精品解析：浙江省绍兴市柯桥区联盟学校2024-2025学年八年级下学期6月月考数学试卷

2024-2025学年浙江省绍兴市柯桥区联盟学校八年级（下）月考数学试卷（6月份） 一、选择题：本题共10小题，共21分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 要使二次根式有意义，则的值不可以为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3 2. 若反比例函数的图象经过点，则图象必经过另一点（　　） A. B. C. D. 3. 方程的解为（ ） A. 4 B. C. 4或 D. 6或2 4. 小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30~40之间．则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 5. 把一个长方形纸片按如甲乙图形对折两次，然后剪下图丙中的①部分，为了得到一个锐角为30°的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（ ） A. 60°或30° B. 30°或45° C. 45°或60° D. 75°或15° 6. 利用反证法证明命题“四边形中至少有一个角钝角或直角”时，应假设（ ） A. 四边形中至多有一个内角是钝角或直角 B. 四边形的每一个内角都是钝角或直 C. 四边形中所有内角都是锐角 D. 四边形中所有内角都是直角 7. 如图，菱形中，点，点，与交于点，反比例函数的图象经过点，则值为（ ） A. B. C. D. 2 8. 某建筑工程队在工地一边靠墙处，用米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个米宽的缺口作小门．若设米，则可列方程（　　） A B. C. D. 9. 在直角坐标系中，设反比例函数，其中．若点均在该函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，连接，，与对角线交于点，且，，有下列三个结论：①；②；③．其中，正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若一个多边形的内角和与外角和之差为，那么此多边形的边数为_________． 12. 若关于x的一元二次方程有一个解为，则m的值为______． 13. 某工厂第一车间有工人15人，每人日均加工螺杆数统计如图．该车间平均每人每日加工螺杆数为______个． 14. 如图， 和 都是等腰直角三角形， ，反比例函数 在第一象限图象经过点 ，则 与 的面积之差为___． 15. 在矩形中，，若P是射线上一个动点，连接，点A关于直线的对称点为M，连接，当P，M，C三点共线时，的长为____． 16. 如图，在菱形中，点是对角线上一动点，于点，于点，记菱形高线的长为，则下列结论：当为中点时，则；；；若，，连结，则有最小值为；若，，连结，则的最大值为其中正确的结论有______（填序号）． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 17. 计算： （1） （2） 四、解答题：本题共7小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 解下列方程： （1） （2） 19. 如图，在网格中，每个小正方形的边长都是1，每个顶点称为格点．线段的端点都在格点上．按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上． （1）如图1，画一个以 为边的平行四边形． （2）如图2，画一个以为边，且面积为12的平行四边形． （3）如图3，画一个以 为对角线，且面积为7的平行四边形． 20. 2023年第19届亚运会将在杭州举行，某校举办了“迎亚运，展风采”知识竞赛，满分100分，学生得分均为整数．为了解学生对亚运知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了10名学生的竞赛成绩，结果如下： 七年级10名学生的竞赛成绩：94，83，94，85，96，94，88，95，87，84 八年级10名学生的竞赛成绩：83，95，86，84，95，82，89，95，91，100． 对上述两个年级各10名学生的竞赛成绩做如下分析： 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 90 91 八年级 95 34.2 根据以上信息，解答下列问题： （1）请直接写出a，b，c，d的值． （2）你认为上述七、八年级各10名学生的竞赛成绩哪个年级好？为什么？ （3）圆圆说：“由样本数据可以估计本次竞赛七年级学生中肯定没有同学得满分”，你认为圆圆的说法正确吗？请说明理由． 21. 如图，在中，，点是的中点，连结并延长，交的延长线于点，连结，． （1）求的长； （2）若． ①证明四边形菱形； ②若，求四边形的周长． 22. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）设每件童装降价x元时，每天可销售_______________件，每件盈利____________元；（用x的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元． （3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由． 23. 如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，，求的面积； （3）如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 24. 问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽． 动手实践： （1）如图1，A小组将矩形纸片折叠，点D落在边上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展平，得到四边形． 试判断四边形的形状，并加以证明． （2）如图2，B小组将矩形纸片对折使与重合，展平后得到折痕，再次过点A折叠使点D落在折痕上的点N处，得到折痕，连结，展平后得到四边形，请求出四边形的面积． 深度探究： （3）如图 3，C小组将图1中的四边形剪去，然后在边上取点G，H，将四边形沿折叠，使A点的对应点始终落在边上（点不与点D，F重合），点E落在点处，与交于点T． 探究①当在上运动时，的周长是否会变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值． 探究②直接写出四边形面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年浙江省绍兴市柯桥区联盟学校八年级（下）月考数学试卷（6月份） 一、选择题：本题共10小题，共21分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 要使二次根式有意义，则的值不可以为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴的值不可以为3． 