第09讲 确定圆的条件-2024-2025学年九年级数学暑假讲义（江苏专用）

第09讲 确定圆的条件 知识点及学习目标 确定圆的条件，外心，点与圆的位置关系 1．圆的定义：如图，在同一平面内，线段OP绕它固定的端点O在平面内旋转一周，另一个端点P运动所形成的图形叫做圆。 其中，定点O叫做圆心，线段OP叫做半径。以O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O” 圆的集合的概念：圆的半径相等，得出圆上的各点到圆心得距离相等，都等于半径，反过来到圆心得距离等于半径的点都在圆上， 用集合的观点描述圆：圆是到定点的距离等于定长的点的集合（类比角平分线、线段的垂直平分线） 2．确定圆的条件以及相关概念 定理： 的三点确定一个圆． 经过三角形三个顶点可以作一个圆， 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的 圆． 外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做这个圆的 . O A B C 如图，点 A，B，C 都在⊙O上，△ABC 是⊙O的_________三角形；⊙O 是△ABC 的_________圆。 3．点与圆的位置关系 归纳:如图右图，设⊙O 的半径为r,点P到圆心O的距离为d，那么：[来源:学科网ZXXK] ①点P在圆 d r ②点P在圆 d r ③点P在圆 d r 考点一：确定圆的条件 例1． 三点确定一个圆．　 　（判断对错） 反馈练习1．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（　　） A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块 反馈练习2．如图，点A、B、C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四个点中的任意3个，能画的圆有（　　） A．1 个 B．2个 C．3个 D．4 个 例2．平面直角坐标系内的三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3），　 　确定一个圆，（填“能”或“不能”）． 反馈练习3．当点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件　 　 ． 考点二：三角形外接圆 ，外心 例3．△ABC的外接圆圆心是该三角形（　　）的交点． A．三条边垂直平分线 B．三条中线 C．三条角平分线 D．三条高 例4．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，4），（5，4），（1，0），则以A、B、C为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是（　　） A．（3，2） B．（2，3） C．（1，3） D．（3，1） 反馈练习4．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是点A（﹣3，0）、点B（﹣1，2）、点C（3，2），则△ABC的外心的坐标是（　　） A．（0，﹣1） B．（0，0） C．（1，﹣1） D．（1，﹣2） 反馈练习5．已知点O是△ABC的外心，作正方形OCDE，下列说法：①点O是△AEB的外心；②点O是△ADC的外心；③点O是△BCE的外心；④点O是△ADB的外心．其中一定不成立的说法是（　　） A．②④ B．①③ C．②③④ D．①③④ 例5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则其外接圆的半径为（　　） A．15 B．7.5 C．6 D．3 反馈练习6．A、B、C分别表示三个村庄，AB＝1700米，BC＝800米，AC＝1500米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（　　） A．AB的中点 B．BC的中点 C．AC的中点 D．∠C的平分线与AB的交点 反馈练习7．若一个直角三角形的两条直角边长分别为7cm和24cm，则这个三角形的外接圆的直径长 为　 　 cm． 反馈练习8．边长为3cm的等边三角形的外接圆半径是　 　． 例6．已知⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为2，AB＝2，AC＝，则∠BAC＝　 　． 反馈练习9．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x，y的正半轴上，以AB所在的直线为对称轴将△ABO翻折，使点O落在点C处，若点C的坐标为（4，8），则△AOC的外接圆半径为　　 ． 反馈练习10．我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心． （1）如图1，点P在线段BC上，∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，BP＝CD．求证：点P是△APD的准外心； （2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，△ABC的准外心P在△ABC的直角边上，试求AP的长． 考点三：点与圆的位置关系 例7．已知⊙O的半径是4，OA＝3，则点A与⊙O的位置关系是（　　） A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．