2.1 有理数的加法与减法 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版数学七年级上册

2.1 有理数的加法与减法 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版七年级数学上册 核心知识点 一、有理数基础概念 有理数定义 整数和分数统称有理数，包括正有理数、零、负有理数。任何有理数都可表示为分数形式（分母不为 0）。 数轴与绝对值 数轴三要素：原点、正方向、单位长度。 绝对值表示数在数轴上到原点的距离，具有非负性（|a|≥0）。 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数，如 a 与 - a。性质：互为相反数的两数和为 0，即 a + (-a) = 0（ 二、有理数加法法则 同号两数相加 法则：取相同符号，绝对值相加。 例：3 + 5 = 8，(-3) + (-5) = -8 异号两数相加 法则：取绝对值较大的加数符号，并用较大绝对值减去较小绝对值。 例：3 + (-5) = -2，(-3) + 5 = 2 特殊情况 互为相反数的两数相加得 0：3 + (-3) = 0。 一个数与 0 相加仍得原数：0 + a = a 三、加法运算律（简化计算关键） 交换律 公式：a + b = b + a。 应用：可调整加数顺序，便于凑整或分组 结合律 公式：(a + b) + c = a + (b + c)。 应用：将同号数、相反数或能凑整的数结合计算 示例： 同号结合：(-2) + 5 + (-8) = [(-2) + (-8)] + 5 = -10 + 5 = -5。 相反数结合：7 + (-3) + 3 = 7 + [(-3) + 3] = 7 + 0 = 7 四、有理数减法法则 核心转化 法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，即 a - b = a + (-b)。 两变原则：减法变加法，减数变相反数。 示例： 5 - 3 = 5 + (-3) = 2； 5 - (-3) = 5 + 3 = 8； (-5) - 3 = (-5) + (-3) = -8 五、加减混合运算步骤与技巧 统一成加法 将所有减法转化为加法，省略加号和括号。 例：3 - 5 + 2 - (-4) = 3 + (-5) + 2 + 4 灵活运用运算律 同号结合法：正数与正数、负数与负数分别相加。 例：(-2.5) + 3.1 + (-1.5) = [(-2.5) + (-1.5)] + 3.1 = -4 + 3.1 = -0.9 凑整法：将小数、分数凑成整数。 例：-2.48 + 4.33 + (-7.52) = [(-2.48) + (-7.52)] + 4.33 = -10 + 4.33 = -5.67。 六、实际应用场景 温度变化 例：某天早晨气温 - 3℃，中午上升 7℃，傍晚下降 5℃，最终气温为：-3 + 7 + (-5) = -1℃）。 财务收支 例：收入 500 元记作 + 500，支出 300 元记作 - 300，净收入为 + 500 + (-300) = +200 元。 水位变化 例：一周内水位变化为 + 0.2m、-0.35m、+0.03m，累计变化量为 0.2 + (-0.35) + 0.03 = -0.12m（下降 0.12 米）。 七、常见错误与注意事项 符号混淆 错误示例：-3 - 5 = -3 + 5 = 2（正确应为 - 8）。 注意：减号与负号需严格区分，减法转化为加法时，减数符号必须改变。 运算律误用 错误示例：2 + (-5) + 3 = 2 + 3 + (-5) = 0（正确应为 0）。 注意：交换加数位置时，需连同符号一起交换 绝对值计算错误 错误示例：-5 + 3 = -(5 + 3) = -8（正确应为 - 2）。 注意：异号相加时，用较大绝对值减较小绝对值，而非相加 八、典型例题 基础运算 计算：(-4.5) + 6.2 - 3.8 + (-2.7) 解：原式 = (-4.5) + (-2.7) + (6.2 - 3.8) = -7.2 + 2.4 = -4.8。 实际应用 某仓库周一进货 + 10 吨，周二出货 - 8 吨，周三进货 + 5 吨，问库存变化。 解：+10 + (-8) + 5 = 7 吨（库存增加 7 吨）。 