第05讲 相似三角形的性质-2024-2025学年九年级数学暑假讲义（江苏专用）

第05讲 相似三角形的性质 知识点及学习目标 相似三角形的性质 相似三角形的性质应用 相似三角形的性质： （1）相似三角形对应角相等，对应边成比例． （2）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． （3）相似三角形周长的比等于相似比． （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方． 考点一：相似三角形的基本性质 例1．若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，AB＝4，则DE的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 反馈练习1．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝8，DO＝4，CD＝3，则AB的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 反馈练习2．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的边长分别为8cm，10cm和12cm，另一个三角形的最短边长为2cm，则它的最长边为（　　） A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm 例2．若△ABC∽△DEF，它们的相似比为4：1，则△ABC与△DEF的周长比为（　　） A．2：1 B．4：1 C．8：1 D．16：1 反馈练习3．若△ABC∽△DEF，且对应高线比为4：9，则△ABC与△DEF的周长比为（　　） A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．16：81 例3．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝5：4，则△ABC与△DEF的周长比为（　　） A．5：4 B．4：5 C．2： D．：2 反馈练习4．两个相似三角形面积比是4：9，其中一个三角形的周长为18，则另一个三角形的周长是（　　） A．12 B．12或24 C．27 D．12或27 考点二．相似三角形的性质与判定 例4．△ABC，△DEF的条件如图所示，则n的值是　 　． 反馈练习5．如图，E是▱ABCD的BA边的延长线上的一点，CE交AD于点F．下列各式：①；②；③；④．其中成立的是（　　） A．③ B．③④ C．②③④ D．①②③④ 反馈练习6．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接CD、BE交于点O，且DE∥BC，OD＝1，OC＝3，AD＝2，则AB的长为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 例5．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上，CE、BD交于点F，若AE：BE＝3：2，则S△BEF：S△DCF＝　 　． 反馈练习7．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则S△CDF：S四边形ABFE等于（　　） A．1：3 B．2：5 C．3：5 D．4：9 反馈练习8．如图，在平行四边形ABCD中，点E是DC中点，BE与AC相交于点O，如果△EOC的面积是1，那么△ABC的面积是　 　． 例6．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC边上的点，连接DE并延长，与AC的延长线交于点F，且AD＝3BD，EF＝2DE，若CF＝2，则AF的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 反馈练习9．如图，在△ABC中，AC＝4，D是AC上一点，AD＝1，M、N分别是BD、BC的中点，若∠ABD＝∠ACB，则的值是（　　） A． B． C． D． 反馈练习10．如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，正方形DEFG内接于△ABC，点D、E分别在边AB、AC上，点G、F在边BC上．如果BC＝20，正方形DEFG的面积为25，那么AH的长是　 　． 反馈练习11．如图，▱ABCD对角线AC与BD交于点O，且AD＝3，AB＝5，在AB延长线上取一点E，使BE＝AB，连接OE交BC于F，则BF的长为（　　） A． B． C． D．1 反馈练习12．如图，点E是▱ABCD的边BA延长线上的一点，联结CE交AD于F，交对角线BD于G，若DF＝2AF，那么EF：FG：GC＝　 　． 例7．如图，在△ABC中，点D是AB上一点（不与A、B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E．连接CD，若∠ACD＝∠B． （1）求证：CD2＝DE•BC； （2）若DE＝3，BC＝4，求的值． 反馈练习13．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，CD⊥AB于点D，点M是线段BD上的一个动点． （1）如图1，若点M恰好在∠BCD的角平分线上，则AM＝　 　； （2）如图2，若点N在线段AB上，且∠MCN＝45°，过点M、N分别作ME⊥CB于点E、MF⊥CA于点F． ①求证：△ACM∽△BNC； ②求AM•BN的值； ③求CE•CF的值． 考点三．相似三角形综合 例8．在正方形网格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在4×4网格中（每个小正方形网格的边长为1）画格点三角形，它的三边比是1：：，这种三角形可以画若干个，其中面积的最大值等于　 　． 反馈练习14．