3—5 有理数的乘除运算 有理数的乘方 有理数的混合运算-2025-2026学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版2024新教材）

3—5 有理数的乘除运算 有理数的乘方 有理数的混合运算 有理数的乘除运算 1.有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数与0相乘，积仍为0。 乘法交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。 2.有理数除法法则： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0除以任何非0的数都得0。0不可作为除数，否则无意义。 此外，还需要理解倒数的概念： 乘积为1的两个有理数互为倒数。 求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。带分数要先化成假分数再求倒数。 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。 有理数的乘方 一、乘方的定义 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。即a·a·...·a（n个a）记作an，其中a叫做底数，n叫做指数，读作a的n次幂或a的n次方。乘方的结果叫做幂。 二、有理数乘方的符号法则 1、正数的任何次幂都是正数。 2、负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。 三、科学记数法 把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中1≤a<10，n是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。 有理数的混合运算 一、有理数混合运算的顺序和法则 1.运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行。 2.运算法则：包括有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方等基本运算法则。例如，加法中同号两数相加取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加取绝对值大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。乘法中，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 二、运算律的运用 在有理数的混合运算中，可以合理地运用运算律来简化运算。常用的运算律有加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律以及乘法对加法的分配律等。 三、特殊运算的处理 在进行有理数的混合运算时，还需要注意一些特殊运算的处理。例如，绝对值的运算、相反数的运算、倒数的运算等。此外，还需要注意符号的运用，确保运算结果的正确性。 巩固课内例1:有理数的乘法运算 1．计算的结果等于（   ） A．10 B． C． D． 2．计算的结果是 ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固课内例2:多个有理数的乘法运算 1．对于，若，则其结果为（    ） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 2．计算： ； 3．计算： 巩固课内例3:乘法运算律 1．用简便方法计算，逆用分配律正确的是（      ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．利用运算律简便运算： ． 巩固课内例4:有理数的除法运算 1．下面算式错误的是（　　） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)． 巩固课内例5:有理数的乘方运算 1．的计算结果是（　　） A． B．16 C．6 D．8 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 巩固课内例6:科学记数法 1．2025年3月30日，2025柳州马拉松暨警察马拉松鸣枪开跑，来自国内外万名马拉松爱好者齐聚龙城，在山、水、城之间感受“工业柳州”的硬核力量与“生态柳州”的柔美情怀，将数据万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．2025年3月30日，扬州鉴真半程马拉松暨大运河马拉松系列赛在市民中心广场鸣枪开跑，约30000名跑者用脚步丈量千年古城，用拼搏诠释无限热爱．将数据30000用科学记数法表示为 ． 3．用科学记数法表示下列各数： (1)1000000； (2)300000000； (3)8000000000； (4)10100000． 巩固课内例7:有理数的加、减、乘、除运算 1．计算：（    ） A． B．2 C． D． 2．计算： ． 3．计算： 巩固课内例8:含乘方的有理数混合运算 1．计算得（   ） A．12 B． C．36 D． 2．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是绝对值等于4的数，则的值为 ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型一、倒数 1．2025的相反数的倒数是（　　） A．2025 B． C．-2025 D． 2．的倒数是 ；比较大小： ．（用“、或”连接） 3．数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则________． (2)请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 类型二、幂的概念 1．若为整数，则表示的是（   ） A．3个相乘 B．2个相加 C．3个相加 D．5个相乘 2．的底数是 ，指数是 ． 3．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2)； (3)（个m）． 类型三、近似数 1．下列说法错误的是（　　） A．0.759精确到个位为1 B．18.04精确到0.1为18.0 C．5.7万精确到十分位 D．356700精确到万位为 2．把圆周率精确到，其近似值为 ． 3．用四舍五入法，按括号内的要求对下列各数取近似数： (1)2.604（精确到十分位）； (2)40353（精确到百位）； (3)0.0234（精确到0.01）； (4)1.81万（精确到万位）． 