2.3 有理数的乘方 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版七年级数学上册

2.3 有理数的乘方 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版七年级数学上册 核心知识点 一、有理数乘方的核心概念 1. 乘方的定义 定义：求 n 个相同因数的积的运算叫做乘方，记，读作 “a 的 n 次幂” 或 “a 的 n 次方”。 底数：相同的因数a称为底数。 指数：相同因数的个数n称为指数。 幂：乘方的结果称为幂。 示例： 注意： 当底数是负数或分数时，需用括号明确范围，如意义不同。 一个数的一次方通常省略指数 1，如。 2. 乘方的符号法则 正数的任何次幂：结果为正数。 示例：。 负数的奇次幂：结果为负数；负数的偶次幂：结果为正数。 示例： （偶次幂）。 0 的任何正整数次幂：结果为 0。 示例：。 3. 乘方与乘法的区别 乘方是特殊的乘法：当多个相同因数相乘时，用乘方表示更简洁。 示例：。 运算优先级：乘方高于乘法，如。 二、乘方的运算规则与技巧 1. 基础运算步骤 确定符号：根据底数的符号和指数的奇偶性判断结果符号。 计算绝对值：将底数的绝对值进行 n 次乘法运算。 示例：计算 符号：负数的奇次幂→负； 绝对值：。 2. 幂的比较技巧 底数相同：指数越大，幂越大（正数情况）。 示例： 指数相同：正数底数越大，幂越大；负数底数绝对值越大，幂越小。 示例： 3. 特殊数的乘方规律 1 的任何次幂：结果为 1，如。 -1 的幂：奇次幂为 - 1，偶次幂为 1，如。 末位数字规律： 的末位数字按 2、4、8、6 循环； 的末位数字按 3、9、7、1 循环。 示例：的末位数字为 8（2023 ÷ 4 余 3）。 三、科学记数法 1. 定义 形式：将一个绝对值大于 10 的数表示为，n 为正整数。 示例： 2. 转换步骤 大数转科学记数法： 确定 a：将原数的小数点左移至首位非零数字后，得到a。 确定 n：移动的位数即为 n，原数绝对值≥10 时，n 为正整数。 示例：3,670,000 = （小数点左移 6 位）。 小数转科学记数法： 确定 a：将原数的小数点右移至首位非零数字后，得到a。 确定 n：移动的位数即为 n 的相反数，原数绝对值 < 1 时，n 为负整数。 示例：0.000045 = （小数点右移 5 位）。 3. 科学记数法的还原 （n>0）：将 a 的小数点右移 n 位，不足补 0。 示例。 四、实际应用场景 1. 细胞分裂问题 示例：某种细胞每 30 分钟分裂一次（1 个→2 个），经过 5 小时（10 次分裂）后，细胞总数为 2. 折纸厚度计算 示例：一张 0.1 毫米厚的纸对折 20 次后，厚度为 3. 财务复利问题 示例：本金 1000 元，年利率 5%，复利计算 3 年后本息和为元。 五、常见错误与注意事项 1. 符号混淆 错误示例正确应为 16）。 注意：负数的偶次幂为正，奇次幂为负，与加法符号规则不同。 2. 底数与指数混淆 错误示例：（正确应为 9）。 注意：乘方是指数个底数相乘，而非底数 × 指数。 3. 运算顺序错误 错误示例：。 注意：先算乘方，再算加减。 4. 科学记数法错误 错误示例：123,000 = 。 注意：a 必须满足。 专项练习 一、选择题 1．可以表示为（　　） A． B． C． D． 2．若与互为相反数，则的值是（　　） A．6 B． C．8 D． 3．在下列各数、、、、、中，负数有（　　） A．个 B． 个 C． 个 D．个 4．苍南因地处玉苍山之南，故取县名为苍南.其总面积为1079.34 km2，数1079.34精确到个位，则近似值为(　　) A．1080 B．1079.3 C．1079 D．1070 5．电影《志愿军：存亡之战》以亿元票房领跑2024年国庆档电影票房．其中数据亿用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 6．有下列四个算式①；②；③；④．其中，正确的有（　　）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．