测当时球的表面积S计算公式为（     ） A． B． C． D． 5．圆锥的高为1，底面半径为，过圆锥顶点的截面面积的最大值是（     ） A．1 B． C．2 D． 二、填空题 6．长、宽、高分别为3、4，5的两个相同的长方体，把它们某两个全等的面重合在一起，组成大长方体，则大长方体对角线最长为 . 7．如图，一个矩形边长为1和2，绕它的长为2的边旋转一周后所得如图的一开口容器（下表面密封），是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为 ． 8．连接空间几何体上的某两点的直线，如果把该几何体绕此直线旋转角α（0°<α<360°），使该几何体与自身重合，那么称这条直线为该几何体的旋转轴．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，则这个八面体的旋转轴共有 条． （第7题图） （第8题图） 9．若斜三棱柱的高为，侧棱与底面所成角为，相邻两侧棱之间距离为5，则该三棱柱的侧面积等于 . 10．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体的所有棱长和为 ． 11．已知分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它具有60个顶点和若干个面，.各个面的形状为正五边形或正六边形，结构如图.已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面为 个． 12．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于 ． 13．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也，甍，屋盖也．”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图），下底面是边长为3的正方形，上棱，平面ABCD，EF与平面ABCD的距离为2，该刍甍的体积为 ． （第11题图） （第13题图） 三、解答题 14．如图，已知是边长为3的正方形，，，与平面的距离为2，求该多面体的体积． （请选择一种与你做第13题不同的方法求解并写出过程） 15．已知，将的图像与x轴围成的封闭图形绕x轴旋转一周，求所得的旋转体的体积． 16．如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于、的点． （1）求证：平面； （2）若，，，求：圆柱的侧面积． 17．在高一年级一次社会实践活动中，一组学生的任务是用数控机床把一个半径为2的铝合金球加工成一个工件，这个工件是具有公共底面圆的两个圆锥形（如图），且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，已知圆锥底面面积是这个球面面积的. （1）求：此次加工工件的利用率（加工成品工件的体积之与球的体积之比）； （2）求：工件的表面积． 18．已知梯形ABCD，按照斜二测画法画出它的直观图，如图，其中，，．求： （1）梯形ABCD的面积； （2）梯形ABCD以BC为旋转轴旋转一周形成的几何体的表面积和体积． 19．如图，已知直角三角形绕其直角边旋转一周得一几何体，该几何体底面半径，点为半圆弧的中点，点为的中点，与所成的角为，求： （1）该几何体的全面积和体积； （2），两点在该几何体侧面上的最短距离． 20．在如图的多面体中，已知为矩形，和为全等的等腰梯形，，． （1）求：此多面体的表面积； （2）求：此多面体的体积． 学科网（北京）股份有限公司 $$