第04讲 相似三角形的判定-2024-2025学年九年级数学暑假讲义（江苏专用）

第04讲 相似三角形的判定 知识点及学习目标 相似三角形的判定定理 掌握相似三角形的几种判定定理并能综合运用 相似三角形的判定 1．定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似． 2．平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角 形与原三角形相似． 3．判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 4．判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5．判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 考点一：相似三角形的判定 例1．如图，∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（　　） A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C． D． 反馈练习1．如图，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠ADE C．AE•AB＝AD•AC D．AE•AC＝AD•AB 反馈练习2．如图，D为△ABC边BC上一点，要使△ABD∽△CBA，应该具备下列条件中的（　　） A． B． C． D． 例2．如图，点E是平行四边形ABCD中BC的延长线上的一点，连接AE交CD于F，交BD于M，则图中共有相似三角形（不含全等的三角形）（　　）对． A．4 B．5 C．6 D．7 反馈练习3． △ABC中，∠B＝∠C＝36°，AD、AE三等分∠A，D、E在BC边上，则相似三角形有（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 例3．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④ 反馈练习4．图中四个阴影的三角形中与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 例4．如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BA延长线上的一点，连接EC交AD于点F．求证：△BEC∽△DCF． 反馈练习5．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°． 求证：△ADC∽△DEB． 反馈练习6．如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥EC交AB于F，连接FC， 求证：△AEF∽△DCE． 例5．如图，在△ABC和△ADE中，，点B、D、E在一条直线上， 求证：△ABD∽△ACE． 反馈练习7．如图，已知O是△ABC内一点，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点． 求证：△ABC∽△DEF． 例6．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，以AC为边作△ACE，∠ACE＝90°，AC＝CE，延长BC至点D，使CD＝5，连接DE．求证：△ABC∽△CED． 反馈练习8．如图，△ABC与△ADE是两个等腰直角三角形，∠BAC＝∠D＝90°，BC分别与AD、AE相交于点F、G，请找出图中除了△ABC与△ADE外一对相似三角形并证明． 反馈练习9．如图，▱ABCD的对角线交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连接DE． （1）求证：△BDE是直角三角形； （2）如果OE⊥CD，试判断△BDE与△DCE是否相似，并说明理由． 考点二：相似三角形判定（多情况） 例7．如图，点P是等腰△ABC的腰AB上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 反馈练习10．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在边AB上，AM＝3，过点M作直线MN与边AC交于点N，使截得的三角形与原三角形ABC相似，则MN的长为　 　． 反馈练习11． 如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（　　） A．（4，2） B．（6，0） C．（6，3） D．（6，5） 例8．如图，矩形ABCD中，AD＝4，AB＝10，P为CD边上的动点，当DP＝　 　时，△ADP与△BCP相似． 反馈练习12．△ABC中，AB＝10，AC＝6，点D在AC上，且AD＝3，若要在AB上找一个点E，使△ADE与△ABC相似，则AE＝　 　． 反馈练习13．如图，在直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（8，0）和（0，6），点C为AB的中点，点D在x轴上，当D点坐标为　 　时，由点A，C，D组成的三角形与△AOB相似． 例9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动时间为t（s）． （1）当t为何值时，△PBQ的面积为9？ （2）当△PBQ与△ABC相似时，t的值是多少？ 