第01讲 一元二次方程-2024-2025学年九年级数学暑假讲义（江苏专用）

第01讲 一元二次方程 知识点及学习目标 一元二次方程定义、解法，以及根的判别式、根与系数的关系 掌握一元二次方程的解法及根的判别式 1． 一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2．一元二次方程有四个特点： （1）含有一个未知数； （2）且未知数次数最高次数是2； （3）是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程。 （4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0） 3．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）。 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 4．一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。 （2）配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。 配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为（x+p）2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根． （3）公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程的求根公式： （4）因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 5．一元二次方程根的判别式 根的判别式：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 6．一元二次方程根与系数的关系 如果方程的两个实数根是，那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 考点一：一元二次方程的概念 例1．给出下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②（x﹣9）2＝1；③4x2+2x﹣1＝0；④x+3＝；其中一元二次方程的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 例2．若方程（m﹣1）x2+x+＝0是关于x的一元二次方程，则下列结论正确的是（　　） A．m≥2 B．m≤2 C．m≤2且m≠1 D．m≠1 反馈练习1．下列是一元二次方程的是（　　） A．﹣5x+2＝1 B．2x2﹣y+1＝0 C．x2+2x＝0 D．x2﹣＝0 反馈练习2．已知关于的方程： （1）m为何值时方程为一元一次方程； （2）m为何值时方程为一元二次方程。 考点二：一元二次方程的解法 例3．用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，可变形为（　　） A．（x+3）2＝16 B．（x﹣3）2＝16 C．（x+3）2＝2 D．（x﹣3）2＝2 反馈练习3．一元二次方程4x2﹣4x﹣3＝0配方后可化为（　　） A．（x+）2＝1 B．（x﹣）2＝1 C．（x+）2＝ D．（x﹣）2＝ 例4．解下列方程： （1）（x﹣2）2﹣9＝0； （2）3x2﹣2x﹣2＝0（用公式法）； （3）x（2x﹣5）＝2x﹣5； （4）x2+4x﹣3＝0（用配方法）． 考点三：一元二次方程的解 例5．已知关于x的一元二次方程5x2+kx﹣6＝0的一个根是2．则另一个根是（　　） A．﹣ B． C．3 D．﹣3 反馈练习4．已知x＝﹣1是一元二次方程（m+4）x2+2x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（　　） A．﹣1或2 B．﹣1 C．2 D．0 反馈练习5．一个等腰三角形的底边长为10，腰长是一元二次方程x2﹣11x+30＝0的一个根，则这个三角形的周长是　 　． 反馈练习6．已知实数a是一元二次方程x2﹣2016x+1＝0的根，求代数式a2﹣2015a﹣的值为　 　． 考点四：根的判别式 例6．关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是　 　． 反馈练习7．关于x的方程x2﹣2x+a＝0（a为常数）无实数根，则点（a，a+1）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 反馈练习8．若关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+c＝0有两个相等的实数根，则c的最小值是　 　． 反馈练习9．关于x的一元二次方程x2﹣mx+（m+1）＝0有两个相等的实数根，则代数式8m﹣2m2+10的值为（　　） A．18 B．10 C．4 D．2 反馈练习10．若一元二次方程x（kx+1）﹣x2+3＝0有实数根，则k的最大整数值是（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 例7．已知关于x的一元二次方程mx2+4x+4﹣m＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若m为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，求m的值； 反馈练习11．已知关于x的一元二次方程x2+2mx﹣n2+5＝0． （1）当m＝1时，该一元二次方程的一个根是1，求n的值； （2）若该一元二次方程有两个相等的实数根． ①求m、n满足的关系式； ②在x轴上取点H，使得OH＝|m|，过点H作x轴的垂线l，在垂线l上取点P，使得PH＝|n|，则点P到点（3，4）的距离最小值是　 　． 反馈练习12．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是全等的Rt△ABC和Rt△BED的边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： （1）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根； （2）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC的面积． 考点五：根与系数的关系 例8．若m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，则m2+n2﹣mn的值是　 　． 