故选D． 2. 若反比例函数的图象经过点，则图象必经过另一点（　　） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．将代入即可求出的值，再根据解答即可． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， ∵，，，， ∴B选项符合题意． 故选：B． 3. 方程的解为（ ） A. 4 B. C. 4或 D. 6或2 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况讨论，x=2或x≠2，分别计算即可． 【详解】解：①当x=2时，， ②当x≠2时， ， ， ， 故方程的解为6或2， 故选：D． 【点睛】本题考查解一元二次方程，能够掌握分类讨论思想是解决本题的关键． 4. 小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30~40之间．则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查数据平均数、众数、中位数方差的计算方法，根据中位数的定义求解可得． 【详解】解：依题意“■”该数据在30~40之间，则这组数据的中位数为， ∴“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的中位数． 故选：C． 5. 把一个长方形的纸片按如甲乙图形对折两次，然后剪下图丙中的①部分，为了得到一个锐角为30°的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（ ） A. 60°或30° B. 30°或45° C. 45°或60° D. 75°或15° 【答案】D 【解析】 【分析】根据翻折的性质和菱形的性质可得答案． 【详解】解：为了得到一个锐角为的菱形， 菱形的内角度数为或， 根据菱形的对角线平分每一组对角得，或， 故选：D． 【点睛】本题考查了剪纸问题，翻折的性质，菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的对角线平分每一组对角． 6. 利用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设（ ） A. 四边形中至多有一个内角是钝角或直角 B. 四边形的每一个内角都是钝角或直 C. 四边形中所有内角都是锐角 D. 四边形中所有内角都是直角 【答案】C 【解析】 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【详解】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：“四边形中所有内角都是锐角”， 故选：C． 【点睛】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 7. 如图，菱形中，点，点，与交于点，反比例函数的图象经过点，则值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，利用菱形性质，坐标与图形，勾股定理求出点坐标，再根据点为中点，求出点坐标，最后利用待定系数法求出值，即可解题． 【详解】解：过点作于点， 点，点， ，，， ， 四边形为菱形， ， ， ， ， 解得， ， 与交于点， 点为中点， ， 反比例函数的图象经过点， ． 故选：B． 【点睛】本题考查菱形性质，坐标与图形，勾股定理，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 8. 某建筑工程队在工地一边靠墙处，用米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个米宽的缺口作小门．若设米，则可列方程（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题一元二次方程的应用，设为米，则平行于墙的一边长为米，依题意即可列出方程，正确用含的式子表示出平行于墙的一边长是解题的关键． 【详解】解：设为米，则平行于墙的一边长为米， 根据题意得，， 故选：． 9. 在直角坐标系中，设反比例函数，其中．若点均在该函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的增减性即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴在每一象限内y随x的增大而减小， ∵点在反比例函数的图象上，且， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，在矩形中，，连接，，与对角线交于点，且，，有下列三个结论：①；②；③．其中，正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】证明可判断①；根据全等三角形的性质和直角三角形斜边的中线性质证得，进而有。再根据等腰三角形的三线合一性质得到，，进而可求得，，故可判断②；在中，利用含30度角的直角三角形的性质求得，进而可判断③． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 又，， ∴， ∴，，故①正确； ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 则， ∵， ∴， ∴，则， ∴， ∴，故②正确； 在中，，， ∴， 则， ∴，故③正确， 综上，正确的是①②③， 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的斜边中线性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若一个多边形的内角和与外角和之差为，那么此多边形的边数为_________． 【答案】或六 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理．根据多边形的内角和公式，外角和等于列出方程求解即可． 【详解】解：设多边形的边数是， 根据题意得，， 解得． 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程有一个解为，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：； 故答案：． 13. 某工厂第一车间有工人15人，每人日均加工螺杆数统计如图．该车间平均每人每日加工螺杆数为______个． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的平均数，根据平均数的计算公式进行解答即可 【详解】解：该车间工人日均生产螺杆数的平均数为： （个）， 故答案为：20． 14. 