专题22.1 二次函数及y=ax²(a≠0)的图象与性质（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）基础知识专项突破讲练2025-2026学年九年级数学上册（人教版 ）

专题22.1 二次函数及y=ax²（a≠0）的图象与性质 目录 一.知识梳理与题型精析 1 知识点（一）二次函数的定义 1 【题型1】二次函数的定义 1 【题型2】列二次函数的关系式 2 知识点（二）二次函数的图象画法 2 【题型3】画二次函数的图象 2 知识点（三）二次函数的图象和性质 3 【题型4】二次函数的对称轴、开口方向、顶点坐标、最值 4 【题型5】二次函数的增减性 4 【题型6】二次函数的对称性 5 【题型7】二次函数的图象与性质综合 5 【题型8】二次函数的图象和性质与几何综合 6 二．同步练习 7 1. 基础夯实（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 7 2. 能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 9 一.知识梳理与题型精析 知识点（一）二次函数的定义 一般地，形如的函数，叫做二次函数，其中是自变量，为分是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 【题型1】二次函数的定义 【例题1】 （24-25九年级上·浙江杭州·期末）若函数是二次函数． （1）求的值； （2）当时，求的值． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．2 C．或2 D． 【变式2】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）二次函数的二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【题型2】列二次函数的关系式 【例题1】（2025·湖北孝感·一模）某商品进价为40元/件，经市场调查发现，其售价（元/件）与日销量（件）满足． （1）求日销售利润（元）与（元/件）的函数关系式；（不要求写的取值范围） （2）在确保盈利前提下，若日销量不低于80件，求售价的取值范围． （3）在（2）的条件下日销售利润能否为1600元？若能，售价是多少？ 【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·甘肃陇南·模拟预测）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为 ． 知识点（二）二次函数的图象画法 一般步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线. 【题型3】画二次函数的图象 【例题3】（2024九年级上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中画出的图象并简单描述其性质． 【变式1】（22-23八年级·全国·假期作业）通过列表、描点、连线的方法画函数的图象． 【变式2】（23-24九年级上·全国·课后作业）（1）在同一直角坐标系中，画出函数，，与的图象．    （2）观察（1）中所画的图象，回答下列问题： ①由图象可知抛物线与抛物线___________的形状相同，且两抛物线关于___________轴对称；同样，抛物线与抛物线___________的形状相同，也关于___________轴对称． ②当相同时，抛物线开口大小___________；当变大时，抛物线的开口___________；当变小时，抛物线的开口___________． 应用：抛物线与中，开口较小的抛物线是___________． 知识点（三）二次函数的图象和性质 通过例题2及其变式的二次函数图象我们可以得出以下结论： （1）开口方向：的图象是一条抛物线，当0时，开口向上，当0时，开口向下，的越大，开口越小，反之越大； （2）增减性：的图象是轴对称图形，对称轴是轴，①当0时，在对称轴左侧（），随增大而减小，在对称轴右侧（），随增大而增大；②当0时，在对称轴左侧（），随增大而增小，在对称轴右侧（），随增大而减大； （3）最大（小）值：图象与对称轴有交点，称为抛物线的顶点，当0时,有最低点，这时函数有最小值，当0时，有最高点，这时函数有大值；从图象可以看出，它的顶点坐标为（0，0）. 【题型4】二次函数的对称轴、开口方向、顶点坐标、最值 【例题4】（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知抛物线经过点，． （1）求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： （2）求m的值； 【变式1】（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）已知抛物线，则以下说法中，错误的是（  ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．当时，y有最大值为0 【变式2】（2024九年级下·全国·专题练习）在同一个平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则的大小关系为 ． 【题型5】二次函数的增减性 【例题5】 （2025·广东潮州·一模）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24九年级上·河北·阶段练习）当时，函数的最大值与最小值的和为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·四川泸州·阶段练习）已知的图象上有三点，，，且则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型6】二次函数的对称性 【例题6】 （22-23九年级上·湖南长沙·期中）对于二次函数，当取时，函数值相等，则当取时，函数值为 ． 【变式1】（22-23九年级上·湖南长沙·期中）对于二次函数，当取时，函数值相等，则当取时，函数值为 ． 【变式2】（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，已知抛物线，正方形的顶点在抛物线上，顶点在轴上，求点的坐标． 