第07讲 图形的位似-2024-2025学年九年级数学暑假讲义（江苏专用）

第07讲 图形的位似 知识点及学习目标 位似性质应用，位似图形作图，重心性质 位似变换 画位似图形的一般步骤： （1）确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点） （2）分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）. （3）根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置. （4）顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形. ①②③④⑤ 注：①位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外， 或在图形上（图形边上或顶点上）。 ②外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图形） ③内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形） （5）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k（k>0）,原图形上点的坐标为（x,y）,那么同向位似图形对应点的坐标为(kx，ky), 反向位似图形对应点的坐标为(-kx，-ky) 考点一：位似图形性质 例1．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似为点O，且=，则＝　　 ． 反馈练习1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4），B（﹣8，﹣2），以原点O为位似中心，在y轴的右侧把线段AB缩小为原来的，则点A的对应点A′的坐标是　 　． 反馈练习2．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的，那么点B'的坐标是　 　． 例2．如图，以点C（0，1）为位似中心，将△ABC按相似比1：2缩小，得到△DEC，则点A（1，﹣1）的对应点D的坐标为　 　． 反馈练习3．如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是2，则点B的横坐标是　 　． 反馈练习4．如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为（2，4），点E的坐标为（﹣1，2），则点P的坐标为　 　． 反馈练习5．已知△ABC与△DEF是位似图形，以x轴上的一点为位似中心，点A（﹣1，1）的对应点D的坐标为（1，2），则B（2，﹣2）的对应点E的坐标为　 　． 例3．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，∠OCD＝90°，∠AOB＝60°，若点B的坐标是（6，0），则点C的坐标是　 　． 反馈练习6．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点D的坐标为（　　） A．（3，3） B．（4，3） C．（3，1） D．（4，1） 反馈练习7．如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A（8，0），O（0，0），B（8，﹣6），点M为OB的中点．以点O为位似中心，把△AOB缩小为原来的，得到△A′O′B′，点M′为O′B′的中点，则MM′的长为　 　． 考点二：位似图形作图 例4．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中， （1）画出△ABC向上平移6个单位，再向右平移5个单位后的△A1B1C1； （2）以点B为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2BC2，请在网格中画出△A2BC2； （3）直接写出△CC1C2的面积，及A1，A2的坐标． 反馈练习8．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）． （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）以点O为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1； （3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是　 　． 例5．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格图中，△ABC的顶点都在网格线交点上． （1）图中AC边上的高为　 　个单位长度； （2）只用没有刻度的直尺，在所给网格图中按如下要求画图（保留必要痕迹）： ①以点C为位似中心，把△ABC按相似比1：2缩小，得到△DEC； ②以AB为一边，作矩形ABMN，使得它的面积恰好为△ABC的面积的2倍． 反馈练习9．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点及点O都在格点上（每个小方格的顶点叫做格点）． （1）以点O为位似中心，在网格区域内画出△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC位似（A′、B′、C′分别为A、B、C的对应点），且位似比为2：1； （2）△A′B′C′的面积为　 　个平方单位； （3）若网格中有一格点D′（异于点C′），且△A′B′D′的面积等于△A′B′C′的面积，请在图中标出所有符合条件的点D′．