无法确定 反馈练习11．⊙O的直径为15cm，若点P与点O的距离为8cm，点P的位置（　　） A．在⊙O内 B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．不能确定 反馈练习12．若圆O的半径是5，圆心的坐标是（0，0），点P的坐标是（﹣4，3），则点P与⊙O的位置关系是　 　． 反馈练习13．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，若以点A为圆心，以4为半径作⊙A，则点A，点B，点C，点D四点中在⊙A外的是　 　． 例8．已知圆O的半径为5cm，点P在圆外，则OP长度的取值范围为　 　． 反馈练习14．⊙O的半径为3cm，若点P在⊙O内，则OP的长可能是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 反馈练习15．有一张矩形的纸片，AB＝3cm，AD＝4cm，若以A为圆心作圆，并且要使点D在⊙A内，而点C在⊙A外，⊙A的半径r的取值范围是　 　． 反馈练习16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，以B为圆心，BC长为半径的圆弧交AB于点D，若B，C，D三点中只有一点在以A为圆心的⊙A内，则⊙O的半径r的取值范围是　 　． 例9．一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为　 　． 反馈练习17．已知点P为平面内一点，若点P到⊙O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则⊙O的半径为　 　． 反馈练习18．一个点到定圆上最近点的距离为4，最远点的距离为11，则此圆的半径是　 　． 例10．如图，△ABC中，AC＝BC，CD是△ABC的高，AB＝8，CD＝3，以点C为圆心，半径为2作⊙C，点E是⊙C上一动点，连接AE，点F是AE的中点，则线段DF的最小值是　　 ． 反馈练习19．如图，点A（2，0）、M（0，1）分别是x轴和y轴上两点，点B是以M为圆心、1为半径的圆上的一个动点，连接AB，点C是AB的中点，连接OC，则OC的最大值为　 　． 反馈练习20．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（8，0），⊙O半径为3，B为⊙O上任意一点，P是AB的中点，则OP的最小值是　 　． 反馈练习21．在平面直角坐标系中，已知A（3，0），B是以M（3，4）为圆心，1为半径的圆周上的一个动点，连接BO，设BO的中点为C，则线段AC的最小值为　 　． 1．如图，已知点平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（　　） A．（6，8） B．（4，5） C．（4，） D．（4，） 2．已知⊙O的半径为1，AO＝d，且关于x的方程x2﹣2dx+1＝0有两个相等的实数根，则点A与⊙O的位置关系是（　　） A．在⊙O内 B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．无法确定 3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝5，点D是半径为4的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的取值范围是　 　． 4．阅读下列材料： 已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值． 解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81， 所以t＝±9，因为2m2+n2＞0，所以2m2+n2＝9． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）已知实数x、y，满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值； （2）已知Rt△ACB的三边为a、b、c（c为斜边），其中a、b满足（a2+b2）（a2+b2﹣4）＝5，求Rt△ACB外接圆的半径． 5．如图，△ABC内接于⊙O且AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝CA，连接AD交⊙O于点E，连接BE、CE． （1）求证：△ABE≌△CDE； （2）填空： ①当∠ABC的度数为　 　时，四边形AOCE是菱形； ②若AE＝6，EF＝4，DE的长为　 　． 第09讲 适用区域 江苏 适用年级 九年级 考点一：确定圆的条件 例1．×． 反馈练习1． A． 反馈练习2． C． 例2．不能． 反馈练习3． 5m+2n≠9． 考点二：三角形外接圆 ，外心 例3． A． 例4． A． 反馈练习4． D． 反馈练习5． 【解答】解：连接OB、OD、OA， ∵O为锐角三角形ABC的外心， ∴OA＝OC＝OB， ∵四边形OCDE为正方形， ∴OE＝OC＜OD， ∴OA＝OB＝OC＝OE≠OD， ∴OA＝OC≠OD，即O不是△ADC的外心， OA＝OE＝OB，即O是△AEB的外心， OB＝OC＝OE，即O是△BCE的外心， OB＝OA≠OD，即O不是△ABD的外心， 故选：A． 例5． B． 反馈练习6． A． 反馈练习7． 25． 反馈练习8． cm． 例6． 15°或105°． 反馈练习9．