第08讲 相似三角形的应用-2024-2025学年九年级数学暑假讲义（江苏专用）

第08讲 相似三角形的应用 知识点及学习目标 位似三角形的应用：平行投影，中心投影，其他 相似三角形的实际应用： 平行投影 中心投影 考点一：平行投影 例1．一棵高为6m的树在地面上的影长为2m，此时测得附近一个建筑物的影长为5m，该建筑物的高为（　　） A．9m B．30m C．2.5m D．15m 反馈练习1．如图，实验中学某班学生在学习完《利用相似三角形测高》后，利用标杆BE测量学校体育馆的高度．若标杆BE的高为1.5米，测得AB＝2米，BC＝14米，求学校体育馆CD的高度． 反馈练习2．如图，直立在点B处的标杆AB长2.5m，站立在点F处的观察者从点E处看到标杆顶A、树顶C在一条直线上．已知BD＝10m，FB＝3m，人目高EF＝1.7m，求树高DC（精确到0.1m） 反馈练习3．如图，某同学正向着教学楼（AB）走去，他发现教学楼后面有一座5G信号接收塔（DC），可过了一会抬头一看：“怎么看不到接收塔了？”心里很是纳闷．经过了解，教学楼、接收塔的高分别是21.6m和31.6m，它们之间的距离为30m，该同学的眼睛距地面高度（EF）是1.6m．当他刚发现接收塔的顶部D恰好被教学楼的顶部A挡住时，他与教学楼（AB）之间的距离为多少米？ 例2．《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北、西边正中A、C处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为（　　） A．360步 B．270步 C．180步 D．90步 反馈练习4．如图是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角∠AMC＝30°，窗户的高在教室地面上的影长MN＝米，窗户的下檐到教室地面的距离BC＝1米（点M、N、C在同一直线上），则窗户的高AB为　 　米． 考点二：中心投影 例3．如图，小明想测量河对岸建筑物AB的高度，在地面上C处放置了一块平面镜，然后从C点向后退了2.4米至D处，小明的眼睛E恰好看到了镜中建筑物A的像，在D处做好标记，将平面镜移至D处，小明再次从D点后退2.52米至F处，眼睛G恰好又看到了建筑物顶端A的像，已知小明眼睛距地面的高度ED，GF均为1.6米，求建筑物AB的高度．（注：图中的左侧α，β为入射角，右侧的α，β为反射角） 反馈练习5．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求BC的长． （2）求灯泡到地面的高度AG． 例4．如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯BC下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m．小明在路灯BC下的影子顶部恰好位于路灯DA的正下方，小亮在路灯AD下的影子顶部恰好位于路灯BC的正下方． ①计算小亮在路灯AD下的影长； ②计算AD的高． 反馈练习6．如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP＝QB． （1）求两个路灯之间的距离． （2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？ 反馈练习7．如图，小超想要测量窗外的路灯PH的高度．星期天晚上，他发现灯光透过窗户照射在房间的地板上，窗户的最高点C落在地板B处、窗户的最低点落在地板A处，小超测得窗户距地面的高度QD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得AQ＝1m，AB＝2m．请根据以上测量数据，求窗外的路灯PH的高度． 考点三：其他应用 例5．有一个三角形木架三边长分别是15cm，20cm，24cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为12cm和24cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（　　） A．一种 B．两种 C．三种 D．四种 例6．如图①，四边形ABCD是矩形，AB＝1，BC＝2，点E是线段BC上一动点（不与B、C两点重合），点F是线段BA延长线的一动点，连接DE，EF，DF，EF交AD于点G，设BE＝x，AF＝y，已知y与x之间的函数关系式如图②所示， （1）图②中y与x的函数关系式为　 　； （2）求证：△CDE∽△ADF； （3）当△DEG是等腰三角形时，求x的值． 反馈练习8．如图，在平面直角坐标系中，点B（6，5），过点B作x轴的垂线，垂足为A，作y轴的垂线，垂足为C．点D从O出发，沿y轴正方向以每秒1个单位长度运动；点E从O出发，沿x轴正方向以每秒3个单位长度运动；点F从B出发，沿BA方向以每秒2个单位长度运动．当E点运动到点A时，三点随之停止运动，运动过程中△ODE关于直线DE的对称图形是△O′DE，设运动时间为t． （1）用含t的代数式分别表示点E，点F的坐标． （2）若△ODE与以点A，E，F为顶点的三角形相似，求t的值． （3）是否存在这样的t，使得以D，E，F，O所围成的四边形中有一组对边平行？