（如果这样的点D′不止一个，请用D1′、D2′、…、Dn′标出） 考点三：重心 例6．如图，已知AB＝BC＝，AC＝4，点G为△ABC的重心，那么AG的长等于　　 ． 反馈练习10．如图，点G是△ABC的重心，CG的延长线交AB于点D，连接BG．若△BDG的面积为2，则△ABC的面积为　 　． 反馈练习11．如图，G是△ABC的重心，若S△ABC＝30，则图中阴影部分面积是　 　． 反馈练习12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，且AG⊥CG，CG的延长线交AB于H．则S△AGH：S△ABC的值为　 　． 例7．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，BD与CE交于点O，连接DE．下列结论：（1）OE•OB＝OD•OC；（2）；（3）；（4）．其中正确的个数有（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 反馈练习13．如图，在△ABC中，中线AD，BE相交于点F，EG∥BC，交AD于点G，下列说法：①BD＝2GE；②AF＝2FD；③△AGE与△BDF面积相等；④△ABF与四边形DCEF面积相等，结论正确的是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 例8．如图，H是△ABC的重心，延长AH交BC于D，延线BH交AC于M，E是DC上一点，且DE：EC＝2：1，连接AE交BM于G，则BH：HG：GM等于（　　） A．3：2：1 B．4：3：1 C．22：8：3 D．5：3：1 反馈练习14．如图，点G是△ABC的重心，AB＝AC＝10，BC＝16，连接CG并延长交AB于D，则DG的长是　　 ． 反馈练习15．如图，D点为△ABC的重心，E为边BC上的一点，且DE∥AB，若已知△BDE的面积等于3，则△ABC的面积为　 　． 反馈练习16．阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心． （1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC的重心为点O，求△OBC与△ABC的面积． （2）性质探究：如图（二），已知△ABC的重心为点O，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由． （3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M． ①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度； ②若S△CME＝1，求正方形ABCD的面积． 1．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，∠OCD＝120°，CO＝CD，若B（2，0），则点C的坐标为（　　） A．（2，） B．（3，） C．（3，） D．（2，） 2．在平面直角坐标系中，以点Q（﹣2，0）为位似中心，把图形S1按相似比2：1放大得到图形S2（即所得图形与原图形的相似比为2：1），P（1，1）在图形S1上，则图形S2上与点P对应的点的坐标为　 　． 3．如图，在△ABC中，点O是三角形的重心，连接DE．下列结论：①＝；②＝；③S△DOE：S△BOC＝1：2；④S△DOE：S△BOE＝1：2．其中正确的个数有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 4．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣6，0），B（6，0），C（4，8），则△ABC重心的坐标是（　　） A．（2，4） B．（3，4） C．（，） D．（，） 5．如图，已知△ABC，DF∥BC，DE∥AC，四边形DECF的面积为12，若DE经过△ABC的重心，则△ABC的面积为（　　） A．25 B．26 C．27 D．28 6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，﹣1），请解答下列问题： （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，点A1的坐标为　 　； （2）在网格内以点（1，1）为位似中心，把△A1B1C1按相似比2：1放大，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；若边AC上任意一点P的坐标为（m，n），则两次变换后对应点P2的坐标为　 　． 7．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的3×3网格，△ABC的顶点均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． （1）△ABC的面积为　 　． （2）在图①中，作出△ABC的重心O． （3）在图②中，在△ABC的边AC上找一点F，连接BF，使△ABF的面积为． 第07讲 适用区域 江苏 适用年级 九年级 考点一：位似图形性质 例1．【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似， ∴四边形ABCD∽四边形EFGH，EF∥AB， ∴△EOF∽△AOB， ∵＝， ∴＝＝． 