第17讲 二次函数（1）-2024-2025学年九年级数学暑假讲义（江苏专用）

第17讲 二次函数（1） 知识点及学习目标 二次函数概念，二次函数图像与性质的认识 一．二次函数的定义 1．一般地，形如（为常数，）的函数称为的二次函数，其中为自变量，为因变量，分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数. 注：1．任何二次函数都可以整理成（为常数，）的形式． 2．判断函数是否为二次函数的方法： ①含有一个变量，且自变量的最高次数为2； ②二次项系数不等于0； ③等式两边都是整式． 3．二次函数自变量的取值范围是全体实数． 二．二次函数图像与性质的认识 1．由特殊到一般的几种形式 ① y=；②y=；③y=； ④y=，其中h=，k= 2．抛物线的三要素： 　　 开口方向、对称轴、顶点. 　　 （1）a的符号决定抛物线的开口方向：当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. 　　 （2）平行于y轴(或重合)的直线记作x=h. 特别地，y轴记作直线x=0. 考点一：二次函数的概念 例1．下列函数是关于x的二次函数的有（　　） ①y＝x（2x﹣1）；②y＝；③y=；④y＝ax2+2x（a为任意实数）；⑤y＝（x﹣1）2﹣x2；⑥y＝． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 反馈练习1．下列函数中，是二次函数的有（　　） （1）y＝3x2++1；（2）y＝+5；（3）y＝（x﹣3）2﹣x2；（4）y＝1+x﹣； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 反馈练习2．下列函数关系中，是二次函数的是（　　） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D．半圆面积S与半径R之间的关系 例2．当m＝　 　时，函数+3x是关于x的二次函数． 反馈练习3．如果函数y＝（k﹣3）+kx+1是二次函数，那么k的值一定是　 　． 反馈练习4．若y＝（m﹣4）x|m|﹣2﹣mx+m﹣1是关于x的二次函数，则m＝　 　． 例3．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？ 考点二：二次函数的图像与性质 A．二次函数y= 例4．函数y＝x﹣2和y＝x2的图象大致正确的是（　　） A． B． C． D． 反馈练习5．函数y＝﹣ax+b与y＝ax2的图象可能是（　　） A． B． C． D． 反馈练习6．已知两个二次函数的图象如图所示，那么a1　 　a2（填“＞”、“＝”或“＜”）． 反馈练习7．关于抛物线y＝﹣x2，给出下列说法： ①抛物线开口向下，顶点是原点； ②当x＞10时，y随x的增大而减小； ③当﹣1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣1； ④若（m，p）、（n，p）是该抛物线上两点，则m+n＝0． 其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B．二次函数y= 例5．把二次函数y＝2x2的图象向上平移3个单位所得到的图象的函数表达式是（　　） A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x+3）2 D．y＝2（x﹣3）2 反馈练习8．抛物线y＝x2﹣3的顶点坐标为（　　） A．（0，3） B．（0，﹣3） C．（3，0） D．（﹣3，0） 反馈练习9．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+b的大致图象为（　　） A． B． C． D． C．二次函数y= 例6．把抛物线y＝﹣x2向右平移1个单位所得的新抛物线的函数表达式是（　　） A．y＝﹣x2+1 B．y＝﹣x2﹣1 C．y＝﹣（x﹣1）2 D．y＝﹣（x+1）2 反馈练习10．对于函数y＝﹣2（x﹣1）2的图象，下列说法不正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝1 C．最大值为0 D．与y轴不相交 反馈练习11． 关于二次函数y＝（x+1）2的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向下 B．经过原点 C．对称轴右侧的部分是下降的 D．顶点坐标是（﹣1，0） D．二次函数y= 例7．将抛物线y＝x2向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（　　） A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+3）2+4 C．y＝（x+3）2﹣4 D．y＝（x﹣3）2﹣4 反馈练习12．将抛物线y＝x2先向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后得到的抛物线对应的函数表达式是　 　． 例8．