第13讲 圆周角定理-2024-2025学年九年级数学暑假讲义（江苏专用）

第13讲 圆周角定理 知识点及学习目标 圆周角定理，圆内接四边形性质 一．圆周角及其性质 1． 是圆周角。 2．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角________，都等于__________的圆心角的____________； 二．直径所对圆周角特征 1．直径所对的圆周角是 ，半圆所对的圆周角是 。 [ 2．90°的圆周角所对的弦是 。 三 圆内接四边形 圆内接四边形的对角 ，并且任何一个外角都等于它的 。 考点一：圆周角定理 例1．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝72°，则∠ACB等于（　　） A．54° B．36° C．28° D．18° 反馈练习1．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝24°，则BC弧的度数为（　　） A．66° B．48° C．33° D．24° 反馈练习2．如图，在⊙O中，弦AC与半径OB交于点D，连接OA，BC，若∠B＝60°，∠ADB＝116°，则∠AOB的度数为（　　） A．132° B．120° C．112° D．110° 反馈练习3．如图，点A、B、S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 例2．如图，AB是⊙O的直径，AC＝BC，则∠A的度数等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 反馈练习4．如图，BD为⊙O的直径，点A、C在⊙O上，∠A＝40°，则∠CBD的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 例3．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC＝33°，则∠A等于（　　） A．33° B．57° C．67° D．66° 反馈练习5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝20°，则∠BAD为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 反馈练习6．如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点，且与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在第二象限⊙M上，且∠AOC＝60°，则OC＝　 　． 反馈练习7．如图，△ABC中，∠A＝50°，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，且BD＝CD，连接BE，DE，则∠BED的大小为　 　． 例4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB． （1）若BE＝8，求⊙O的半径； （2）若∠DMB＝∠D，求线段OE的长． 反馈练习8．如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M． （1）求证：AM•MB＝CM•MD； （2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值． 考点二：圆内接四边形 例5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝130°，则∠A的度数为（　　） A．50° B．65° C．115° D．130° 反馈练习9．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠ADC的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 例6．如图，CD是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，∠BDC＝20°，则∠A的度数是（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 反馈练习10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，∠ABC＝40°，OD∥BC，则∠BCD的度数为　 　． 例7．如图，⊙O中，所对的圆心角∠AOB＝120°，点C在上，则∠ACB的度数为　 　°． 反馈练习11．如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是　 　． 例8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F，∠A＝50°，则∠E+∠F＝　 　． 反馈练习12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠A＝50°，∠E＝45°，则∠F＝　 　°． 例9．如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB、OC、BD、CD． （1）求证：四边形OBDC是菱形； （2）若∠ABO＝15°，求∠ADC的度数． 