【题型7】二次函数的图象与性质综合 【例题7】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）关于抛物线，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是；②当时，y随x的增大而减小；③抛物线的对称轴为直线；④当时，；⑤若、是该抛物线上两个不同的点，则．其中正确的说法有 ．（填序号） 【变式1】（22-23九年级上·辽宁沈阳·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象开口方向是向下 B．当时，y随x的增大而减小 C．对称轴是直线 D．当时，y有最大值，最大值是0 【变式2】（23-24九年级上·湖北孝感·开学考试）关于抛物线，给出下列说法： ①抛物线开口向下，顶点是． ②当时，随的增大而减小． ③当时，． ④若是该抛物线上两个不同的点，则． 其中正确的说法有 ．（填序号） 【题型8】二次函数的图象和性质与几何综合 【例题8】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，过点的直线交抛物线于点F，D，过点F的直线交抛物线于另一点E，则直线过定点，求这个定点的坐标． 【变式1】（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为 ． 【变式2】（2022·广东东莞·一模）观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（    ） A． B． C． D． 二．同步练习​ 1. 基础夯实（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 一、单选题 1．（2025八年级下·全国·专题练习）下列函数中，y随x增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，当时，y随x增大而减小，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广西河池·期中）下列关于二次函数的性质，说法不正确的是（    ） A．它的图象经过点 B．它的图象的对称轴是y轴 C．当时，y随x的增大而减小 D．有最大值 4．（24-25九年级上·全国·假期作业）函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ 　　） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知点、、、，若抛物线与四边形的边没有交点，则a的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 6．（23-24九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图，正方形OABC的顶点B在抛物线的第一象限的图象上，若点B的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线AC的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）抛物线与的形状相同，开口方向相反，则 ． 8．（24-25九年级上·北京密云·期中）已知点在抛物线上，则的大小关系是 ． 9．（22-23九年级上·云南昭通·期中）已知二次函数开口向上，且，则 ． 10．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）二次函数，当时，则的取值范围是 ． 11．（24-25九年级上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，已知点和点，若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是 ． 12．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）二次函数的图象如图所示，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点、在函数图象上，四边形为菱形，且，则点的坐标为 ． 三、解答题 13．（24-25九年级上·河北张家口·期中）已知是关于的二次函数． （1）求值； （2）若，直接写出的取值范围． 14．（24-25九年级上·陕西延安·阶段练习）已知是关于x的二次函数． （1）若函数图象有最低点，求k的值； （2）判断点是否在（1）中的函数图象上． 15．（21-22九年级上·广东惠州·期中）抛物线与直线交于点． （1）求，的值； （2）求抛物线与直线的两个交点，的坐标（点在点右侧）． 16．（21-22九年级上·重庆铜梁·阶段练习）如图，直线与y轴交于点A，与抛物线y＝ax2交于B，C两点，且点B坐标为（2，2）． （1）求a，b的值； （2）连接OC、OB，求△BOC的面积． 2. 能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·河南新乡·期末）下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）下列关于抛物线的说法正确的是（   ） A．图象开口向下 B．对称轴是轴 C．有最高点 D．随的增大而增大 3．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，若抛物线与直线围成的封闭图形内部有k个整点（不包括边界），则k的值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 4．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，连接，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，菱形的顶点O，A，C在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且．则菱形的面积是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·四川达州·二模）如图，已知点在函数位于第二象限的图像上，点在函数位于第一象限的图像上，点在轴的正半轴上，若四边形都是正方形，则正方形的边长为（   ） A．