第06讲 相似三角形模型-2024-2025学年九年级数学暑假讲义（江苏专用）

第06讲 相似三角形模型 知识点及学习目标 相似三角形的常见模型 相似三角形的常见模型应用 相似三角形判定的基本模型 （1）A字型、反A字型（斜A字型） （平行） （不平行） （2）X字型、反X字型 （蝴蝶型） （平行） （不平行） （3）母子型 射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下： BD²=AD·CD AB²=AC·AD BC²=CD·AC （4）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示： 一线三直角型： 三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下： 考点一： A字型，X字型 例1．如图，△ABC中，DE∥BC，DE＝2，AD＝4，DB＝6，则BC的长是　 　． 反馈练习1．如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE＝　 　． 例2．如图，点D，E分别在△ABC的边BA，CA的延长线上，DE∥BC．若EC＝3EA，△AED的面积为3，则△ABC的面积为　 　． 反馈练习2．如图，∠C＝∠E＝90°，AC＝4，BC＝8，AE＝3，则AD＝　　 ． 反馈练习3．如图，在△ABC中，AB＝8，CA＝6，BC＝CD＝4，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，则CE的长为　 　． 考点二：母子型 例3．如图，在△ABC中，∠ACD＝∠B，AD＝1，BD＝3，则AC＝　 　． 反馈练习4．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，若∠BAC＝∠BDA＝135°，且AD＝2，DC＝8，则线段BD的长度为　 　． 反馈练习5．如图，在△ABD中，AB＝4，点E为边AB上的点，连接DE，若∠ADE＝∠ABD＝45°，DB＝3，则＝　　 ． 反馈练习6．在△ABC中，P为AB上一点． （1）如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP•AB； （2）如图2，若M为CP的中点，AC＝3，若∠PBM＝∠ACP，AB＝5，直接写出BP的长　 　． 例4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，已知AB＝25，BC＝15，则BD＝　 　． 反馈练习7．如图，CD是Rt△ABC中斜边上的高，已知AD＝6，BD＝3，则CD＝　 　 ． 反馈练习8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是AD上的动点（不与端点重合），在矩形ABCD内找点F，使得EF⊥AD，且满足AF2＝AE•AD，则线段BF的最小值是　 　． 反馈练习9．已知关于x的方程x2﹣2（a+b）x+c2+2ab＝0有两个相等的实数根，其中a、b、c为△ABC的三边长． （1）试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）若CD是AB边上的高，AC＝2，AD＝1，求BD的长． 考点三：一线三等角型 例5．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，点E在BC上，AE⊥DE，DC＝1，BE＝3，BC＝5，则AB＝　 　． 反馈练习10．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6，点D是边AB上一点，且BD＝2，点P是边BC上一动点（D、P两点均不与端点重合），作∠DPE＝60°，PE交边AC于点E．若CE＝a，当满足条件的点P有且只有一个时，则a的值为（　　） A．4 B． C． D．5 反馈练习11．如图，AB＝3，BD⊥AB，AC⊥AB，且AC＝1．点E是线段AB上一动点，过点E作CE的垂线，交射线BD于点F，则BF的长的最大值是　　 ． 反馈练习12．如图，正方形ABCD的边长为2，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C重合），连接AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q． （1）求证：AB•CQ＝PB•PC； （2）当CQ最大时，求BP的长． 例6．如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，AB＝8，BC＝10． （1）求证：△AEF∽△DFC； （2）求线段EF的长度． 