【解答】解：如图， 过点C作CE⊥y轴于点E， 连接OC交AB于点D， 根据翻折可知：AB是OC的垂直平分线， 作AO的垂直平分线交AB于点O′， 则点O′即为△AOC的外心， 设OB＝CB＝x， ∵点C（4，8） ∴CE＝4，OE＝8， 则OC＝＝＝4 ∴CD＝OD＝2， EB＝8﹣x， 在Rt△CEB中，根据勾股定理，得 x2＝（8﹣x）2+42，解得x＝5， 即OB＝BC＝5， ∴BD＝＝＝ ∵OD2＝BD•AD∴AD＝4 设OO′＝AO′＝r， 则DO′＝4﹣r， ∴（4﹣r）2+（2）2＝r2 解得r＝． 所以△AOC的外接圆半径为：． 反馈练习10．【解答】（1）证明：∵∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°， ∴∠APB+∠PAB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°， ∴∠PAB＝∠DPC， 在△ABP和△PCD中， ， ∴△ABP≌△PCD（AAS）， ∴AP＝PD， ∴点P是△APD的准外心； （2）解：∵∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3， ∴AC＝＝4， 当P点在AB上，PA＝PB，则AP＝AB＝； 当P点在AC上，PA＝PC，则AP＝AC＝2， 当P点在AC上，PB＝PC，如图2， 设AP＝t，则PC＝PB＝4﹣x， 在Rt△ABP中，32+t2＝（4﹣t）2，解得t＝， 即此时AP＝， 综上所述，AP的长为或2或． 考点三：点与圆的位置关系 例7． A． 反馈练习11． B． 反馈练习12．点P在圆O上． 反馈练习13． C． 例8． OP＞5． 反馈练习14． A． 反馈练习15． 4cm＜r＜5cm． 反馈练习16． 2＜r≤2． 例9． 3cm或8cm． 反馈练习17． 2或3． 反馈练习18． 7.5或3.5． 例10．【解答】解：如图，连接BE，CE． ∵CA＝CB，CD⊥AB， ∴AD＝DB＝AB＝4， ∵∠CDB＝90°，CD＝3， ∴BC＝＝＝5， ∵EC＝2， ∵5﹣2≤BE≤5+2， ∴3≤BE≤7， ∴BE的最小值为3， ∵AF＝FE，AD＝DB， ∴DF＝BE， ∴DF的最小值为， 反馈练习19．【解答】解：设D点是A点关y轴的对称点，连接DB， ∵OA＝OD，AC＝BC， ∴OC∥BD，OC＝BD， ∴当BD取得最大值时，OC的值最大， ∵D、M、B共线时，BD最大，如图， ∵点A（2，0）、M（0，1）， ∴OA＝2，OM＝1， ∴OD＝OA＝2，MB＝MO＝1， ∵DM＝＝＝， ∴BD＝+1， ∴OC＝BD＝，∴OC的最大值为． 反馈练习20．【解答】解：根据题意，当P在⊙O内，且OP+PA＝OA时，OP有最小值，如图， ∵A（8，0），⊙O半径为3， ∴OA＝8，OB＝3， ∴AB＝8+3＝11， ∵P是AB的中点， ∴AP＝5，5， ∴OP＝OA﹣AP＝8﹣5.5＝2.5， ∴OP的最小值是2.5， 故答案为2.5． 反馈练习21．解：过B作BD∥AC交x轴于D， ∵C是OB的中点， ∴OA＝AD， ∴AC＝BD， ∴当BD取最小值时，AC最小， 由图可知：当BD经过M时，线段BD的长最小，此时AC有最小值， ∵A（3，0），∴D（6，0）， ∵M（3，4）， ∴DM＝＝5，∴BD＝5﹣1＝4， ∴AC＝BD＝2，即线段AC的最小值为2； 1． C． 2． C． 3． 4.5≤BM≤8.5． 4． 【解答】解：（1）设2x2+2y2＝t，则原方程可变为（t+3）（t﹣3）＝27， 解得t＝±6， ∵2x2+2y2≥0， ∴2x2+2y2＝6， ∴x2+y2＝3； （2）（a2+b2）（a2+b2﹣4）＝5， 设a2+b2＝t，则原方程可变为t（t﹣4）＝5， 即t2﹣4t﹣5＝0， 解得t1＝5，t2＝﹣1， ∵a2+b2≥0， ∴a2+b2＝5， ∴c2＝5，∴c＝， ∴外接圆的半径为． 5． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，CD＝CA， ∴∠ABC＝∠ACB，AB＝CD， ∵四边形ABCE是圆内接四边形， ∴∠ECD＝∠BAE，∠CED＝∠ABC， ∵∠ABC＝∠ACB＝∠AEB， ∴∠CED＝∠AEB， ∴△ABE≌△CDE（AAS）； （2）①当∠ABC的度数为60°时，四边形AOCE是菱形； 理由是：连接AO、OC， ∵四边形ABCE是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠AEC＝180°， ∵∠ABC＝60， ∴∠AEC＝120°＝∠AOC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝30°， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵∠ACB＝∠CAD+∠D， ∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠D＝30°， ∴∠ACE＝180°﹣120°﹣30°＝30°， ∴∠OAE＝∠OCE＝60°， ∴四边形AOCE是平行四边形， ∵OA＝OC， ∴▱AOCE是菱形； ②∵△ABE≌△CDE， ∴AE＝CE＝6，BE＝ED， ∴∠ABE＝∠CBE，∠CBE＝∠D， 又∵∠EAC＝∠CBE， ∴∠EAC＝∠D． 又∵∠CED＝∠AEB，∴△AEF∽△DEC， ∴＝，即＝，解得DE＝9． 故答案为：①60°；②9． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$