类型一、有理数的乘法应用 1．实验小学要给报告厅的小舞台铺上地垫，舞台的面积是40.8平方米，地垫的单价为19.9元/平方米，一共要准备多少元？下面符合实际需要的估算方法是（    ） A． B． C． D． 2．全球气候正在变暖，科学家认为，这与大气中二氧化碳等温室气体的浓度变化有关，随着科学知识的逐渐普及，人们已自发地响应“低碳生活”方式，减少碳排放，某小区安装太阳能路灯，每盏灯每年节电200度，若减少1度电相当于减排碳，那么10盏灯一年减排碳量为 ． 3．2024年11月7日，恰逢立冬，又遇我县第一届运动会，更是我县41岁“生日”．为保证运动会顺利进行，全县人民高度重视并积极参与．某出租车驾驶员无偿为各能量补给站运送物资，他从物资配送站出发，在东西向的站前大道上连续接送6批物资，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：）： 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 第6批 (1)接送完第6批物资后，该驾驶员在物资配送站什么方向，距离物资配送站多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油升，那么在这个过程中共耗油多少升？ 类型二、有理数的除法应用 1．大雄和冬冬在哈尔滨冰雪大世界游玩，他们先后步测一个底面为圆形的冰雕的周长，他俩的起点和走的方向完全相同．冬冬每步长45厘米，大雄每步长55厘米．由于两人的脚印有重合因此冰雕周围只留下95个脚印．这个冰雕的底面周长大约是（   ）米．（结果保留整数） A．100 B．50 C．30 D．25 2．某工人与老板签订了一份30天的劳务合同：出勤一天可得报酬240元，缺席一天则要从所得报酬中扣掉60元，扣完为止．该工人合同到期后没有拿到报酬，那么他最多出勤 天． 3．乒乓球，被称为“国球”，在中华大地有着深厚的群众基础．2000年2月23日，国际乒乓球大会决定从2000年10月1日起，乒乓球比赛将使用直径、重量的大球，以取代的小球．某工厂按要求加工一批标准化的直径为乒乓球，但是实际生产的乒乓球直径可能会有一些偏差．随机抽查检验该批加工的10个乒乓球直径并记录如下：，，，，，，，，，（“”表示超出标准；“”表示不足标准）． (1)其中偏差最大的乒乓球直径是______； (2)抽查的这10个乒乓球中，最符合标准的乒乓球的直径是______？ (3)若误差在“”以内的球可以作为合格产品，误差在“”以内的球可以作为良好产品，这10个球的合格率是______；良好率是______． 类型三、有理数的乘方应用 1．你喜欢吃兰州牛肉面吗？拉面的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下图所示．请问要想拉出128根面条，需要捏合的次数是（   ） A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 2．已知一张纸的厚度为，假设连续对折始终是可能的．小明将该纸片连续对折6次，则纸的厚度为 ． 3．计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法． (1)根据以上信息，将二进制数“1011”转化为十进制数． (2)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果数量．请计算采集到的野果数量． 类型一、24点 1．“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 2．“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24．如3，8，8，9进行“24点”游戏的算式是或．现有，3，4，10，则列出一个求“24点”的算式是 （写出一种即可）． 3．小明和小刚玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（四张牌必须都用且每张牌上的数字只能用一次），使运算结果等于24．其中“J”代表11、“Q”代表12、“K”代表13． (1)小明抽取的四张牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式； (2)小刚抽取的四张牌分别是方块3，梅花3，黑桃7，梅花7，请帮小刚列出一个结果等于24的算式． 类型二、幻方、幻圆 1．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将这九个数字填入的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都是15，如图所示幻方中，字母m所表示的数是（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 2．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》，如图，是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将，2，，0，1，，3，分别填入图中的圆圈内，使横、竖，以及内外两圈上的4个数字之和都相等．已知图中的、分别表示一个数，则的值为 ． 3．【材料阅读】西汉前期民间流传着一则故事．大禹治水时，洛阳西南洛宁县的洛河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案，人称“洛书”．如图1，洛书上有三行三列的纵横图，用实心点或空心点的个数表示数字，分别对应着这9个数字，每行、列及两条对角线上的三个数相加的结果相同．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等． 【问题解决】 （1）根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； （2）如图3，是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将1，2，3，4，5这五个数字填入表格，补全这个新的三阶幻方； 【拓展思考】 （3）有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．如图4，将这12个数字填入恰当的位置后（数字不重复使用），每个正方形4个顶点“〇”中的数的和都相等，求的值． 类型三、规律问题 1．符号“f”表示一种运算，运算规律如下：，，，，…，则（   ） A． B． C． D． 2．符号“f”，“g”分别表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，…，，… （2），，，，…，，… 利用以上规律计算： ． 