第12讲 圆的对称性-2024-2025学年九年级数学暑假讲义（江苏专用）

第12讲 圆的对称性 知识点及学习目标 圆的对称性，垂径定理及应用 一．圆的轴对称性 活动（一） 1．在一张圆形纸片上任意画一条直径． 2．沿直径将圆形纸片对折，你发现了什么？ 3．圆是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴? 二．垂径定理 活动（二） 1．如右图，在一张圆形纸片上任意画一条弦CD，画直径AB⊥CD，垂足为P； 2．将圆形纸片沿AB对折． 3．通过折叠活动，你发现了什么？ 4．验证： 总结 垂径定理： 注意：①条件中的“弦”可以是直径； ②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧． 垂径定理推论：平分弦(非直径)的直径垂直于这条弦且平分弦所对的弧；圆的两条平行弦所夹的弧相等． 三．垂径定理及推论的应用： 1.弦长，半径，弦心距，弓高 2. 勾股定理求半径、弦长：； 考点一：垂径定理 例1．下列判断中正确的是（　　） A．长度相等的弧是等弧 B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 反馈练习1．如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于E，则下面结论中错误的是（　　） A．CE＝DE B．＝ C．∠BAC＝∠BAD D．OE＝BE 例2．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是　 　． 反馈练习2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（　　） A．2cm B．3cm C．5cm D．8cm 反馈练习3．如图，⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 反馈练习4．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝3cm，DE＝7cm，则弦AB＝　 　cm． 反馈练习5．如图，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP＝1：5，则CD的长为　　 ． 例3．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，如果AB＝8cm，CD＝2cm，那么⊙O的半径是　 　cm． 反馈练习6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为（　　） A．10 B．8 C．5 D．3 例4．如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 反馈练习7．如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是　 　． 反馈练习8．如图．点P是半径为5cm的⊙O内一点，且OP＝3，在过点P的所有⊙O的弦中，弦的长度为整数的条数有（　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 例5．如图，已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是AB的延长线上一点，BP＝2cm，则OP等于（　　） A．cm B．3 cm C． cm D．cm 反馈练习9．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心AB为半径作圆A，延长BC交圆A于点D，则CD长为（　　） A．5 B．4 C． D． 考点二：垂径定理的实际应用 例6．在圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图．若油面宽AB＝800mm，油的最大深度为200mm，则该油罐横截面的半径是　 　mm． 反馈练习10．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”这段话的意思是：如图，现有圆形木材，埋在墙壁里，不知木材大小，用锯子将它锯下来，深度CD为1寸，锯长AB为1尺（10寸），问圆材直径几寸？则该问题中圆的直径为（　　） A．22寸 B．24寸 C．26寸 D．28寸 反馈练习11．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝12cm，则球的半径为　 　cm． 例7．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，直径MN为100cm，油面宽AB为60cm，如果再注入一些油后，油面宽变为80cm，则油面上升　 　 反馈练习12．