第18讲 二次函数（2）-2024-2025学年九年级数学暑假讲义（江苏专用）

第18讲 二次函数（2） 知识点及学习目标 二次函数的图像与性质 1．几种特殊的二次函数的图象特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 y= 当a＞0时 开口向上 当a＜0时 开口向下 x=0(y轴) (0，0) y= x=0(y轴) (0，k) y= x=h (h，0) y= x=h (h，k) x= (，) 2．抛物线(a≠0)中，a，b，c的作用： （1）a决定开口方向及开口大小，这与中的a完全一样. （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线的对称轴是直线x=， 故：①b=0时，对称轴为y轴；②(即a、b同号)时，对称轴在y轴左侧；③ (即 a、b异号)时，对称轴在y轴右侧. （3）c的大小决定抛物线与y轴交点的位置. 当x=0时，y=c，∴抛物线与y轴有且只有一个交点(0，c)： ①c=0，抛物线经过原点； ②c＞0，与y轴交于正半轴；③c＜0，与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立。如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 . 3．图像平移：掌握平移的规律：左加右减，上加下减 考点一：二次函数(a≠0) 例1．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣1． x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 … （1）请在表内的空格中填入适当的数； （2）根据列表，请在所给的平面直角坐标系中画出y＝x2﹣2x﹣1的图象； （3）当x在什么范围内时，y随x增大而减小； 反馈练习1．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）． （1）求b，c的值； （2）请用列表、描点、连线的方法画出该函数的图象； （3）当﹣2＜x＜2时，y的取值范围是　 　． （4）若（m，y1），（m﹣1，y2）是抛物线上的两点，比较y1与y2大小 考点二：二次函数图像与系数的关系 例2．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象可得a，b，c与0的大小关系是（　　） A．a＞0，b＜0，c＜0 B．a＞0，b＞0，c＞0 C．a＜0，b＜0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＜0 反馈练习2．若抛物线y＝（a﹣1）x2开口向上，则a的取值范围是　 　 反馈练习3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 例3．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论： ①a，b同号；②当x＝1和x＝3时，函数值相同；③4a+b＝0；④当y＝﹣2时，x的值只能取0； 其中正确的个数是（填序号）　 　． 例4．一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 反馈练习4．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c在坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 考点三．二次函数的性质 例5．若二次函数y＝2x2﹣ax﹣a+1的图象的对称轴是y轴，则a的值是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．2 反馈练习5．若二次函数y＝x2+mx+3的图象关于直线x＝1对称，则m的值为　 　． 例6．二次函数y＝2x2+4x+1图象的顶点坐标为　 　． 反馈练习6．已知抛物线y＝x2+mx+9的顶点在x轴上，则m的值为　 　． 反馈练习7．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象的顶点坐标为（2，﹣3），求b、c的值． 例7．二次函数y＝2x2﹣x，当x　 　时y随x增大而增大，当x　 　时，y随x增大而减小． 反馈练习8．已知点A（﹣1，m）、B（﹣2，n）都在二次函数y＝x2﹣2x+3的图象上，则m、n的大小关系是（　　） A．m＜n B．m＝n C．m＞n D．不能确定 反馈练习9．已知点（﹣4，y1）、（﹣2，y2）、（3，y3）为二次函数y＝﹣x2﹣2x+m图象上的三个点，比较y1、y2、y3的大小关系为　 　． 反馈练习10．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝x2﹣x﹣2上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为　 　． 例8．关于抛物线y＝﹣x2﹣2x﹣3，下列说法中错误的是（　　） A．开口方向向下 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大 D．顶点坐标为（﹣1，﹣2） 反馈练习11．已知二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表： x … ﹣1 0 1 3 … y … ﹣3 1 3 1 … 现给出下列说法： ①该函数开口向下． ②该函数图象的对称轴为过点（1，0）且平行于y轴的直线． ③当x＝2时，y＝3． ④方程ax2+bx+c＝﹣2的正根在3与4之间． 其中正确的说法为　 　．（只需写出序号） 例9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当y＜3时，x的取值范围是　 　． 1．二次函数y＝x2﹣4x+2的图象不经过（　　）象限． A．第一 B．第二 C．第三 D．第四 2．若二次函数y＝x2﹣2x+k的图象经过点（﹣1，y1），（，y2），则y1与y2的大小关系为（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定 3．