反馈练习13．如果x1，x2是两个不相等实数，且满足x12﹣2x1＝1，x22﹣2x2＝1，那么x12+x22等于（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．6 反馈练习14．关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0的两实根为x1，x2，且x12+x22＝3k2，则k＝　 　． 反馈练习15．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+4）x+m2+4m＝0． （1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2； ①求代数式﹣4x1x2的最大值； ②若方程的一个根是6，x1和x2是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长． 例9．已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣7＝0的两根，则x12﹣x1+x2的值为（　　） A．9 B．7 C．5 D．3 反馈练习16．已知x1、x2是方程x2﹣3x﹣1＝0的根，则式子x12﹣2x1+x2的值为　 　． 1．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 2．设方程x2+x﹣1＝0的一个正实数根为a，2a3+a2﹣3a的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣3 3．若等腰三角形的一条边长为5，另外两条边的长为一元二次方程x2﹣7x+k＝0的两个根，则k的值为（　　） A．10 B． C．10或 D． 4．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，其中正确的有（　　）个． ①方程x2+5x+6＝0是倍根方程； ②若pq＝2，则关于x的方程px2+4x+q＝0是倍根方程； ③若（x﹣3）（mx+n）＝0是倍根方程，则18m2+15mn+2n2＝0； ④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，且3a+b＝0，则方程ax2+bx+c＝0的一个根为1． A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知y＝kx+k﹣1的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣x﹣k2﹣k＝0的根的情况是（　　） A．无实数根 B．有两个相等或不相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 6．将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x•x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x3+1的值为（　　） A．1+ B．1﹣ C．3﹣ D．3+ 7．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0有一个解为x＝0，则k＝　 　． 8．关于x的一元二次方程nx2﹣x+2＝0有两个不相等的实数根，则n的取值范围是　 　． 9．关于x的一元二次方程ax2＝4x﹣b有两个实数根，其中a，b分别表示菱形ABCD两条对角线的长度，则菱形ABCD面积的最大值为　 　． 10．设α、β是方程x2+2x﹣2021＝0的两根，则α2+3α+β的值为　 　． 11．解一元二次方程： （1）2x2+5x﹣3＝0． （2）（x﹣3）2＝4x﹣12． 12．已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若x12﹣2kx1﹣x2+2x1x2＝4，求k的值． 第01讲 适用区域 江苏 适用年级 九年级 考点一：一元二次方程的概念 例1． B． 例2． D． 反馈练习1． C． 反馈练习2． (1)m=2或± (2)m=-2 考点二：一元二次方程的解法 例3． B． 反馈练习3． B． 例4． 【解答】（1）解：∵（x﹣2）2﹣9＝0， ∴（x﹣2）2＝9， ∴x﹣2＝±3， ∴x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3， ∴x1＝5，x2＝﹣1， （2）3x2﹣2x﹣2＝0， ∵a＝3，b＝﹣2，c＝﹣2， ∴△＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣2）＝4+24＝28， ∴x＝＝， ∴x1＝，x2＝； （3）∵x（2x﹣5）＝2x﹣5， ∴（2x﹣5）（x﹣1）＝0， ∴2x﹣5＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝，x2＝1， （4）∵x2+4x﹣3＝0， ∴x2+4x＝3， ∴x2+4x+4＝3+4， ∴（x+2）2＝7， ∴x+2＝， ∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣． 考点三：一元二次方程的解 例5． A． 反馈练习4． A． 反馈练习5． 22． 反馈练习6． 【解答】解：∵a是方程x2﹣2016x+1＝0根， ∴a2﹣2016a+1＝0， ∴a2＝2016a﹣1， ∴原式＝2016a﹣1﹣2015a﹣ ＝a﹣1﹣a ＝﹣1． 考点四：根的判别式 例6． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+3＝0有实数根， ∴△＝4﹣12（a+1）≥0，且a+1≠0， 解得：a≤﹣且a≠﹣1， 则整数a的最大值为﹣2． 反馈练习7． 【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝a， ∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×a＝4﹣4a＜0， 解得：a＞1， ∴点（a，a+1）在第一象限， 故选：A． 反馈练习8． 0． 反馈练习9． D． 反馈练习10．【解答】解：方程整理得，（k﹣1）x2+x+3＝0， 根据题意得：△＝12﹣12（k﹣1）＝﹣12k+13≥0， 解得：k≤，且k≠1， 则k的最大整数解为0． 故选：C． 例7． 