如图是一座跨河拱桥，桥拱是圆弧形，跨度AB为16米，拱高CD为4米． （1）求桥拱的半径R． （2）若大雨过后，桥下水面上升到EF的位置，且EF的宽度为12米，求拱顶C到水面EF的高度． 例8．一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过厂门（厂门上方为半圆形拱门）？说明你的理由． 反馈练习13．图1是某奢侈品牌的香水瓶．从正面看上去（如图2），它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中BC∥EF；从侧面看，它是扁平的，厚度为1.3cm． （1）已知⊙O的半径为2.6cm，BC＝2cm，AB＝3.02cm，EF＝3.12cm，求香水瓶的高度h． （2）用一张长22cm、宽19cm的矩形硬纸板按照如图3进行裁剪，将实线部分折叠制作成一个底面积为SMNPQ＝9cm2的有盖盒子（接缝处忽略不计）．请你计算这个盒子的高度，并且判断上述香水瓶能否装入这个盒子里． 考点三：垂径定理综合应用 例9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（　　） A． B．2 C．2 D．8 反馈练习14．如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，AE＝7cm，BE＝3cm，∠AED＝60°，则弦CD的长为（　　） A．2cm B．4cm C．2cm D．8cm 例10．如图平面直角坐标系中，⊙O的半径5，弦AB的长为4，过点O做OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣4，3），当弦AB绕点O顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是　 　． 反馈练习15．已知点A（0，﹣4），B（8，0）和C（a，a﹣8），若过点C的圆的圆心是线段AB的中点，则这个圆的半径的最小值是（　　） A．4 B． C． D． 1．下列说法中，正确的个数有：（1）垂直于弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧；（2）半圆是弧；（3）长度相等的弧是等弧；（4）平分弦的直径垂直于这条弦．（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼•考工记》记载：“…故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三时寸…”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型． 如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为rcm．作弦AB的垂线OC，D为垂足，经测量，AB＝90cm，CD＝15cm，则r＝　 　cm．通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮． 3．已知点P为⊙O内一点，过点P的弦中，最长为10，最短为6，则OP＝　 　． 4．如图，在平面直角坐标系中，⊙Oˊ与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点，已知A（6，0），C（﹣2，0）．则点B的坐标为　 　． 5．如图，矩形ABCD的边AB过⊙O的圆心，E、F分别为AB、CD与⊙O的交点，若AE＝3cm，AD＝4cm，DF＝5cm，则⊙O的直径等于　 　． 6．如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D，且OD＝DC，P为⊙O上任意一点，连接PA，PB，若⊙O的半径为1，则S△PAB的最大值为　　 ． 7．已知⊙O的直径AB＝12cm，P为OB的中点，过P作弦CD，与AB成30°角，则弦CD的长为（　　） A．cm B．cm C．cm D．cm 8．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD． （1）请证明：E是OB的中点； （2）若AB＝8，求CD的长． 9．高致病性禽流感是一种传染性极强的传染病． （1）养殖场有4万只鸡．假设有一只鸡得了禽流感，如果不采取任何措施，那么第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依此类推，请问到第四天，共有多少只鸡得了禽流感？到第几天，所有的鸡都会感染禽流感？ （2）为防止禽流感蔓延，防疫部门规定，离疫点3千米范围内为捕杀区．所有的禽类全部捕杀．离疫点3～5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时对捕杀区和免疫区的村庄，道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区．