如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，过B作A1B⊥AC，过A1作A1B1⊥BC，得阴影Rt△A1B1B；再过B1作B1A2⊥AC，过A2作A2B2⊥BC，得阴影Rt△A2B2B1；…如此下去．请猜测这样得到的所有阴影三角形的面积之和为　 　． 例9．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为　 　． 例10．在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，D是边AB上的一点，E是边AC上的一点（D，E均与端点不重合），如果△CDE与△ABC相似，那么CE＝　 　． 反馈练习15．如果一个直角三角形的三边长分别为a﹣d，a，a+d，（a＞d＞0），则称这个三角形为均匀直角三角形． （1）判定按照上述定义，下列长度的三条线段能组成均匀直角三角形的是　 　． A．1，2，3；B．1，1，2；C．2，3，4；D．3，4，5． （2）如图△ABC为均匀直角三角形，∠C＝90°，BC＞AC，矩形DEFG的顶点E、F分别在BC、AC上，DG在直线AB上，求证：FG2＝AG•BD； （3）在（2）的条件下，结合均匀直角三角形的概念． ①直接写出值　 　； ②若已知AB＝100，请求出矩形DEFG的最大面积． 反馈练习16．已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P． （1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC； （2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长． 反馈练习17．如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC＝120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以2cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒． （1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由； （2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N． ①当t为何值时，点P、M、N在一直线上？ ②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． 1．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，DE∥BC，DF∥AC．下列比例式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，四边形DECB与△ABC的面积的比为1：4，则的值等于（　　） A．1：2 B．1：4 C．：2 D．3：4 3．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△DAF的面积之比为（　　） A．9：16 B．3：4 C．9：4 D．3：2 4．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：36，则S△BDE与S△BAC的比是（　　） A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：36 5．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为AB边中点，点F为对角线BD上一点，且FB＝2DF，连接 DE、EF、EC，则S△DEF：S△CBE＝（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：4 6．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC＝3，AD＝2，EF＝EH，AD⊥BC，那么EH的长为　 　． 7．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝，则△CEF的周长为（　　） A．8 B．9.5 C．10 D．11.5 8．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝5cm，点D、E分别在AB、AC上．若△ADE与△ABC相似，且S△ADE：S四边形BCED＝1：8，则AD＝　 　cm． 9．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G． （1）求证：△ABE∽△CGE； （2）若AF＝2FD，求的值． 10．已知正方形ABCD中，点E是边CD上的一点（点E不与C、D两点重合）． （1）如图1，AE平分∠CAD，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABF，连接EF，交AB于点G．求证△AFG∽△ACE； （2）如图2，点E为CD的中点，将△ADE沿AE所在的直线折叠，使点D落在F处，若AB＝4，求BF的长． 11．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点． （1）求证：△ABE∽△ECM； （2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由； （3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积． 第05讲 适用区域 江苏 适用年级 九年级 考点一：相似三角形的基本性质 例1．D 反馈练习1．D 反馈练习2．A 例2．B 反馈练习3．C 例3．D 反馈练习4．D 考点二．相似三角形的性质与判定 例4．6 反馈练习5．C 反馈练习6．C 例5．4：25． 反馈练习7． B 反馈练习8．6 例6．