1012 B． C． D． 二、填空题 7．（20-21九年级上·上海静安·课后作业）二次函数的图像以x轴为对称轴翻折，翻折后它的函数解析式是 ． 8．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 9．（2024·广东佛山·二模）如图，菱形的边长为，点在轴的负半轴上，抛物线过点．若，则 ． 10．（21-22九年级上·河北承德·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（，2）在抛物线y=ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上．以CD为边在抛物线内作正方形CDFE，点E，F分别在抛物线上，则线段CD的长为 ． 11．（2022·河南周口·一模）如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为 ． 12．（19-20九年级下·吉林·阶段练习）如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．如图2，则抛物线y＝x的“完美三角形”斜边AB的长 ．    三、解答题 13．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． （1）求实数的值； （2）写出该二次函数图像的顶点坐标和对称轴． 14．（21-22九年级上·江西南昌·期中）如图，在正方形中，已知：点A，点B在抛物线上，点C，点D在x轴上． （1）求点A的坐标； （2）连接交抛物线于点P，求点P的坐标． 15．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知二次函数的图像经过点． （1）求出这个函数关系式； （2）写出抛物线上纵坐标为2的另外一个点B的坐标，并求出的面积； （3）在抛物线上是否存在点C，使得的面积等于面积的2倍？如果存在，求出点C的坐标；如果不存在，请说明理由． 16．（21-22九年级下·云南·开学考试）如图，直线与抛物线交于，两点，与轴于点，其中点的坐标为． （1）求，的值； （2）若于点，．试说明点在抛物线上． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22.1 二次函数及y=ax²（a≠0）的图象与性质 目录 一.知识梳理与题型精析 1 知识点（一）二次函数的定义 1 【题型1】二次函数的定义 1 【题型2】列二次函数的关系式 3 知识点（二）二次函数的图象画法 4 【题型3】画二次函数的图象 5 知识点（三）二次函数的图象和性质 7 【题型4】二次函数的对称轴、开口方向、顶点坐标、最值 7 【题型5】二次函数的增减性 9 【题型6】二次函数的对称性 11 【题型7】二次函数的图象与性质综合 12 【题型8】二次函数的图象和性质与几何综合 14 二．同步练习 17 1. 基础夯实（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 17 2. 能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 27 一.知识梳理与题型精析 知识点（一）二次函数的定义 一般地，形如的函数，叫做二次函数，其中是自变量，为分是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 【题型1】二次函数的定义 【例题1】 （24-25九年级上·浙江杭州·期末）若函数是二次函数． （1）求的值； （2）当时，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查二次函数的定义，函数值的计算，理解二次函数定义，函数值的计算方法是解题的关键． （1）根据二次函数的定义可得，即可求解； （2）由（1）可得二次函数解析式，把代入计算即可． 解：（1）解：函数是二次函数， ∴， 解得，， ∴； （2）解：当时，二次函数解析式为， ∴当时，． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．2 C．或2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出且，求出即可． 解：关于的函数是二次函数， 且， 解得：， 故选：B． 【变式2】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）二次函数的二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【答案】 5 【分析】根据二次函数的定义判断即可。 解：二次函数的二次项是，一次项系数是，常数项是， 故答案为：①，② ，③ ， 【点拨】此题主要考查了二次函数的定义，要熟练掌握，一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 【题型2】列二次函数的关系式 【例题2】（2025·湖北孝感·一模）某商品进价为40元/件，经市场调查发现，其售价（元/件）与日销量（件）满足． （1）求日销售利润（元）与（元/件）的函数关系式；（不要求写的取值范围） （2）在确保盈利前提下，若日销量不低于80件，求售价的取值范围． （3）在（2）的条件下日销售利润能否为1600元？若能，售价是多少？ 【答案】（1）；（2）售价的取值范围是；（3）能，60元 【分析】本题主要考查求函数解析式、不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据日销售利润、售价、进价、销售量的关系列出函数关系式为即可； （2）由题意，，则，解得：，再结合要保证盈利即可解答； （3）根据（1）所得的关系式，列一元二次方程求解并结合（2）的条件即可解答． 解：（1）解：由题意可得： 日销售利润与的函数关系式为． （2）解：由题意，， 则，解得：， 要保证盈利 售价的取值范围是． （3）解：由， 则，解得：（舍去）或． 答：当定价为60元时，日销售利润为1600元． 