反馈练习13．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG＝S△FGH；④AG+DF＝FG．则下列结论正确的有（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 例7．如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD上，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝　　 ． 反馈练习14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是边AB上一点，且AE＝2EB，点P是边BC上一动点，连接EP，过点P作PQ⊥PE交射线CD于点Q．若点C关于直线PQ的对称点恰好落在边AD上，则BP的长为　 　． 反馈练习15．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝8，点E是AB边上的一个动点，点M是CE的中点，将线段EM绕点E逆时针旋转90°得到线段EF，连接DE、DF．当DF⊥EF时，AE的长为　 　 1．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且DE∥BC，BE、CD相交于点O，若S△DOE：S△DOB＝1：3，则当S△ADE＝2时，四边形DBCE的面积是　 　． 2．如图，△ABC中，AB＝9，AC＝6，点D在AB上，BD＝5，则CD：BC＝　 　． 3．如图，已知四边形ABCD中，∠B＝∠C，CD＝2，BC＝5，AB＝m，点P是边BC上使得∠APD＝∠B＝∠C的点，当m＝　　 时，这样的P点只有一个． 4．已知，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，E是边DC上一点，连接AE，将△ADE沿直线AE翻折得△AFE． （1）如图①，点F恰好在BC上，求证：△ABF∽△FCE； （2）如图②，当DE＝2时，延长AF交边CD于点G，求CG的长． 第06讲 适用区域 江苏 适用年级 九年级 考点一： A字型，X字型 例1． 5． 反馈练习1． 3． 例2． 12． 反馈练习2． 3． 反馈练习3． 2． 考点二：母子型 例3． 2． 反馈练习4．【解答】解：∵∠BAC＝∠BDA，∠ABC＝∠DBA， ∴△ABC∽△DBA， ∴＝， ∴BD＝①， 如图，过点A作AE⊥BC于点E，则∠AED＝90°， ∵∠BDA＝135°， ∴∠ADE＝45°， ∴△ADE为等腰直角三角形， ∵AD＝2， ∴AE＝DE＝2， 设BD＝x，则BE＝x+2， ∵DC＝8， ∴BC＝x+8， 在Rt△ABE中，由勾股定理得： AB2＝AE2+BE2 ＝4+（x+2）2②， 由①②及BD＝x可得： x＝， ∴x2+8x＝4+4+4x+x2， 解得x＝2， 经检验，x＝2是原方程的解， ∴BD＝2． 反馈练习5．【解答】解：过点A作AF⊥BD于点F，如图： ∵∠ABD＝45°， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∵AB＝4， ∴AF＝BF＝＝2， ∵DB＝3， ∴DF＝DB﹣BF＝3﹣2＝， 在Rt△ADF中，由勾股定理得： AD＝ ＝＝， ∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠ABD， ∴△ADE∽△ABD， ∴AD：AB＝AE：AD， ∴AE＝＝＝， ∴BE＝AB﹣AE＝4﹣＝， ∴＝＝． 故答案为：． 反馈练习6．【解答】证明：（1）∵∠ACP＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ACP∽△ABC， ∴， ∴AC2＝AB•AP； （2）过M作MN∥AC，交AP于N， ∵MN∥AC， ∴∠PNM＝∠A，，， ∵M为CP的中点， ∴PM＝CM＝PC， ∴AN＝PN，MN＝AC＝， ∵∠ACP＝∠PBM，∠PNM＝∠A， ∴△ACP∽△NBM， ∴， ∴＝， ∴AN＝，或AN＝（不合题意舍去）， ∴AP＝2AN＝1，∴BP＝5﹣1＝4， 故答案为：4． 例4．【解答】解：由射影定理得，BC2＝BD•AB， ∴BD＝＝9， 故答案为：9． 反馈练习7．【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠DCB＝90°， ∵CD是高， ∴∠ADC＝∠CDB＝90°， ∴∠ACD+∠CAD＝90°， ∴∠DCB＝∠CAD， ∴△ADC∽△CDB， ∴， ∴CD2＝AD•BD， ∵AD＝6，BD＝3， ∴CD＝ 故答案为：3 反馈练习8．