我们定义一种新的运算“”，并且规定：，例如：，则的值为（　　）． A．5 B． C．3 D．4 8．13世纪数学家斐波那契的《计划书》中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为（　　） A．42 B．49 C． D． 二、填空题 9．计算：　 　． 10．一个数的立方和平方都等于其本身，这个数是　 　 11．下列各数中：① ；② ；③ ，负数为　 　.（填序号） 12．定义一种新运算：，则　 　． 13．你喜欢吃拉面吗? 拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条.如图所示，这样捏合到第七次后可拉出　 　根面条. 14．已知有理数a，b，c，d在数轴上对应的点如图所示，每相邻两个点之间的距离是1个单位长度.若5a=4b-7，则的值为　 　. 15．现有七个数-1，-2，-2，-4，-4，-8，-8，将它们填入图1(3个圆两两相交分成7个部分)中，使得每个圆内部的4个数之积相等，设这个积为m，图2给出了一种填法，此时m=64，在所有的填法中，m的最大值为　 　． 16．有一根1米长的小棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此下去，在第n次之后，截去的所有的小棒总长为　 　米． 三、解答题 17．把下列各数填入相应的大括号里： （1）整数集合：； （2）负分数集合：； （3）正有理数集合：； 18．计算： （1）． （2）． 19．我国是一个严重缺水的国家，大家应倍加珍惜水资源，节约用水．拧不紧的水龙头如果每秒滴下2滴水，每滴水约0.05毫升，小明同学在洗手后，没有把水龙头拧紧，当小明离开4小时后，水龙头滴水多少毫升？（用科学记数法表示） 20．方方与圆圆两位同学计算的过程如下： 方方： ① ② ③ ④ 圆圆： ① ② ③ （1）以上计算过程中，方方开始出错的是第　 　步，圆圆开始出错的是第　 　步（填序号）； （2）写出你的计算过程． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：=-76， 故选：B. 【分析】本题考查了有理数乘方的运算法则，把几个相同因数的积的运算叫做乘方an中a是相同因数，n是指数，据此解答，即可得到答案. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：∵与互为相反数， ∴ ，， 解得，， ． 故答案为：D 【分析】根据相反数的定义结合非负性得到，，则，，再根据有理数的乘方即可求解。 3．【答案】D 【解析】【解答】解：∵，，，，，， ∴，，，，都是负数，共有5个， 故答案为：D. 【分析】先利用绝对值、有理数的乘方和相反数的定义化简，再利用负数的定义逐项分析判断即可. 4．【答案】C 【解析】【解答】解： 故答案为：C . 【分析】精确到个位时，就要观察十分位上的数字，按大小进行四舍五入。 5．【答案】B 【解析】【解答】解：因为 亿 ，所以亿． 故答案为：B． 【分析】本题考查科学记数法表示较大数，核心是掌握科学记数法形式（， 为整数 ），通过单位换算、确定 和 的值来解题。先将“亿”转化为具体数字，再把该数字改写成科学记数法形式，关键是确定 （满足 ）和 （小数点移动位数 ）. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：①；故①不符合题意； ②；故②不符合题意； ③；故③符合题意； ④；故④符合题意； 故答案为：C． 【分析】利用有理数的加法法则，有理数的除法法则，乘方法则计算求解即可。 7．【答案】A 【解析】【解答】解：∵定义一种新的运算“”，并且规定：， ∴ ． 故选：A． 【分析】本题考查了新定义运算，含乘方的有理数的混合运算，根据新定义一种新的运算“”，并且规定：，得到，进行计算，即可得到答案. 8．【答案】C 【解析】【解答】根据题意，得刀鞘数为 ， 故答案为：C． 【分析】根据有理数乘方的定义：求n个相同因数的积的运算，求解即可。 9．