11.3.1 多面体-同步 配套练习（6基本题4提高题2创新题）-2024-2025学年高二数学同步教材【知识解读·题型梳理·配套训练】（沪教版2020必修第三册）

【原卷版】 11.3.1 多面体 班级 姓名 本章将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的．因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体； 本教材延续了“二期课改”教材的内容编排顺序：先学习空间点、线、面的基本位置关系（第10章），再学习本章的简单几何体；这样编排的意图：一是通过第10章的学习，为本章理解几何体各个元素之间的位置关系提供逻辑基础；二是利用简单几何体模型，帮助学生进一步掌握空间图形的位置关系；与全国其他一些版本的教材不同； 【本章教材目录】 11.1 柱体 11.1.1 棱柱与圆柱；11.1.2 柱体的体积；11.1.3 柱体的表面积； 11.2 锥体 11.2.1 棱锥与圆锥；11.2.2 锥体的体积；11.2.3 锥体的表面积； 11.3 多面体与旋转体 11.3.1 多面体；11.3.2 旋转体； 11.4 球 11.4.1 球；11.4.2 球的体积；11.4.3 球的表面积 考点一 多面体的定义 多面体的定义：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体； 我们还知道了棱柱、棱锥、棱台等几何体都是多面体； 考点二 多面体的 相关概念 多面体可以用它的面的数量进行命名，有几个面的多面体就叫做几面体； 例如，三棱锥有一个底面和三个侧面，所以是四面体； 长方体（四棱柱）有六个面，是六面体； 一般地，一个n棱锥有一个底面和n个侧面，所以是n＋１面体； n棱柱或n棱台有两个底面和狀个侧面，所以是n＋２面体; 考点三 正多面体 如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体； 1、已知集合A={正方体}，B={长方体}，C={正四棱柱}，D={直四棱柱}，E={棱柱}，F={直平行六面体},则集合间的关系是 2、一个多边形沿垂直于它所在平面的方向平移一段距离可以形成的几何体是 3、正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有 4、用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是________(填序号)． ①三角形；②四边形；③五边形；④不可能为四边形． 5、下列棱锥有6个面的是( ) A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥 6、给出下列几个结论： ①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点； ②多面体至少有四个面； ③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点． 其中，错误的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7、棱柱的侧棱最少有________条，棱柱的侧棱长之间的大小关系是________． 8、下列关于棱锥、棱台的说法： ①棱台的侧面一定不会是平行四边形； ②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥； ③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中说法正确的序号是________． 9、如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1的中点， 沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm. 10、中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________． 11、在如图所示的三棱柱中放置高为h的水，现将三棱柱放倒，使平面ACC1A1着地，则此时水所形成的几何体是棱柱吗？为什么？ 12、如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比； 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【解析版】 11.3.1 多面体 班级 姓名 本章将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的．因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体； 本教材延续了“二期课改”教材的内容编排顺序：先学习空间点、线、面的基本位置关系（第10章），再学习本章的简单几何体；这样编排的意图：一是通过第10章的学习，为本章理解几何体各个元素之间的位置关系提供逻辑基础；二是利用简单几何体模型，帮助学生进一步掌握空间图形的位置关系；与全国其他一些版本的教材不同； 【本章教材目录】 11.1 柱体 11.1.1 棱柱与圆柱；11.1.2 柱体的体积；11.1.3 柱体的表面积； 11.2 锥体 11.2.1 棱锥与圆锥；11.2.2 锥体的体积；11.2.3 锥体的表面积； 11.3 多面体与旋转体 11.3.1 多面体；11.3.2 旋转体； 11.4 球 11.4.1 球；11.4.2 球的体积；11.4.3 球的表面积 考点一 多面体的定义 多面体的定义：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体； 我们还知道了棱柱、棱锥、棱台等几何体都是多面体； 考点二 多面体的 相关概念 多面体可以用它的面的数量进行命名，有几个面的多面体就叫做几面体； 例如，三棱锥有一个底面和三个侧面，所以是四面体； 长方体（四棱柱）有六个面，是六面体； 一般地，一个n棱锥有一个底面和n个侧面，所以是n＋１面体； n棱柱或n棱台有两个底面和狀个侧面，所以是n＋２面体; 考点三 正多面体 如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体； 1、已知集合A={正方体}，B={长方体}，C={正四棱柱}，D={直四棱柱}，E={棱柱}，F={直平行六面体},则集合间的关系是 【提示】理解有关四棱柱的相关概念与几何性质； 【答案】ACBFDE（或A⊆C⊆B⊆F⊆D⊆E）； 【解析】根据棱柱、直四棱柱、直平行六面体、长方体、正四棱柱、正方体的结构特征可以得到答案； 【说明】本题考查了有关四棱柱的相关几何特征； 2、一个多边形沿垂直于它所在平面的方向平移一段距离可以形成的几何体是 【提示】理解柱体的定义与几何特征； 【答案】棱柱； 【解析】平移后形成的几何体是以此多边形(起点处和终点处)为两底面的棱柱； 【说明】本题考查了对棱柱定义的理解； 3、正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有 【提示】及时理解新定义； 【答案】10； 【解析】从正五棱柱的上底面1个顶点与下底面不与此点在同一侧面上的两个顶点相连可得2条对角线,故共有5×2=10条对角线； 【说明】本题考查了正五棱柱与“新定义”“对角线”的交汇； 4、用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是________(填序号)． ①三角形；②四边形；③五边形；④不可能为四边形． 