【解答】解：连接DF，OB， ∵AF2＝AE•AD， ∴， 又∵∠FAE＝∠EAF， ∴△AEF∽△AFD， ∴∠AFD＝∠AEF＝90°， ∴点F在以AD为直径的圆上， 当B，F，O三点共线时，BF最小， ∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝BC＝6， ∴OA＝3， ∴OB＝＝， ∴BF的最小值为5﹣3＝2． 故答案为：2． 反馈练习9． 【解答】解：（1）∵两根相等， ∴可得：4（a+b）2﹣4（c2+2ab）＝0， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形； （2）由（1）可得：AC2＝AD×AB， ∵AC＝2，AD＝1， ∴AB＝4， ∴BD＝AB﹣AD＝3． 考点三：一线三等角型 例5．【解答】解：∵AB⊥BC，DC⊥BC， ∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°， ∵AE⊥DE， ∴∠AED＝90°， ∴∠AEB+∠DEC＝90°， ∴∠DEC＝∠BAE， ∴△ABE∽△ECD， ∴， ∴， ∴AB＝6， 故答案为：6． 反馈练习10．【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠BDP+∠BPD＝180°﹣∠B＝120°， ∵∠DPE＝60°， ∴∠BPD+∠CPE＝120°， ∴∠BDP＝∠CPE， ∵∠B＝∠C＝60°， ∴△BDP∽△CPE； ∴， ∴， ∴BP2﹣6BP+2a＝0， ∵满足条件的点P有且只有一个， ∴方程BP2﹣6BP+2a＝0有两个相等的实数根， ∴△＝62﹣4×2a＝0， ∴a＝． 故选：C． 反馈练习11．【解答】解：设AE＝x，则BE＝3﹣x， ∵BD⊥AB，AC⊥AB，CE⊥EF， ∴∠A＝∠CEF＝∠B＝90°， ∴∠C+∠AEC＝∠AEC+∠BEF＝90°， ∴∠C＝∠BEF， ∴△AEC∽△BFE， ∴， ∴， ∴BF＝﹣x2+3x， ∴当x＝﹣＝时，BF最大值＝﹣（）2+3×＝， 故BF的长的最大值是， 故答案为：． 反馈练习12．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠C＝90° ∵PQ⊥AP， ∴∠APB+∠QPC＝90°，∠APB+∠BAP＝90°， ∴∠BAP＝∠QPC， ∴△ABP∽△PCQ， ∴， ∴AB•CQ＝PB•PC； （2）解：设BP＝x，CQ＝y，由（1）得2y＝x（2﹣x）， ∴， ∵，开口向下，对称轴是x＝1，且x的范围是0≤x≤2， ∴当x＝1时，y有最大值为，即当CQ最大时，BP＝1． 例6．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝∠B＝90°， 根据折叠的性质得：∠EFC＝∠B＝90°， ∴∠AFE+∠AEF＝∠AFE+∠DFC＝90°， ∴∠AEF＝∠DFC， ∴△AEF∽△DFC； （2）解：根据折叠的性质得：CF＝BC＝10， ∴DF＝＝6， ∴AF＝4， ∵AE＝AB﹣BE＝8﹣EF， ∴EF2＝AE2+AF2， 即：EF2＝（8﹣EF）2+42， 解得：EF＝5 反馈练习13． 【解答】解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处， ∴∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，BF＝BC＝10，BH＝BA＝6，AG＝GH， ∴∠EBG＝∠EBF+∠FBG＝∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝45°，所以①正确； 在Rt△ABF中，AF＝＝＝8， ∴DF＝AD﹣AF＝10﹣8＝2， 设AG＝x，则GH＝x，GF＝8﹣x，HF＝BF﹣BH＝10﹣6＝4， 在Rt△GFH中，∵GH2+HF2＝GF2， ∴x2+42＝（8﹣x）2， 解得x＝3， ∴GF＝5， ∴AG+DF＝FG＝5，所以④正确； ∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处， ∴∠BFE＝∠C＝90°， ∴∠EFD+∠AFB＝90°， 而∠AFB+∠ABF＝90°， ∴∠ABF＝∠EFD， ∴△ABF∽△DFE， ∴， ∴， 而 ＝2， ∴， ∴△DEF与△ABG不相似；所以②错误． ∵S△ABG＝×6×3＝9，S△GHF＝×3×4＝6， ∴S△ABG＝S△FGH．所以③正确． 故选：B． 例7．