专项练习 一、选择题 1．计算过程正确的是（　　） A． B． C． D． 2．已知，，且，则的值等于（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 3．一种大米的质量标记为“千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（　　） A．10.08千克 B．10.09千克 C．9.98千克 D．9.89千克 4．已知甲地海拔为 120 米，乙地海拔为米，求甲地比乙地高多少米？下列列式中正确的是（　　） A． B． C． D． 5．西岳华山是我国著名的五岳之一，已知华山山顶某日早晨的气温是-6℃，到中午上升了15℃，则华山山顶这天中午的气温是(　　) A．-9 ℃ B．-3℃ C．9℃ D．27℃ 6．某商店去年四个季度的盈亏情况如下（盈余为正）：+128.5万元，-140万元，-95.5万元，280万元，则去年这个商店的总盈亏情况是（　　） A．盈余644万元 B．亏本173万元 C．盈余173万元 D．亏本644万元 7．北京与柏林的时差为6小时，例如，北京时间14：00，同一时刻的柏林时间是8：00，小丽和小红分别在北京和柏林，她们相约在各自当地时间8：00~17：00之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间(　　) A．9：30 B．11：30 C．13：30 D．15：30 8．刚上大学的小亮去年8月到台州银行开户，存入了600元钱.该年9月开始，家里按月给小亮生活费，小亮每月都有结余存入银行.下表为小亮从9月到12月每月存入银行的金额与上一月比较的情况（比上一月增加为正）： 月份 9 10 11 12 与上一月比较（元） -400 -100 +300 -200 9月到12月中，小亮单月存钱最多的月份是（　　） A．12月 B．11月 C．10月 D．9月 二、填空题 9．比2小3的数是　 　． 10．已知有理数满足，则　 　． 11．若一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动7个单位长度，此时终点所表示的数是　 　． 12． 某种粮大户共有5 块小麦试验田，每块试验田今年的产量与去年相比情况如下(增产为正，减产为负，单位： kg)：48，-30，12，-15，28.请你计算一下，今年的小麦产量与去年相比　 　 . 13． 我们可以用数轴直观地研究有理数及其运算.如图 ，将物体从点 A 向左平移5个单位长度到点 B，可以描述这一变化过程的算式为　 　. 14． 一储蓄所在某时段内受理了7项现款储蓄业务：取出 8.5万元，存入6万元，取出7万元，存入10万元，存入16万元，取出9.5万元，取出3万元，则这个储蓄所在这一时段内现款增加了　 　. 15．红富士苹果的包装箱上标明苹果质量为，这里10表示苹果质量为，和是指质量在到之间的苹果都属于符合标准．如果已知某箱苹果质量为，那么这箱苹果　 　（选填“符合”或“不符合”）标准． 16．一口水井，水面比井口低3米，一只蜗牛从水面沿井壁往上爬，第一次往上爬了0.5米，又下滑了0.1米；第二次往上爬了 0.42 米，又下滑了0.15米；第三次往上爬了 0.8 米，又下滑了0.2米；第四次往上爬了0.8米，没有下滑，第五次至少往上爬　 　米才能爬出井口. 三、解答题 17． 计算(能简算的要简算)： （1） （2） （3） 18．某高速公路养护小组，乘车沿东西方向公路巡视维护，如果规定向东为正，向西为负，当天行驶记录如下（单位：千米）：． （1）巡视维护结束时，养护小组在出发点的什么方向？距离是多少？ （2）养护小组一共行驶了多少千米？ 19． 一个粮库8月31日有存粮112吨，从9月1日至9月10日，该粮库粮食进出情况如下表（记进库为正，单位：吨）。 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 9日 10日 数量 50 -11 -21 41 89 -72 86 0 -54 -12 （1）至9月10日运粮结束时，粮库内存粮为多少吨? （2）9月1日至9月10日共进出粮食多少吨? 20．某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆自行车.