【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由铁栅栏的全长及的长，可得出平行于墙的一边长为米，再利用长方形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式． 解：铁栅栏的全长为15米，米， 平行于墙的一边长为米． 根据题意得：． 故选：A． 【变式2】（2025·甘肃陇南·模拟预测）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得单件商品的利润为元，销售量为件，据此列出对应的函数关系式即可． 解：由题意得， ， 故答案为：． 知识点（二）二次函数的图象画法 一般步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线. 【题型3】画二次函数的图象 【例题3】（2024九年级上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中画出的图象并简单描述其性质． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．列表、描点、连线画出的图象 解：（1）列表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 4 1 0 1 4 … （2）描点、连线，图象如图所示： 【变式1】（22-23八年级·全国·假期作业）通过列表、描点、连线的方法画函数的图象． 【分析】首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象． 解：列表得： x … 0 1 2 3 … y … 0 … 描点、连线． 【点拨】本题主要是考查了利用列表描点连线法画二次函数图形，熟练掌握画函数图像的基本步骤，是求解本题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·全国·课后作业）（1）在同一直角坐标系中，画出函数，，与的图象．    （2）观察（1）中所画的图象，回答下列问题： ①由图象可知抛物线与抛物线___________的形状相同，且两抛物线关于___________轴对称；同样，抛物线与抛物线___________的形状相同，也关于___________轴对称． ②当相同时，抛物线开口大小___________；当变大时，抛物线的开口___________；当变小时，抛物线的开口___________． 应用：抛物线与中，开口较小的抛物线是___________． 【答案】（1）见详解，（2）①，x，，x；②相同，较小，较大， 【分析】（1）按要求作图即可； （2）①结合轴对称梯形的特点，根据（1）中的图象作答即可；②根据（1）的图象特点直接作答即可． 解：（1）作图如下：    （2）①由图象可知抛物线与抛物线的形状相同，且两抛物线关于x轴对称；同样，抛物线与抛物线的形状相同，也关于x轴对称． 故答案为：，x，，x； ②当相同时，抛物线开口大小相同；当变大时，抛物线的开口较小；当变小时，抛物线的开口较大． 应用：抛物线与中，开口较小的抛物线是． 故答案为：相同，较小，较大，． 【点拨】本题主要考查了二次函数的图象与性质，注重数形结合是解答本题的关键． 知识点（三）二次函数的图象和性质 通过例题2及其变式的二次函数图象我们可以得出以下结论： （1）开口方向：的图象是一条抛物线，当0时，开口向上，当0时，开口向下，的越大，开口越小，反之越大； （2）增减性：的图象是轴对称图形，对称轴是轴，①当0时，在对称轴左侧（），随增大而减小，在对称轴右侧（），随增大而增大；②当0时，在对称轴左侧（），随增大而增小，在对称轴右侧（），随增大而减大； （3）最大（小）值：图象与对称轴有交点，称为抛物线的顶点，当0时,有最低点，这时函数有最小值，当0时，有最高点，这时函数有大值；从图象可以看出，它的顶点坐标为（0，0）. 【题型4】二次函数的对称轴、开口方向、顶点坐标、最值 【例题4】（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知抛物线经过点，． （1）求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： （2）求m的值； 【答案】（1）函数图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为；（2）8 【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数的图象性质，找出抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出m； （1）先把代入，求出函数解析式，再根据函数的解析式，，可得出抛物线开口向上，并找出抛物线的对称轴及顶点坐标． （2）把代入（1）中所求的解析式计算即可求解． 解：（1）解：把代入，得 解得： ∴ ∵ ∴函数图象的开口向上、对称轴为y轴，顶点坐标为． （2）解：把代入，得 ． 【变式1】（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）已知抛物线，则以下说法中，错误的是（  ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．当时，y有最大值为0 【答案】D 【分析】本题考查了基本二次函数的性质，根据抛物线的开口方向，顶点坐标，结合图象进行判断． 解：由抛物线可知， A.，抛物线开口向上，故选项A正确，不符合题意； B.顶点坐标为，故选项B正确，不符合题意； C.对称轴为直线，故选项C正确，不符合题意； D.当时，y有最小值0，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【变式2】（2024九年级下·全国·专题练习）在同一个平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则的大小关系为 ． 【答案】# 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线的开口方向和开口大小由的值决定的，越大，开口越小，掌握抛物线的开口方向和开口大小由的值决定是解题的关键． 解：由抛物线开口方向可知，为正数， 又由开口大小可得，， 故答案为：． 