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 反馈练习9．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2cm，AB＝BC＝8cm，CD＝10cm．动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B﹣A﹣D﹣C方向向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C﹣D﹣A方向向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时，另一点也同时停止，设运动时间为t秒．问： （1）当点P在边BA上运动，t＝　 　时，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分； （2）在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由； （3）在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值或取值范围；若不存在，请说明理由． 1．如图，小明同学用自制直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50cm，DE＝40cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝12m，则树高AB＝　 　m． 2．如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝5m，求围墙AB的高度． 3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2cm，AB＝BC＝8cm，CD＝10cm．动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B﹣A﹣D﹣C方向向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C﹣D﹣A方向向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点停止时另一个点同时停止，设运动时间为t秒．问： （1）当点P在边BA上运动，t＝　 　时，直线PQ将梯形ABCD的周长平分； （2）在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由； （3）在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的t的值或取值范围． 第08讲 适用区域 江苏 适用年级 九年级 考点一：平行投影 例1． D． 反馈练习1．【解答】解：依题意得BE∥CD， ∴△AEB∽△ADC， ∴，即， 则CD＝12． 反馈练习2．【解答】解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，如下图所示： 由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD， ∵EH⊥CD，EH⊥AB ∴四边形EFDH为矩形 ∴EF＝GB＝DH＝1.7，EG＝FB＝3，GH＝BD＝10 ∴AG＝AB﹣GB＝0.8 ∵EH⊥CD，EH⊥AB， ∴AG∥CH， ∴△AEG∽△CEH ∴ ∵EH＝EG+GH＝13 ∴CH＝≈3.5 ∴CD＝CH+HD＝5.2 答：故树高DC为5.2米． 反馈练习3．【解答】解：如图，过E作EG⊥CD交AB于H，CD于G， 根据题意可得：四边形EFCG是矩形， ∴EF＝HB＝CG＝1.6m，EH＝FB，HG＝BC＝30m， ∴AH＝20m，DG＝30m， 由AH∥DG得：△AEH∽△DEG， ∴， 即∴． ∴EH＝60． 答：某同学与教学楼（AB）之间的距离为60米． 例2． 【解答】解：如图，设正方形城池的边长为x步，则AE＝CE＝x， ∵AE∥CD， ∴∠BEA＝∠EDC， ∴Rt△BEA∽Rt△EDC， ∴＝，即＝， ∴x＝360， 即正方形城池的边长为360步． 故选：A． 反馈练习4．【解答】解：∵BN∥AM ∴Rt△CBN∽Rt△CAM 即＝tan30°＝﹣﹣﹣（1） ∵AM∥NB ∴＝tan30°＝ 即NC＝ 代入（1）得＝ 即AB＝2m． 考点二：中心投影 例3．【解答】解：设AB为xm，BC为ym， 根据题意知，△ABC∽△DEC，有＝①． △ABD∽△GFD，有＝②． 联立①②，得x＝32． 答：建筑物AB的高度为32m． 反馈练习5．【解答】解：（1）由题意可得：FC∥DE， 则△BFC∽BED， 故， 即， 解得：BC＝3； （2）∵AC＝5.4m， ∴AB＝5.4﹣3＝2.4（m）， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴∠FBC＝∠GBA， 又∵∠FCB＝∠GAB， ∴△BGA∽△BFC， ∴＝， ∴， 解得：AG＝1.2（m）， 答：灯泡到地面的高度AG为1.2m． 