3．探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算：     ；   ； ； ； ；     ； ；                   ；         ；                    ．   归纳*运算的法则(用文字语言叙述) (1)绝对值不同的两数进行*运算时，结果的绝对值如何确定？_________． 特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，_____． (2)计算： (3)是否存在两个非零有理数m，n，使得，若存在，求出m，n满足的关系，若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3—5 有理数的乘除运算 有理数的乘方 有理数的混合运算 有理数的乘除运算 1.有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数与0相乘，积仍为0。 乘法交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。 2.有理数除法法则： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0除以任何非0的数都得0。0不可作为除数，否则无意义。 此外，还需要理解倒数的概念： 乘积为1的两个有理数互为倒数。 求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。带分数要先化成假分数再求倒数。 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。 有理数的乘方 一、乘方的定义 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。即a·a·...·a（n个a）记作an，其中a叫做底数，n叫做指数，读作a的n次幂或a的n次方。乘方的结果叫做幂。 二、有理数乘方的符号法则 1、正数的任何次幂都是正数。 2、负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。 三、科学记数法 把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中1≤a<10，n是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。 有理数的混合运算 一、有理数混合运算的顺序和法则 1.运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行。 2.运算法则：包括有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方等基本运算法则。例如，加法中同号两数相加取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加取绝对值大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。乘法中，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 二、运算律的运用 在有理数的混合运算中，可以合理地运用运算律来简化运算。常用的运算律有加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律以及乘法对加法的分配律等。 三、特殊运算的处理 在进行有理数的混合运算时，还需要注意一些特殊运算的处理。例如，绝对值的运算、相反数的运算、倒数的运算等。此外，还需要注意符号的运用，确保运算结果的正确性。 巩固课内例1:有理数的乘法运算 1．计算的结果等于（   ） A．10 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘法， 根据“两数相乘，异号得负，并把绝对值相乘”计算即可． 【详解】解：原式． 故选：D． 2．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了两个有理数的乘法法则，熟练掌握有理数的乘法法则是解答本题的关键．两数相乘，同号的正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍得0． 【详解】解：． 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则． （1）根据有理数的乘法运算法则求解即可； （2）先将带分数化为假分数，再根据有理数的乘法运算法则求解即可； （3）根据有理数的乘法运算法则求解即可； （4）先将带分数化为假分数，再根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 巩固课内例2:多个有理数的乘法运算 1．对于，若，则其结果为（    ） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 【答案】B 【分析】考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算符号法则是解题关键． 根据负数的乘法符号规律：奇数个负数相乘结果为负数，偶数个负数相乘结果为正数，即可判断． 【详解】解：由题意个相乘，当时，有奇数个负数相乘，所以结果为负． 故选：B． 2．计算： ； 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是：根据有理数乘法的交换律和结合律计算即可． 【详解】解： 巩固课内例3:乘法运算律 1．用简便方法计算，逆用分配律正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是乘法的运算律，熟练掌握乘法的运算律是解题的关键． 利用乘法对加法的分配率的逆应用运算即可． 【详解】解： 故选：B． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的乘法运算律，利用乘法分配律计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．利用运算律简便运算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的简便运算． 先将分数和百分数化为小数，再根据乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 巩固课内例4:有理数的除法运算 1．