【题型5】二次函数的增减性 【例题5】 （2025·广东潮州·一模）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．利用抛物线的对称性及增减性即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 解：二次函数的图象关于轴对称， 关于轴的对称点为， ，且时，函数值随自变量的增大而减小， ； 故选：D． 【变式1】（23-24九年级上·河北·阶段练习）当时，函数的最大值与最小值的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口向下，对称轴为直线，即轴，函数有最大值，距离对称轴越远，函数值越小，由此可解，能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴是解题的关键． 解：由二次函数可知，对称轴为直线，即轴，， ∴当时，二次函数有最大值， 由，根据距离对称轴越远，函数值越小， ∴当时，有最小值， ∴当时，函数的取值范围为， ∴最大值与最小值的和为， 故选：． 【变式2】（24-25九年级上·四川泸州·阶段练习）已知的图象上有三点，，，且则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查二次函数的性质，熟练准确求出函数值是解题的关键． 根据函数的图象上有三点，，得到，由得，即可得到答案． 解：∵函数的图象上有三点，，， ， ， ， ， 故选：A． 【题型6】二次函数的对称性 【例题6】 （22-23九年级上·湖南长沙·期中）对于二次函数，当取时，函数值相等，则当取时，函数值为 ． 【答案】 【分析】先判断出二次函数图像对称轴为轴，再根据二次函数的性质判断出关于轴对称即可解答． 解：二次函数的对称轴为轴， 取时，函数值相等， 关于轴对称， ， 当取时，函数值为0． 故答案为：0． 【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，熟记性质并判断出关于轴对称是解题的关键． 【变式1】（22-23九年级上·湖南长沙·期中）对于二次函数，当取时，函数值相等，则当取时，函数值为 ． 【答案】 【分析】先判断出二次函数图像对称轴为轴，再根据二次函数的性质判断出关于轴对称即可解答． 解：二次函数的对称轴为轴， 取时，函数值相等， 关于轴对称， ， 当取时，函数值为0． 故答案为：0． 【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，熟记性质并判断出关于轴对称是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，已知抛物线，正方形的顶点在抛物线上，顶点在轴上，求点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，表示出正方形各个点的坐标是解题的关键．设正方形的边长为，则根据抛物线对称性可得，代入抛物线的解析式即可求得，得到； 解：设正方形的边长为， 则，， ∵点在抛物线上， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 【题型7】二次函数的图象与性质综合 【例题7】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）关于抛物线，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是；②当时，y随x的增大而减小；③抛物线的对称轴为直线；④当时，；⑤若、是该抛物线上两个不同的点，则．其中正确的说法有 ．（填序号） 【答案】②③⑤ 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键； 根据的开口向下，顶点是可判断①，根据二次函数的增减性可判断②，根据抛物线的对称轴为y轴可判断③，根据二次函数的增减性和最值可判断④，根据二次函数的对称性可判断⑤，进而可得答案． 解：∵抛物线， ∴①抛物线开口向下，顶点是，故说法①错误； ②当时，y随x的增大而减小，故说法②正确； ③抛物线的对称轴为y轴，即直线，故说法③正确； ④当时，，故说法④错误； ⑤若、是该抛物线上两个不同的点，则，故说法⑤正确； 综上，说法正确的是②③⑤， 故答案为：②③⑤． 【变式1】（22-23九年级上·辽宁沈阳·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象开口方向是向下 B．当时，y随x的增大而减小 C．对称轴是直线 D．当时，y有最大值，最大值是0 【答案】B 【分析】根据二次函数二次项系数的符号可判断A选项；利用增减性可判B选项；利用二次函数的对称轴可判断C选项，利用二次函数开口向上，函数有最小值可判断D选项． 解：A、二次函数中，，图象开口向上，原说法错误，不符合题意，选项错误； B、根据二次函数性质可知，当时，y随x的增大而减小，原说法正确，符合题意，选项正确； C、抛物线的对称轴为直线，原说法错误，不符合题意，选项错误； D、二次函数图象开口向上，有最小值，原说法错误，不符合题意，选项错误， 故选B． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，包括开口方向，增减性，对称轴，最值，掌握二次函数的性质是解题关键． 【变式2】（23-24九年级上·湖北孝感·开学考试）关于抛物线，给出下列说法： ①抛物线开口向下，顶点是． ②当时，随的增大而减小． ③当时，． ④若是该抛物线上两个不同的点，则． 其中正确的说法有 ．（填序号） 【答案】②④/④② 【分析】直接根据二次函数的图象和性质逐项判断即可． 解：∵， ∴①抛物线开口向下，顶点是原点，故该项错误； ②对称轴为，当时，y随x的增大而减小，故该项正确； ③当时，时取最大值0，时取最小值，因此，故该项错误； ④若、是该抛物线上两点，则两点关于直线对称，因此，故该项正确． 故答案为：②④． 【点拨】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握该知识点并熟练运用数形结合思想是解题的关键． 