第15讲 直线与圆的位置关系（2）-2024-2025学年九年级数学暑假讲义（江苏专用）

第15讲 直线与圆的位置关系（2） 知识点及学习目标 切线长定理，内切圆与内心 一．切线长定理 1．经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。 2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 二．三角形的内切圆与内心 三角形的内切圆及有关概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 三角形的内心是三角形各内角平分线的交点，这点到三角形的各边的距离都相等． 三．正多边形与圆 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 考点一：切线长定理 例1．如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 例2．如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B分别为切点，点E是⊙O上一点，且∠AEB＝60°，则∠P为（　　） A．120° B．60° C．30° D．45° 反馈练习1．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝　 　°． 例3．如图，直线PA、PB、MN分别与⊙O相切于点A、B、D，PA＝PB＝8cm，△PMN的周长是　 　． 反馈练习2．如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA＝　 　cm． 反馈练习3．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，⊙O的半径为6cm，OP的长为10cm，则△PDE的周长是　 　． 考点二：三角形内切圆与圆心 例4．下列说法：①三点确定一个圆；②长度相等的两条弧是等弧；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④等弧所对的圆心角相等；⑤平分弦的直径，也平分这条弦所对的两条弧；⑥内心到三角形三条边的距离相等，其中正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 反馈练习4．下列说法正确的是（　　） A．三角形的外心一定在三角形的外部 B．三角形的内心到三个顶点的距离相等 C．外心和内心重合的三角形一定是等边三角形 D．直角三角形内心到两锐角顶点连线的夹角为125° 反馈练习5．有下列结论：（1）三点确定一个圆；（2）弧的度数指弧所对圆周角的度数；（3）三角形的内心是三边中垂线交点，它到三角形各边的距离相等；（4）同圆或等圆中，弦相等则弦所对的弧相等．其中正确的个数有（　　） A．0 B．1 C．3 D．2 反馈练习6．如图所示，在4×4的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．△ACD的外心 B．△ACD的内心 C．△ABC的内心 D．△ABC的外心 例5．如图，△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（　　） A．100° B．160° C．80° D．130° 反馈练习7．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，则∠BOC等于（　　） A．125° B．120° C．115° D．110° 反馈练习8．如图，△ABC的内切圆⊙O分别与三角形三边相切于点D、E、F，若∠DFE＝55°，则∠A＝　 　°． 反馈练习9．如图，点I是△ABC的内心，∠BIC＝126°，则∠BAC＝　 　°． 例6．设两直角边分别为3、4的直角三角形的外接圆和内切圆的半径长分别为R和r，则R﹣r＝　 　． 反馈练习10．O为坐标原点，点A（﹣4，0）、B（0，3）分别在x轴和y轴上，△AOB的内切圆的半径长为（　　） A．1 B． C．2 D． 反馈练习11．已知直角三角形的外接圆半径为6，内切圆半径为2，那么这个三角形的面积是（　　） A．32 B．34 C．27 D．28 例7．如图，△ABC外切于⊙O，切点分别为D、E、F，BC＝7，⊙O的半径为， （1）∠A＝60°，求△ABC的周长． （2）若∠A＝70°，点M为⊙O上异于F、E的动点，则∠FME的度数为　 　°． 反馈练习12．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△ABC的内切圆⊙O，切点分别为点D、E、F， （1）若AC＝3，BC＝4，求△ABC的内切圆半径； （2）当AD＝5，BD＝7时，求△ABC的面积； （3）当AD＝m，BD＝n时，直接写出求△ABC的面积（用含m，n的式子表示）为　 　． 考点三：正多边形与圆 例8．已知正六边形的边长为4，则这个正六边形的半径为（　　） A．2 B．2 C．4 D．4 反馈练习13．如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（　　） A．2： B．： C．： D．：2 反馈练习14．如图，在正六边形ABCDEF中，AC＝2，则它的边长是　 　． 例9．如图，正八边形ABCDEFGH中，∠EAG大小为（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 反馈练习15．如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，CE相交于点F，则∠BFC的度数是（　　） A．60° B．70° C．72° D．90° 反馈练习16．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为　 　． 1．下列说法：①三角形的内心到三边的距离相等；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；④过平面内三点一定可以做圆；其中正确的有（　　）个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C，且在上的动点，则∠BPC的度数是（　　） A．