第二十五讲： 分式的乘法与除法（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第二十五讲： 分式的乘法与除法 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：分式的乘法 法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母 式子表示：· ＝ 知识点02：分式的除法 法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘 式子表示：÷＝ · ＝ 知识点03：分式的乘除混合运算 分式的乘除混合运算：在运算时，乘除是同一级运算，若没有其他附加条件(如括号等)，则应按照从左到右的顺序进行计算；若有括号，则先算括号里面的. 一般地，乘除混合运算可以统一为乘法运算. 知识点03：分式的乘方 1. 分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方. 用字母表示为＝ (n为正整数). 2. 分式的乘除、乘方混合运算：分式的乘除、乘方混合运算顺序与分数的乘除、乘方混合运算顺序相同，即先算乘方，再算乘除，有括号的先算括号里面的. 考点1：分式乘法 【典型例题】 计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 代数式化简的结果为（    ）． A． B． C． D． 考点2：分式除法 【典型例题】 计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 分式的化简结果为（   ） A． B． C． D． 考点3：分式乘除混合运算 【典型例题】 下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 计算的结果是（    ）． A．1 B．xy C． D． 【变式训练2】 计算的结果是（       ） A． B． C． D． 考点4：分式乘方 【典型例题】 计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】 计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】 化简的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 考点5：含乘方的分式乘除混合运算 【典型例题】 化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 的结果是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．下列运算结果是的是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 3．化简的结果是（   ） A．2 B． C． D． 4．若运算的结果是整式，则“”内的式子可能是（   ） A． B． C． D． 5．计算的值为（   ） A． B． C． D． 6．若，，则的值可能为（   ） A．0 B． C．1 D．2 7．化简的结果是（   ） A． B． C．3 D． 8．化简分式·______的结果为单项式，则“______”上填的式子可以是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．计算： ． 10． ． 11．计算： ． 12．化简： 的结果为 ． 13．已知，则整式 ． 14．小明在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为 ． 15．定义两种运算：，，则 ． 16．计算： ． 三、解答题 17．计算 (1) (2) 18．先化简，再求值：，其中． 19．如图，小谷的作业本上有一道填空题，其中有一部分被墨水污染了， 化简：的结果为________． 若被污染的部分是一个关于的一次两项式，将其记为，且该题化简的结果为，求整式． 20．以下是小茗同学化简分式的运算过程： 解：原式 ① ② ③ (1)上面的运算过程中第_________步开始出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第二十五讲： 分式的乘法与除法 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：分式的乘法 法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母 式子表示：· ＝ 知识点02：分式的除法 法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘 式子表示：÷＝ · ＝ 知识点03：分式的乘除混合运算 分式的乘除混合运算：在运算时，乘除是同一级运算，若没有其他附加条件(如括号等)，则应按照从左到右的顺序进行计算；若有括号，则先算括号里面的. 一般地，乘除混合运算可以统一为乘法运算. 知识点03：分式的乘方 1. 分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方. 用字母表示为＝ (n为正整数). 2. 分式的乘除、乘方混合运算：分式的乘除、乘方混合运算顺序与分数的乘除、乘方混合运算顺序相同，即先算乘方，再算乘除，有括号的先算括号里面的. 考点1：分式乘法 【典型例题】 计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的乘法运算，掌握其运算法则是关键． 根据分式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：D ． 【变式训练1】 代数式化简的结果为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式乘法，约分，熟练掌握分式乘法法则是解题的关键． 先将每一个分式分子因式分解，再约分，然后根据分式乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 考点2：分式除法 【典型例题】 计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算， 先将除法变成乘法，再约分可得答案． 【详解】解：原式． 故选：C． 【变式训练1】 化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的除法运算，结合分式除法法则进行化简计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：D 【变式训练2】 分式的化简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的除法，根据分式的除法运算进行计算，即可求解，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解： 故选：D ． 考点3：分式乘除混合运算 【典型例题】 下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】贝泰妮考查了分式的约分及分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据分式的基本性质可判断A，C，D；根据分式的乘除混合运算法则可判断B． 【详解】解：A．不能约分，故不正确； B．，故不正确； C．， 正确； D．不能约分，故不正确； 故选C． 【变式训练1】 计算的结果是（    ）． A．1 B．xy C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘除法，解题的关键是把除法转化成乘法、以及约分． 先把除法转化成乘法，再进行约分计算即可． 【详解】解：原式， 故选：C． 【变式训练2】 计算的结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式先化除法为乘法，再约分即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 故选：C 考点4：分式乘方 【典型例题】 计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的乘方运算，需应用分式乘方的法则：分子、分母分别乘方，并正确处理负号即可. 【详解】解： ， 故选：B． 【变式训练1】 计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘除法．