第11讲 圆的相关概念-2024-2025学年九年级数学暑假讲义（江苏专用）

第11讲 圆的相关概念 知识点及学习目标 圆的相关概念，弧弦角的关系 一． 圆的相关概念 （一）学习圆的弦、直径、弧、优弧与劣弧、圆心角的概念． 1．圆上有多少点？请你任意选两点用线段连接起来，这条线段叫做⊙O的 ． 2．在圆的所有弦中有无特殊的弦？这条特殊的弦叫做⊙O的 ． 3．在圆上任意找出两点，描画出两点间的曲线部分，这条曲线叫做⊙O的 ． 4．你找的两点将圆分成了两条弧： （1）有无可能这两条弧大小相等，互相重合？这种特殊的弧叫做 ． （2）有无可能其中的一条弧比另一条弧大？小于半圆的弧叫做 ，大于半圆的弧叫做 ．（优，劣弧的表示有何区别） 5．图形中的角有什么特征？你能给它起个名字吗？ （二）同心圆，等圆 小结： 1．直径是弦吗？弦是直径吗？ [来源:Z*xx*k.Com] 2．一条弦所对的弧有 条；半圆是优弧吗？半圆是劣弧吗？ 3．圆心角通常是指大于0°小于180°的角； 4．同圆是指同一个圆，等圆、同心圆都是指两个圆；等圆半径 ，同心圆圆心 ； 5．等弧的前提条件必须是在同圆或等圆中，长度相等的两弧不一定是等弧． 二．弧弦角的关系 活动一 （1）在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O和⊙O （2）在⊙O和⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB、∠，连接AB、. （3）将两张纸片叠在一起，使⊙O与⊙O重合（如图）. （4）固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA与OA重合. 通过观察可得： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 活动二： 1．一般地，n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角． 2．圆心角的度数与它所对的弧的度数相等． 考点一：圆的相关概念 例1．下列说法中，不正确的是（　　） A．直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相等的弧是等弧 反馈练习1．下列说法： ①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆． 正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 反馈练习2．下列判断正确的个数有（　　） ①直径是圆中最大的弦； ②长度相等的两条弧一定是等弧； ③半径相等的两个圆是等圆； ④弧分优弧和劣弧； ⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．如图，在⊙A中，试列举出一条直径、两条半径、三条弦、三段弧、三个圆周角、三个圆心角． 反馈练习3．如图，图中的直径有　 　 ，非直径的弦有　 　 ；图中以A为端点的弧中，优弧有　 　 ，劣弧有 　 ． 反馈练习4．如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中弦的条数有（　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 考点二：半径的相关应用 例3．如图，BD＝OD，∠B＝38°，求∠AOD的度数． 反馈练习5．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（　　） A．42° B．28° C．21° D．20° 反馈练习6．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，若△COD为直角三角形，则∠E的度数为　 　°． 例4．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连接AD、OD、OC．若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 反馈练习7．如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交半圆于点D，OB交半圆于点C，若点C、D、A在量角器上对应读数分别为45°，70°，160°，则∠B的度数为（　　） A．20° B．30° C．45° D．60° 反馈练习8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，则弧AD的度数为（　　） A．28° B．34° C．56° D．62° 例5．如图，⊙O的半径为6，△OAB的面积为18，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，P点 有　 　个． 反馈练习9．如图，在坐标系中，动点P在以O为圆心，10为半径的圆上运动，整数点P有　 　个． 例6．半径为2的圆中，弦AB、AC的长分别2和2，则∠BAC的度数是（　　） A．15° B．15°或45° C．15°或75° D．15°或105° 反馈练习10．如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在上，且不与M、N重合，当P点在上移动时，矩形PAOB的形状，大小随之变化，则AB的长度（　　） A．不变 B．变小 C．变大 D．不能确定 反馈练习11．