反馈练习14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，点E在AB上，且DE∥AC，AE＝5，DE＝2，DC＝3，动点P从点A出发，沿边AC以每秒2个单位长的速度向终点C运动，同时动点F从点C出发，在线段CD上以每秒1个单位长的速度向终点D运动，设运动时间为t秒． （1）线段AC的长＝　 　； （2）当△PCF与△EDF相似时，求t的值． 1．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③；④AD•BC＝DE•AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，D是AB的中点，在边AC上确定点E的位置，使得△ADE∽△ACB，则AE的长为　　 ． 3．平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2和x、y轴交于B、A两点，在第二象限内找一点P，使△PAO和△AOB相似的三角形个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，AB∥CD，∠ACD＝72°． （1）用直尺和圆规作∠C的平分线CE，交AB于E，并在CD上取一点F，使AC＝AF，再连接AF，交CE于K；（要求保留作图痕迹，不必写出作法） （2）依据现有条件，直接写出图中所有相似的三角形，（图中不再增加字母和线段，不要求证明）． 5．已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，两直角边AC、BC的长是关于x的方程x2﹣（m+5）x+6m＝0的两个实数根． （1）求m的值及AC、BC的长（BC＞AC）； （2）在线段BC的延长线上是否存在点D，使得以D、A、C为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出CD的长；若不存在，请说明理由． 6．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，过AB上一点D作DE∥BC，DF∥AC分别交AC、BC于点E和F （1）如图1，证明：△ADE∽△DBF； （2）如图1，若四边形DECF是菱形，求DE的长； （3）如图2，若以D、E、F为顶点的三角形与△BDF相似，求AD的长． 第04讲 适用区域 江苏 适用年级 九年级 考点一：相似三角形的判定 例1． D． 反馈练习1．D． 反馈练习2． C． 例2． B． 反馈练习3． ∴△ABC∽△EAC∽△DAB，△ADE∽△BAE∽△CAD． 故选：D． 例3． C． 反馈练习4． B． 例4．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠B＝∠D，BE∥CD， ∴∠E＝∠DCF， ∴△BEC∽△DCF 反馈练习5．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝∠CAD+60°， ∵∠ADE＝60°， ∴∠ADB＝∠BDE+60°， ∴∠CAD＝∠BDE， ∴△ADC∽△DEB． 反馈练习6．【解答】证明：∵∠FEC＝90°， ∴∠AEF+∠DEC＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°， ∵∠A+∠AFE+∠AEF＝180°， ∴∠AFE+∠AEF＝90°， ∴∠DEC＝∠AFE， 又∵∠A＝∠D， ∴△AEF∽△DCE． 例5．【解答】证明：∵在△ABC和△ADE中，＝＝， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵， ∴， ∴△ABD∽△ACE． 反馈练习7．【解答】证明：∵D、E、F分别是OA、OB、OC的中点， ∴DE＝AB，EF＝BC，DF＝AC， 即＝＝， ∴△ABC∽△DEF． 例6．【解答】证明：∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝2， ∴AC＝＝2， ∵CE＝AC， ∴CE＝2， ∵CD＝5， ∵＝＝，＝， ∴＝， ∵∠B＝90°，∠ACE＝90°， ∴∠BAC+∠BCA＝90°，∠BCA+∠DCE＝90°． ∴∠BAC＝∠DCE． ∴△ABC∽△CED． 反馈练习8．【解答】解：△BGA∽△AGF，理由如下： ∵△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDA＝90°， ∴∠C＝∠B＝∠DAE＝∠E＝45°， ∵∠CFA＝∠B+∠FAB，∠GAB＝∠FAG+∠FAB， ∴∠CFA＝∠BAG， ∴△CAF∽△BGA． 反馈练习9．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∵OE＝OB， ∴OE＝OD， ∴∠OBE＝∠OEB，∠ODE＝∠OED， ∵∠OBE+∠OEB+∠ODE+∠OED＝180°， ∴∠BED＝∠OEB+∠OED＝90°， ∴DE⊥BE，即△BDE是直角三角形； （2）解：△BDE与△DCE相似． ∵OE⊥CD， ∴∠CEO+∠DCE＝∠CDE+∠DCE＝90°， ∴∠CEO＝∠CDE， ∵∠OBE＝∠OEB， ∴∠DBE＝∠CDE， ∵∠BED＝∠DEC＝90°， ∴△BDE∽△DCE． 考点二：相似三角形判定（多情况） 例7． 【解答】解：∵BA＝BC， ∴∠A＝∠C， ①作PE∥BC，可得△APE∽△ABC． ②作PF∥AC，可得△BPF∽△BAC． ③作∠APG＝∠A，可得∠AGP∽△ABC， 故选：B． 反馈练习10．【解答】解：∵△AMN和△ABC相似， ∴①如图1，△AMN∽△ABC， ∴， ∵AM＝3，AC＝6，BC＝12，AB＝9， ∴，MN＝4． ②如图2，△AMN∽△ACB， ∴， ∵AM＝3，AC＝6，BC＝12， ∴，MN＝6， 综上MN为4或6． 