【题型8】二次函数的图象和性质与几何综合 【例题8】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，过点的直线交抛物线于点F，D，过点F的直线交抛物线于另一点E，则直线过定点，求这个定点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合题，熟练掌握二次函数和一次函数的性质和待定系数法是解题的关键，根据二次函数解析式设，利用待定系数法分别求出直线,,的解析式，由过点和直线的解析式可得到，，再分别将其代入到直线中，可得到，进而得到直线过定点． 解：设． 利用待定系数法可得，直线， 直线， 直线． 过点， ． ∵直线的解析式为． ∴， ∴， ． ∴直线， ∵当时，， ∴直线过定点． 【变式1】（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，利用“k型全等”求得B点的坐标，代入即可求解，构造全等三角形解题是关键． 解：过B作轴于E，过A作轴于D， 在等腰直角三角形中，，则， ∵A、B两点的横坐标分别为1和， ∴，， ∵点A、B在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 整理， 解得：或（舍去）， ∴b的值为2， 故答案为：2． 【变式2】（2022·广东东莞·一模）观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数与垂直于x轴直线交点坐标问题，以及由特殊到一般的归纳总结方法．由可得：，，则可得，则可得 ，再利用 ，进行计算即可． 解：∵过点的垂线，交的图象于点，交直线于点； ∴令，可得：纵坐标为， 纵坐标为， ，， ． ， ． 故选：D． 二．同步练习​ 1. 基础夯实（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 一、单选题 1．（2025八年级下·全国·专题练习）下列函数中，y随x增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数以及二次函数的性质，熟知相关函数的性质是解答的关键． 根据一次函数以及二次函数的性质逐项判断即可． 解：A、∵， ∴y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； B、∵，对称轴为y轴， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； C、，y随x的增大而减小，故该选项符合题意； D、∵， ∴y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，当时，y随x增大而减小，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是二次函数图像的性质，熟练掌握二次函数图像的性质是解答本题的关键． 解：∵二次函数，当时，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向上， ∴． 故选：C． 3．（24-25九年级上·广西河池·期中）下列关于二次函数的性质，说法不正确的是（    ） A．它的图象经过点 B．它的图象的对称轴是y轴 C．当时，y随x的增大而减小 D．有最大值 【答案】D 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项的结论是否正确，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，难度较小． 解：A、因为，把代入，解得，故它的图象经过点，故该选项是正确的，不符合题意； B、的图象的对称轴是y轴, 故该选项是正确的，不符合题意； C、的图象的对称轴是y轴, 开口向上，当时，y随x的增大而减小，故该选项是正确的，不符合题意； D、因为的图象开口向上，有最小值，故该选项是错误的，符合题意． 故选：D． 4．（24-25九年级上·全国·假期作业）函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ 　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键．先根据一次函数的性质确定与两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论． 解： A. 函数图形可得，则开口方向向下正确，但顶点坐标应交于原点，而不是交轴正半轴，故选项A不正确； B. 函数图形可得，则开口方向向下正确，顶点坐标为,故选项B正确； C. 函数图形可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项C不正确； D. 函数图形可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项D不正确； 故选B． 5．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知点、、、，若抛物线与四边形的边没有交点，则a的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象开口大小与二次项系数绝对值的关系；把，分别代入求得，，然后根据图象即可求得答案． 解：如图所示：把代入得，， 把代入得， 抛物线的开口越小，的绝对值越大， 抛物与四边形的边没有交点，则的取值范围为：或 故选C．    6．（23-24九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图，正方形OABC的顶点B在抛物线的第一象限的图象上，若点B的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线AC的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与点的关系，正方形的性质．设，代入，确定，，利用正方形的对角线相等计算选择即可． 解：∵正方形的顶点B在抛物线的第一象限的图象上，点B的纵坐标是横坐标的2倍， ∴ 设，代入， 得， 解得，（舍去）， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 7．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）抛物线与的形状相同，开口方向相反，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，熟练掌握二次图象的形状相同，开口方向相反，则a互为相反数是解题的关键． 