第20讲 综合复习-2024-2025学年九年级数学暑假讲义（江苏专用）

第20讲 综合复习 知识点及学习目标 一元二次方程，相似三角形，圆，二次函数综合复习 一元二次方程 相似三角形 圆 二次函数 一．细心选一选（本大题共10小题,每小题3分，共30分．） 1．如果一个一元二次方程的根是x1＝x2＝2，那么这个方程可以是（　　） A．x2＝4 B．x2+4＝0 C．x2+4x+4＝0 D．x2﹣4x+4＝0 2．已知⊙O的半径是4，OA＝3，则点A与⊙O的位置关系是（　　） A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．无法确定 3．下列说法中，正确的是（　　） A．三角形三条中线的交点是三角形重心 B．长度相等的两条弧是等弧 C．同弦所对的圆周角相等 D．三角形的外心到三边的距离相等 4．已知如图，DE∥BC，，则＝（　　） A． B． C．2 D．3 5．如图，在△ABC中，P为AB上一点，∠ACP＝∠B，则下列结论中错误的是（　　） A．∠APC＝∠ACB B．AC2＝AP•BP C．AC•CP＝AP•CB D． 6．如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径r＝1，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则R的值是（　　） A．R＝2 B．R＝3 C．R＝4 D．R＝5 7．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（　　） A．1 B． C． D．2 8．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增．为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．则口罩日产量的月平均增长率为（　　） A．8% B．10% C．15% D．20% 9．如图，⊙O中，BC为直径，A为BC弧的中点，点D在AC弧上，BD与AC相交于M，若CD＝1，BC＝，则DM的长是（　　） A． B． C． D． 10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论： ①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4； ②4a+2b+c＜0； ③一元二次方程ax2+bx+c＝1的两根之和为﹣2； ④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0； ⑤抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜﹣1＜x2，且x1+x2＞﹣2，则y1＜y2 其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．精心填一填（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 11．已知2x＝5y（且x≠0），则＝　 ． 12．已知α，β为方程x2+4x+2＝0的两个实数根，则α+β＝　 　． 13．已知⊙O半径为r，弦AB＝r，则AB所对圆周角的度数为　 　． 14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以直线AC为轴，把△ABC旋转一周得到的圆锥的侧面积是　 　． 15．若△ABC的周长为20cm，面积为32cm2，则△ABC的内切圆半径为　 　． 16．如图，△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．以点B为位似中心，在网格内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且位似比为2：1，点A1的坐标是　 　． 17．在△ABC中，∠BAC＝100°，AB＝AC，D为△ABC外一点，且AD＝AC，则∠BDC＝　 　°． 18．已知a、b是正数，且a+b＝2，则+的最小值＝　 　． 三．解答题：（本大题共7小题，共54分） 19．解方程： （1）（3x﹣1）2＝（x+1）2； （2）x2+10x﹣7＝0（用配方法）； （3）x2+3x+1＝0（用公式法）； （4）（x+5）（x﹣1）＝7． 20．