例4．【解答】解：①∵EP⊥AB，CB⊥AB， ∴∠EPA＝∠CBA＝90° ∵∠EAP＝∠CAB， ∴△EAP∽△CAB ∴ ∴∴AB＝10 BQ＝10﹣2﹣6.5＝1.5； ②∵FQ⊥AB，DA⊥AB， ∴∠FQB＝∠DAB＝90° ∵∠FBQ＝∠DBA， ∴△BFQ∽△BDA∴＝∴∴DA＝12． 反馈练习6．【解答】解：（1）如图1， ∵PM∥BD， ∴△APM∽△ABD， ＝，即＝， ∴AP＝AB， ∵NQ∥AC， ∴△BNQ∽△BCA， ∴＝，即＝， ∴BQ＝AB， 而AP+PQ+BQ＝AB， ∴AB+12+AB＝AB， ∴AB＝18． 答：两路灯的距离为18m； （2）如图2，他在路灯A下的影子为BN， ∵BM∥AC， ∴△NBM∽△NAC， ∴＝，即＝，解得BN＝3.6． 答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6m． 反馈练习7．【解答】解：∵DQ⊥BP， ∴∠CQB＝90°， ∵QD＝1m，QA＝1m， ∴∠QAD＝45°， ∵PH⊥PB， ∴∠HAP＝45°， ∴PH＝PA， 设PH＝PA＝xm， ∵PH⊥PB，CQ⊥PB， ∴PH∥CQ， ∴△PBH∽△QBC， ∴ 解得：x＝10，经检验：x＝10是原方程的解． 答：窗外的路灯PH的高度是10m． 考点三：其他应用 例5． 【解答】解：长24cm的木条与三角形木架的最长边相等，要满足两边之和大于第三边，则长24cm的木条不能作为一边， 设从24cm的木条上截下两段长分别为xcm，ycm（x+y≤24）， 由于长12cm的木条不能与15cm的一边对应，否则x+y＞24cm， 当长12cm的木条与20cm的一边对应，则＝＝， 解得：x＝9，y＝15； 当长12cm的木条与24cm的一边对应，则＝＝， 解得：x＝7.5，y＝10． ∴有两种不同的截法：把24cm的木条截成9cm、15cm两段或把24cm的木条截成7.5cm、10cm两段． 故选：B． 例6． 【解答】（1）解：设y＝kx+b， 由图象得：当x＝1时，y＝2，当x＝0时，y＝4， 代入得：， ， ∴y＝﹣2x+4（0＜x＜2）． 故答案为：y＝﹣2x+4（0＜x＜2）． （2）证明：∵BE＝x，BC＝2 ∴CE＝2﹣x， ∴＝＝，＝， ∴＝， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝∠DAF＝90°， ∴△CDE∽△ADF， ∴∠ADF＝∠CDE． （3）解：假设存在x的值，使得△DEG是等腰三角形， ①若DE＝DG，则∠DGE＝∠DEG， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠DGE＝∠GEB， ∴∠DEG＝∠BEG， 在△DEF和△BEF中， ， ∴△DEF≌△BEF（AAS）， ∴DE＝BE＝x，CE＝2﹣x， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：1+（2﹣x）2＝x2， x＝． ②若DE＝EG，如图①，作EH∥CD，交AD于H， ∵AD∥BC，EH∥CD， ∴四边形CDHE是平行四边形， ∴∠C＝90°， ∴四边形CDHE是矩形， ∴EH＝CD＝1，DH＝CE＝2﹣x，EH⊥DG， ∴HG＝DH＝2﹣x， ∴AG＝2x﹣2， ∵EH∥CD，DC∥AB， ∴EH∥AF， ∴△EHG∽△FAG， ∴＝， ∴＝， ∴x1＝，x2＝（舍）， 经检验x＝是分式方程的解， ∴x＝． ③若DG＝EG，则∠GDE＝∠GED， ∵AD∥BC， ∴∠GDE＝∠DEC， ∴∠GED＝∠DEC， ∵∠C＝∠EDF＝90°， ∴△CDE∽△DFE，∴＝， ∵△CDE∽△ADF，∴＝＝， ∴＝，∴2﹣x＝，∴x＝． 综上，x＝或或． 反馈练习8．【解答】解：（1）由题可得OE＝3t，OD＝t，BF＝2t． ∵BA⊥x轴，BC⊥y轴，∠AOC＝90°， ∴∠AOC＝∠BAO＝∠BCO＝90°， ∴四边形OABC是矩形， ∴AB＝OC，BC＝OA． ∵B（6，5）， ∴BC＝OA＝6，AB＝OC＝5， ∴AF＝5﹣2t，AE＝6﹣3t， ∴点E的坐标为（3t，0），点F的坐标为（6，5﹣2t）． （2）①当△ODE∽△AEF时， 则有＝， ∴＝， 解得t1＝0（舍），t2＝， 经检验t＝是分式方程的解． ②当△ODE∽△AFE时， 则有＝， ∴＝， 解得t1＝0（舍），t2＝3， 经检验，t＝6是分式方程的解． ∵点E运动到点A时，三点随之停止运动， ∴3t≤6，∴t≤2． ∵3＞2，∴t＝3舍去， 综上所述：t的值为． （3）过点O′作x轴的平行线与y轴交于点M，与过点E的y轴的平行线交于点N，如图1， 则有∠DMN＝90°，∠N＝90°． 由折叠可得DO′＝DO＝t，O′E＝OE＝3t，∠DO′E＝∠DOE＝90°， ∴∠DMO′＝∠N＝90°，∠MDO′＝90°﹣∠MO′D＝∠NO′E， ∴△MDO′∽△NO′E， ∴＝＝＝＝， ∴NE＝3MO′，NO′＝3MD， 设MO′＝a， 则有OM＝NE＝3a，NO′＝3t﹣a，MD＝3a﹣t， ∴3t﹣a＝3（3a﹣t）， 解得：a＝t， ∴MO′＝t，OM＝t，∴点O′的坐标为（t，t）． ①若DO′∥EF，如图2， 延长O′D交x轴于S， 则有O′M∥OS，∠DSE＝∠FEA， ∴∠MO′D＝∠DSE＝∠FEA． ∵∠O′MD＝∠EAF＝90°，∴△O′MD∽△EAF，∴＝， ∴＝， 解得：t1＝0（舍去），t2＝，经检验t＝是分式方程的解． ②若O′F∥DE，如图3， 过点O′作x轴的平行线与AB交于点Q，延长DE交BA的延长线于点T， 同①可得△DOE∽△FQO′， ∴＝， ∴＝， 解得t1＝0（舍去），t2＝． 