下面算式错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的运算，根据有理数的加减乘除法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，错误，符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，正确，不符合题意； D、，正确，不符合题意； 故选A． 2．计算： ． 【答案】9 【分析】本题考查了有理数的除法，利用相关计算法则即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，熟练掌握有理数除法运算法则，是解题的关键． （1）先变除法为乘法，然后进行计算即可； （2）先变除法为乘法，然后再进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 巩固课内例5:有理数的乘方运算 1．的计算结果是（　　） A． B．16 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方，根据幂的乘方的运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了乘方运算，根据乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方运算． （1）根据乘方的定义将展开算乘法即可； （2）根据乘方的定义将展开算乘法即可； （3）根据乘方的定义将展开算乘法即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 巩固课内例6:科学记数法 1．2025年3月30日，2025柳州马拉松暨警察马拉松鸣枪开跑，来自国内外万名马拉松爱好者齐聚龙城，在山、水、城之间感受“工业柳州”的硬核力量与“生态柳州”的柔美情怀，将数据万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查科学记数法的运用，掌握其表示形式，正确确定的值是关键，将万用科学记数法表示，需将其转化为的形式，其中，为整数，确定n的值方法：n的值与小数点移动位数相同，当原数的绝对值大于等于10时，n为正整数，当原数的绝对值小于1时，n为负整数． 【详解】解：万， 故选：D． 2．2025年3月30日，扬州鉴真半程马拉松暨大运河马拉松系列赛在市民中心广场鸣枪开跑，约30000名跑者用脚步丈量千年古城，用拼搏诠释无限热爱．将数据30000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 3．用科学记数法表示下列各数： (1)1000000； (2)300000000； (3)8000000000； (4)10100000． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，把一个大于10的数记成的形式，其中，n是正整数．根据科学记数法的定义解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 巩固课内例7:有理数的加、减、乘、除运算 1．计算：（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，先计算括号里面的，再计算括号外面的． 【详解】解：， 故选：B 2．计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，绝对值的含义，先计算绝对值，乘除运算，最后计算加减运算即可． 【详解】解：； 故答案为： 3．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，熟练掌握乘法分配律，是解题的关键．求出的值，然后根据有理数倒数的定义得出结果即可． 【详解】解：原式的倒数为： ， 故原式． 巩固课内例8:含乘方的有理数混合运算 1．计算得（   ） A．12 B． C．36 D． 【答案】D 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键．先算乘方，再算乘法，最后算减法，计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是绝对值等于4的数，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据相反数，倒数的定义，得到，绝对值的意义，得到，然后根据有理数的混合运算法则，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∵， ∴或； 故答案为：或． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)7 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数加减运算、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算、绝对值等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先化减为加，然后运用有理数加减运算法则计算即可； （2）根据有理数四则混合运算法则计算即可； （3）先算乘方、然后根据有理数四则混合运算法则计算即可； （4）先算乘方、再算括号内，然后根据有理数四则混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 类型一、倒数 1．2025的相反数的倒数是（　　） A．2025 B． C．-2025 D． 【答案】B 【分析】本题考查相反数和倒数的概念，掌握相反数的和倒数的定义成为解题的关键． 先确定2025的相反数，再求其倒数即可． 【详解】解：2025的相反数是． 的倒数为． ∴2025的相反数的倒数是，对应选项B． 故选B． 2．的倒数是 ；比较大小： ．（用“、或”连接） 【答案】 【分析】此题主要考查了倒数以及有理数大小比较的方法，倒数：乘积是1的两数互为倒数；有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：的倒数是； ，，而， ． 故答案为：；． 3．数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则________． (2)请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了倒数，有理数加减运算，有理数乘法运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）根据题意利用小雷解法先取原式的倒数，再转化为乘法，计算后再取倒数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：原式的倒数为 ， ∴． 