B 解：过点F作FG∥AB，交BC延长线于点G， 则△BED∽△GEF， ∴＝＝，即FG＝2BD， ∵AD＝3BD， ∴AB＝4BD， ∴AB＝2FG， ∵FG∥AB， ∴△ACB∽△FCG， ∴＝＝2， ∴AC＝2CF＝4， ∴AF＝AC+CF＝6， 反馈练习9．C 反馈练习10． 反馈练习11．【解答】解：取AB的中点M，连接OM， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OB＝OD， ∴OM∥AD∥BC，OM＝AD＝×3＝， ∴△EFB∽△EOM， ∴＝， ∵AB＝5，BE＝AB， ∴BE＝2，BM＝， ∴EM＝+2＝， ∴， ∴BF＝， 故选：A． 反馈练习12．【解答】解：设AF＝x，则DF＝2x， ∵▱ABCD， ∴EB∥CD，AD∥BC，AD＝BC＝AF+DF＝3x ∴△AEF∽DCF，△DFG∽△GBC， ∴，＝， ∴EF：FG：GC＝5：4：6， 故答案为：5：4：6． 例7．【解答】（1）证明：∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠DCB， 又∵∠ACD＝∠B， ∴△DEC∽△CDB， ∴， ∴CD2＝DE•BC； （2）解：∵CD2＝DE•BC，DE＝3，BC＝4， ∴CD2＝12， ∴CD＝2（负值舍去）， ∵△DEC∽△CDB， ∴， ∴， ∵DE∥BC， ∴． 反馈练习13．【解答】解：（1）如图1，∴Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4， ∴∠A＝∠B＝45°， ∵CD⊥AB于点D， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°，BD＝AD， ∵CE平分∠BCD， ∴∠DCM＝22.5°， ∴∠ACM＝67.5°， ∴∠AMC＝67.5°， ∴∠ACM＝∠AMC， ∴AM＝AC＝4， 故答案为4； （2）①证明：∵∠MCN＝45°， ∴∠ACM＝45°+∠ACN， ∵∠BNC＝∠A+∠ACN＝45°+∠ACN， ∴∠ACM＝∠BNC， ∵∠A＝∠B＝45°， ∴△ACM∽△BNC； ②解：∵△ACM∽△BNC， ∴， ∴AM•BN＝AC•BC＝16； ③解：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4， ∴AB＝4， ∵BD＝AD， ∴CD＝AB＝2， ∵∠MCE+∠MCD＝∠NCD+∠MCD＝45°， ∴∠ECM＝∠DCN， ∵∠CEM＝∠CDN＝90°， ∴△CEM∽△CDN， ∴， 同理，△CDM∽△CFN， ∴， ∴， ∴CE•CF＝CD2＝8． 考点三．相似三角形综合 例8．2.5． 反馈练习14．【解答】解：易得△ABA1∽△BA1B1， 则相似比为A1B：AB＝sin∠A＝4：5， 那么阴影部分面积与空白部分面积之比为16：25， 同理可得到其他三角形之间也是这个情况， 那么所有的阴影部分面积之和应等于＝3×4÷2×＝． 例9．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC＝＝5， ∵四边形APCQ是平行四边形， ∴PO＝QO，CO＝AO， ∵PQ最短也就是PO最短， ∴过O作BC的垂线OP′， ∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°， ∴△CAB∽△CP′O， ∴， ∴， ∴OP′＝， ∴则PQ的最小值为2OP′＝， 例10．【解答】解：∵AB＝5，AC＝4，BC＝3， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°， 当△ABC∽△CDE，如图1，则∠CED＝∠ACB＝90°，∠DCE＝∠A， ∴△ADC为等腰三角形， ∴CE＝AE， ∴CE＝AC＝2； 当△ABC∽△DCE，如图2，则∠CED＝∠ACB＝90°，∠DCE＝∠B， 而∠BCD+∠DCE＝90°， ∴∠B+∠BCD＝90°， ∴CD⊥AB， ∴CD＝＝， ∵△ABC∽△DCE， ∴AB：CD＝BC：CE，即5：＝3：CE， ∴CE＝； 当△ABC∽△CED，如图3，∠CDE＝∠ACB＝90°，∠DCE＝∠A， ∴DC＝DA， ∵∠A+∠B＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°， ∴∠B+∠BCD＝90°， ∴DB＝DC， ∴CD＝DA＝DB＝AB＝， ∵△ABC∽△CED， ∴CE：AB＝CD：AC，即CE：5＝：4， ∴CE＝， 综上所述，CE的长为2，，． 故答案为2，，． 反馈练习15．【解答】解：（1）A、∵1+2＝3， ∴1，2，3三条线段不能组成三角形，故A不符合题意； B、∵1+1＝2， ∴1，1，2三条线段不能组成三角形，故B不符合题意； C、∵2＜3＜4，且3﹣d＝2，∴d1＝1， ∵3+d＝4，∴d2＝﹣1， ∵1≠﹣1，∴故C不符合题意； D、当4﹣d＝3，4+d＝5， 得d＝1，∵32+42＝52，∴3，4，5能组成均匀直角三角形，故D符合题意； 故选D； （2）如图1，∵四边形DEFG是矩形， ∴∠FGD＝∠BDE＝90°， ∴∠AGF＝∠BDE＝90°，∴∠A+∠AFG＝90°， ∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°， ∴∠AFG＝∠B， ∴△AFG∽△EBD，∴， ∵FG＝DE，∴FG2＝AG•BD； （3）①设BC＝a， ∵△ABC为均匀直角三角形，且AB＞BC＞AC， ∴AB＝a+d，AC＝a﹣d， ∵∠C＝90°， ∴AB2＝AC2+BC2，∴（a+d）2＝（a﹣d）2+a2， ∴a＝4d，∴＝＝； 故答案为：； ②如图2，过点C作CH⊥AB，交FE于点P， ∵在均匀直角三角形纸板ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC， 由①知：＝， ∵AB＝100，∴BC＝80，AC＝60， ∵S△ACB＝•AC•BC＝，∴60×80＝100CH，∴CH＝48， 设FG为xcm，矩形面积为ycm2， 在矩形EFGD中， ∵EF∥GD，∴△CFE～△CAB， ∴，即， ∴EF＝＝， ∴y＝FG•EF＝•x＝﹣+100x＝﹣（x﹣24）2+1200（0＜x＜48）， ∴矩形面积最大值为1200cm2． 