综上所述：t的值为或． 反馈练习9．【解答】解：（1）∵BP＝CQ＝t， ∴AP＝8﹣t，DQ＝10﹣t， ∵AP+AD+DQ＝PB+BC+CQ， ∴8﹣t+2+10﹣t＝t+8+t， ∴t＝3＜8， ∴当t＝3秒时，PQ将梯形ABCD周长平分． 故答案为3． （2）第一种情况：如图1中，当0＜t≤8时，若△PAD∽△QEC，则∠ADP＝∠C， ∴tan∠ADP＝tan∠C＝＝， ∴＝， ∴t＝． 若△PAD∽△CEQ则∠APD＝∠C， ∴tan∠APD＝tan∠C＝， ∴＝， ∴t＝． 第二种情况：当8＜t≤10时，P、A、D三点不能组成三角形． 第三种情况：当10＜t≤12时，△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似． ∴t＝或t＝时，△PAD与△CQE相似． （3）第一种情况：如图2中，当0≤t≤8时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H． ∵AP＝8﹣t，AD＝2， ∴PD＝＝， ∵CE＝t，QE＝t， ∴QH＝BE＝8﹣t，BH＝QE＝t， ∴PH＝t﹣t＝t， ∴PQ＝＝，DQ＝10﹣t， 当DQ＝DP，10﹣t＝， 解得t＝8秒， 当DQ＝PQ，10﹣t＝， 化简得：3t2﹣52t+180＝0， 解得：t＝或＞8（不合题意舍去）， ∴t＝． 第二种情况：如图3中，8≤t≤10时．DP＝DQ＝10﹣t． ∴当8≤t＜10时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立． 第三种情况：如图4中，10＜t≤12时．DP＝DQ＝t﹣10． ∴当10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立． 综上所述，t＝或8≤t＜10或10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立． 1．【解答】解：在Rt△DEF中，DE2+EF2＝DF2， 即：402+EF2＝502， ∴EF＝30， 由题意得：∠BCD＝∠DEF＝90°，∠CDB＝∠EDF， ∴△DCB∽△DEF， ＝， ∵EF＝30cm＝0.3m，DE＝40cm＝0.4m，CD＝12m， ∴＝， 解得：BC＝9米， ∵AC＝1.5m， ∴AB＝AC+BC＝1.5+9＝10.5（m）． 故答案是：10.5． 2．【解答】解：延长OD， ∵DO⊥BF， ∴∠DOE＝90°， ∵OD＝1m，OE＝1m， ∴∠DEB＝45°， ∵AB⊥BF， ∴∠BAE＝45°， ∴AB＝BE， 设AB＝EB＝xm， ∵AB⊥BF，CO⊥BF， ∴AB∥CO，∴△ABF∽△COF，∴＝， ∴＝，解得：x＝4． 经检验：x＝4是原方程的解． 答：围墙AB的高度是4m． 3．【解答】解：（1）∵BP＝CQ＝t， ∴AP＝8﹣t，DQ＝10﹣t， ∵AP+AD+DQ＝PB+BC+CQ， ∴8﹣t+2+10﹣t＝t+8+t． ∴t＝3＜8． ∴当t＝3秒时，PQ将梯形ABCD周长平分． 故答案为：3秒． （2）第一种情况：0＜t≤8，若△PAD∽△QEC，则∠ADP＝∠C． ∴tan∠ADP＝tan∠C＝＝， ∴＝， ∴t＝． 若△PAD∽△CEQ则∠APD＝∠C ∴tan∠APD＝tan∠C＝， ∴＝，∴t＝． 第二种情况：8＜t≤10，P、A、D三点不能组成三角形． 第三种情况：10＜t≤12，△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似； ∴t＝或t＝时，△PAD与△CQE相似． （3）第一种情况：当0≤t≤8时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H． ∵AP＝8﹣t，AD＝2， ∴PD＝＝， ∵CE＝t，QE＝t， ∴QH＝BE＝8﹣t，BH＝QE＝t， ∴PH＝t﹣t＝t， ∴PQ＝＝，DQ＝10﹣t． Ⅰ：DQ＝DP，10﹣t＝， 解得t＝8秒． Ⅱ：DQ＝PQ，10﹣t＝， 化简得：3t2﹣52t+180＝0， 解得：t＝，t＝＞8（舍弃）， ∴t＝． 第二种情况：8≤t≤10时．DP＝DQ＝10﹣t． ∴当8≤t＜10时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立． 第三种情况：10＜t≤12时．DP＝DQ＝t﹣10． ∴当10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立． 综上所述，t＝或8≤t＜10或10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$