先进行分式平方及立方的运算，然后约分，即可得出答案． 【详解】解： ． 故选：C． 【变式训练2】 化简的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式的乘方的运算方法，分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方，据此求出化简的结果即可． 【详解】． 故选：D． 考点5：含乘方的分式乘除混合运算 【典型例题】 化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了含乘方的分式乘除法混合运算．先乘方，再根据分式乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 【变式训练1】 计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算，先运算乘方，然后把除法转化为乘法约分即可解题． 【详解】解：， 故选：C． 【变式训练2】 的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘除混合计算，先计算乘方，再计算乘除法即可． 【详解】解： ， 故选：D． 一、单选题 1．下列运算结果是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的运算等知识，根据同底数幂相除法则，分式的乘法法则，幂的乘方法则，合并同类项法则等逐项判断即可． 【详解】解：A．，故不符题意； B．，故符合题意； C． ，故不符题意； D． ，故不符题意； 故选：B． 2．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式，约分，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先平方，后约分即可． 【详解】解： 故选：A． 3．化简的结果是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，把除法变成乘法后进行约分即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 4．若运算的结果是整式，则“”内的式子可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的乘除法，整式的定义，根据每个选项中所给的条件计算，再根据结果判断即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，结果是整式，故选项符合题意； B、，结果不是整式，故选项不符合题意； C、，结果不是整式，故选项不符合题意； D、，结果不是整式，故选项不符合题意； 故选：A． 5．计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的乘法， 根据分式的基本性质约分即可得出答案． 【详解】解：原式． 故选：A． 6．若，，则的值可能为（   ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的除法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先列式，结合分式有意义的条件进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意， ， ∵， ∴， ∵， 故A选项不符合题意； ∴当时，则（舍去）， ∴当时，则（舍去）， ∴当时，则， 故选：D 7．化简的结果是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式除法运算，熟练掌握分式除法运算法则是解题的关键．根据分式除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： 故选：C． 8．化简分式·______的结果为单项式，则“______”上填的式子可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的乘法运算， 将选项逐个代入根据分式乘法法则计算，再根据结果判断即可． 【详解】解：因为，结果不是单项式，所以A不符合题意； 因为，结果是单项式，所以B符合题意； 因为，结果不是单项式，所以C不符合题意； 因为，结果不是单项式，所以D不符合题意． 故选：B． 二、填空题 9．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法运算，根据分式的乘法法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 10． ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，先将除法转化为乘法，然后根据分式的性质约分即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算，解题的关键是掌握分式除法的运算法则． 先将除法转化为乘法，再进行约分计算． 【详解】解：   ， 故答案为：． 12．化简： 的结果为 ． 【答案】 【分析】此题是分式的乘法运算．先把分子分母能因式分解的进行因式分解，再进行约分化简． 【详解】解： ． 故答案为：． 13．已知，则整式 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法和除法；根据题意可得，利用分式乘法法则计算即可． 【详解】解：根据题意：， 故答案为：． 14．小明在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式除法运算．熟练掌握利用平方差公式，提公因式法进行因式分解，分式的化简是解题的关键．利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，然后进行除法运算可得化简结果． 【详解】解：由题意知， ∴被污染的代数式为， 故答案为：． 15．定义两种运算：，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算．熟练掌握新定义运算，分式的乘除运算法则，是解题的关键． 先根据题意得出与的表达式，再根据分式混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 16．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式的运算首先要分清运算顺序，在这个题目中，首先进行乘方运算，然后统一成乘法运算，最后进行约分运算． 【详解】解：原式． 故答案为． 三、解答题 17．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据分式乘除混合运算的法则按运算顺序计算即可； （）根据分式乘除混合运算的法则按运算顺序计算即可； 本题考查了分式的乘除混合运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把第二个分式的分子分解因式，再计算分式乘法化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解； ， 当时，原式． 19．如图，小谷的作业本上有一道填空题，其中有一部分被墨水污染了， 化简：的结果为________． 若被污染的部分是一个关于的一次两项式，将其记为，且该题化简的结果为，求整式． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，根据题意可得，据此根据分式的除法计算法则计算出该等式右边的结果即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．以下是小茗同学化简分式的运算过程： 解：原式 ① ② ③ (1)上面的运算过程中第_________步开始出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程． 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质，化简的基本技能是解题的关键． （1）从第③步开始出现错误，错误的原因是约分丢负号． （2）根据分式的运算，正确计算即可， 【详解】（1）解：上面的运算过程中第③步开始出现了错误， 故答案为：③； （2）解：原式 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$