如图所示，O为疫点，到公路AB的最短距离为1千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米？（结果保留根号） 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第12讲 适用区域 江苏 适用年级 九年级 考点一：垂径定理 例1． C． 反馈练习1． D． 例2． 8． 反馈练习2． D． 反馈练习3． C． 反馈练习4． 【解答】解：连接OA，如图， ∵CE＝3，DE＝7， ∴CD＝10， ∴OC＝OA＝5，OE＝2， ∵AB⊥CD， ∴AE＝BE， 在Rt△AOE中，AE＝＝， ∴AB＝2AE＝2（cm）． 故答案为2． 反馈练习5． 【解答】解：∵⊙O的直径AB＝12， ∴OB＝AB＝6， ∵BP：AP＝1：5， ∴BP＝AB＝×12＝2， ∴OP＝OB﹣BP＝6﹣2＝4， 连接OC， ∵CD⊥AB， ∴CD＝2PC，∠OPC＝90°， ∴PC＝＝＝2， ∴CD＝2PC＝4． 故答案为：4． 例3． 【解答】解：连接OA，如图所示： ∵半径OC⊥AB，AB＝8cm， ∴AD＝BD＝AB＝4（cm）， 设⊙O的半径为rcm，则OD＝（r﹣2）cm， 在Rt△AOD中，由勾股定理得：42+（r﹣2）2＝r2， 解得：r＝5， 即⊙O的半径为5cm， 故答案为：5． 反馈练习6． A． 例4． D． 反馈练习7． 【解答】解：如图：连接OA，作OM⊥AB与M， ∵⊙O的直径为10， ∴半径为5， ∴OP的最大值为5， ∵OM⊥AB与M， ∴AM＝BM， ∵AB＝8， ∴AM＝4， 在Rt△AOM中，OM＝， OM的长即为OP的最小值， ∴3≤OP≤5． 反馈练习8．【解答】解：如图，OD为过P点的半径，AB是与OP垂直的弦，连OA， 则过点P的所有⊙O的弦中直径最长，AB最短，并且CD＝10， ∵OP⊥AB， ∴AP＝BP， 在Rt△OAP中，OP＝3，OA＝5， ∴AP＝＝＝4， ∴AB＝2AP＝8， ∴过点P的弦中弦长可以为整数9，由圆的对称性得到弦长为9的弦有两条， ∴在过点P的所有⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数共有4条． 故选：C． 例5． D． 反馈练习9． C． 考点二：垂径定理的实际应用 例6． 【解答】解：过O作OD⊥AB于C，交圆O于D，连接OA，如图所示： 则AC＝BC＝AB＝400（mm），CD＝200mm， 设该油罐横截面的半径为xmm，则OC＝（x﹣200）mm， 在Rt△AOC中，由勾股定理得：4002+（x﹣200）2＝x2， 解得：x＝500， 即该油罐横截面的半径为500mm， 故答案为：500． 反馈练习10． 【解答】解：设圆材的圆心为O，延长CD，交⊙O于点E，连接OA，如图所示： 由题意知：CE过点O，且OC⊥AB， 则AD＝BD＝AB＝5， 设圆形木材半径为r， 则OD＝r﹣1，OA＝r， ∵OA2＝OD2+AD2， ∴r2＝（r﹣1）2+52， 解得：r＝13， 即⊙O的半径为13寸， ∴⊙O的直径为26寸， 故选：C． 反馈练习11． 【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝∠D＝90°， ∴四边形CDMN是矩形， ∴MN＝CD＝12， 设OF＝xcm，则ON＝OF， ∴OM＝MN﹣ON＝12﹣x，MF＝6， 在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2 即：（12﹣x）2+62＝x2 解得：x＝7.5， 故答案为：7.5． 例7． 【解答】解：连接OA，作OG⊥AB于G， ∵AB＝6分米， ∴AG＝AB＝3分米， ∵油槽直径MN为10分米． ∴OA＝5分米， ∴OG═4分米，即弦AB的弦心距是4分米， 同理当油面宽AB为8分米时，弦心距是3分米， ∴当油面没超过圆心O时，油上升了1分米，即10cm； 当油面超过圆心O时，油上升了7分米，即70cm． 故答案为：10cm或70cm． 反馈练习12． 【解答】解：（1）如图，设圆心为O．连接OA，OE． 在Rt△AOD中， ∵AO2＝OD2+AD2， ∴R2＝64+（R﹣4）2， 解得R＝10； （2）在Rt△OEM中， ∵OE2＝EM2+OM2， ∴100＝36+OM2， 解得OM＝8， ∴CM＝8﹣6＝2， 即拱顶C 到水面EF的高度是2米． 例8． 【解答】解：这辆卡车能通过厂门．理由如下： 如图M，N为卡车的宽度，过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足， 则CD＝MN＝1.6m，AB＝2m， 由作法得，CE＝DE＝0.8m， 又∵OC＝OA＝1m， 在Rt△OCE中，OE＝＝＝0.6（m）， ∴CM＝2.3+0.6＝2.9m＞2.5m． 所以这辆卡车能通过厂门． 