如图，在扇形OMN中，∠MON＝90°，OM＝6，△ABC是扇形的内接三角形，其中A、C、B分别在半径OM、ON和弧MN上，∠ACB＝90°，BC：AC＝3：8，则线段BC的最小值为　 　． 反馈练习12．对于⊙P及一个矩形给出如下定义：如果⊙P上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称⊙P是该矩形的“等距圆”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A的坐标为（，2），顶点C、D在x轴上，OC＝OD，且⊙P的半径为4． （1）在P1（0，﹣2），P2（2，3），P3（﹣2，1）中可以成为矩形ABCD的“等距圆”的圆心的是　 　； （2）如果点P在直线y＝x+1上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”，那么点P的坐标为　 　． 考点三：弧弦角的关系 例7．如图，已知AB、CD是⊙O的直径，＝，∠BOD＝32°，则∠COE的度数为　 　度． 反馈练习13．已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，且AB＝CD，∠AOC＝35°，则∠BOD＝　 　°． 例8．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD＝CO．若的度数为35°，则的度数是　 　． 反馈练习14．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝110°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 例9．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE＝BF，AC与BD相等吗？为什么？ 反馈练习15．已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB＝2，∠BAC＝30°．在图中作弦AD，使AD＝1，并求∠CAD的度数． 反馈练习16．如图，已知AB、AC是⊙O的弦，AD平分∠BAC交⊙O于D，弦DE∥AB交AC于P，求证：OP平分∠APD． 1．下列语句正确的有（　　） ①直径是弦； ②半圆是弧； ③长度相等的弧是等弧； ④经过圆内一定点可以作无数条弦； ⑤经过圆内一定点可以作无数条直径． A．3 个 B．2个 C．1 个 D．4个 2．在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作，如图所示．若AB＝4，AC＝2，S1﹣S2＝，则S3﹣S4的值是（　　） A． B． C． D． 3．如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在弧MN上，且不与M，N重合，当P点在弧MN上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则PA2+PB2的值（　　） A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定 4．已知MN为直径，ABCD，EFGD是正方形，小正方形的面积为16，求圆的半径． 5．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC． （1）求∠AOB的度数． （2）求∠EOD的度数． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第11讲 适用区域 江苏 适用年级 九年级 考点一：圆的相关概念 例1． D． 反馈练习1． C． 反馈练习2． B． 例2． 【解答】解：直径为：直径CD； 两条半径为：AE、AD等； 三条弦为：EC、BC、BF； 三段弧为：、、； 三个圆周角为：∠ECD，∠BCD，∠ECB； 三个圆心角为：∠EAC、∠DAB，∠BAC； 反馈练习3． 【解答】解：图中的直径有AB，非直径的弦有CD、EF；图中以A为端点的弧中，优弧有，，，，劣弧有，，，， 故答案为：AB；CD、EF；，，，；，，，． 反馈练习4． B． 考点二：半径的相关应用 例3． 【解答】解：∵BD＝OD，∠B＝38°， ∴∠DOB＝∠B＝38°， ∴∠ADO＝∠DOB+∠B＝2×38°＝76°， ∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ADO＝76°， ∴∠AOD＝180°﹣∠A﹣∠ADO＝180°﹣76°﹣76°＝28°． 反馈练习5． 【解答】解：连接OD，如图， ∵OB＝DE，OB＝OD， ∴DO＝DE， ∴∠E＝∠DOE， ∵∠1＝∠DOE+∠E， ∴∠1＝2∠E， 而OC＝OD， ∴∠C＝∠1， ∴∠C＝2∠E， ∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E， ∴∠E＝∠AOC＝×84°＝28°． 故选：B． 反馈练习6． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∵AB＝2DO， 而AB＝2DE， ∴DO＝DE， ∴∠DOE＝∠E， ∵△COD为直角三角形， 而OC＝OD， ∴△COD为等腰直角三角形， ∴∠CDO＝45°， ∵∠CDO＝∠DOE+∠E， ∴∠E＝∠CDO＝22.5°． 故答案为22.5°． 例4．D． 反馈练习7． A． 反馈练习8． C． 例5． 