故答案为：． 反馈练习1．【解答】解：∵以原点O为位似中心，在y轴的右侧把线段AB缩小为原来的，点A的坐标为（﹣2，4）， ∴点A的对应点A′的坐标为（﹣2×（﹣），4×（﹣）），即（1，﹣2）， 故答案为：（1，﹣2）． 反馈练习2．【解答】解：∵矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似， ∴矩形OA'B'C'∽矩形OABC， ∵矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的， ∴矩形OA'B'C'与矩形OABC的相似比为， ∵点B的坐标为（﹣4，6）， ∴点B'的坐标为（﹣4×，6×）或（4×，﹣6×），即（﹣2，3）或（2，﹣3）， 故答案为：（﹣2，3）或（2，﹣3）． 例2．【解答】解：把△ABC向下平移1个单位得到A点的对应点的坐标为（1，﹣2），点（1，﹣2）以原点为位似中心，在位似中心两侧的对应点的坐标为（﹣，1），把点（﹣，1）先上平移1个单位得到（﹣，2）， 所以D点坐标为（﹣，2）． 故答案为（﹣，2）． 反馈练习3．【解答】解：过点B、B'分别作BD⊥x轴于D，B'E⊥x轴于E， ∴∠BDC＝∠B'EC＝90°． ∵△ABC的位似图形是△A'B'C， ∴点B、C、B'在一条直线上， ∴∠BCD＝∠B'CE， ∴△BCD∽△B'CE． ∴＝， 又∵＝， ∴＝， 又∵点B'的横坐标是2，点C的坐标是（﹣1，0）， ∴CE＝3， ∴CD＝． ∴OD＝， ∴点B的横坐标为：﹣2.5． 故答案为：﹣2.5． 反馈练习4．【解答】解：∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为（2，4）， ∴OC＝AB＝4，OA＝2， ∴点C的坐标为：（0，4）， ∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，点E的坐标为（﹣1，2）， ∴位似比为1：2， ∴OP：AP＝OD：AB＝1：2， 设OP＝x，则， 解得：x＝2， ∴OP＝2， 即点P的坐标为：（﹣2，0）． 故答案为：（﹣2，0）． 反馈练习5． 【解答】解：如图所示， 位似中心为点P（﹣3，0），位似比为1：2， 则B（2，﹣2）的对应点E的坐标为（7，﹣4）， 故答案为：（7，﹣4） 例3．【解答】解：分别过A、C作AE⊥OB，CF⊥OB， ∵∠OCD＝90°，∠AOB＝60°， ∴∠ABO＝∠CDO＝30°，∠OCF＝30°， ∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，点B的坐标是（6，0）， ∴D（8，0），则DO＝8， 故OC＝4， 则FO＝2，CF＝CO•cos30°＝4×＝2， 故点C的坐标是：（2，2）． 故答案为：（2，2）． 反馈练习6． 【解答】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD， ∴端点D的横坐标和纵坐标都变为B点的一半， ∴端点D的坐标为：（4，1）． 故选：D． 反馈练习7．【解答】解：如图，在Rt△AOB中，OB＝＝10， ①当△A′OB′在第四象限时，MM′＝． ②当△A″OB″在第二象限时，MM′＝， 故答案为或． 考点二：位似图形作图 例4．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作； （2）如图，△A2BC2为所作； （3）△CC1C2的面积＝×3×6＝9； A1的坐标为（7，9）；A2的坐标为（3，5）． 反馈练习8．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作； （2）如图，△A2B2C2为所作； （3）点P的对应点P2的坐标是（2a，﹣2b）． 故答案为（2a，﹣2b）． 例5．【解答】解：（1）如图，×BH×AC＝BC×5， ∴BH＝＝3， AC边的高BH＝3； 故答案为：3； （2）①如图，△DEC为所作； ②如图，矩形ABMN为所作． 反馈练习9．【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求； （2）△A′B′C′的面积为4×6﹣×2×4﹣×2×4﹣×2×6＝24﹣4﹣4﹣6＝10； 故答案为：10； （3）如图所示，所有符合条件的点D′有5个． 考点三：重心 例6． ． 反馈练习10． 12． 反馈练习11．【解答】解：如图， ∵G是△ABC的重心， ∴BE、CF为三角形的中线，BG＝2GE，CG＝2FG， ∴S△BCE＝S△BCF＝S△ABC＝×30＝15， ∴S△CGE＝S△BCE＝×15＝5，S△BGF＝S△BCF＝×15＝5， ∴图中阴影部分面积＝5+5＝10． 故答案为10． 反馈练习12．【解答】解：∵点G是△ABC的重心， ∴CG＝2HG， ∴HG＝CH， ∴S△AHG＝S△ACH， ∵CH为AB边上的中线， ∴S△ACH＝S△ABC， ∴S△AHG＝S△ABC， ∴S△AGH：S△ABC＝1：6． 故答案为：1：6． 例7．【解答】解：∵点D，E分别是AC，AB的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DE＝BC， ∴△ODE∽△OBC， ∴OD：OB＝OE：OC， ∴OE•OB＝OD•OC，所以（1）正确； ∵△ODE∽△OBC， ∴＝＝2， ∴＝，所以（2）正确； ∵△ODE∽△OBC， ∴＝（）2＝（）2＝，所以（3）正确； ∵OB：OD＝2：1， ∴OD：BD＝1：3， ∴S△DOE：S△DBE＝1：3，所以（4）正确． 