类型二、幂的概念 1．若为整数，则表示的是（   ） A．3个相乘 B．2个相加 C．3个相加 D．5个相乘 【答案】A 【分析】本题考查幂的乘方运算，熟练掌握并理解幂的乘方等于底数不变，指数相乘是解题的关键．根据幂的乘方法则：，即幂的乘方等于底数不变，指数相乘，进行分析即可． 【详解】解：表示3个相乘或者表示6个相乘． 故选：A． 2．的底数是 ，指数是 ． 【答案】 2 【分析】此题主要考查幂的含义，解题的关键是熟知的含义：a为底数，n为指数，读作a的n次方，含义是n个a相乘． 根据幂的形式特点得出的指数和底数即可； 【详解】解：的底数是，指数是2， 故答案为：，2． 3．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2)； (3)（个m）． 【答案】(1)底数是，指数是5 (2)底数是，指数是6 (3)底数是m，指数是 【分析】（1）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （2）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （3）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可． 【详解】（1）解：， 其中底数是，指数是5； （2）解： 其中底数是，指数是6； （3）解：（个m）， 其中底数是m，指数是． 【点睛】本题主要考查了乘方的意义，解题的关键是掌握乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．表示n个a相乘． 类型三、近似数 1．下列说法错误的是（　　） A．0.759精确到个位为1 B．18.04精确到0.1为18.0 C．5.7万精确到十分位 D．356700精确到万位为 【答案】C 【分析】本题考查近似数的精确度判断．根据各选项的数值单位及精确位数逐一分析． 【详解】解：选项A：0.759精确到个位时，需看十分位的数字7，，向个位进1，结果为1，说法正确，本选项不符合题意； 选项B：18.04精确到0.1（十分位）时，需看百分位的数字4，，舍去，结果为18.0，说法正确，本选项不符合题意； 选项C：5.7万表示57000，以万为单位时，小数点后第一位（十分位）对应实际数值的千位．因此，“精确到十分位”指精确到千位，但选项描述为“精确到十分位”，容易误解为原数57000的小数点后第一位（实际不存在），表述不严谨，本选项符合题意； 选项D：356700精确到万位时，千位数字为，向万位进1，得36万，科学记数法为，说法正确，本选项不符合题意； 故选：C． 2．把圆周率精确到，其近似值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是求一个数的近似数，掌握四舍五入法是解决此题的关键．把万分位上的数字5四舍五入即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．用四舍五入法，按括号内的要求对下列各数取近似数： (1)2.604（精确到十分位）； (2)40353（精确到百位）； (3)0.0234（精确到0.01）； (4)1.81万（精确到万位）． 【答案】(1)2.6 (2) (3)0.02 (4) 【分析】本题考查求一个数的近似数； （1）对百分位上的数字0进行四舍五入即可； （2）对十位上的数字5进行四舍五入即可； （3）对千分位上的数字3进行四舍五入即可； （4）对千位上的数字8进行四舍五入即可． 【详解】（1）解：2.604（精确到十分位）为2.6； （2）解：40353（精确到百位）为； （3）解：0.0234（精确到0.01）为0.02； （4）解：1.81万（精确到万位）为． 类型一、有理数的乘法应用 1．实验小学要给报告厅的小舞台铺上地垫，舞台的面积是40.8平方米，地垫的单价为19.9元/平方米，一共要准备多少元？下面符合实际需要的估算方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查小数乘法估算的实际应用及方法，利用面积乘每平方米的单价，计算时把小数看作与它相近的整数计算即可，注意估算的时候估大一些． 【详解】解：(元) ， 因此准备820元就够了， 符合实际需要的估算方法是选项D． 故选：D． 2．全球气候正在变暖，科学家认为，这与大气中二氧化碳等温室气体的浓度变化有关，随着科学知识的逐渐普及，人们已自发地响应“低碳生活”方式，减少碳排放，某小区安装太阳能路灯，每盏灯每年节电200度，若减少1度电相当于减排碳，那么10盏灯一年减排碳量为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法应用，根据每盏灯每年节电200度，若减少1度电相当于减排碳，进行列式计算得出10盏灯一年减排碳量，即可作答． 【详解】解：∵每盏灯每年节电200度，若减少1度电相当于减排碳， ∵ 故答案为： 3．2024年11月7日，恰逢立冬，又遇我县第一届运动会，更是我县41岁“生日”．为保证运动会顺利进行，全县人民高度重视并积极参与．某出租车驾驶员无偿为各能量补给站运送物资，他从物资配送站出发，在东西向的站前大道上连续接送6批物资，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：）： 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 第6批 (1)接送完第6批物资后，该驾驶员在物资配送站什么方向，距离物资配送站多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油升，那么在这个过程中共耗油多少升？ 【答案】(1)该驾驶员在物资配送站西边，距离物资配送站4千米 (2)20.4升 【分析】(1)计算各里程的和，正表示在东，负表示在西，绝对值表示距离． (2) 计算各里程的绝对值的和，计算出耗油量较即可． 本题考查了正负数的实际应用，有理数的加减混合运算，有理数的乘法，熟练掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵(千米)， ∴该驾驶员在物资配送站西边，距离物资配送站4千米． （2）解：∵千米， ∴耗油量为：（升）， 答：这个过程中共耗油20.4升． 类型二、有理数的除法应用 1．大雄和冬冬在哈尔滨冰雪大世界游玩，他们先后步测一个底面为圆形的冰雕的周长，他俩的起点和走的方向完全相同．冬冬每步长45厘米，大雄每步长55厘米．