抛物线y＝（x﹣2）2﹣5的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，﹣5） B．（2，﹣5） C．（﹣2，5） D．（2，5） 反馈练习13．对二次函数y＝2（x﹣3）2﹣4的图象，下列叙述正确的是（　　） A．开口向下 B．与y轴的交点坐标为（0，﹣4） C．当x≥3时，y随x增大而减小 D．最小值是y＝﹣4 例9．已知二次函数y1＝a（x﹣2）2+k中，函数y1与自变量x的部分对应值如表： x … 1 2 3 4 … y … 2 1 2 5 … （1）求该二次函数的表达式； （2）将该函数的图象向左平移2个单位长度，得到二次函数y2的图象，分别在y1、y2的图象上取点A（m，n1）B（m+1，n2），试比较n1与n2的大小． 反馈练习14．把二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y＝（x+1）2﹣1的图象． （1）试确定a、h、k的值； （2）指出二次函数y＝a（x﹣h）2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标． 1．下列函数中是二次函数的有（　　） ①y＝x+；②y＝3（x﹣1）2+2；③y＝（x+3）2﹣2x2；④y＝+x． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若是二次函数，则m的值是　 　． 3．对于抛物线y＝﹣（x﹣5）2+3，下列说法错误的是（　　） A．对称轴是直线x＝5 B．函数的最大值是3 C．开口向下，顶点坐标（5，3） D．当x＞5时，y随x的增大而增大 4．二次函数y＝x2的图象平移后经过点（0，2），则下列平移方法正确的是（　　） A．向左平移2个单位，向下平移2个单位 B．向左平移1个单位，向上平移2个单位 C．向右平移1个单位，向下平移1个单位 D．向右平移2个单位，向上平移1个单位 5．已知，如图，直线AB经过点B（0，6），点A（4，0），与抛物线y＝ax2+2在第一象限内相交于点P，又知△AOP的面积为6． （1）求a的值； （2）若将抛物线y＝ax2+2沿y轴向下平移，则平移多少个单位才能使得平移后的抛物线经过点A． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第17讲 适用区域 江苏 适用年级 九年级 考点一：二次函数的概念 例1． A． 反馈练习1． B． 反馈练习2． D． 例2． 1． 反馈练习3． 0． 反馈练习4．﹣4． 例3． 【解答】解：依题意得 ∴ ∴m＝0； （2）依题意得m2﹣m≠0， ∴m≠0且m≠1． 考点二：二次函数的图像与性质 A．二次函数y= 例4． D． 反馈练习5． D． 反馈练习6．＞． 反馈练习7． C． B．二次函数y= 例5． A． 反馈练习8． B． 反馈练习9． B． C．二次函数y= 例6． C． 反馈练习10． D 反馈练习11． D． D．二次函数y= 例7． A． 反馈练习12 y＝（x+3）2﹣2， 例8． B 反馈练习13． D． 例9． 【解答】解：（1）从表格看，二次函数顶点为（2，1），则k＝1， 把（1，2）代入y1＝a（x﹣2）2+1中得：2＝a（1﹣2）2+1，a＝1， ∴二次函数的表达式；y1＝（x﹣2）2+1； （2）由题意得：y2＝（x﹣2+2）2+1＝x2+1， 把A（m，n1）B（m+1，n2）分别代入y1、y2的表达式中， n1＝（m﹣2）2+1＝m2﹣4m+5， n2＝（m+1）2+1＝m2+2m+2， n1﹣n2＝（m2﹣4m+5）﹣（m2+2m+2）＝﹣6m+3， ﹣6m+3＞0，m＜， ﹣6m+3＜0，m＞， ∴当m＜时，n1﹣n2＞0，即n1＞n2， 当m＝时，n1﹣n2＝0，即n1＝n2， 当m＞时，n1﹣n2＜0，即n1＜n2． 反馈练习14． 【解答】解：（1）二次函数y＝（x+1）2﹣1的图象的顶点坐标为（﹣1，﹣1），把点（﹣1，﹣1）先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为（1，﹣5）， 所以原二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣5， 所以a＝，h＝1，k＝﹣5； （2）二次函数y＝a（x﹣h）2+k，即y＝（x﹣1）2﹣5的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣5）． 1． B． 2． 3． 3． D． 4． A． 5．【解答】解：设点P（x，y），直线AB的解析式为y＝kx+b， 将A（4，0）、B（0，6）分别代入y＝kx+b， 得k＝﹣，b＝6， 故y＝﹣x+6， ∵△AOP的面积＝×4×y＝6 ∴y＝3， 再把y＝3代入y＝﹣x+6，得x＝2， 所以P（2，3）， 把P（2，3）代入到y＝ax2+2中得：a＝； （2）设向下平移m个单位才能使得平移后的抛物线经过点A， 则平移后的抛物线为y＝x2+2﹣m， 把A（4，0）代入y＝x2+2﹣m得m＝6， ∴向下平移6个单位才能使得平移后的抛物线经过点A． $$