如图， 和 都是等腰直角三角形， ，反比例函数 在第一象限的图象经过点 ，则 与 的面积之差为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，面积公式，平方差公式，根据和都是等腰直角三角形可得出、，设，，则点的坐标为，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出，再根据三角形的面积即可得出与的面积之差，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 设，， 则点的坐标为， ∵反比例函数在第一象限的图象经过点， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 在矩形中，，若P是射线上一个动点，连接，点A关于直线的对称点为M，连接，当P，M，C三点共线时，的长为____． 【答案】1或9##9或1 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，分两种情况画图：根据当P，M，C三点共线时画出图形，利用点A关于直线的对称点为M，得，，根据勾股定理列出方程即可解决问题．由轴对称的性质得，由平行线的性质得，进而可以解决问题． 【详解】解：①当P，M，C三点共线时，如图1所示： 在矩形中，， ∵点A关于直线的对称点为M， ， , 设， 则，， 在中，根据勾股定理得：， ， ， 的长为1； ②如图2， 由轴对称的性质得， 由平行线的性质得 ， ， 在中，，由勾股定理得， ， ， 综上所述：的长为1或9， 故答案为：1或9． 16. 如图，在菱形中，点是对角线上一动点，于点，于点，记菱形高线的长为，则下列结论：当为中点时，则；；；若，，连结，则有最小值为；若，，连结，则的最大值为其中正确的结论有______（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】连接，等积法判断和，四边形的内角和为度，结合菱形的对角相等，判断，连接，过点作，根据菱形的性质和成轴对称的特征求解，判断，连接，过点作，利用含度角的直角三角形的性质，结合配方法判断即可． 【详解】解：菱形， ， 连接， 当为中点时， 则， 于点于点， ， ， ，故正确； ， ， ， ；故正确； 于点于点， ， ， ， ；故正确； 连接，过点作，则垂直平分， ， ， 当三点共线时，的值最小， ，当点与点重合时，的值最小为的长， ，且， ， ， 为等边三角形， ， ， 的最小值为，故错误； 连接，过点作， ， ∴， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 的最大值为；故错误； 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，然后进行有理数的加减运算； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可． 四、解答题：本题共7小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（1）在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式，再开平方求解即可；（2）根据因式分解法将方程变为，将方程转化为两个一元一次方程求解即可． 【小问1详解】 配方得：，可得， ， 解得：， ，； 【小问2详解】 分解因式得：， ∴2x-1=0或x-2=0， 得：，． 【点睛】本题考查求一元二次方程的解，解一元二次方程的一般方法有配方法、公式法和因式分解法． 19. 如图，在网格中，每个小正方形的边长都是1，每个顶点称为格点．线段的端点都在格点上．按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上． （1）如图1，画一个以 为边的平行四边形． （2）如图2，画一个以为边，且面积为12的平行四边形． （3）如图3，画一个以 为对角线，且面积为7的平行四边形． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 （3）详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了作图−应用与设计作图，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识点， （1）根据平行四边形的性质直接作图即可； （2）以为边，作底边为4的平行四边形即可； （3）根据平行四边形的性质取格点M，N，连接作图即可． 解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 【小问1详解】 如图1所示， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴平行四边形即为所求（答案不唯一）； 【小问2详解】 如图2所示， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴平行四边形即为所求（答案不唯一）； 【小问3详解】 如图3所示， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形的面积， ∴菱形即为所求（答案不唯一）． 20. 2023年第19届亚运会将在杭州举行，某校举办了“迎亚运，展风采”知识竞赛，满分100分，学生得分均为整数．为了解学生对亚运知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了10名学生的竞赛成绩，结果如下： 七年级10名学生的竞赛成绩：94，83，94，85，96，94，88，95，87，84 八年级10名学生的竞赛成绩：83，95，86，84，95，82，89，95，91，100． 对上述两个年级各10名学生的竞赛成绩做如下分析： 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 90 91 八年级 95 34.2 根据以上信息，解答下列问题： （1）请直接写出a，b，c，d的值． （2）你认为上述七、八年级各10名学生的竞赛成绩哪个年级好？为什么？ （3）圆圆说：“由样本数据可以估计本次竞赛七年级学生中肯定没有同学得满分”，你认为圆圆的说法正确吗？请说明理由． 【答案】（1）；；； （2）七年级学生掌握的相关知识较好；理由见解析 （3）错误；理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数和方差的定义进行解答即可； （2）根据平均数、众数、中位数和方差的意义进行解答即可； （3）根据样本的特点进行回答即可． 【小问1详解】 解：七年级10名学生的竞赛成绩中94出现的最多，因此众数； 方差， 八年级10名学生的竞赛成绩的平均数为： ； 八年级各10名学生的竞赛成绩从小到大进行排序，排在中间的两个数为89，91，因此中位数． 【小问2详解】 解：虽然七、八年级学生竞赛成绩的平均数相同，但是七年级学生的中位数比八年级高，方差比八年级的小，所以七年级学生掌握的相关知识较好． 