第19讲 二次函数（3）-2024-2025学年九年级数学暑假讲义（江苏专用）

第19讲 二次函数（3） 知识点及学习目标 二次函数的三种形式，待定系数法求解析式，二次函数与面积问题 1．二次函数的三种形式 二次函数的一般式为 ，给出三点坐标可利用此式来求。 二次函数的顶点式为 ，已知抛物线的顶点时可用此式来求。 二次函数的交点式：若已知抛物线与x轴的两个交点为（x1，o）,（x2，0），则二次函数可用交点式 来表示。 2．二次函数与一元二次方程 考点一：二次函数的解析式 例1．把二次函数y＝﹣x2﹣2x+3配方化为y＝a（x﹣h）2+k形式是（　　） A．y＝﹣（x﹣1）2﹣4 B．y＝﹣（x+1）2+4 C．y＝﹣（x﹣1）2+3 D．y＝﹣（x+1）2﹣3 反馈练习1．将二次函数y＝2x2﹣4x+1化为顶点式，正确的是（　　） A．y＝2（x﹣1）2+1 B．y＝2（x+1）2﹣1 C．y＝2（x﹣1）2﹣1 D．y＝2（x+1）2+1 例2．已知二次函数的图象过（0，1），（1，0）（﹣2，0）三点，则这二次函数的解析式是　 　． 反馈练习2．若二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点（﹣1，0），（3，0），则其表达式为y＝　 　． 反馈练习3．若抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（2，﹣1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为　 　． 反馈练习4．二次函数的图象经过点（4，﹣3），且当x＝3时，有最大值﹣1，则该二次函数解析式为　 　． 例3．关于x的二次函数y＝（a﹣3）x2+bx+a2﹣9的图象过原点，则a的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．0 反馈练习5．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴，y轴的交点分别为（1，0）和（0，﹣3）． （1）求此二次函数的表达式； （2）结合函数图象，直接写出当y＞﹣3时，x的取值范围． 反馈练习6．如图，已知二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B． （1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）若点P（m，m）在该函数图象上，求m的值． 反馈练习7．已知二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣6）（a、m为常数，且a≠0），该函数图象顶点A的纵坐标为﹣9． （1）求证：该函数的图象与x轴有两个公共点． （2）若该函数图象与y轴交于点B（0，﹣5），求该函数的表达式． （3）若该函数图象过点（﹣6，y1）与（2，y2），比较y1、y2的大小． 考点二：二次函数与一元二次方程 例4．下列m的值，能使二次函数y＝x2﹣mx+m的图象与x轴有且只有一个公共点的是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 反馈练习8．若函数y＝x2﹣2x+b的图象与坐标轴有两个公共点，则b满足的条件　 　． 反馈练习9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的最大值为3，一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≥3 B．m≥﹣3 C．m≤3 D．m≤﹣3 例5．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的两实数根是（　　） A．x1＝﹣1，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝0 反馈练习10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，已知其对称轴为直线x＝1，则方程ax2+bx+c＝0的两根之和为　 　． 反馈练习11．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣8交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C、D两点（点C在点D的左边），对称轴为直线x＝﹣5，连接BD、AD、BC，若点A关于直线BD的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（　　） A．B的坐标是（﹣10，﹣8） B．a＝ C．D点坐标为（6，0） D．b＝ 例6．抛物线经过坐标系（﹣1，0）和（0，3）两点，对称轴x＝1，如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是　 　． 反馈练习12．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）方程ax2+bx+c＝0的两个根为　 　，不等式ax2+bx+c＞0的解集为　 　； （2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝k的两个不相等的实数根，则k的取值范围为　 　； （3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0在1＜x＜4的范围内有实数根，求t的取值范围． 例7．