已知A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）在函数y＝﹣5（x+1）2+c的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是　 　．（用“＜”连接） 4．求二次函数y＝2x2﹣4x+1的顶点坐标，说出此函数的三条性质． 5．已知二次函数y＝x2﹣4x+6+m（m是常数） （1）若此二次函数的图象经过点（1，﹣2），求m的值； （2）若此二次函数的最小值为﹣，求m的值． 6．已知函数y＝（m+2）﹣2是关于x的二次函数， （1）求m的值； （2）m为何值时，抛物线有最高点？写出这个最高点坐标，这时x为何值时，y随x的增大而增大． 7．如图，二次函数y＝x2﹣x，图象过△ABO三个顶点，其中A（﹣1，m），B（n，n） 求：①求A，B坐标； ②求△AOB的面积． 8．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0） （1）求m的值及抛物线的顶点坐标． （2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标． 日期：2021/6/3 16:28:51；用户：姚老师；邮箱：15961853153；学号：28810880 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第18讲 适用区域 江苏 适用年级 九年级 考点一：二次函数(a≠0) 例1．【解答】解：（1）当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣2×（﹣1）﹣1＝2； 当x＝0时，y＝02﹣2×0﹣1＝﹣1； 当x＝1时，y＝12﹣2×1﹣1＝﹣2； 当x＝2时，y＝22﹣2×2﹣1＝﹣1； 当x＝3时，y＝32﹣2×3﹣1＝2． 填表如下： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 2 ﹣1 ﹣2 ﹣1 2 … 故答案为：2；﹣1；﹣2；﹣1；2； （2）如图所示： （3）由函数图象可知抛物线的对称轴为x＝1，当x＜1时，y随x的增大而减小． 反馈练习1． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c中， 得：， 解得：． 则抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）列表 x ﹣1 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 描点、连线作图如下： （3）由（1）可知抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，即抛物线对称轴为x＝1， 所以当x＝1时，y最大＝4；当x＝﹣2时，y最小＝﹣5； 故当﹣2＜x＜2时，y的范围为﹣5＜y≤4； （4）∵（m，y1），（m﹣1，y2）是抛物线上的两点， ∴y1＝﹣m2+2m+3，y2＝﹣（m﹣1）2+2（m﹣1）+3， ∵y1﹣y2＝﹣m2+2m+3﹣[﹣（m﹣1）2+2（m﹣1）+3]＝﹣2m+3， 当﹣2m+3＞0，即m＜时，y1＞y2； 当﹣2m+3＜0，即m＞时，y1＜y2； 当﹣2m+3＝0，即m＝时，y1＝y2． 考点二：二次函数图像与系数的关系 例2． D． 反馈练习2． a＞1． 反馈练习3． A． 例3．②③． 例4． B． 反馈练习4． D． 考点三．二次函数的性质 例5． A． 反馈练习5．﹣2． 例6．（﹣1，﹣1）． 反馈练习6：±6． 反馈练习7． 【解答】解：∵y＝x2+bx+c的图象的顶点坐标为（2，﹣3）， ∴由题意可设y＝（x﹣2）2﹣3， ∴y＝x2﹣4x+1， ∴b＝﹣4，c＝1． 例7． x＞，x＜ 反馈练习8． A． 反馈练习9． 故答案为y3＜y1＜y2． 反馈练习10． y1＞y3＞y2． 例8． C． 反馈练习11．①③④． 例9．﹣1＜x＜3． 1． C． 2． A． 3． y2＜y3＜y1. 4． 【解答】解：y＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1， 顶点坐标为：（1，﹣1）； 三条性质：抛物线的开口向上； 当x＞1时，y随着x的增大而增大； 抛物线的图象有最低点，当x＝1时，y有最小值，是y＝﹣1等． 5． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣4x+6+m（m是常数）经过点（1，﹣2）， ∴﹣2＝1﹣4+6+m， 解得m＝﹣5； （2）∵二次函数的最小值是﹣， ∴＝﹣， 解得：m＝﹣． 6． 【解答】（1）解：由题意得，m2+m﹣4＝2， 所以，m2+m﹣6＝0， 解得m1＝﹣3，m2＝2， 又m+2≠0， 解得m≠﹣2， 所以，m的值是m1＝﹣3，m2＝2； （2）解：∵抛物线有最高点， ∴m+2＜0， 解得m＜﹣2，∴m＝﹣3时，抛物线有最高点，最高点为（0，﹣2）， 当x＜0时，y随x的增大而增大． 7． 【解答】解：（1）把A（﹣1，m）代入y＝x2﹣x得m＝+＝1，则A（﹣1，1）， 把B（n，n）代入y＝x2﹣x得n2﹣n＝n，解得n1＝0（舍去），n2＝2，则B（2，2）； （2）设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把A（﹣1，1），B（2，2）分别代入得，解得， 所以直线AB的解析式为y＝x+， 当x＝0时，y＝x+＝，则C点坐标为（0，）， 所以△AOB的面积＝△AOC的面积+△BOC的面积＝××（1+2）＝2． 8． 【解答】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y＝﹣x2+mx+3得：0＝﹣32+3m+3， 解得：m＝2， ∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点坐标为：（1，4）． （2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小， 设直线BC的解析式为：y＝kx+b， ∵点C（0，3），点B（3，0）， ∴， 解得：， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3， 当x＝1时，y＝﹣1+3＝2， ∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）． $$