【解答】解：（1）关于x的一元二次方程mx2+4x+4﹣m＝0． ∵△＝42﹣4m（4﹣m）＝4m2﹣16m+16＝4（m﹣2）2≥0， ∴无论m为任何实数，方程总有实根． （2）∵x＝＝， ∴x1＝＝，x2＝＝﹣1． ∵方程有两个互不相等的负整数根， ∴＜0． ∴或， ∴0＜m＜4． ∵m为整数， ∴m＝1或2或3． 当m＝1时，x1＝＝﹣3≠x2，符合题意； 当m＝2时，x1＝＝﹣1＝x2，不符合题意； 当m＝3时，x1＝＝﹣≠x2，但不是整数，不符合题意． ∴m＝1． 反馈练习11．【解答】解：（1）把m＝1，x＝1代入方程得1+2﹣n2+5＝0， 解得n＝±2， 即n的值为±2； （2）①根据题意得△＝4m2﹣4（﹣n2+5）＝0， 整理得m2+n2＝5； ②∵OH＝|m|，PH＝|n|， ∴OP＝＝， 即点P在以O点为圆心，为半径的圆上， ∴原点与点（3，4）的连线与⊙O的交点P使点P到点（3，4）的距离最小， ∵原点到点（3，4）的距离为＝5， ∴点P到点（3，4）的距离最小值是5﹣． 故答案为5﹣． 反馈练习12．【解答】（1）证明：， ∵a2+b2＝c2， ∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0， ∴关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （2）解：当x＝﹣1时，有，即， ∵四边形ACDE的周长是12， ∴，即， ∴， ∴a2+b2＝c2＝8， 又∵a+b＝4， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，即16＝8+2ab， ∴ab＝4， ∴． 考点五：根与系数的关系 例8． 31． 反馈练习13．【解答】解：∵x1，x2是两个不相等实数，且满足x12﹣2x1＝1，x22﹣2x2＝1， ∴x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个不相等的实数根， 则x1+x2＝2，x1x2＝﹣1， ∴x12+x22 ＝（x1+x2）2﹣2x1x2 ＝22﹣2×（﹣1） ＝4+2＝6， 故选：D． 反馈练习14． 【解答】解：由根与系数的关系得：x1+x2＝1，x1•x2＝k， ∵方程两实根满足x12+x22＝3k2， ∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝3k2， ∴12﹣2k＝3k2， 解得：k＝或﹣1， 当k＝时，方程为x2﹣x+＝0，△＝12﹣4×1×＝﹣＜0，此方程无解， 当k＝﹣1时，方程为x2﹣x﹣1＝0，此方程有解， 故答案为：﹣1． 反馈练习15．【解答】解：（1）△＝（2m+4）2﹣4（m2+4m）＝16，16＞0， ∴此方程总有两个不相等的实数根． （2）①﹣4x1x2＝（x1+x2）2﹣6x1x2， ∵x1+x2＝＝2m+4，x1x2＝m2+4m， ∴（x1+x2）2﹣6x1x2＝（2m+4）2﹣6（m2+4m）＝﹣2m2﹣8m+16＝﹣2（m+2）2+24， ∴当m＝﹣2时﹣4x1x2的最大值为24． ②把x＝6代入原方程可得m2﹣8m+12＝0， 解得m＝2或m＝6， 当m＝2时，原方程化简为x2﹣8x+12＝0， 解得x＝2或x＝6， 三角形三边长为6，6，2时三角形周长为14， 三角形边长为2，2，6时不存在． 当m＝6时，原方程化简为x2﹣16x+60， 解得x＝6或x＝10． 三角形三边长为6，6，10时三角形周长为22， 三角形三边长为10，10，6时，三角形周长为26． ∴等腰三角形周长为14或22或26． 例9．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣7＝0的两根， 则x12﹣2x1﹣7＝0，x1+x2＝2， ∴x12﹣x1+x2＝x12﹣2x1+x1+x2＝7+2＝9， 故选：A． 反馈练习16． 【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣1＝0的根， ∴x1+x2＝3，x12﹣3x1﹣1＝0， ∴x12﹣3x1＝1， ∴x12﹣2x1+x2＝x12﹣3x1+x1+x2＝1+3＝4． 故答案为：4． 1． D． 2． B． 3． C． 4． B． 5． C． 6． D． 7．﹣1． 8． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程nx2﹣x+2＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝（﹣）2﹣4n×2＞0且n≠0，4n+3≥0， 解得﹣≤n＜且n≠0， 9． 【解答】解：方程ax2＝4x﹣b化为ax2，﹣4x+b＝0， ∵关于x的一元二次方程ax2＝4x﹣b有两个实数根， ∴△＝16﹣4ab≥0， ∴ab≤4， ∵a，b分别表示菱形ABCD两条对角线的长度， ∴菱形ABCD面积＝ab≤2， ∴菱形ABCD面积的最大值为2， 故答案为2． 10． 【解答】解：根据题意知，α2+2α﹣2021＝0，即α2+2α＝2021． 又∵α+β＝﹣2． 所以α2+3α+β＝α2+2α+（α+β）＝2021﹣2＝2019． 故答案是：2019． 11． 【解答】解：（1）∵2x2+5x﹣3＝0， ∴（x+3）（2x﹣1）＝0， 则x+3＝0或2x﹣1＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝0.5； （2）∵（x﹣3）2＝4x﹣12， ∴（x﹣3）2﹣4（x﹣3）＝0， 则（x﹣3）（x﹣7）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣7＝0， 解得x1＝3，x2＝7． 12．已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若x12﹣2kx1﹣x2+2x1x2＝4，求k的值． 【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2． ∴△＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4k2＝﹣4k+1≥0， 解得k≤； （2）∵此方程有两个实数根x1，x2， ∴﹣（2k﹣1）x1+k2＝0，x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2， ∴x12﹣2kx1＝﹣（x1+k2）， ∵x12﹣2kx1﹣x2+2x1x2＝4， ∴﹣（x1+k2）﹣x2+2x1x2＝4， ∴﹣2k+1﹣k2+2k2＝4， 整理得，k2﹣2k﹣3＝0， 解得：k1＝3，k2＝﹣1， ∵k≤， ∴k＝﹣1． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$