反馈练习13． 【解答】解：（1）作OG⊥BC于G，延长GO交EF于H，连接BO、EO． ∵EF∥BC， ∴OH⊥EF， ∴BG＝BC，EH＝EF ∴GO＝＝2.4；OH＝＝2.08， ∴h＝2.4+2.08+3.02＝7.5cm． （2）设盒子的高为xcm． 由题意：（22﹣2x）•＝9 解得x＝8或12.5（舍弃）， ∴MQ＝6，MN＝1.5 ∵2.6×2＝5.2＜6；1.3＜1.5；7.5＜8， ∴能装入盒子． 考点三：垂径定理综合应用 例9． 【解答】解：作OH⊥CD于H，连接OC，如图， ∵OH⊥CD， ∴HC＝HD， ∵AP＝2，BP＝6， ∴AB＝8， ∴OA＝4， ∴OP＝OA﹣AP＝2， 在Rt△OPH中，∵∠OPH＝30°， ∴∠POH＝60°， ∴OH＝OP＝1， 在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1， ∴CH＝＝， ∴CD＝2CH＝2． 故选：C． 反馈练习14． C． 例10． 【解答】解：连接OB，如图， ∵OC⊥AB， ∴AC＝BC＝AB＝2， 在Rt△OBC中，OC＝＝＝11， 当OC经过点D时，点D到AB的距离的最小， ∵OD＝＝5， ∴点D到AB的距离的最小值为11﹣5＝6． 故答案为6． 反馈练习15． 【解答】解：如图，点C在直线y＝x﹣8上运动设直线y＝x﹣8交y轴于D，取AB的中点F，连接CF，当CF⊥CD时，⊙F的半径最小． 过点A作AM⊥CD于M． ∵A（0，﹣4），B（8，0）， ∴OA＝4，OB＝8，直线AB的解析式为y＝x﹣4， ∴AB＝＝＝4， ∴AB∥CD， ∵AM⊥CD，FC⊥CD， ∴AM＝FC， ∵∠AOB＝∠MAB＝∠AMD＝90°， ∴∠BAO+∠DAM＝90°，∠DAN+∠ADM＝90°， ∴∠BAO＝∠ADM， ∴△BOA∽△AMD， ∴＝， ∴＝， ∴AM＝， ∴CF＝AM＝， 故选：C． 1． C． 2【解答】解：∵OC⊥AB，AB＝90cm， ∴AD＝AB＝45（cm）， 由题意得：OD＝（r﹣15）cm， 在Rt△OAD中，由勾股定理得：r2＝452+（r﹣15）2， 解得：r＝75， 即车轮半径为75cm， ∴车轮直径为150cm， 通过单位换算车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮． 故答案为：75． 3． 【解答】解：如图所示，CD⊥AB于点P． 根据题意，得AB＝10，CD＝6． ∵CD⊥AB， ∴CP＝CD＝3． 根据勾股定理，得OP＝＝＝4． 故答案为：4． 4． 【解答】解：如图，连接BO′， ∵A（6，0），C（﹣2，0）， ∴O′C＝O′A＝O′B＝4，OO′＝4﹣2＝2， 在Rt△BOO′中，由勾股定理得：OB＝＝2， ∴B的坐标为（0，﹣2）， 故答案为：（0，﹣2）． 5． 【解答】解：连接OF，作FG⊥AB于点G． 则EG＝DF﹣AE＝5﹣3＝2cm． 设⊙O的半径是R， 则OF＝R，OG＝R﹣2． 在直角△OFG中，OF2＝FG2+OG2， 即R2＝（R﹣2）2+42， 解得：R＝5． 则直径是10cm． 故答案是：10． 6． 【解答】解：连接OA，延长CO交⊙O于P′， ∵⊙O的半径为1，OD＝DC， ∴OD＝， 在Rt△AOD中，AD＝＝， ∵OC⊥AB， ∴AB＝2AD＝， 当点P在点P′的位置时，PD最大，此时S△PAB的最大，最大值＝××＝， 故答案为：． 7． 【解答】解：如图，过点O作OE⊥CD于点E，连接OD， ∴CD＝2DE， ∵直径AB＝12cm， ∴OD＝OB＝6cm， ∵P为OB的中点， ∴OP＝3cm， ∵∠APD＝30°， ∴OE＝OP＝cm， 在Rt△ODE中，DE＝＝（cm）， ∴CD＝3（cm）． 故选：A． 8． 解答】（1）证明：连接AC，如图 ∵直径AB垂直于弦CD于点E， ∴， ∴AC＝AD， ∵过圆心O的线CF⊥AD， ∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线， ∴AC＝CD， ∴AC＝AD＝CD． 即：△ACD是等边三角形， ∴∠FCD＝30°， 在Rt△COE中，， ∴， ∴点E为OB的中点； （2）解：在Rt△OCE中，AB＝8， ∴， 又∵BE＝OE， ∴OE＝2， ∴， ∴． 9． 【解答】解：（1）第四天，共有1+10+100+1000＝1111只鸡得了禽流感； 第五天，共有1111+10000＝11111只鸡得了禽流感， 那么到了第六天将会有十多万只鸡会得禽流感，而养殖场有4万只鸡， 所以到第六天，所有的鸡都会感染禽流感； （2）如图，过O作OE⊥AB于E， OA＝5千米，OC＝3千米，OE＝1千米， 由作法得，CE＝DE，AE＝BE， 在Rt△OCE中，CE＝＝2， ∴CD＝2CE＝4， 在Rt△OAE中，AE＝＝2， ∴AB＝2AE＝4， ∴AB﹣CD＝4（﹣）千米． 答：这条公路在该免疫区内有4（﹣）千米． $$