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，﹣3），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是　 　． 反馈练习13．已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，6）和B（8，3），如图所示，则不等式ax2+bx+c＞kx+m的取值范围是　 　． 考点三．二次函数与面积 例8．一次函数y＝﹣x的图象如图所示，它与二次函数y＝ax2+2ax+c的图象交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C． （1）求点C的坐标； （2）设二次函数图象的顶点为D．若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于，求此二次函数的关系式． 例9．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标． 反馈练习14．如图，抛物线经过点A（4，0）、B（﹣2，0）、C（0，﹣4） （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线AC段上是否存在点M，使△ACM的面积为3，求出在此时M的坐标，若不存在，说明理由． 反馈练习15．如图，抛物线y＝ax2+bx经过点A（4，0），B（3，3），C是抛物线的顶点，线段OB与对称轴交于点D，P是对称轴上位于点D上方的一点，射线OP与抛物线交于点Q，连接QB． （1）求抛物线的表达式； （2）当△QOB的面积是△COB面积的时，求点Q的的坐标． 1．把y＝2x2﹣6x+4配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式是　 　． 2．一抛物线和抛物线y＝﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为　 　． 3．二次函数y＝mx2+2mx+c（m、c是常数，且m≠0）的图象过点A（3，0），则方程mx2+2mx+c＝0的根为　 　． 4．已知实数m满足﹣4＜m≤﹣3，二次函数y＝2（x﹣m）（x﹣m﹣4）的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，△ABC的面积的最大值等于　 　． 5．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④ax2+bx+c≥﹣2，其中，正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．将两个全等的矩形AOCD和矩形ABEF放置在如图所示的平面直角坐标系中，已知A（0，5），边BE交边CD于M，且ME＝2，CM＝4． （1）求AD的长； （2）求经过A、B、D三点的抛物线解析式． 7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+4a﹣3（a＞0）的顶点为A，它的对称轴与x轴交点为B． （1）求点A、点B的坐标； （2）如果该抛物线与y轴的交点为C，点P在抛物线上，且有PA∥CB，AP＝BC，求该抛物线解析式． 8．如图，已知抛物线过点A（4，0），B（﹣2，0），C（0，﹣4）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点M是抛物线AC段上的一个动点，当图中阴影部分的面积最小值时，求点M的坐标． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第19讲 适用区域 江苏 适用年级 九年级 考点一：二次函数的解析式 例1． B． 反馈练习1． C． 例2． y＝﹣x2﹣x+1． 反馈练习2．x2﹣2x﹣3． 反馈练习3． y＝x2﹣4x+3． 反馈练习4． y＝﹣2（x﹣3）2﹣1． 例3． A． 反馈练习5．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴、y轴的交点分别为（1，0）和（0，﹣3）， ∴，解得：． ∴抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3． （2）当y＞﹣3时，x的取值范围是x＜﹣2或x＞0． 反馈练习6．【解答】解：（1）将A（﹣1，﹣1），B（3，﹣9）代入， 得， ∴a＝1，c＝﹣6， ∴y＝x2﹣4x﹣6； （2）对称轴：直线x＝2， 顶点坐标：（2，﹣10）； （3）∵点P（m，m）在函数图象上， ∴m2﹣4m﹣6＝m， ∴m＝6或﹣1． 反馈练习7． 【解答】解：（1）令y＝0，则a（x﹣m）（x﹣m﹣6）＝0， ∴x1＝m，x2＝m+6， ∴该函数的图象与x轴有两个交点，分别为（m，0），（m+6，0）； （2）∵抛物线的对称轴为直线x＝＝m+3，顶点A的纵坐标为﹣9， ∴当x＝m+3时，y＝﹣9a＝﹣9， ∴a＝1， ∵该函数图象与y轴交于B（0，﹣5）， ∴y＝（0﹣m）（0﹣m﹣6）＝﹣5，即m2+6m+5＝0， ∴（m+1）（m+5）＝0， 解得，m1＝﹣1，m2＝﹣5， 当m＝﹣5时，y＝（x+5）（x﹣1）＝x2+4x﹣5； 当m＝﹣1时，y＝（x+1）（x﹣5）＝x2﹣4x﹣5； ∴该函数的表达式为y＝x2+4x﹣5或y＝x2﹣4x﹣5； （3）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝m+3， 当m+3＝＝﹣2时， 即当m＝﹣5时，y1＝y2， 当m＞﹣5时，y1＞y2， 当m＜﹣5时，y1＜y2． 考点二：二次函数与一元二次方程 例4． A． 反馈练习8． 1或0． 反馈练习9． C． 例5． C． 反馈练习10． 