65° B．115° C．115°或65° D．130°或65° 3．已知Rt△ABC，∠C＝90°，AC、BC的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两根，则Rt△ABC的外接圆的半径为　 　，内切圆的半径为　 　． 4．如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的直径是　 　cm． 5．如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C在直角坐标系中的坐标分别为（3，6），（﹣3，3），（7，﹣2），则△ABC内心的坐标为　 　． 6．如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE边长是6，则它的外接圆心P的坐标是　 　． 7．如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求： （1）PA的长； （2）∠COD的度数． 8．如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F． （1）若∠B＝50°，∠C＝70°，则∠DFE的度数为　 　； （2）若∠DFE＝50°，求∠A的度数． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第15讲 适用区域 江苏 适用年级 九年级 考点一：切线长定理 例1． B． 例2． B． 反馈练习1． 76． 例3． 16cm． 反馈练习2． 5 反馈练习3． 16cm． 考点二：三角形内切圆与圆心 例4． B． 反馈练习4． C． 反馈练习5． A． 反馈练习6． A． 例5． D． 反馈练习7． C． 反馈练习8． 70． 反馈练习9．【分析】根据三角形的外接圆得到∠ABC＝2∠IBC，∠ACB＝2∠ICB，根据三角形的内角和定理求出∠IBC+∠ICB，求出∠ACB+∠ABC的度数即可． 72． 例6． 1.5． 反馈练习10．【分析】根据点A、B的坐标可得△AOB为直角三角形，斜边AB＝5，可设△AOB的内切圆的半径长为r，根据切线长定理即可求解． A． 反馈练习11． D． 例7． 【解答】解：（1）连接OE、OF、OA，如图， ∵△ABC外切于⊙O，切点分别为D、E、F， ∴BD＝BF，CD＝CE，OE⊥AC，OF⊥AB，OA平分∠BAC， ∴∠OAE＝×60°＝30°， ∴AE＝OE＝×＝3， ∴△ABC的周长＝BC+BF+AF+AE+CE＝BC+BD+CD+2AE＝2BC+2AE＝2×7+2×3＝1＝20； （2）∵OE⊥AC，OF⊥AB， ∴∠OEA＝∠OFA＝90°， ∴∠EOF＝180°﹣∠BAC＝180°﹣70°＝110°， 当点M在上时，如图，∠FME＝∠EOF＝55°； 当点M在上时，如图，∠FM′E＝180°﹣55°＝125°， 综上所述，∠FME的度数为55°或125°． 故答案为55或125． 反馈练习12． 【解答】解：（1）连接OD、OE、OF，如图，设⊙O的半径为r， 在Rt△ABC中，AB＝＝5， ∵Rt△ABC的内切圆⊙O，切点分别为点D、E、F， ∴OE⊥AC，OF⊥BC，CE＝CF，AE＝AD，BF＝BD， 易得四边形CFOE为正方形， ∴CE＝CF＝OE＝r，∴AD＝AE＝3﹣r，BD＝BF＝4﹣r， ∴3﹣r+4﹣r＝5，解得r＝1，即△ABC的内切圆半径为1； （2）设⊙O的半径为r， 由（1）得AE＝AD＝5，BF＝BD＝7， ∴AC＝5+r，BC＝7+r， 在Rt△ABC中，（5+r）2+（7+r）2＝（5+7）2，解得r＝﹣6或r＝﹣﹣6（舍去）， ∴AC＝﹣6+5＝﹣1，BC＝﹣6+7＝+1， ∴S△ABC＝（﹣1）（+1）＝35； （3）设⊙O的半径为r， 由（1）得AE＝AD＝m，BF＝BD＝n， ∴AC＝m+r，BC＝n+r， 在Rt△ABC中，（m+r）2+（n+r）2＝（m+n）2，解得r＝或r＝（舍去）， ∴AC＝（m﹣n+），BC＝（﹣m+n+）， ∴S△ABC＝×AC×BC＝×（m﹣n+）×（﹣m+n+）＝[（）2﹣（m﹣n）2]＝mn． 故答案为mn． 考点三：正多边形与圆 例8． C． 反馈练习13．【分析】连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，由垂径定理得出AH＝BH＝AB，证出△AOD是等腰直角三角形，∠AOH＝∠BOH＝60°，AH＝BH＝AB，得出AD＝OA，AH＝OA，则AB＝2AH＝OA，进而得出答案． B． 反馈练习14． 2． 例9． 【解答】解：连接AC、GE、EC，如图所示： 则四边形ACEG为正方形， ∴∠EAG＝45°， 故选：C． 反馈练习15． 【分析】首先根据正五边形的性质得到BC＝CD＝DE，∠BCD＝∠CDE＝108°，然后利用三角形内角和定理得∠CBD＝∠CDB＝∠CED＝∠DCE＝＝36°，最后利用三角形的外角的性质得到∠BFC＝∠BDC+∠DCE＝72°． C． 反馈练习16．九． 1． B． 2． A． 3． 5；2． 4．6． 5．（2，3）． 6．（3，3） 7.【解答】解：（1）∵CA，CE都是圆O的切线， ∴CA＝CE， 同理DE＝DB，PA＝PB， ∴三角形PCD的周长＝PD+CD+PC＝PD+PC+CA+BD＝PA+PB＝2PA＝12， 即PA的长为6； （2）∵∠P＝60°， ∴∠PCE+∠PDE＝120°， ∴∠ACD+∠CDB＝360°﹣120°＝240°， ∵CA，CE是圆O的切线， ∴∠OCE＝∠OCA＝∠ACD； 同理：∠ODE＝∠CDB， ∴∠OCE+∠ODE＝（∠ACD+∠CDB）＝120°， ∴∠COD＝180﹣120°＝60°． 8． 【解答】解：（1）连接ID、IE， ∵∠B＝50°，∠C＝70°， ∴∠A＝60°， ∵⊙I是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F， ∴∠IDA＝∠IEA＝90°， ∴∠DIE＝180°﹣60°＝120°， ∴∠DFE的度数为：60°； 故答案为：60°； （2）∵∠DFE＝50°， ∴∠DIE＝100°， ∵AB、AC分别与⊙I相切于点D、E， ∴∠ADI＝∠AEI＝90°， ∴∠A＝80°． $$