【解答】解：解法一：过O作OC⊥AB于C，则AC＝BC， 设OC＝x，AC＝y， ∵AB是⊙O的一条弦，⊙O的半径为6， ∴AB≤12， ∵△OAB的面积为18， ∴， 则y＝， ∴， 解得x＝3或﹣3（舍）， ∴OC＝3＞4， ∴4＜OP≤6， ∵点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，P点有4个． 解法二：设△AOB中OA边上的高为h， 则，即， ∴h＝6， ∵OB＝6， ∴OA⊥OB，即∠AOB＝90°， ∴AB＝6，图中OC＝3， 同理得：点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，P点有4个． 故答案为：4． 反馈练习9． 【解答】解：设点P（x，y）， 由题意知：x2+y2＝100， 则方程的整数解是：x＝6，y＝8；x＝8，y＝6；x＝10，y＝0；x＝6，y＝﹣8；x＝8，y＝﹣6；x＝0，y＝﹣10； x＝﹣6，y＝﹣8；x＝﹣8，y＝﹣6；x＝﹣10，y＝0；x＝﹣6，y＝8；x＝﹣8，y＝6；x＝0，y＝10． 所以点P的坐标可以是：（6，8），（8，6），（10，0），（6，﹣8）（8，﹣6），（0，﹣10） （﹣6，﹣8），（﹣8，﹣6），（﹣10，0），（﹣6，8），（﹣8，6）（0，10）． 所以，这样的整数点有12个． 例6． D． 反馈练习10． A． 反馈练习11．【解答】解：取AC的中点M，连接BM，OM，BO． ∵BC：AC＝3：8， ∴可以假设BC＝3k，AC＝8k，则CM＝AM＝4k， ∵∠ACB＝∠COA＝90°， ∴BM＝＝＝5k，OM＝AC＝4k， ∵BM+OM≥OB， ∴5k+4k≥6， ∴k≥， ∴k的最小值为， ∴BC的最小值为3×＝2， 故答案为2． 反馈练习12． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，OC＝OD，A（，2）， ∴它的中心E点坐标为坐标为（0，1），如图， ∵P1E＝1﹣（﹣2）＝3，P2E＝＝4，P3E＝＝2 而⊙P的半径为4． ∴矩形ABCD的“等距圆”的圆心是点P2； （2）设P（t，﹣t+1）， ∴PE＝4， ∴t2+（﹣t+1﹣1）2＝42，解得t＝2或t＝﹣2， ∴P点坐标为（2，﹣1）或（﹣2，3）． 故答案为点P2（2，﹣1）或（﹣2，3）． 考点三：弧弦角的关系 例7．【解答】解：∵∠BOD＝32°， ∴∠AOC＝∠BOD＝32°， ∵＝， ∴∠AOE＝∠AOC＝32°， ∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝32°+32°＝64°， 故答案为：64． 反馈练习13．【解答】解：∵AB＝CD， ∴＝， ∴∠AOB＝∠COD， ∴∠BOD＝∠AOC＝35°， 故答案为35． 例8. 【解答】解：连接OD、OE， ∵的度数为35°， ∴∠AOD＝35°， ∵CD＝CO， ∴∠ODC＝∠AOD＝35°， ∵OD＝OE， ∴∠ODC＝∠E＝35°， ∴∠DOE＝110°， ∴∠AOE＝75°， ∴∠BOE＝105°， ∴的度数是105°． 故答案为105°． 反馈练习14．【解答】解：连接OD，如图， ∵扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C， ∴BC垂直平分OD， ∴BD＝BO， ∵OB＝OD， ∴BD＝BO＝DO， ∴△OBD为等边三角形， ∴∠DOB＝60°， ∴∠AOD＝∠AOB﹣∠DOB＝110°﹣60°＝50°， ∴的度数为50°， 故选：B． 例9【解答】解：AC与BD相等．理由如下： 连接OC、OD，如图， ∵OA＝OB，AE＝BF， ∴OE＝OF， ∵CE⊥AB，DF⊥AB， ∴∠OEC＝∠OFD＝90°， 在Rt△OEC和Rt△OFD中， ， ∴Rt△OEC≌Rt△OFD（HL）， ∴∠COE＝∠DOF， ∴＝， ∴AC＝BD． 反馈练习15． 【解答】解：连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝30°， ∴BC＝AB＝1，∠B＝60°， 以A圆心BC长为半径画弧可得点D，再连接AD即可； ∵AD＝BC， ∴＝， ∴∠DAB＝∠B＝60°， ∴∠DAC＝60°﹣30°＝30°； 同理可得：∠D′AC＝60°+30°＝90°； 综上所述：∠CAD的度数为30°或90°． 反馈练习16． 【解答】证明：作OM⊥AC于M，ON⊥DE于N，如图， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵CD弧＝BD弧， ∵DE∥AB， ∴∠ADE＝∠BAD， ∴AE弧＝BD弧， ∴AE弧＝CD弧， ∴AE弧+EC弧＝EC弧+CD弧，即AC弧＝ED弧， ∴AC＝DE， ∴OM＝ON， ∴OP平分∠APD． 1． A． 2． D． 3． C． 4． 【解答】解：连接OC、OF， 设AD＝2x， ∵CO2＝DO2+CD2， ∴x2+（2x）2＝r2， ∵OF2＝OG2+FG2， ∴r2＝（x+4）2+42＝x2+8x+32， ∴x2+（2x）2＝x2+8x+32， 解得：x1＝4，x2＝﹣2（舍去）， ∴r2＝5×42， r＝4． 5． 【解答】解：（1）连OB，如图， ∵AB＝OC，OB＝OC， ∴AB＝BO， ∴∠AOB＝∠1＝∠A＝20°； （2）∵∠2＝∠A+∠1， ∴∠2＝2∠A， ∵OB＝OE， ∴∠2＝∠E， ∴∠E＝2∠A， ∴∠DOE＝∠A+∠E＝3∠A＝60°． $$