由于各种原因，实际每天的生产量与计划每天的生产量相比有出入，下表是某周的自行车生产情况(超过计划生产量为正，不足计划生产量为负，单位：辆)： 星期 一 二 三 四 五 六 日 生产情况 +6 -2 -4 +10 -9 +10 -11 （1）根据记录求前三天共生产多少辆自行车. （2）若该厂实行日计件工资制，每生产一辆自行车可得60元，一天中生产超过计划生产量的，每超一辆奖15元；一天中生产不足计划生产量的，每少一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少? 21．某投资者以每股50元的价格买入某股票1000股，下表为第一周内每日股票的涨跌情况(单位：元)： 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 +2 +1.5 -0.5 -4.5 +2.5 （1）星期三收盘时，每股的价格是多少元? （2）本周内每股最高价是多少元? 最低价是多少元? 22．某品牌奶粉每袋质量为500克，在质量检测中，若质量超出标准质量2克记作-克，若质量低于标准质量3克以上，则这袋奶粉视为不合格产品。现抽取10袋样品进行质量检测，结果如下：(单位：克) 袋号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 记作 -2 0 3 -4 -3 -5 4 4 5 -3 （1）这10袋奶粉中，有哪几袋不合格? （2）质量最大的是哪袋?它的实际质量是多少? 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：∵， ∴， 故答案为：D． 【分析】利用加法运算法则解答． 2．【答案】C 【解析】【解答】∵|x|＝5，|y|＝2， ∴x＝±4，y＝±2， ∵xy＞0， ∴当x＝8时，y＝2； 当x＝﹣5时，y＝﹣6． 故答案为：C． 【分析】根据绝对值的法则求出x，y的值，由xv>0确定x，y的值，再代入计算即可。 3．【答案】D 【解析】【解答】解：∵一种大米的质量标记为“千克” ∴一袋大米最多为千克，最少为千克， ∴质量不合格的是9.89千克， 故选：D． 【分析】 由题意得出一袋大米最多为千克，最少为千克，再逐项判断即可． 4．【答案】B 【解析】【解答】解：根据题意得，甲地比乙地高列式为， 故答案为：B． 【分析】运用有理数的减法列式即可． 5．【答案】C 【解析】【解答】解：由题意得：-6+15=9（℃）， 故答案为：C． 【分析】根据题意列出算式，再计算即可． 6．【答案】C 【解析】【解答】解：（+128.5）+（-140）+（-95.5）+280 =（128.5-95.5）+（-140+280） =33+140 =173. 故答案为：C. 【分析】根据有理数的加减运算，将盈亏情况加起来，求解即可. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：∵北京与柏林的时差为6小时，北京时间14：00，同一时刻的柏林时间是8：00 ∴当北京时间为17：00，则柏林时间为11：00 ∴这个时间可以是北京时间的15：00到17：00之间 故答案为：D 【分析】根据北京与柏林的时差为6小时即可求出答案. 8．【答案】B 【解析】【解答】解：9月存入银行的金额为：（元）； 10月存入银行的金额为：（元）； 11月存入银行的金额为：（元）； 12月存入银行的金额为：（元）； 所以，小亮单月存钱最多的月份是11月， 故答案为：B 【分析】分别算出每个月存入的钱，进一步比较得出答案即可． 9．【答案】 【解析】【解答】解：∵， ∴比2小3的数是． 【分析】利用有理数的减法解题即可. 10．【答案】 【解析】【解答】解；∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】先根据非负数得到，即可求出a，b的值，代入即可解题． 11．【答案】 【解析】【解答】解：由题意，得，此时终点所表示的数是． 故答案为：． 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，以及有理数加减混合运算，根据数轴上表示的数，以及数轴的性质，列出算式，进行计算，即可求解． 12．