5.4 二次函数和一元二次方程 学案 2025-2026学年苏科版九年级数学下册

初中九年级数学学案 课题：5.4二次函数和一元二次方程 （ 学习目标：能说出二次函数与方程之间的联系；理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系. 学习重点和难点：会确定图象与x轴的交点的个数 学习过程：一、思考与探索： 以上分别是二次函数.y=x2－2x－3 、y=x2－6x+9 、y=x2－2x+3的图象并回答下列问题： (1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2－2x－3=0,x2－6x+9=0 x2－2x+3=0有几个根? (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 二次函数y=ax2+bx+c 图象和x轴交点的个数 一元二次方程ax2+bx+c=0 根的情况 一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式b2-4ac 二.例题精讲 例1：不画图，判断下列函数的图像与x轴是否有公共点. （1） （2） （3） 同质训练： 1.函数y=x2+4x－5的图象与x轴的交点有 个，其坐标是 ． 2.函数y=x2－10x+25的图象与x轴的交点有 _个，其坐标是 . 3.已知抛物线y=ax2－2x+1与x轴有两个交点，则a的范围是 . 4.如果抛物线y=x2－6x+m与x轴有且只有1个交点,那么这个交点坐标是 . 例2：已知抛物线y=x2－（k＋2）x＋2k． （1）试证：无论k为何值，抛物线与x轴总有公共点； (2)如图，若抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B左边），与y轴负半轴交于点C. ①写出A、B、C三点的坐标 （用含k的代数式表示） ② 当△ABC的面积为3时，求抛物线的解析式 同质训练： 1.抛物线y=x2－2x+m与x轴一个交点坐标为（－1，0 ），则另一个交点坐标为 . 2.如图, 已知二次函数y1=ax2+bx+c（≠0，a，b，c为常数）与一次函数 y2=kx+m(、为常数,的图像相交于点A(－2,4)、B(8,2),能使>成立的取值范围 . . 三、当堂检测： 1.下列函数的图象中，与x轴没有公共点的是（ ） (A) y=x2－2 (B) y=x2－x (C) y=-x2+6x-9 (D) y=x2－x+2 2.已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为 . 3. 已知抛物线y=x2-4x-5 （1）若y<0，则x的取值范围是 ； （2）若y > －5时,则x的取值范围是 ； （3）不等式x2－4x－5>0的解集是 . 4.已知二次函数y=2x2－mx－m2 (1)求证：对于任意实数m，该二次函数的图像与x轴总有公共点； （2）若二次函数图像与x轴有两个公共点A、B，且A点的坐标为（1,0），求B点坐标. 四、适度作业： 班级： 姓名： A.基础知识必做题： 1．抛物线y=a（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为 . 2．已知抛物线的对称轴是x=－1，抛物线与x轴两交点的距离等于4，它与y轴交点的纵坐标是－6，则它的表达式为 . 3．若a＞0，b＞0，c＞0，b2－4ac＞0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c经过第 象限. 4．抛物线y=x2－2x－3与x轴的交点坐标为 . 5．若抛物线y=2x2－（m＋3）x－m＋7的对称轴是x=1，则m= . 6．抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m= . 7．抛物线y=ax2＋bx＋c的系数满足条件a－b＋c=0，则这条抛物线经过点 . 8．二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围 . 9．已知二次函数图象经过（－1，－2），（3，－2），则抛物线的对称轴是直线 . 10．（1）抛物线y=x2+4x+3与直线有 　　 个交点； （2）抛物线y=3x2－x+1与直线y=2有 个交点；与直线有1个交点，则. 11．已知抛物线y=x2－2x-3的部分图象如图所示， （1）若，则的取值范围是 ； （2）若时,则x的取值范围是 ； （3）不等式的解集是 . 11题图 12题图 12．如图同一直角坐标系中，二次函数图象与两坐标轴分别交于A（－1，0）、点B（3，0）和点C（0，－3），一次函数的图象与抛物线交于B、C两点.（1）求二次函数解析式； （2）根据图象回答下列问题： ①当取何值时，两函数的函数值都随增大而增大； ②当取何值时，一次函数值等于二次函数值； ③当取何值时，一次函数值大于二次函数值； ④当取何值时，两函数的函数值的积小于0． 13．已知二次函数y=x2－2kx＋k2＋k－2． （1）当实数k为何值时，图象经过原点？ （2）当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？ B.知识技能演练题： 14．已知抛物线 （1）求它的顶点M的坐标； （2）求它与轴的两个交点A、B（A左B右）的坐标，并画出草图； （3）观察草图指出，当x为何值时，？？？ （4）设抛物线与y轴的交点为C，求四边形ABMC的面积. C.能力拓展探究题： 15．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线上运动， 当⊙P与轴相切时，圆心P的坐标为 . 16．已知抛物线. （1）当为何值时，抛物线与轴有两个交点？ （2）若抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于C（0，），且S△ABC=2，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$