第16讲 圆的相关计算-2024-2025学年九年级数学暑假讲义（江苏专用）

第16讲 圆的相关计算 知识点及学习目标 弧长公式，扇形面积公式，圆锥相关计算 一．扇形弧长与面积公式 1．扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2．弧长公式: 弧长 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数) 3. 扇形的面积公式: S扇形= (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数) 二．圆锥的侧面积和全面积 1．连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 2．圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则 圆锥的侧面积， 圆锥的全面积：S全=S侧+S底= 考点一：扇形弧长公式计算 例1．若圆弧的半径为3，所对的圆心角为60°，则弧长为（　　） A．π B．π C．π D．3π 反馈练习1．若⊙O的半径为2，则100°的圆心角所对的弧长是　　 ． 反馈练习2．已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长20πcm，则此扇形的半径是　 　cm． 反馈练习3．一个扇形的半径为4，弧长为2π，其圆心角度数是（　　） A．45° B．60° C．90° D．180° 例2．如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠A＝60°，则的长为　 　． 反馈练习4．如图，在△ABC中，∠A＝70°，BC＝4，以BC的中点D为圆心，2为半径作弧，分别交边AB、AC于E、F，则的长为　　 ． 反馈练习5．如图，已知四边形ABCD的四个顶点在以AB为直径的半圆上，AB＝4，若∠BCD＝120°，则的长为　　 ． 考点二：扇形面积公式计算 例3．已知一个扇形的半径为6cm，圆心角为120°，则这个扇形的面积为　 　cm2． 反馈练习6．一个扇形的弧长为3πcm，半径为4cm，则该扇形的面积为　 　cm2． 反馈练习7．已知一个扇形的半径为6，面积为10π，该扇形的圆心角是　 　°． 例4．如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为　 　． 反馈练习8．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝6，以A为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点D，则阴影部分的面积是　 　． 反馈练习9．如图，在半径2的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的扇形（图中阴影部分），则这个扇形的面积为（　　） A．2π B．π C．π D．π 例5．如图，半圆O的直径AB＝8，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P，则图中阴影部分的面积为（　　） A．4π+8 B．4π﹣8 C．8π D．8π+8 反馈练习10．一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6，将纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为　 　． 反馈练习11．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△AB'C'，AB＝2，则图中阴影部分的面积为　　 ． 例6．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O外一点，AB＝AC，连接BC，交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E． （1）求证：DE与⊙O相切． （2）若∠B＝30°，AB＝4，则图中阴影部分的面积是　　（结果保留根号和π）． 考点三：圆锥相关计算 例7．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则这个圆锥的侧面积是　 　． 反馈练习12．已知圆锥的母线长为8cm，侧面积为24πcm2，则这个圆锥的底面圆半径为　 　cm． 例8．如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为5cm，侧面展开图是圆心角等于216°的扇形，则该圆锥的底面半径r为　 　cm． 反馈练习13．若一个圆锥的底面圆的半径为2，其侧面展开图是半圆，则此圆锥的侧面积是　 　． 反馈练习14．圆锥的底面圆的半径是3，其母线长是9，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数是　 　． 例9．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，8）、B（﹣8，8）、C（﹣12，4），请在网格图中进行如下操作： （1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为　 　； （2）连接AD、CD，则⊙D的半径长为　 　（结果保留根号）．∠ADC的度数为　 　°； （3）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆的半径长．（结果保留根号） 1．一个扇形的弧长为6π，圆心角为120°，则此扇形的面积为　 　． 2．如图，四边形AOBC是菱形，点C在以O为圆心OA为半径的上，若OA＝2，则的长为　　 ． 3．