【解答】解：如图所示，过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，则∠G＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝90°，AB＝CD＝2， 又∵∠BEF＝90°， ∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC， ∴∠FEG＝∠EBC， 又∵∠C＝∠G＝90°， ∴△BCE∽△EGF， ∴＝＝，即＝＝， ∴FG＝EC，GE＝2＝CD， ∴DG＝EC， 设EC＝x，则DG＝x，FG＝x， ∵Rt△FDG中，FG2+DG2＝DF2， ∴（x）2+x2＝（）2， 解得x2＝， 即CE2＝， ∴Rt△BCE中，BE＝＝＝． 故答案为：． 反馈练习14．【解答】解：如图，过点P作 PF⊥AD于点F， ∴∠PFC'＝90°， ∵矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8， ∴∠FAB＝∠B＝∠C＝∠QDC'＝90°，CD＝AB＝6， ∴四边形CPFD是矩形， ∴DF＝PC，PF＝CD＝6， ∵AE＝2EB， ∴AE＝4，EB＝2， 设BP＝x，则DF＝PC＝8﹣x， ∵点C与C'关于直线PQ对称， ∴△PC'Q≌△PCQ， ∴PC'＝PC＝8﹣x，C'Q＝CQ，∠PC'Q＝∠C＝90°， ∵PE⊥PQ， ∴∠BPE+∠CPQ＝90°， ∵∠BEP+∠BPE＝90°， ∴∠BEP＝∠CPQ， ∴△BEP∽△CPQ， 同理可得：△PFC'∽△C'DQ， ∴＝，＝， ∴CQ＝＝x（8﹣x）， ∴C'Q＝x（8﹣x），DQ＝6﹣x（8﹣x）＝x2﹣4x+6， ∴， ∴C'D＝3x，FC′＝， ∵FC'+C'D＝DF， ∴+3x＝8﹣x， 解得x＝2或1.2， 故答案为2或1.2． 反馈练习15．【解答】解： 过点D作EC的垂线，交EC于点N， ∵DF⊥EF，DN⊥EC， ∴∠F＝∠DNE＝90°，∠FEC＝90°， ∴四边形FEND是矩形， ∴DN＝EF＝EM＝EC， ∵∠BCE+∠NCD＝90°，∠CDN+∠NCD＝90°， ∴∠BCE＝∠CDN， ∴△CDN∽△ECB， ∴， ∵AD＝BC＝8，AB＝CD＝5， ∴，∴CE＝4， ∴BE＝， ∴AE＝AB﹣BE＝5﹣4＝1． 故答案为：1． 1．【解答】解：∵S△DOE：S△DOB＝1：3， ∴， ∵DE∥BC， ∴△ODE∽△OCB， ∴， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝， ∵S△ADE＝2， ∴S△ABC＝18， ∴四边形DBCE的面积＝S△ABC﹣S△ADE＝18﹣2＝16， 故答案为：16． 2．【解答】解：∵AB＝9，AC＝6，BD＝5， ∴AD＝4， ∴， ∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴CD：BC＝AC：AB＝2：3． 故答案为：2：3． 3．【解答】解：∵∠APD＝∠B，∠APD+∠APB+∠DPC＝180°，∠B+∠APB+∠PAB＝180°， ∴∠DPC＝∠PAB， ∵∠B＝∠C， ∴△DPC∽△PAB， ∴， 设CP＝x，则BP＝5﹣x， ∴， 整理得x2﹣5x+2m＝0， 由题意得△＝0， ∴△＝25﹣8m＝0， 解得m＝． 故答案为：． 4．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝∠D＝90°． 由折叠可得：∠D＝∠EFA＝90°． ∵∠EFA＝∠C＝90°， ∴∠CEF+∠CFE＝∠CFE+∠AFB＝90°． ∴∠CEF＝∠AFB． 在△ABF和△FCE中， ∵∠AFB＝∠CEF，∠B＝∠C＝90°． ∴△ABF∽△FCE． （2）解：过点F作FM⊥DC交DC于点M，延长MF交AB于点H，如图②所示： 则MH＝AD＝10，∠EMF＝∠AHF＝90°． 在矩形ABCD中，∠D＝90°． 由折叠可得：∠D＝∠EFA＝90°，DE＝EF＝2，AD＝AF＝10． ∵∠EMF＝∠EFA＝90°， ∴∠MEF+∠MFE＝∠AFH+∠MFE＝90°． ∴∠MEF＝∠AFH． 在△FME和△AHF中， ∵∠MEF＝∠AFH，∠EMF＝∠FHA＝90°， ∴△FME∽△AHF． ∴．∴＝． ∴AH＝5MF． 在Rt△AHF中，∠AHF＝90°， ∵AH2+FH2＝AF2， ∴（5MF）2+（10﹣MF）2＝102． 解得：，或MF＝0（舍去）， ∴． ∴． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，CD＝AB＝6， ∴∠AGD＝∠FAH， ∵tan∠FAH＝＝， ∴＝． ∴DG＝AD＝×10＝ ∴CG＝CD﹣DG＝6﹣＝． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$