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0 （1）若该方程的一个根为1，求m的值及该方程的另一根； （2）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 21．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且． （1）求证：△ADF∽△ACG； （2）若＝，求的值． 22．如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA的延长线于点E． （1）求证：CD为⊙O的切线． （2）若圆心O到弦DB的距离为1，∠ABD＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π） 23．小亮同学想利用影长测量学校旗杆AB的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上BD处，另一部分在某一建筑的墙上CD处，分别测得其长度为9.6米和2米，求旗杆AB的高度． 24．某网店以每件100元的价格购进一批休闲服进行销售，当每件售价为280元时，日销量为50件．网店准备采取降价方式进行促销，经市场调查发现：每件休闲服的售价每降低20元，则日销量增加10件． （1）网店欲每日获得9600元利润，且能够尽快减少库存，则每件休闲服售价应定为多少元？ （2）小张看到该网店的促销方式后，认为“当网店日利润最大时，每日的销售额也最大”，你觉得小张的想法对吗？试说明理由． 25．如图，矩形AOBC，A（0，3）、B（6，0），点E在OB上，∠AEO＝30°，点P从点Q（﹣4，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒． （1）求点E的坐标； （2）当△PAE是等腰三角形时，求t的值； （3）以点P为圆心，PA为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形AEBC的边（或边所在的直线）相切时，求t的值． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第20讲 适用区域 江苏 适用年级 九年级 一．细心选一选（本大题共10小题,每小题3分，共30分．） 1． D． 2． A． 3． A． 4． B． 5． B． 6． C． 7． C． 8． B． 9．【分析】由勾股定理可求BD的长，AB的长，通过证明△ABM∽△DCM，可求AM＝DM，由勾股定理可求DM的长． 故选：D． 10．【解答】解：①观察图象知最高点为（﹣1，4），故最大值为4正确； ②当x＝2时，y＜0，故4a+2b+c＜0正确； ③∵抛物线对称轴为x＝﹣1，故一元二次方程ax2+bx+c＝1的两根之和为﹣2正确； ④使y≤3成立的x的取值范围是x≤﹣2或x≥0，故错误； ⑤∵x1＜﹣1＜x2，且x1+x2＞﹣2，∴P（x1，y1）距离对称近，∴y1＞y2，故错误； 故正确的有①②③3个， 故选：C． 11． ． 12．﹣4． 13．【解答】解：如图，连接OA、OB，∠ACB和∠ADB是弦AB所对的圆周角， ∵OA＝OB＝AB＝r， ∴△OAB为等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴∠ACB＝∠AOB＝30°， ∠ADB＝180°﹣∠ACB＝150°， 即AB所对圆周角的度数为30°或150°． 故答案为30°或150°． 14． 20π． 15． 3.2cm． 16．（﹣3，2）． 17 【解答】解： 如图，以A为圆心，以AB为半径作圆， ∵AB＝AC，AC＝AD， ∴点C和D也在⊙A上， ①如图1，当D点在优弧BC上时， ∵对的圆心角是∠BAC，圆周角是∠BDC， ∴∠BDC＝BAC＝100°＝50°； ②如图2，当D点在劣弧BC上时， 此时∠BDC＝180°﹣50°＝130°； ∴∠BDC＝50°或130°， 故答案为：50°或130． 18．【解答】解：∵a+b＝2， ∴b＝2﹣a，代入， 得：， 构造如下图形，如图，其中ED＝2，AE＝2，BD＝1，AE⊥l，BD⊥l， 作出A关于直线l的对称点C，连接BC与直线l交于点P，此时AP+PB最短． 延长BD，过C作CF垂直于BC的延长线，垂足为F， 设PD＝a，可得ED＝2﹣a， 在Rt△AEP中，根据勾股定理得： AP＝，BP＝， 则＝AP+BP， 当B、P、C三点共线时，因为直线l为线段AC的垂直平分线， 则AP+BP＝CP+PB＝BC，此时BC的长即为所求式子的最小值， 此时在Rt△CBF中，DF＝EC＝AE＝2，故BF＝BD+DF＝1+2＝3，CF＝ED＝2， 由勾股定理可求得BC＝＝， 则的最小值为． 