二次图象的形状相同，开口方向相反，则a互为相反数求解即可． 解：∵抛物线与的形状相同，开口方向相反 ∴ 故答案为：． 8．（24-25九年级上·北京密云·期中）已知点在抛物线上，则的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．把点、代入解析式，然后比较大小即可． 解：点在抛物线上， ，， ， 故答案为：． 9．（22-23九年级上·云南昭通·期中）已知二次函数开口向上，且，则 ． 【答案】5 【分析】根据二次函数开口朝上，得到，然后化简，即可求得a的值． 解：∵二次函数开口向上， ∴， ∵ ∴或 ∴或 又∵ ∴． 故答案为：5． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，绝对值的化简，关键是根据二次函数的开口方向判断a的正负． 10．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）二次函数，当时，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数可得对称轴为，结合自变量的取值方法，代入进行计算，即可求解． 解：已知二次函数， ∴对称轴为，开口向上， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； ∴当时，，是最大值；时，是最小值； 当时，，是最大值；时，是最小值； ∴当时，， 故答案为： ． 11．（24-25九年级上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，已知点和点，若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．分别把A、B点的坐标代入得a的值，根据二次函数的性质得到a的取值范围． 解：把代入得； 把代入得， ∴a的取值范围为． 故答案为：． 12．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）二次函数的图象如图所示，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点、在函数图象上，四边形为菱形，且，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】连结交于，如图，根据菱形的性质得，，利用含度的直角三角形三边的关系得，设，则，，，利用二次函数图象上点的坐标特征得，得出，，然后根据菱形的性质得出点坐标． 解：连结交于，如图， 四边形为菱形， ， ， ， ， 设，则， ，， 把，代入 得， 解得舍去，， ，， 故点坐标为：， 故答案为：． 【点拨】本题考查了菱形的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标性质得出的长是解题关键． 三、解答题 13．（24-25九年级上·河北张家口·期中）已知是关于的二次函数． （1）求值； （2）若，直接写出的取值范围． 【答案】（1）2；（2） 【分析】本题考查二次函数的定义和二次函数的性质， （1）根据二次函数最高次必须为二次建立方程，解方程即可得到答案； （2）先判断二次函数的开口方向，求出二次函数的对称轴和时x的值，结合二次函数的图像性质即可得到答案． 解：（1）解：根据题意得：，且， 解方程得：或（舍去）， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线开口向上，且对称轴为： ∵时，解方程得，，， ∴当时，． 14．（24-25九年级上·陕西延安·阶段练习）已知是关于x的二次函数． （1）若函数图象有最低点，求k的值； （2）判断点是否在（1）中的函数图象上． 【答案】（1）；（2）不在 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数的定义，二次函数的性质： （1）根据二次函数的定义可得，则，再由函数有最低点，即二次项系数大于0，据此求解即可； （2）根据（1）所求求出当时的函数值即可得到结论． 解：（1）解：∵是关于x的二次函数， ∴， ∴， ∵函数图象有最低点， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得函数解析式为， 当时，， ∴断点不在（1）中的函数图象上． 15．（21-22九年级上·广东惠州·期中）抛物线与直线交于点． （1）求，的值； （2）求抛物线与直线的两个交点，的坐标（点在点右侧）． 【答案】（1）；（2）点坐标，点坐标． 【分析】（1）将点代入求出，再把点代入抛物线求出即可． （2）解方程组即可求出交点坐标． 解：（1）点在直线上， ， 点坐标， 把点代入得到， ． （2）由解得或， 点坐标，，点坐标，． 【点拨】本题考查二次函数性质，解题的关键是灵活掌握待定系数法，学会利用方程组求函数图象交点坐标． 16．（21-22九年级上·重庆铜梁·阶段练习）如图，直线与y轴交于点A，与抛物线y＝ax2交于B，C两点，且点B坐标为（2，2）． （1）求a，b的值； （2）连接OC、OB，求△BOC的面积． 【答案】（1）a的值是；b的值是4；（2） 【分析】（1）把B（2，2）代入到直线中，进行计算即可得，把B（2，2）代入到抛物线中，进行计算即可得； （2）联立两函数解析式成方程组，，进行计算可得点C的坐标为，即可得． 解：（1）解：把B（2，2）代入到直线中， 得：， 即； 把B（2，2）代入到抛物线中， 得：， 即， ∴a的值是；b的值是4． （2）解：∵b＝4， ∴点A（0，4）． 联立两函数解析式成方程组，， 解得：或， ∴点C的坐标为， ∴． 【点拨】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握待定系数法求参数，求函数解析式． 2. 能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·河南新乡·期末）下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握形如（a、b、c为常数，的函数）叫二次函数成为解题的关键． 根据二次函数的定义逐个判断即可． 解：A．