已知一个扇形的圆心角为45°，半径为3，将这个扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆半径为　 　． 4．如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是　 　． 5．如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C．若A点的坐标为（0，4），C点的坐标为（6，2）， （1）根据题意，画出平面直角坐标系； （2）在图中标出圆心M的位置，写出圆心M点的坐标　 　． （3）判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系． （4）求弧AC的长． 6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE． （1）求证：OD⊥DE； （2）若∠BAC＝30°，AB＝12，求阴影部分的面积． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第16讲 适用区域 江苏 适用年级 九年级 考点一：扇形弧长公式计算 例1． B． 反馈练习1． ． 反馈练习2． 24． 反馈练习3． C． 例2． 4π． 反馈练习4． 【解答】解：由题意，DB＝DE＝DF＝2， ∴∠B＝∠DEB，∠C＝∠DFC， ∵∠A＝70°， ∴∠B+∠C＝110°， ∴∠BDE+∠CDF＝360°﹣2（∠B+∠C）＝140°， ∴∠EDF＝180°﹣140°＝40°， ∴的长＝＝π， 故答案为：π． 反馈练习5．【分析】如图，连接OD．证明△AOD是等边三角形，推出∠AOD＝60°，可得结论． ． 考点二：扇形面积公式计算 例3． 12π． 反馈练习6． 6π． 反馈练习7． 100． 例4．π﹣2． 反馈练习8． 18﹣π． 反馈练习9． A． 例5． 【解答】解：由已知可得，AB＝8，∠OBO′＝45°， 弓形PB的面积是：﹣＝4π﹣8， 阴影部分的面积是：﹣（4π﹣8）＝8π﹣4π+8＝4π+8， 故选：A． 反馈练习10．【分析】连接OD，如图，利用折叠性质得由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积等于阴影部分的面积，AC＝OC，则OD＝2OC＝6，CD＝3，从而得到∠CDO＝30°，∠COD＝60°，然后根据扇形面积公式，利用由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD，进行计算即可． 故答案为6π﹣． 反馈练习11．【分析】根据旋转的性质得到△AB′C′的面积＝△ABC的面积，得到阴影部分的面积＝△AB′C′的面积，根据三角形面积公式计算即可． 故答案为：． 例6． 【解答】证明：（1）连接OD， ∵AB＝AC，OB＝OD， ∴∠B＝∠C＝∠ODB， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴∠CED＝90°， ∴∠ODE＝90°，∴DE与⊙O相切； （2）阴影部分的面积＝S△OBD+S扇形OAD ＝ ＝． 故答案为：． 考点三：圆锥相关计算 例7． 24πcm2． 反馈练习12． 3． 例8． 3． 反馈练习13． 8π． 反馈练习14． 120°． 例9．【分析】（1）利用网格特点，作BC和AB的垂直平分线，它们的交点为D，从而得到D点坐标； （2）利用勾股定理求出AD得到⊙D的半径长，利用勾股定理的逆定理可得到△ACD为直角三角形，从而得到∠ADC的度数为90°； （3）设该圆锥的底面圆的半径长为r，利用弧长公式得到2πr＝，然后解方程即可． 【解答】解：（1）点D的坐标为（﹣4，0）； （2）如图，AD＝＝4， 即⊙D的半径长为4； ∵AD＝CD＝4，AC＝＝4， ∴AD2+DC2＝AC2， ∴△ACD为直角三角形，∠ADC的度数为90°； 故答案为（﹣4，0）；4；90； （3）设该圆锥的底面圆的半径长为r， 根据题意得2πr＝，解得r＝， 即该圆锥的底面圆的半径长为． 1． 27π． 2．【分析】连接OC，过点A作AD⊥CD于点D，四边形AOBC是菱形可知OA＝AC＝2，再由OA＝OC可知△AOC是等边三角形，∠AOC＝∠BOC＝60°，故△ACO与△BOC为边长相等的两个等边三角形，再根据锐角三角函数的定义得出AD的长，由S阴影＝S扇形AOB﹣2S△AOC即可得出结论 故答案为：． 3． ． 4．【分析】由菱形的性质得出AD＝AB＝6，∠ADC＝120°，由三角函数求出菱形的高DF，图中阴影部分的面积＝菱形ABCD的面积﹣扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可． 故答案为：18﹣9π． 5． 【解答】解：（1）平面直角坐标系如图所示： （2）由平面直角坐标系可知， 圆心M点的坐标为（2，0）， 故答案为：（2，0）． （3）由图形可知，点D（5，﹣2）关于x轴的对称点D′（5，2）在⊙M内， ∴点D（5，﹣2）在⊙M内； （4）AM＝＝2， ∵∠AMC＝90°， ∴弧AC的长为：＝π． 6． 【解答】（1）证明：连接DB． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠CDB＝90°， ∵点E是BC的中点， ∴DE＝CE＝BC， ∴∠EDC＝∠C， ∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ADO， ∵∠ABC＝90°， ∴∠A+∠C＝90°， ∴∠ADO+∠EDC＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∴OD⊥DE； （2）∵AB＝12，∠BAC＝30°， ∴AD＝6， 阴影部分的面积＝﹣×6×3 ＝12π﹣9． $$