【答案】3 【解析】【解答】解：由题意得， 故答案为：3 【分析】根据有理数的混合运算（含乘方）结合题意计算即可求解。 10．【答案】0和1 【解析】【解答】解： 一个数的立方和平方都等于其本身，这个数是0和1. 故答案为：0和1. 【分析】求几个相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数作为底数，相同因数的个数作为指数，乘方运算的结果叫幂，根据乘方运算的定义即可得出答案. 11．【答案】①③ 【解析】【解答】解：∵ ， ， ∴负数为①③. 故答案为：①③ 【分析】根据绝对值的性质可得|-5|=5，根据有理数的乘方法则可得-22=-4，然后根据负数是小于0的数进行判断. 12．【答案】12 【解析】【解答】解：∵， ∴， 故答案为：12 【分析】根据新定义列式计算即可求出答案. ​​​​ 13．【答案】128 【解析】【解答】 解：第一次捏合后可拉出2根面条， 第二次捏合后可拉出22根面条， 第三次捏合后可拉出23根面条， …， 所以捏合到第七次后可拉出27=128根面条． 故答案为：128． 【分析】根据有理数乘方运算法则展开计算，即可求解. 14．【答案】-1 【解析】【解答】解：由题意得a=b-1，5a=4b-7， ∴a=b-1，5a=4b-7， ∴c=-1，d=0， ∴原式=， 故答案为：-1 【分析】根据题意结合数轴得到a=b-1，5a=4b-7，进而即可得到a=b-1，5a=4b-7，则c=-1，d=0，再代入根据有理数的混合运算（含乘方）即可求解。 15．【答案】256 【解析】【解答】解：填充数字如下，此时m取最大值，m=(-8)×(-8)×(-1)×(-4)=256． 故答案为：256. 【分析】通过观察，可得这7个数，有的被乘了1次，2次，3次．要使得每个圆内部的4个数之积相等且最大，则-8，-8不妨如图1放置，此时与-8，-8同圆的只能是-1，-4或-2，-2，所以m=(-8)×(-8)×(-1)×(-4)=256． 16．【答案】 【解析】【解答】1米长的木棒第一次截去一半为（米）， 第二次截取上一次的一半，则第二次截去木棒长（米）， ∴截去木棒总长为（米）， 第三次截取第二次的一半，则第三次截去木棒长（米）， ∴截去木棒总长为（米）， 第四次截取第三次的一半，则第四次截去木棒长（米）， ∴截去木棒总长为（米）， …… ∴在第n次之后，截去的所有的小棒总长为：（米）． 故答案为： 【分析】根据截木棒的方法，归纳总结得出一般性规律，即可得出结果。 17．【答案】（1）解：，属于整数，，属于整数，属于整数，∴整数集合：{，，}. （2）解：，，，属于正分数，，属于负分数，∴负分数集合：{，}. （3）解：正有理数集合：{，，，}． 【解析】【分析】（1）根据绝对值的性质，先去绝对值，再计算乘方后，结合整数的定义，即可解答； （2）先计算，再根据分数的定义，即可解答； （3）根据正有理数的定义，正有理数是指除了负数、0、无理数的数字，并且能够精确地表示为两个整数之比的数，据此判断，即可求解. （1）解：，属于整数，，属于整数，属于整数， ∴整数集合：{，，} （2）解：，，，属于正分数，，属于负分数， ∴负分数集合：{，} （3）解：正有理数集合：{，，，}． 18．【答案】（1）解： ； （2）解： ． 【解析】【分析】（1）先把算式写成代数和的形式，再进行计算。注意符号的变化。 （2）根据有理数的运算法则进行计算即可，注意要计算乘方和括号里面的，注意符号的变化。 19．【答案】解：1小时=3600秒根据题意得： 用科学记数法表示： 答：当小明离开4小时后，水龙头滴水 毫升。 【解析】【分析】根据题意列式计算，再用科学记数法表示即可，注意时间单位换算。 20．【答案】（1）②；① （2） 【解析】【解答】解：（1）方方开始出错的是第②步，圆圆开始出错的是第①步， 故答案为：②，①. 【分析】（1）观察两位同学的解题过程，方方在第②步中混淆了运算顺序，圆圆有理数的乘方计算错误，进而得出结论； （2）根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算即可 学科网（北京）股份有限公司 $$