由于两人的脚印有重合因此冰雕周围只留下95个脚印．这个冰雕的底面周长大约是（   ）米．（结果保留整数） A．100 B．50 C．30 D．25 【答案】D 【分析】本题主要考查了最小公倍数的应用，有理数运算的应用，先求出45和55的最小公倍数为，即每走重合一个脚印，然后用（步），（步），得出每的脚印个数为个，然后用得出一圈共有5个循环，然后求出结果即可． 【详解】解：45和55的最小公倍数为， （步）， （步）， （个）， ， ， 即这个冰雕的底面周长大约是， 故选：D． 2．某工人与老板签订了一份30天的劳务合同：出勤一天可得报酬240元，缺席一天则要从所得报酬中扣掉60元，扣完为止．该工人合同到期后没有拿到报酬，那么他最多出勤 天． 【答案】6 【分析】本题考查有理数除法的实际应用，根据出勤一天可得报酬240元，缺席一天则要从所得报酬中扣掉60元，得到每5天出勤1天，即可满足题意，用总天数除以5，进行求解即可． 【详解】解：（天）； 即：出勤1天，接下来缺勤4天，满足题意， （天）； 故答案为：6． 3．乒乓球，被称为“国球”，在中华大地有着深厚的群众基础．2000年2月23日，国际乒乓球大会决定从2000年10月1日起，乒乓球比赛将使用直径、重量的大球，以取代的小球．某工厂按要求加工一批标准化的直径为乒乓球，但是实际生产的乒乓球直径可能会有一些偏差．随机抽查检验该批加工的10个乒乓球直径并记录如下：，，，，，，，，，（“”表示超出标准；“”表示不足标准）． (1)其中偏差最大的乒乓球直径是______； (2)抽查的这10个乒乓球中，最符合标准的乒乓球的直径是______？ (3)若误差在“”以内的球可以作为合格产品，误差在“”以内的球可以作为良好产品，这10个球的合格率是______；良好率是______． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】此题考查了正数和负数的意义，解题的关键是理解正和负的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据绝对值的定义即可得到结论； （3）根据误差在“”以内的球可以作为合格产品，误差在“”以内的球可以作为良好产品分别占总数的百分比，即可求解． 【详解】（1）解：其中偏差最大的乒乓球的直径是； （2）解：∵，，，，，，，，，中绝对值最小的是， ∴抽查的这10个乒乓球中，最符合标准的乒乓球的直径是； （3）解：∵，，，，，，，，，， 误差在“”以内的球可以作为合格产品， ∴合格的有，，，，，，， 这些球的合格率是； ∵误差在“”以内的球可以作为良好产品， ∴良好产品有，，，，， ∴良好率为； 类型三、有理数的乘方应用 1．你喜欢吃兰州牛肉面吗？拉面的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下图所示．请问要想拉出128根面条，需要捏合的次数是（   ） A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 根据题意归纳总结得到第n次捏合，可拉出根面条，结合可得到结果． 【详解】第一次捏合，可拉出2根面条；第二次捏合，可拉出根面条；第三次捏合，可拉出根面条； 以此类推，第n次捏合，可拉出根面条， 又， 第7次捏合，可拉出128根面条． 故选：C． 2．已知一张纸的厚度为，假设连续对折始终是可能的．小明将该纸片连续对折6次，则纸的厚度为 ． 【答案】5.76 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解对折后厚度变为原来的2倍是解题的关键． 根据对折后纸的厚度变为原来的2倍，计算即可得解． 【详解】解：对折6次后的厚度为， 故答案为：5.76． 3．计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法． (1)根据以上信息，将二进制数“1011”转化为十进制数． (2)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果数量．请计算采集到的野果数量． 【答案】(1)11 (2)采集到的野果数量为个 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用，解的关键是： （1）根据题意写成，进而进行计算即可求解； （2）由于满五进一，类似于五进制数，转化为十进制数为：，进而计算即可求解． 【详解】（1）解：1011转化为十进制数是： ； （2）解∶ 由于满五进一，类似于五进制数，转化为十进制数为： ． 答：采集到的野果数量为个． 类型一、24点 1．“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 2．“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24．如3，8，8，9进行“24点”游戏的算式是或．现有，3，4，10，则列出一个求“24点”的算式是 （写出一种即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的加减乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据、利用有理数的加法与乘法列出算式即可得． 【详解】解：可列出算式是， 故答案为：． 3．小明和小刚玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（四张牌必须都用且每张牌上的数字只能用一次），使运算结果等于24．其中“J”代表11、“Q”代表12、“K”代表13． (1)小明抽取的四张牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式； (2)小刚抽取的四张牌分别是方块3，梅花3，黑桃7，梅花7，请帮小刚列出一个结果等于24的算式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，24点的计算方法，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算，24点的计算方法计算即可； （2）根据有理数的混合运算，24点的计算方法计算即可． 【详解】（1）解：或或．（答案不唯一，合理即可） （2）解：． 类型二、幻方、幻圆 1．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将这九个数字填入的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都是15，如图所示幻方中，字母m所表示的数是（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”解答即可．