故选：A． 反馈练习13． 【解答】解：∵中线AD，BE相交于点F， ∴BD＝CD，AE＝CE，BF＝2EF，AF＝2FD，②正确； ∵EG∥BC， ∴△BDF∽△EGF， ∴＝＝2， ∴BD＝2GE，①正确； ∵AF＝2FD， ∴△ABF的面积＝2△BDF的面积＝△ABD的面积＝△ABC的面积，△BDF的面积＝△ABC的面积， ∵EG∥BC，AE＝CE， ∴△AGE∽△ADC，＝， ∴＝（）2＝， ∴△AGE的面积＝△ADC的面积△ABC的面积， ∴△AGE与△BDF面积不相等，③不正确； ∵BD＝CD，AE＝CE， ∴△ABD的面积＝△ADC的面积＝△ABC的面积＝△ABE的面积＝△BCE的面积， ∴△ABD的面积＝△BCE的面积， ∴△ABD的面积﹣△BDF的面积＝△BCE的面积 ﹣△BDF的面积， 即△ABF与四边形DCEF面积相等，④正确； 故选：D． 例8．【解答】解：如图，过C作CF∥BM，交AE的延长线于F， ∵H是△ABC的重心， ∴M是AC的中点，D是BC的中点， ∴G是AF的中点， ∴GM＝CF， 设CF＝a，则GM＝a， ∵CF∥BG，DE：EC＝2：1，D是BC的中点， ∴＝＝， ∴BG＝5CF＝5a， ∴BM＝a， ∵H是△ABC的重心， ∴BH＝BM＝a， ∴HG＝BG﹣BH＝a， ∴BH：HG：GM＝a：a：a＝22：8：3， 故选：C． 反馈练习14．【解答】解：连接AG，延长AG交BC于H，如图， ∵点G是△ABC的重心， ∴BH＝CH＝BC＝8，AG＝2GH，CG＝2DG， ∵AB＝AC， ∴AH⊥BC， 在Rt△ACH中，AH＝＝＝6， ∴GH＝AH＝2， 在Rt△CGH中，CG＝＝＝2， ∴DG＝CG＝． 故答案为． 反馈练习15．【解答】解：连接AD并延长AD交BC于F，连接AE，如图， ∵DE∥AB， ∴S△ADE＝S△BDE＝3， ∵D点为△ABC的重心， ∴AD＝2DF， ∴S△DEF＝S△ADE＝1.5， ∴S△BDF＝1.5+3＝4.5， ∴S△ABD＝2S△BDF＝9， ∴S△ABF＝4.5+9＝13.5， ∵AF为△ABC的中线， ∴S△ABC＝2S△ABF＝2×13.5＝27． 故答案为27． 反馈练习16． 【解答】解：（1）连接DE，如图一， ∵点O是△ABC的重心， ∴AD，BE是BC，AC边上的中线， ∴D，E为BC，AC边上的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥AB，DE＝AB， ∴△ODE∽△OAB， ∴＝， ∵AB＝2，BD＝1，∠ADB＝90°， ∴AD＝，OD＝， ∴，＝； （2）由（1）同理可得，，是定值； 点O到BC的距离和点A到BC的距离之比为1：3， 则△OBC和△ABC的面积之比等于点O到BC的距离和点A到BC的距离之比， 故＝，是定值； （3）①连接BD交AC于点O， ∵点O为BD的中点，点E为CD的中点， ∴点M是△BCD的重心， ∴＝， ∵E为CD的中点， ∴， ∴， 即； ②∵S△CME＝1，且， ∴S△BMC＝2， ∵， ∴， ∴S△AMB＝4， ∴S△ABC＝S△BMC+S△ABM＝2+4＝6， 又S△ADC＝S△ABC， ∴S△ADC＝6， ∴正方形ABCD的面积为：6+6＝12． 1． 【解答】解：∵B（2，0）， ∴OB＝2， ∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为， ∴OB：OD＝1：3， ∴OD＝OB＝2×3＝6， 过C点作CH⊥OD于H，如图， ∵CO＝CD，∠OCD＝120°， ∴∠COD＝∠CDO＝30°，OH＝DH＝3， 在Rt△OCD中，CH＝DH＝， ∴C点坐标为（3，）． 故选：B． 2． 【解答】解：有两种情形：①当点P′在QP的延长线上时，P′（4，2）． ②当点P″在PQ的延长线上时，P″（﹣8，﹣2）． 综上所述，满足条件的点P的对应点坐标为（4，2）或（﹣8，﹣2）． 故答案为（4，2）或（﹣8，﹣2）． 3． 【解答】解：∵点O是三角形的重心， ∴E、D分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC，DE＝BC， ∴＝，①错误； ＝，②正确； S△DOE：S△BOC＝1：4，③错误； S△DOE：S△BOE＝1：2，④正确； 故选：B． 4． 【解答】解：连接OC，如图， ∵A（﹣6，0），B（6，0）， ∴O点为AB的中点， ∴△ABC的重心D在OC上， 作CE⊥OB于E，DF⊥OB于F，如图， ∵D点为△ABC的重心，∴CD＝2OD，∴OD：OC＝1：3， ∵DF∥CE， ∴＝＝＝， 而C（4，8）， ∴OE＝3，CE＝8，∴＝＝， ∴DF＝，OF＝，∴D（，）． 故选：D． 5．【解答】解：∵DE经过△ABC的重心， ∴DF∥BC，DE∥AC， ∴△BDE∽△BAC，△ADF∽△ABC， ∴， ∴， ∴，， ∴①，②， ①②组成方程组，， 解得S△BDE＝12，S△ADF＝3， ∴S△ABC＝27． 故选：C． 6．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；点A1的坐标为（2，1）； 故答案为：（2，1）； （2）如图所示，△A2B2C2即为所求；P2的坐标为（﹣2m+3，2n+3）． 故答案为：（﹣2m+3，2n+3）． 7．【解答】解：（1）△ABC的面积为：3×3﹣1×3×2﹣2×2＝9﹣3﹣2＝4； 故答案为：4； （2）如图①，点O即为所求； （3）如图②，点F即为所求． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$