【小问3详解】 解：圆圆的说法错误，因为样本只代表部分数据，并不能表示七年级学生中没有同学得满分． 【点睛】本题主要考查了方差、中位数、众数以及样本估计总体，掌握各统计量的定义是解答本题的关键． 21. 如图，在中，，点是的中点，连结并延长，交的延长线于点，连结，． （1）求的长； （2）若． ①证明四边形是菱形； ②若，求四边形的周长． 【答案】（1） （2）①见解析；②10 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明得到即可求解； （2）①先证明四边形是平行四边形，再证明，根据菱形判定可证的结论； ②根据平行四边形的性质和菱形的性质证明是等边三角形，进而得到可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴； 【小问2详解】 解：①∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴，即， ∴四边形是菱形； ②∵四边形是平行四边形，, ∴,，， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴等边三角形， ∴，即， ∴四边形的周长为． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键． 22. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）设每件童装降价x元时，每天可销售_______________件，每件盈利____________元；（用x的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元． （3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由． 【答案】（1）； （2）每件童装降价20元时，平均每天赢利1200元 （3）不可能平均每天赢利2000元，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据销售量＝原销售量＋因价格下降增加的销售量，每件的利润＝实际售价－进价，列式即可； （2）根据总利润＝每件利润×销售数量，列方程求解即可； （3）根据总利润＝每件的利润×销售数量，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每件童装降价x元时，每天可销售件，每件盈利元， 故答案为：，； 【小问2详解】 依题可得：， ∴， ∴， ∴，， 扩大销售量，增加利润， ， 答：每件童装降价20元时，平均每天赢利1200元； 【小问3详解】 根据题意得：， ∴， ∴△= =-4×1×600=-15000， ∴原方程无解. 答：不可能平均每天赢利2000元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意找出题目蕴含的等量关系是解本题的关键． 23. 如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，，求的面积； （3）如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的表达式为； （2）16 （3）点E的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，即可求解； （2）利用的面积，即可求解； （3）先设出点E的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点F的坐标即可解决问题． 【小问1详解】 解：将代入反比例函数， 解得， ∴， 将代入， 得， 将，点代入， ，解得， ∴； 【小问2详解】 解：设一次函数与x轴交于点D， 令，则，令，则， ∴的面积； 【小问3详解】 解：设点E的坐标为， 过点A作y轴的平行线l，分别过点E和点F作l的垂线，垂足分别为M和N， 由旋转可知， ，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∵，点E的坐标为， ∴，， ∴点F的坐标为． ∵点F在函数的图象上， ∴， 解得，（舍去）， 所以点E的坐标为． 24. 问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽． 动手实践： （1）如图1，A小组将矩形纸片折叠，点D落在边上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展平，得到四边形． 试判断四边形的形状，并加以证明． （2）如图2，B小组将矩形纸片对折使与重合，展平后得到折痕，再次过点A折叠使点D落在折痕上的点N处，得到折痕，连结，展平后得到四边形，请求出四边形的面积． 深度探究： （3）如图 3，C小组将图1中的四边形剪去，然后在边上取点G，H，将四边形沿折叠，使A点的对应点始终落在边上（点不与点D，F重合），点E落在点处，与交于点T． 探究①当在上运动时，的周长是否会变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值． 探究②直接写出四边形面积的最小值． 【答案】（1）正方形，证明见解析；（2）；（3）①不变，定值是12；② 【解析】 【分析】（1）证，得四边形是菱形，再由，即可得出结论； （2）连接，由折叠的性质可得是等边三角形，，求出，由三角形面积公式可求出； （3）①连接，，过点B作于点M，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案；②过点H作，连接，设，，由勾股定理求出，由四边形面积公式可得出，由配方法可求出答案． 【详解】解：（1）四边形是正方形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由第一步折叠可知：， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形； （2）连接， 由折叠得， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴ 设则， 由勾股定理得， ∴ 解得，（负值舍去） ∴ 由折叠得，, ∴； （3）①的周长不变，为定值12．理由如下： 如图，连接，，过点A作于点M， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的周长， ∴的周长为12． ②过点H作，连接，设，， 在中，， 解得， 由折叠可知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，四边形是正方形， ∴, ∴， ∴当时，S有最小值为． 【点睛】本题考查四边形综合题，考查了折叠的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，配方法等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$