【答案】增产43 kg 【解析】【解答】解：由题意可得： 48+(-30)+12+(-15)+28=43kg ∴今年的小麦产量与去年相比增产43 kg 故答案为：增产43kg 【分析】根据题意求出所有记录之和，即可求出答案. 13．【答案】2-5=-3 【解析】【解答】解：由题意可得： 将物体从点 A 向左平移5个单位长度到点B，可以描述这一变化过程的算式为2-5=-3 故答案为：2-5=-3 【分析】根据数轴上点的平移即可求出答案. 14．【答案】4万元 【解析】【解答】解：根据意义可得：-8.5+6-7+10+16-9.5-3=4（万元）， 故答案为：4万元. 【分析】利用取出为负数，存入为正数，列出算式，再求解即可. 15．【答案】不符合 【解析】【解答】解：，， ∵9.97<9.98， ∴这箱苹果不符合标准； 故答案为：不符合． 【分析】根据题意，求出符合标准的范围判断即可． 16．【答案】0.93 【解析】【解答】解：根据题意得，第一次往上爬的距离为0.5-0.1=0.4米，第二次往上爬的距离为0.4+0.42-0.15=0.67米，第三次往上爬的距离为0.67+0.8-0.2=1.27米，第四次往上爬的距离为1.27+0.8=2.07米，3-2.07=0.93米，故第五次至少往上爬0.93米才能爬出井口. 故答案为：0.93 【分析】根据题意计算出每次往上爬的距离，再进行解答. 17．【答案】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 ​​​​​​​ 【解析】【分析】(1)根据有理数的加减法法则计算即可； (2)先去括号，再利用加法交换律和结合律计算即可； (3)先根据绝对值的性质化简，再利用加法交换律和结合律计算即可. 18．【答案】（1）解：（千米）， 答：巡视维护结束时，养护小组在出发点的西方，距离12千米； （2）解：（千米）， 答：养护小组一共行驶了34千米． 【解析】【分析】（1）根据题设中的数据，先把题目的已知数据相加，根据结果的正负，确定巡护小组在出发点的方向和相距，得到答案； （2）把已知数据的绝对值相加，即可得到 养护小组一共行驶距离，得到答案． （1）解：（千米）， 答：巡视维护结束时，养护小组在出发点的西方，距离12千米； （2）解：（千米）， 答：养护小组一共行驶了34千米． 19．【答案】（1）解：112+50-11-21+41+89-72+86+0-54-12=208（吨）. 答： 至9月10日运粮结束时，粮库内存粮为208吨. （2）解：50+41+89+86+0=266（吨），-11-21-72-54-12=-170（吨）. 答： 9月1日至9月10日共进粮食266吨，共出粮食170吨. 【解析】【分析】（1）根据有理数的加法进行解答即可； （2）对表格“数量”中的正数进行求和即得到进粮食吨数，对负数进行求和即得到出粮食吨数. 20．【答案】（1）解：3×100+(+6-2-4)=300(辆). 答：前三天共生产300辆自行车. （2）解：6-2-4+10-9+10-11=0(辆)， (700+0)×60+(6+10+10)×15+(-2-4-9-11)×20=41870(元). 答：该厂工人这一周的工资总额是41870元. 【解析】【分析】(1)根据记录可知，前三天生产的自行车数量为：3×100+(-6-2-4)，即可； (2)先求出超额，然后列式计算，即可. 21．【答案】（1）解：周三股票价格：50+2+1.5-0.5 =53(元)， 答： 星期三收盘时，每股的价格是53元. （2）解：周一股票价格：50+2=52(元)； 周二股票价格：52+1.5=53.5(元)； 周三股票价格：53元； 周四股票价格：53-4.5=48.5（元） 周五股票价格：48.5+2.5-0.5=51(元) ∵48.5<51<52<53 < 53.5， ∴本周内每股最高价为53.5元，最低价是48.5元. 【解析】【分析】(1)利用“每股股票买价与每天涨跌的和”计算周三的股价； (2)先算出每天股票的股价，再比较得结论. 22．【答案】（1）解：由题意得，当奶粉的质量小于-3时，奶粉视为不合格， ∴第4袋和第6袋不合格 （2）解：由图可知，第9袋的质量记为5，最大，实际质量为：500+5=505克， ∴质量最大的是第9袋，实际质量是505克 【解析】【分析】(1)根据正负数的所表示的意义，可以得出第4、6袋不合格； (2)根据有理数的加法，可以得出第九袋的质量 学科网（北京）股份有限公司 $$