反馈练习16．【解答】（1）证明：∵PQ⊥AQ， ∴∠AQP＝90°＝∠ABC， 在△APQ与△ABC中， ∵∠AQP＝90°＝∠ABC，∠A＝∠A， ∴△AQP∽△ABC． （2）解：在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，由勾股定理得：AC＝5． ∵∠QPB为钝角， ∴当△PQB为等腰三角形时， （I）当点P在线段AB上时，如题图1所示． ∵∠QPB为钝角， ∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝PQ， 由（1）可知，△AQP∽△ABC， ∴，即，解得：PB＝， ∴AP＝AB﹣PB＝3﹣＝； （II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示． ∵∠QBP为钝角， ∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝BQ． ∵BP＝BQ，∴∠BQP＝∠P， ∵∠BQP+∠AQB＝90°，∠A+∠P＝90°， ∴∠AQB＝∠A，∴BQ＝AB， ∴AB＝BP，点B为线段AP中点， ∴AP＝2AB＝2×3＝6． 综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6． 反馈练习17． 【解答】解：（1）若0＜t≤5，则AP＝4t，AQ＝2t． 则＝＝， 又∵AO＝10，AB＝20， ∴＝＝． ∴＝． 又∵∠CAB＝30°， ∴△APQ∽△ABO． ∴∠AQP＝90°，即PQ⊥AC． 当5＜t＜10时，同理，可由△PCQ∽△BCO得∠PQC＝90°，即PQ⊥AC． ∴在点P、Q运动过程中，始终有PQ⊥AC． （2）①如图，在Rt△APM中， ∵∠PAM＝30°，AP＝4t， ∴AM＝． 在△APQ中，∠AQP＝90°， ∴AQ＝AP•cos30°＝2t， ∴QM＝AC﹣2AQ＝20﹣4t． 由AQ+QM＝AM得：2t+20﹣4t＝， 解得t＝． ∴当t＝时，点P、M、N在一直线上． ②存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形． 设l交AC于H． 如图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠NMH＝30°． ∴MH＝2NH．得20﹣4t﹣＝2×，解得t＝2． 如图2，当点N在CD上时，若PM⊥PN，则∠HMP＝30°． ∴MH＝2PH，同理可得t＝7． 故当t＝2或7时，存在以PN为一直角边的直角三角形． 1． C 2． C 3． B 4． D 5． B 6．． 7．A 8．【解答】解：∵S△ADE：S四边形BCED＝1：8， ∴S△ADE：S△ABC＝1：9， ∴△ADE与△ABC相似比为：1：3， ①若∠AED对应∠B时， 则， ∵AC＝5cm， ∴AD＝cm； ②当∠ADE对应∠B时，则， ∵AB＝6cm， ∴AD＝2cm； 故答案为：． 9．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠EAB＝∠ECG，∠EBA＝∠EGC， ∴△ABE∽△CGE； （2）∵AF＝2FD， ∴AD＝3DF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD，DF∥CB， ∴BC＝3FD，△GFD∽△GBC， ∴， ∴， ∴， ∴＝， ∵△ABE∽△CGE， ∴＝， 即的值是． 10．【解答】解：（1）∵将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABF， ∴∠DAE＝∠BAF，AE＝AF， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴∠AFE＝45°， ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE＝∠EAC， ∴∠FAB＝∠CAE， 在正方形ABCD中，∠ACD＝45°， ∴∠ACD＝∠AFE， ∴△AFG∽△ACE， （2）过F作BC平行线交AB，CD于G，H， ∴△AGF∽△FHE， ∵， 设FH＝x， 则AG＝2x，GF＝4x，EH＝， ∵AG＝DH， ∴2x＝2+， 解得x＝， ∴AG＝，GF＝4﹣＝， ∴BG＝4﹣＝， 在Rt△AGF中， BF＝． 11．【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵△ABC≌△DEF， ∴∠AEF＝∠B， 又∵∠AEF+∠CEM＝∠AEC＝∠B+∠BAE， ∴∠CEM＝∠BAE，∴△ABE∽△ECM； （2）能． 解：∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C， ∴∠AME＞∠AEF， ∴AE≠AM； 当AE＝EM时，则△ABE≌△ECM， ∴CE＝AB＝5， ∴BE＝BC﹣EC＝6﹣5＝1， 当AM＝EM时，则∠MAE＝∠MEA， ∴∠MAE+∠BAE＝∠MEA+∠CEM， 即∠CAB＝∠CEA， 又∵∠C＝∠C， ∴△CAE∽△CBA， ∴， ∴CE＝， ∴BE＝6﹣＝；∴BE＝1或． （3）解：设BE＝x， 又∵△ABE∽△ECM， ∴， 即：， ∴CM＝﹣+x＝﹣（x﹣3）2+， ∴AM＝5﹣CM═（x﹣3）2+， ∴当x＝3时，AM最短为， 又∵当BE＝x＝3＝BC时， ∴点E为BC的中点， ∴AE⊥BC， ∴AE＝＝4， 此时，EF⊥AC， ∴EM＝＝， S△AEM＝． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$