19．【解答】解：（1）∵（3x﹣1）2＝（x+1）2， ∴3x﹣1＝x+1或3x﹣1＝﹣x﹣1， 解得：x1＝1，x2＝0； （2）∵x2+10x＝7， ∴x2+10x+25＝7+25，即（x+5）2＝32， 解得x1＝﹣5+4，x2＝﹣5﹣4； （3）∵a＝1，b＝3，c＝1， ∴△＝9﹣4＝5＞0， 则x＝＝， x1＝，x2＝； （4）∵x2+4x﹣12＝0， ∴（x﹣2）（x+6）＝0， 则x﹣2＝0或x+6＝0， 解得x1＝2，x2＝﹣6． 20．【解答】解：（1）∵该方程的一个根为1， ∴1+m+m﹣2＝0，解得m＝， ∴方程为x2+x﹣＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣， ∴该方程的另一根为﹣； （2）∵△＝m2﹣4（m﹣2）＝（m﹣2）2+4＞0， ∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 21．【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB， ∴∠ADF＝∠C． 又∵＝， ∴△ADF∽△ACG． （2）∵△ADF∽△ACG， ∴＝． ∵＝，∴＝，∴＝＝1． 22．【解答】（1）证明：连接OD， ∵BC是⊙O的切线， ∴∠ABC＝90°， ∵CD＝CB， ∴∠CBD＝∠CDB， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠ODC＝∠ABC＝90°， 即OD⊥CD， ∵点D在⊙O上，∴CD为⊙O的切线； （2）解：过点O作OF⊥BD于点F， 在Rt△OBF中， ∵∠ABD＝30°，OF＝1， ∴∠BOF＝60°，OB＝2，BF＝， ∵OF⊥BD， ∴BD＝2BF＝2，∠BOD＝2∠BOF＝120°， ∴S阴影＝S扇形OBD﹣S△BOD＝﹣×2×1＝π﹣． 23．【解答】解：如图， ∵某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米， ∴CD：DF＝1：1.2， ∴DF＝1.2CD＝1.2×2＝2.4， ∴BF＝BD+DF＝9.6+2.4＝12， ∵AB：BF＝1：1.2， ∴AB＝＝10． 答：旗杆AB的高度为10m． 24．【解答】解：（1）设每件休闲服售价应定为x元，由题意得： （x﹣100）（50+×10）＝9600， 整理得：x2﹣480x+57200＝0， 解得x1＝260，x2＝220． ∵尽快减少库存， ∴x＝220． ∴每件休闲服售价应定为220元； （2）小张的想法不对，理由如下： 设每件休闲服售价应定为x元，每日的利润为y元，则有： y＝（x﹣100）（50+×10） ＝﹣（x﹣240）2+9800， ∴当x＝240时，日利润最大， 设日销售额为p，则有： p＝x（50+×10） ＝﹣x2+190x ＝﹣（x﹣190）2+18050， ∴当x＝190时，日销售利润p最大． ∴小张的想法不对． 25．【解答】解：（1）∵A（0，3），B（6，0）， ∴OA＝3，OB＝6， ∵∠AEO＝30°，∴OE＝OA＝3，∴点E的坐标为（，0）． （2）如图1中， 当EA＝EP时，EP1＝EA＝EP2＝6， 根据勾股定理得：[6﹣（4﹣t）]2+32＝36， 此时t＝3﹣2或3+10， 当PA＝PE时，设AP3＝P3E＝x，在Rt△AOP3中，32+（3﹣x）2＝x2， ∴x＝，此时t＝4+ 当AE＝AP时，点P在点Q左边，不符合题意． 综上所述，当△PAE是等腰三角形时，t的值为（3﹣2）s或（3）s或（4+）s． （3）由题意知，若⊙P与四边形AEBC的边相切，有以下三种情况： ①如图2中，当PA⊥AE时，⊙P与AE相切， ∵∠AEO＝30°，AO＝3， ∴∠APO＝60°， ∴OP＝， ∴QP＝QO﹣PO＝4﹣， ∵点P从点Q（﹣4，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动， ∴t＝4﹣（秒）． ②如图3中，当PA⊥AC时，⊙P与AC相切， ∵QO＝4，点P从点Q（﹣4，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动， ∴t＝4（秒）， ③如图4中，当⊙P与BC相切时， 由题意，PA2＝PB2＝（10﹣t）2，PO2＝（t﹣4）2． 于是（10﹣t）2＝（t﹣4）2+32． 解得t＝（秒）， 综上所述，当⊙P与四边形AEBC的边（或边所在的直线）相切时，t的值为（4﹣）秒或4秒或秒． $$