反馈练习13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝60°，BD平分∠ADC． （1）试说明△ABC是等边三角形； （2）若AD＝2，DC＝4，求四边形ABCD的面积． 考点三：与图形变换，最值综合 例10．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，BC＝3．将沿着BC折叠后恰好经过点O，则AB的长为（　　） A．2 B．2 C．4 D．5 反馈练习14．如图，AB是⊙O的弦，点C在上，点D是AB的中点．将沿AC折叠后恰好经过点D，若⊙O的半径为2，AB＝8．则AC的长是　 　． 例11．已知⊙O的半径为2，A为圆内一定点，AO＝1．P为圆上一动点，以AP为边作等腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120°，OG的最大值为（　　） A．1+ B．1+2 C．2+ D．2﹣1 反馈练习15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为 . 1．如图，点A，B，C在⊙O上，BC∥OA，∠A＝20°，则∠B的度数为（　　） A．10° B．20° C．40° D．50° 2．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，若∠CAB＝35°，则∠D等于（　　） A．35° B．55° C．65° D．70° 3．在△ABC中，∠BAC＝100°，AB＝AC，D为△ABC外一点，且AD＝AC，则∠BDC＝　 　°． 4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE＝85°，∠F＝30°，则∠E的度数为　 　． 5．如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连接DE．若AD＝2OD，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，以P（0，3）为圆心，6为半径的⊙P交x轴于点A、B，交y轴于点C、D，连接BP并延长交⊙P于点E，连接DE交x轴于点F． （1）求∠CDE的度数； （2）求△BEF的面积． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第13讲 适用区域 江苏 适用年级 九年级 考点一：圆周角定理 例1． B． 反馈练习1． B． 反馈练习2． C． 反馈练习3． B． 例2． B． 反馈练习4． C． 例3． B． 反馈练习5． D． 反馈练习6． 【解答】解：连接AC，CM，AB，过点C作CH⊥OA于H，设OC＝a． ∵∠AOB＝90°， ∴AB是直径， ∵A（﹣4，0），B（0，2）， ∴AB＝＝＝2， ∵∠AMC＝2∠AOC＝120°， ∴AC＝AM＝， 在Rt△COH中，OH＝OC•cos60°＝a，CH＝OH＝a， ∴AH＝4﹣a， 在Rt△ACH中，AC2＝AH2+CH2， ∴15＝（4﹣a）2+（a）2， ∴a＝2+或2﹣（舍弃）， ∴OC＝2+． 故答案为：2+． 反馈练习7． 【解答】解：连接AD． ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC， ∵BD＝DC， ∴AB＝AC， ∴∠BAD＝∠BAC＝25°， ∴∠BED＝∠BAD＝25°， 故答案为：25°． 例4． 【解答】解：（1）设⊙O的半径长为r， 则OD＝r，OE＝r﹣8， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24， ∴DE＝12， ∴OD2＝OE2+DE2， 即r2＝（r﹣8）2+122， 解得，r＝13， 即⊙O的半径是13； （2）连接BC， ∵∠DMB＝∠D，∠DMB＝∠DCB， ∴∠D＝∠DCB， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24， ∴CE＝DE＝12，∠CEB＝∠DEO， ∴△CEB≌△DEO（ASA）， ∴OE＝BE＝0.5OB， 设⊙O的半径长为r， 则r2＝122+（0.5r）2， 解得，r＝或r＝﹣8（舍去）， ∴OE＝4． 反馈练习8． 【解答】解：（1）∵∠A＝∠C，∠D＝∠B， ∴△ADM∽△CBM ∴， 即AM•MB＝CM•MD． （2）连接OM、OC． ∵M为CD中点， ∴OM⊥CD 在Rt△OMC中， ∵OC＝3，OM＝2 ∴CM＝DM＝， 由（1）知AM•MB＝CM•MD． ∴AM•MB＝•＝5． 考点二：圆内接四边形 例5． C． 反馈练习9． C． 例6． B． 反馈练习10． 110°． 例7． 120． 反馈练习11． 【解答】解：连接OB， ∵四边形OABC是菱形， ∴AB＝OA＝OB＝BC， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠ADC＝60°，∠AD′C＝120°． 故答案为：60°或120°． 例8． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°，∠ECD＝∠A＝50°，∠BCF＝∠A＝50°， ∴∠EDC+∠FBC＝180°， ∴∠E+∠F＝360°﹣180°﹣50°﹣50°＝80°， 故答案为：80°． 反馈练习12． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°，∠ECD＝∠A＝50°，∠BCF＝∠A＝50°， ∴∠EDC+∠FBC＝180°， ∴∠E+∠F＝360°﹣180°﹣50°﹣50°＝80°， ∵∠E＝45°， ∴∠F＝35°， 故答案为：35． 例9． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵∠BAC＝60°， ∴∠BOC＝120°， ∵AD平分∠BAC交⊙O于点D， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴＝， ∴∠BOD＝∠COD＝60°， ∵OB＝OD＝OC， ∴△BOD和△COD都是等边三角形， ∴OB＝BD＝DC＝OC， ∴四边形OBDC是菱形． （2）解：连接OA． ∵AO＝OB， ∴∠OBA＝∠OAB＝15°， ∵∠BAC＝60°， ∴∠OAC＝45°， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝45°， ∴∠AOC＝90°， ∴∠ADC＝∠AOC＝45°． 反馈练习13． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O． ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠ADC＝120°， ∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB＝60°， ∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°， ∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC， ∴△ABC是等边三角形 （2）解：过点A作AE⊥CD，垂足为点E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F． ∴∠AED＝90° ∵∠ADC＝120°， ∴∠ADE＝60°， ∴∠DAE＝30°， ∴DE＝AD＝1，AE＝＝＝， ∵CD＝4， ∴CE＝CD+DE＝1+4＝5， ∴S△ACD＝CD•AE＝4×＝2， Rt△AEC中，∠AED＝90°， ∴AC＝＝＝2， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝2， ∴AF＝FC＝， ∴BF＝＝＝， ∴S△ABC＝×2×＝7， ∴四边形ABCD的面积＝7+2＝9． 考点三：综合 例10． 【解答】解：过点O作OH⊥BC于H． ∵将沿着BC折叠后恰好经过点O， ∴OH＝OB， ∴∠OBH＝30°， ∵OH⊥BC， ∴BH＝BC＝， 在Rt△OBH中，OH2+BH2＝OB2， ∴OB2+＝OB2， ∴OB＝（负根已经舍弃）， ∴AB＝2OB＝2， 故选：B． 反馈练习14．【分析】如图，延长BO交⊙O 于E，连接AE，OA，OD，OC，BC，作CH⊥AB于H．首先证明∠CAE＝∠CAH＝45°，推出∠BOC＝90°，推出BC＝2，设AH＝CH＝x，则BH＝8﹣x，在Rt△BCH中，根据CH2+BH2＝BC2，构建方程求出x即可解决问题； 6． 例11．【分析】如图，将线段OA绕点O顺时针旋转120°得到线段OT，连接AT，GT，OP．则AO＝OT＝1，AT＝，利用相似三角形的性质求出GT，再根据三角形的三边关系解决问题即可， B 反馈练习15．【分析】连接AE，根据三角形三边关系得到CE≥OC﹣OE，根据勾股定理求出OC，计算即可． D． 1． C． 2． B． 3．【解答】解： 如图，以A为圆心，以AB为半径作圆， ∵AB＝AC，AC＝AD， ∴点C和D也在⊙A上， ①如图1，当D点在优弧BC上时， ∵对的圆心角是∠BAC，圆周角是∠BDC， ∴∠BDC＝BAC＝100°＝50°； ②如图2，当D点在劣弧BC上时， 此时∠BDC＝180°﹣50°＝130°； ∴∠BDC＝50°或130°， 4． 【解答】解：∵∠DCE＝∠F+∠B，∠DCE＝85°，∠F＝30°， ∴∠B＝∠DCE﹣∠F＝85°﹣30°＝55°， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠EDC＝∠B＝55°， ∴∠E＝180°﹣∠DCE﹣∠EDC＝180°﹣85°﹣55°＝40°， 故答案为40°． 5． 【解答】解：如图，连接AC，CD，OC，过点C作CH⊥AB于H．设OA＝3a，则AB＝6a． ∵在同圆或等圆中，∠ABC所对的弧有，，， ∴AC＝CD＝DE， ∵CH⊥AD，∴AH＝DH， ∵AD＝2OD，∴AH＝DH＝OD＝a， 在Rt△OCH中，CH＝＝＝a， 在Rt△ACH中，AC＝＝＝a， ∴＝＝＝， 故选：D． 6． 【解答】解：（1）∵P（0，3）， ∴OP＝3， ∵⊙P的半径是6，∴PB＝6，∴OP＝PB， ∵x轴⊥y轴，∴∠POB＝90°，∴∠PBO＝30°， ∴∠BPO＝90°﹣30°＝60°， ∵PE＝PD，∠E+∠CDE＝∠BPO， ∴∠CDE＝∠E＝60°＝30°； （2）连接PF， ∵∠PBO＝∠E＝30°，∴BF＝EF， ∵PE＝PB＝6，∴PF⊥BE， 即∠EPF＝90°， ∴EF＝2PF， 由勾股定理得：PE2+PF2＝EF2， 即62+PF2＝（2PF）2， 解得：PF＝2， EF＝BF＝4， ∴△BEF的面积是＝＝12． $$