5.4二次函数与一元二次方程（2）学案 2025—2026学年苏科版数学九年级下册

淮安市北京路中学九年级下学期数学学案 5.4二次函数与一元二次方程（2） 班级：____________ 姓名：____________ 【知识梳理】 利用二次函数图像求一元二次方程的近似根的一般步骤如下： （1） 画出二次函数的图像； （2） 确定抛物线与x轴的交点的横坐标的范围； （3） 在（2）确定的范围内，用计算器进行探索，即在（2）确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式列出相应的y的值； （4） 确定一元二次方程的近似根. 【典型例题】 例1 观察下表： x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 y=x2﹣2x﹣2 ﹣1.79 ﹣1.56 ﹣1.31 ﹣1.04 ﹣0.75 ﹣0.44 ﹣0.11 0.24 0.61 则一元二次方程x2﹣2x﹣2=0在精确到0.1时一个近似根是 ，利用抛物线的对称性，可推知该方程的另一个近似根是 ． 例2已知二次函数的y与x的部分对应值如表： x … 0 1 3 … y … 1 3 1 … 则下列判断中正确的是 ． ①抛物线开口向下； ②抛物线与y轴交于负半轴； ③当时，； ④方程的正根在3与4之间． 【课堂练习】 1．根据抛物线y=x2+3x﹣1与x轴的交点坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解（　　） A．x2﹣1=﹣3x B．x2+3x+1=0 C．3x2+x﹣1=0 D．x2﹣3x+1=0 2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的函数值与自变量的四组对应值如表所示 则方程的根的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 3． 若m、n（n＜m）是关于x的一元二次方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两个根， 且b＜a，则m，n，b，a的大小关系是（　　） A．m＜ab＜n B．a＜m＜n＜b C．b＜n＜m＜a D．n＜b＜a＜m 4．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c=0的近似解为（　　） 第4题 第12题 A．x1≈﹣2.1，x2≈0.1 B．x1≈﹣2.5，x2≈0.5 C．x1≈﹣2.9，x2≈0.9 D．x1≈﹣3，x2≈1 5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如表所示，则方程ax2+bx+1.365＝0的根是（　　） x …… 0 4 …… y …… 0.365 -1 0.365 …… A．0或4 B．或4 C．1或5 D．或2 6．若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣5=0的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和1），则a的取值范围是（ ） A．a＜3 B．a＞3 C．a＜﹣3 D．a＞﹣3 7．根据关于x的二次函数y=可列表如下： x 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 -15 -8.75 -2 -0.59 0.84 2.29 则一元二次方程的正整数解满足（ ） A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8 C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是2 8．请阅读下列内容:我们在平面直角坐标系中画出抛物线和双曲线，利用两图象的交点个数和位置来确定方程有一个正实数根，这种利用函数图象判断方程根的情况的方法叫做图象法．请用图象法判断方程的根的情况（    ） A．一个正实数根 B．两个正实数根 C．三个正实数根 D．一个正实数根，两个负实数根 9．根据下表中的对应值，判断一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 3.1 3.2 3.3 3.4 0.36 10．已知二次函数的自变量x与函数y的部分对应值列表如下： x … 0 … y … 3 … 则方程的正数解的取值范围是 ． 11．根据所给的表格，估计一元二次方程x2+12x﹣15＝0的近似解x，则x的整数部分是 ． x 0 1 2 3 x2+12x﹣15 ﹣15 ﹣2 13 30 【课后反馈】 12．小颖用计算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x＝﹣3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为 ． 13．在利用图象法求方程x2＝x+3的解x1，x2时，下面是四位同学的解法： 甲：函数y＝x2﹣x﹣3的图象与x轴交点的横坐标是x1，x2 乙：函数y＝x2与y＝x+3的图象交点的横坐标是x1，x2 丙：函数y＝x2﹣3与y＝x的图象交点的横坐标是x1，x2 丁：函数y＝x2+1与y＝x+4的图象交点的横坐标是x1，x2 你认为解法正确的同学有 ． 14．如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3）， 它的对称轴为直线x=1，则下列结论中： ①c=3； ②2a+b=0； ③8a-b+c>0； ④方程ax2+bx+c=0的其中一个根在2，3之间， 正确的有 （填序号）． 15．在实验中我们常常采用利用计算机在平面直角坐标系中画出抛物线和直线，利用两图象交点的横坐标来求一元二次方程的解，也可以在平面直角坐标系中画出抛物线和直线，用它们交点的横坐标来求该方程的解．所以求方程的近似解也可以利用熟悉的函数 和 的图象交点的横坐标来求得． 16．如表是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的对应关系，一元二次方程ax2+bx+c=（a≠0）的一个解x的取值范围是 ． x 6.1 6.2 6.3 6.4 y=ax2+bx+c ﹣0.3 ﹣0.1 0.2 0.4 17．【阅读】x与代数式x2+2x﹣1的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … x2+2x﹣1 … 2 ﹣1 ﹣2 ﹣1 2 … 可知：当x＝﹣3时，x2+2x﹣1＝2＞0，当x＝﹣2时，x2+2x﹣1＝﹣1＜0，所以方程x2+2x﹣1＝0的一个解在﹣3和﹣2之间． 【理解】（1）方程x2+2x﹣1＝0的另一个解在两个连续整数　 　和　 　之间． 【应用】（2）若关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的一个解在1和2之间，求m的取值范围． 18．对于一些比较复杂的方程，可以利用函数图像来研究方程的根． 问题：探究方程的实数根的情况． 下面是小董同学的探究过程，请帮她补全： （1）设函数，这个函数的图像与直线的交点的横坐标就是方程的实数根． （2）注意到函数解析式中含有绝对值，所以可得： 当时，； 当时，________________； （3）在如图的坐标系中，已经画出了当时的函数图像，请根据（2）中的解析式，通过描点，连线，画出当时的函数图像． （4）画直线，由此可知的实数根有________个． （5）深入探究：若关于的方程有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为非负数，则的取值范围是________________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$