【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝1＝（x1+x2）， 即x1+x2＝2， 故答案为：2． 反馈练习11．【解答】解：当x＝0时，y＝ax2+bx﹣8＝﹣8，则A（0，﹣8）， ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣5，AB∥x轴， ∴点A与点B关于直线x＝﹣5对称， ∴B（﹣10，﹣8），所以A选项的结论正确； 设点A关于直线BD的对称点A′恰好落在线段OC上，如图， ∴DA＝DA′，∠ADB＝∠A′DB， ∵AB∥DA′， ∴∠ABD＝∠A′DB， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AD＝AB＝10， 在Rt△OAD中，OD＝＝6， ∴D（6，0），所以C选项的结论正确； ∴C（﹣16，0）， 设抛物线解析式为y＝a（x+16）（x﹣6）， 即y＝ax2+10x﹣96a， ∴﹣96a＝﹣8， ∴a＝，所以B选项的结论正确，D选项的结论错误． 故选：D． 例6．【解答】解：∵函数的对称轴为x＝1，抛物线和x轴的一个交点为（﹣1，0）， ∴抛物线和x轴的另外一个交点坐标为（3，0）， 则根据函数图象，当y＜0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞3， 故答案为：x＜﹣1或x＞3． 反馈练习12．【解答】解：（1）∵抛物线开口向下，抛物线与x轴的交点为（1，0），（3，0）， ∴方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝1，x2＝3；不等式ax2+bx+c＞0的解集为1＜x＜3， 故答案为x1＝1，x2＝3，1＜x＜3； （2）∵抛物线的顶点的纵坐标为2， ∴抛物线y＝ax2+bx+c＝0与直线y＝2只有一个公共点， ∴当k＜2时，抛物线y＝ax2+bx+c＝0与直线y＝k有两个公共点， 即方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根， ∴满足条件的k的范围为k＜2， 故答案为k＜2； （3）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+2， 把（1，0）代入得，0＝a+2， ∴a＝﹣2， ∴y＝﹣2（x﹣2）2+2， 把x＝4代入得y＝﹣6， 观察图象可知，t的取值范围是﹣6＜t≤2． 例7．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，﹣3），B（3，q）两点， 观察函数图象可知：当x﹣2＜x＜3时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+c的上方， ∴不等式ax2+c＜mx+n的解集为﹣2＜x＜3， 即不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是﹣2＜x＜3． 故答案为﹣2＜x＜3． 反馈练习13．【解答】解：当x＜﹣2或x＞8时，y1＞y2， 所以不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集为x＜﹣2或x＞8． 故答案为x＜﹣2或x＞8． 考点三．二次函数与面积 例8．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝＝﹣1， ∵将x＝﹣1代入y＝x得：y＝， ∴点C的坐标为（﹣1，）， （2）A点在第四象限时，A、B重合，舍弃 ∵点D与点C关于x轴对称， ∴点D的坐标为（﹣1，﹣）， ∴CD＝． 设△ACD的CD边上的高为h，则h＝，解得h＝4 ∴点A的横坐标为﹣4﹣1＝﹣5，则点A的纵坐标为． 即A（﹣5，） 设抛物线的解析式为， 将A（﹣5，）代入得：＝． 解得：， ∴抛物线的解析式为． 例9．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c得，解得， 所以抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点的坐标为（1，﹣4）； （2）∵A（﹣1，0）、B（3，0）， ∴AB＝3﹣（﹣1）＝4， 设P点坐标为（t，t2﹣2t﹣3）， ∵S△PAB＝10， ∴×4×|t2﹣2t﹣3|＝10， 当t2﹣2t﹣3＝5，解得t1＝﹣2，t2＝4，此时P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）； 当t2﹣2t﹣3＝﹣5，方程没有实数解， 综上所述，P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）； 反馈练习14．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）（x+2）， 把（0，﹣4）代入得a×（﹣4）×2＝﹣4，解得a＝， ∴抛物线解析式为y＝ （2）设M（a，），连接OM， ∵S△ACM＝S△OCM+S△OAM﹣S△OAC＝3， ∴﹣＝3， ∴a2﹣4a+3＝0， 解得：a1＝3，a2＝1． ∴M1（1，﹣），M2（3，﹣）． 反馈练习15．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx经过点A（4，0），B（3，3）， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x； （2）设Q（t，﹣t2+4t），过Q作QE⊥x轴，与OB交于点E， ∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4， ∴C（2，4）， 设直线OB的解析式为：y＝mx（m≠0），则3m＝3， ∴m＝1， ∴直线OB的解析式为：y＝x， 则E（t，t），D（2，2）， ∴QE＝﹣t2+3t，CD＝4﹣2＝2， ∵△QOB的面积是△COB面积的， ∴ 解得，t＝，或t＝， ∴Q（，）或（，） 1．