故答案为：4或6． 反馈练习11． 【解答】解：∵点A、B、C的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1）， ∴AB＝6，BC＝3，∠ABC＝90°， 当E点坐标为（4，2），而D（6，1），则CE＝1，CD＝2，∠ECD＝90°， ∵＝＝3，∠ABC＝∠ECD， ∴△ABC∽△DCE； 当E点坐标为（6，0），而D（6，1），则ED＝1，CD＝2，∠EDC＝90°， ∵＝＝3，∠ABC＝∠EDC， ∴△ABC∽△EDC； 当E点坐标为（6，3），而D（6，1），则ED＝2，CD＝2，∠EDC＝90°， ∵≠，∠ABC＝∠EDC， ∴△ABC与△ECD不相似； 当E点坐标为（6，5），而D（6，1），则ED＝4，CD＝2，∠EDC＝90°， ∵＝＝，∠ABC＝∠EDC， ∴△ABC∽△EDC． 故选：C． 例8．【解答】解：①当△APD∽△PBC时， ， 即， 解得：PD＝2或PD＝8； ②当△PAD∽△PBC时， ， 即＝， 解得：DP＝5． 综上所述，DP的长度是2或8或5． 故答案是：2或8或5． 反馈练习12． 【解答】解：∵∠A是公共角， ∴当，即时，△ADE∽△ACB 解得：AE＝5 当，即时，△ADE∽△ABC 解得：AE＝ 故答案为：5或 反馈练习13．【解答】解：∵在直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（8，0）和（0，6）， ∴OA＝8，OB＝6， ∴AB＝＝10， ∵点C为AB的中点， ∴AC＝AB＝5， ∵∠OAB是公共角， ∴如图1，当，即时，△ACD∽△ABO， 解得：AD＝4， ∴OD＝AB﹣AD＝4， ∴点D（4，0）； 如图2，当，即时，△ACD∽△AOB， 解得：AD＝， ∴OD＝OA﹣AD＝， ∴点D（，0）； ∴当D点坐标为（4，0）或（，0）时，由点A，C，D组成的三角形与△AOB相似． 故答案为：（4，0）或（，0）． 例9．【解答】解：（1）由题意得，AP＝t，BQ＝2t，则PB＝6﹣t． ∴S△PBQ＝PB•BQ ＝ （6﹣t）•2t ＝﹣t2+6t， 由题意得﹣t2+6t＝9， 解得t1＝t2＝3， 所以运动时间t为3s； （2）若当△PBQ∽△ABC时，＝． 即＝，解得t＝； 当△PBQ∽△CBA时，＝． 即＝，解得t＝． 综上所述，当△PBQ与△ABC相似时，t的值是或． 反馈练习14．【解答】解：（1）作EH⊥AC于H，如图， ∵∠C＝90°，DE∥AC， ∴四边形CDEH为矩形， ∴CH＝DE＝2，EH＝CD＝3， 在Rt△AEH中，AH＝＝＝4， ∴AC＝CH+AH＝2+4＝6； （2）CF＝t，PA＝2t，则DF＝3﹣t，CP＝6﹣2t，0＜t＜3， ∵∠C＝∠FDE， ∴当＝时，△CFP∽△DFE，即＝，整理得t2﹣7t+9＝0，解得t1＝，t2＝（舍去）， ∴当＝时，△CFP∽△DEF，即＝，t1＝4（舍去），t2＝3（舍去）， 综上所述，t的值为． 1． C． 2． ． 3．【解答】解：如图， ①分别过点O、点A作AB、OB的平行线交于点P1，则△OAP1与△AOB相似（全等）， ②作AP2⊥OP1，垂足为P2则△AOP2与△AOB相似． ③作∠AOP3＝∠ABO交AP1于P3，则△AOP3与△AOB相似． ④作AP4⊥OP3垂足为P4，则△AOP4与△AOB相似． 故选：C． 4．【解答】解：（1）CE作法正确得（2分），F点作法正确得（1分），K点标注正确得（1分）； （2）△CKF∽△ACF∽△EAK；△CAK∽△CEA 理由：∵AB∥CD，∠ACD＝72°， ∴∠ECF＝∠AEC， ∵∠ECF＝∠ACE＝∠ACF＝36°， ∴∠ACE＝∠AEC＝36°， ∵AC＝AF， ∴∠AFC＝∠ACF＝72°， ∴∠CKF＝72°，∠CAF＝36°， ∴△CKF∽△ACF∽△EAK，△CAK∽△CEA． 5．【解答】解：（1）设方程x2﹣（m+5）x+6m＝0的两个根分别是x1、x2 ∴x1+x2＝m+5，x1•x2＝6m ∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（m+5）2﹣2×6m ∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 ∴x12+x22＝AB2 ∴（m+5）2﹣2×6m＝52∴m2﹣2m＝0 ∴m＝0或m＝2 当m＝0时，原方程的解分别为x1＝0，x2＝5，但三角形的边长不能为0，所以m＝0舍去． 当m＝2时，原方程为x2﹣7x+12＝0，其解为x1＝3，x2＝4，所以两直角边AC＝3，BC＝4 ∴m＝2，AC＝3，BC＝4 （2）存在； 已知AC＝3，BC＝4，AB＝5 欲使以△AD1C为顶点的三角形与△ABC相似，则，∴，则CD＝ 欲使以△AD2C为顶点的三角形与△ABC相似，则，∴BC＝CD2＝4 6．【解答】（1）证明：∵DE‖BC，DF‖AC， ∴∠ADE＝∠B，∠A＝∠BDF， ∴△ADE∽△DBF； （2）解：设DE＝x， ∵四边形DECF是菱形， ∴DE＝DF＝CF＝CE＝x， ∴AE＝5﹣x，BF＝6﹣x， ∵△ADE∽△DBF， ∴＝，即＝，解得x＝， 即DE的长为； （3）解：设AD＝AE＝t，则CE＝5﹣t， ∵DE‖BC，DF‖AC， ∴四边形DECF为平行四边形， ∴DF＝CE＝5﹣t，DE＝CF， ∵DE∥BC， ∵＝，即＝，则DE＝t， ∴CF＝t， ∴BF＝6﹣t， ∵∠EDF＝∠BFD， ∴当＝，△EDF∽△BFD，即BF＝DE，6﹣t＝t，解得t＝； 当＝，△EDF∽△DFB，即＝，解得t＝5（舍去）或t＝， 综上所述，AD的长为或． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$