【提示】注意数形结合； 【答案】①②； 【解析】按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形； 答案：①②； 【说明】本题考查了三棱锥的结构特征与数形结合； 5、下列棱锥有6个面的是( ) A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥 【提示】理解棱锥的定义； 【答案】C； 【解析】由棱锥的结构特征可知，五棱锥有6个面．故选C； 【说明】本题考查了棱锥的定义与结构特征； 6、给出下列几个结论： ①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点； ②多面体至少有四个面； ③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点． 其中，错误的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【提示】理解多面体与特殊几何体的结构特征； 【答案】A； 【解析】①正确；对于②，一个图形要成为空间几何体，它至少需有四个顶点，因为三个顶点只围成一个平面图形是三角形，有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，故这样的面必是三角形，所以②是正确的；对于③，棱台的侧棱所在的直线就是原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，即棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点，所以③是正确的； 【说明】本题考查了多面体、柱体、锥体、台体的结构特征； 7、棱柱的侧棱最少有________条，棱柱的侧棱长之间的大小关系是________． 【答案】3；相等； 8、下列关于棱锥、棱台的说法： ①棱台的侧面一定不会是平行四边形； ②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥； ③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中说法正确的序号是________． 【答案】①② 【解析】①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形； ②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥； ③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥． 9、如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1的中点， 沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm. 【提示】知道与用好展开图； 【答案】； 【解析】由题意，若以BC为折叠线展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是 cm.若以BB1为折叠线展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1 cm，4 cm，故两点之间的距离是 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm. 答案：； 【说明】本题考查了有关多面体“面上的最值问题”一般都是用展开图等价解之； 10、中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________． 【提示】仔细阅读，转化；第一问可按题目数出来，第二问需在正方体中简单还原出物体位置，利用对称性，平面几何解决． 【答案】共26个面；棱长为； 【解析】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有个面． 如图，设该半正多面体的棱长为，则，延长与交于点，延长交正方体棱于，由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形， ， ，即该半正多面体棱长为． 【说明】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形； 11、在如图所示的三棱柱中放置高为h的水，现将三棱柱放倒，使平面ACC1A1着地，则此时水所形成的几何体是棱柱吗？为什么？ 【解析】是棱柱.如图所示，这是因为将平面ACC1A1着地，上面的水平面为DD1E1E，则水所形成的几何体为四棱柱ADEC－A1D1E1C1. 其中面ADEC与面A1D1E1C1平行且全等，侧面AA1D1D，DD1E1E，CC1E1E，AA1C1C分别为平行四边形，故水所形成的几何体为棱柱. 12、如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比； 【解析】方法1、设AB＝a，AD＝b，DD′＝c， 则长方体ABCD－A′B′C′D′的体积V＝abc， 又S△A′DD′＝bc且三棱锥C－A′DD′的高为CD＝a， 所以V三棱锥C－A′DD′＝S△A′D′D·CD＝abc. 则剩余部分的几何体体积V剩＝abc－abc＝abc. 故V棱锥C－A′DD′∶V剩＝abc∶abc＝1∶5. 方法2、已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD′A′－BCC′B′，设它的底面ADD′A′面积为S，高为h，则它的体积为V＝Sh.而棱锥C－A′DD′的底面面积为S，高为h，因此棱锥C－A′DD′的体积VC－A′DD′＝×Sh＝Sh， 剩余部分的体积是Sh－Sh＝Sh. 所以棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为Sh∶Sh＝1∶5； 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$