本题考查有理数的加减运用，数的特点，抓住每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，数的对称性是解题的关键． 【详解】解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，且三行、三列、两对角线上的三个数之和都等于15， 第一列第三个数为：， ． 故选：B． 2．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》，如图，是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将，2，，0，1，，3，分别填入图中的圆圈内，使横、竖，以及内外两圈上的4个数字之和都相等．已知图中的、分别表示一个数，则的值为 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了有理数的加法，减法运算，熟知题意，理解“横、竖，以及内外两圈上的4个数字之和都相等”是解题关键．根据题意先得到内外两圈上以及横、竖上的4个数字之和都为，进而求出，小圆圈上空白圆圈上数字为，从而求出或2，即可求出答案． 【详解】解：由题意得， ∴内外两圈上以及横、竖上的4个数字之和都为， ∴⊙， ∴小圆圈上空白圆圈上数字为， ∴或2， ∴或． 故答案为：或1． 3．【材料阅读】西汉前期民间流传着一则故事．大禹治水时，洛阳西南洛宁县的洛河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案，人称“洛书”．如图1，洛书上有三行三列的纵横图，用实心点或空心点的个数表示数字，分别对应着这9个数字，每行、列及两条对角线上的三个数相加的结果相同．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等． 【问题解决】 （1）根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； （2）如图3，是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将1，2，3，4，5这五个数字填入表格，补全这个新的三阶幻方； 【拓展思考】 （3）有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．如图4，将这12个数字填入恰当的位置后（数字不重复使用），每个正方形4个顶点“〇”中的数的和都相等，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或111 【分析】本题考查了有理数的四则运算，注重考查学生的思维能力和运算能力． （1）根据题意可知，每行、列和对角线上的数字之和都为15，进而求解即可； （2）根据题意，新的三阶幻方的每行、列和对角线上的数字之和为：，进而求解即可； （3）根据题意，每个正方形4个顶点“〇”中的数的和都为：，进而代入求解即可． 【详解】解：（1）根据题意可知，每行、列和对角线上的数字之和都相等， ∴对角线上的数字之和为：， 第一行第三列的数为：， 第一行第二列的数为：， 第三行第一列的数为：， 第三行第二列数为：， 第二行第一列数字为：， 所以三阶幻方补充如图2； （2）根据题意，新的三阶幻方的每行、列和对角线上的数字之和为：， 第一行第一列的数为：， 第三行第一列的数为：， 第二行第二列的数为：， 第二行第三列的数为：， 第三行第三列的数为：； 补全的三阶幻方如图3所示； （3）根据题意，每个正方形4个顶点“〇”中的数的和都为：， ∴， 解得， 又∵，且数字不重复， ∴或， 当时， ∴； 当时， ∴； 综上，的值为或111． 类型三、规律问题 1．符号“f”表示一种运算，运算规律如下：，，，，…，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，解题的关键理解新定义运算；根据新定义运算进行求解即可 【详解】解：根据题中的新定义得： 原式． 故选D． 2．符号“f”，“g”分别表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，…，，… （2），，，，…，，… 利用以上规律计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 根据题目中的式子的运算法则从而可以求得所求式子的值． 【详解】解：由题意可得， ． 故答案为：． 3．探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算：     ；   ； ； ； ；     ； ；                   ；         ；                    ．   归纳*运算的法则(用文字语言叙述) (1)绝对值不同的两数进行*运算时，结果的绝对值如何确定？_________． 特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，_____． (2)计算： (3)是否存在两个非零有理数m，n，使得，若存在，求出m，n满足的关系，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)绝对值较大数的平方减去绝对值较小数的平方，得这个数的平方 (2) (3)存在，或 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，绝对值的性质，理解材料中关于“*”运算方法，掌握绝对值的性质，含有乘方的有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）阅读材料，根据材料提示，总结归纳即可求解； （2）运用材料提示的运算法则进行计算即可； （3）根据材料提示得到，由此计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：绝对值不同的两数进行*运算时，结果的绝对值的确定方法是：绝对值较大数的平方减去绝对值较小数的平方，绝对值为正；0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，结果都等于这个数的平方； 故答案为：绝对值较大数的平方减去绝对值较小数的平方，绝对值为正；结果都等于这个数的平方； （2）解： ； （3）解：存在，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴存在两个非零有理数m、n,使得． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$