【解答】解：y＝2x2﹣6x+4＝2（x2﹣3x+）﹣2×+4＝2（x﹣）2﹣． 即y＝2（x﹣）2﹣． 故答案为y＝2（x﹣）2﹣． 2．【解答】解：由题意可知：该抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣h）2+k， 又∵顶点坐标（﹣1，3）， ∴y＝﹣2（x+1）2+3， 故答案为：y＝﹣2（x+1）2+3． 3．【解答】解：函数的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝﹣1 设抛物线与x轴的另一个交点坐标为：（x，0）， ∵抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等， ∴（3+x）＝﹣1， 解得：x＝﹣5， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：（﹣5，0）， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是3或﹣5， 故答案为：3或﹣5． 4．【解答】解：当y＝0时，2（x﹣m）（x﹣m﹣4）＝0，解得x1＝m，x2＝m+4，则A（m，0），B（m+4，0）， 当x＝0时，y＝2（x﹣m）（x﹣m﹣4）＝2m2+8m，则C（0，2m2+8m）， ∴S△ABC＝×（m+4﹣m）（﹣2m2﹣8m） ＝﹣4（m+2）2+16， ∵﹣4＜m≤﹣3， ∴当m＝﹣3时，S△ABC有最大值，最大值为12． 故答案为12． 5．【解答】解：①∵图象与x轴有两个交点，∴△＞0，错误 ②图象开口向上，a＞0， 对称轴在y轴右侧，按照左同右异判断，a与b符号相反，∴b＜0 图象与y轴交于负半轴，∴c＜0 ∴abc＞0，正确 ③将x＝﹣1代入解析式可得a﹣b+c，由图象可知，x＝﹣1在抛物线对应的点在x轴上方，∴a﹣b+c＞0，错误 ④抛物线顶点纵坐标为﹣2，所以有最小值﹣2，∴ax2+bx+c≥﹣2正确 综上可知，②④正确 故选：B． 6．【解答】解：（1）如图1，连接AM，设OC＝AD＝m， 根据已知条件可知，AB＝CD＝OA＝5，BE＝OC＝m， 所以，BM＝m﹣2，DM＝1， 因为AB2+BM2＝AD2+DM2， 所以52+（m﹣2）2＝m2+12， 解得m＝7，即AD＝7； （2）如图2，过点B作x轴的平行线GH，交OA、CD于G、H， 由（1）可知AB＝BM＝5，设G（0，n）， 易证△ABG≌△BMH， 则HC＝OG＝n，所以GB＝MH＝4﹣n，BH＝AG＝5﹣n， 因为GH＝GB+BH＝9﹣2n，GH＝OC＝7， 所以n＝1，所以B（3，1）， 又因为D（7，5），A（0，5）， 设经过A、B、D三点的抛物线解析式为y＝ax2+bx+c， 则，解得， 从而抛物线为y＝x2﹣x+5． 7． 【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣4ax+4a﹣3＝a（x﹣2）2﹣3， ∴顶点A（2，﹣3），B（2，0）； （2）当C在y轴负半轴时，如图：作PN⊥AB于N．CM⊥AB于M， ∵PA∥CB， ∴∠CBM＝∠PAN， ∵∠BMC＝∠ANP＝90°， ∴△PAN∽△CBM， ∴， ∵AP＝BC， ∴＝， ∴BM＝2AN， ∵y＝ax2﹣4ax+4a﹣3＝a（x﹣2）2﹣3，顶点A（2，﹣3），B（2，0）， ∴CM＝2，C（0，4a﹣3），PN＝1， ∴P（3，a﹣3）， ∴AN＝a﹣3﹣（﹣3）＝a，BM＝﹣（4a﹣3）， ∵BM＝2AN， ∴﹣（4a﹣3）＝2a， ∴a＝， ∴该抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣1； 当C在y轴正半轴时，如图：作PN⊥AB于N．CM⊥AB于M， ∵PA∥CB， ∴∠CBM＝∠PAN， ∵∠BMC＝∠ANP＝90°， ∴△PAN∽△CBM， ∴， ∵AP＝BC，∴＝，∴BM＝2AN， ∵y＝ax2﹣4ax+4a﹣3＝a（x﹣2）2﹣3，顶点A（2，﹣3），B（2，0）， ∴CM＝2，C（0，4a﹣3），PN＝1， ∴P（1，a﹣3）， ∴AN＝a﹣3﹣（﹣3）＝a，BM＝4a﹣3， ∵BM＝2AN， ∴4a﹣3＝2a，∴a＝， ∴该抛物线解析式为y＝x2﹣6x+3； ∴该抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣1或y＝x2﹣6x+3． 8．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）， 把C（0，﹣4）代入得a•2•（﹣4）＝﹣4， 解得a＝， ∴抛物线解析式为y＝（x+2）（x﹣4）， 即y＝x2﹣x﹣4； （2）连接AC，则AC与抛物线所围成的图形的面积为定值， 当△ACM的面积最大时，图中阴影部分的面积最小值， 作MN∥y轴交AC于N，如图甲， 设M（x，x2﹣x﹣4）， 由A（4，0），C（0，﹣4）知线段AC所在直线解析式为y＝x﹣4， 则N（x，x﹣4）， ∴MN＝x﹣4﹣（x2﹣x﹣4）＝﹣x2+2x， ∴S△ACM＝S△MNC+S△MNA＝•4•MN＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4， 当x＝2时，△ACM的面积最大，图中阴影部分的面积最小值， 此时M点坐标为（2，﹣4）． $$