y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； B．是二次函数，故本选项符合题意； C．，y是x的一次函数，故本选项不符合题意； D．不是二次函数，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）下列关于抛物线的说法正确的是（   ） A．图象开口向下 B．对称轴是轴 C．有最高点 D．随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，解题的关键是：熟练掌握二次函数的图象及性质． 由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案． 解：抛物线的开口向上，有最低点，对称轴为y轴， 当时，函数值随x的增大而减小， ∴四个选项中只有B选项的说法正确， 故选：B． 3．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，若抛物线与直线围成的封闭图形内部有k个整点（不包括边界），则k的值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，因式分解法解一元二次方程，求函数值等知识点，运用数形结合思想是解题的关键． 先求出抛物线与直线的交点坐标，进而确定封闭图形（不包括边界）的的取值范围为，于是可得的整数解为，，，根据函数图象分别求出当，，时的整点数，将其相加即可得出的值． 解：令， 解得：，， 抛物线与直线围成的封闭图形（不包括边界）的的取值范围为：， 的整数解为：，，， 当时，，， 满足条件的整点为一个点； 当时，，， 满足条件的整点为，两个点； 当时，，， 满足条件的整点为，两个点； 满足条件的整点共个，故， 即：的值为， 故选：． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，连接，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，找到两个临界位置是解题关键．先将点，代入求出的值，再结合函数图象求解即可得． 解：将点代入抛物线得：，解得， 将点代入抛物线得：， 如图，若抛物线与线段恰有一个公共点， 则的取值范围是， 故选：D． 5．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，菱形的顶点O，A，C在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且．则菱形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，二次函数的图象与性质，根据菱形的性质求得点A的横坐标是解题的关键．连接交于点D，则由菱形性质知，从而得；由知，点纵坐标为1，由此可求得A点横坐标，即得的长，从而得长，由菱形面积公式即可求得其面积． 解：如图，连接交于点D； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴； ∵， ∴点纵坐标为1； ∵点A在抛物线上， ∴， 解得：， 即A点横坐标为， 即的长， ∴， ∴菱形面积为． 故选：C． 6．（2023·四川达州·二模）如图，已知点在函数位于第二象限的图像上，点在函数位于第一象限的图像上，点在轴的正半轴上，若四边形都是正方形，则正方形的边长为（   ） A．1012 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形对角线平分一组对角可得与轴的夹角为，然后表示出的解析式，再与抛物线解析式联立求出点的坐标，然后求出的长，再根据正方形的性质求出，表示出的解析式，与抛物线联立求出的坐标，然后求出的长，再求出的长，然后表示出的解析式，与抛物线联立求出的坐标，然后求出的长，从而根据边长的变化规律解答即可． 解：是正方形， 与轴的夹角为， 的解析式为， 联立方程组得：， 解得，． 点的坐标是：，， ； 同理可得：正方形的边长； 依此类推，正方形的边长是为． 故选B． 【点拨】本题考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键． 二、填空题 7．（20-21九年级上·上海静安·课后作业）二次函数的图像以x轴为对称轴翻折，翻折后它的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】把抛物线翻折后二次函数图像形状不变，开口相反，则a相反即可求解. 解：由题意得二次函数图像形状不变，开口相反，则a相反，故翻折后它的函数解析式为y=−2x2， 故答案为：y=-2x2 【点拨】此题考查了二次函数的性质，掌握二次函数有关性质是解答此题的关键． 8．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正方形的性质、二次函数的性质．过点作轴于点，设，由四边形是正方形，且点在轴上，得，得出是等腰直角三角形，推出，即，解得（舍去）或，求出，由勾股定理可求出． 解：过点作轴于点，如图， 设， ∵四边形是正方形，且点在轴上， ∴， ∴, ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴, ∴， ∴． 故答案为：4． 9．（2024·广东佛山·二模）如图，菱形的边长为，点在轴的负半轴上，抛物线过点．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质，过点作轴交轴于点，求出点的坐标，代入即可求解，求出点的坐标是解题的关键． 解：过点作轴交轴于点， ∵菱形的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 把代入， ∴， ∴， 故答案为： 10．（21-22九年级上·河北承德·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（，2）在抛物线y=ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上．以CD为边在抛物线内作正方形CDFE，点E，F分别在抛物线上，则线段CD的长为 ． 【答案】 【分析】通过待定系数法求出函数解析式，然后设点C横坐标为m，则CD=CE=2m，从而得出点E坐标为（m，2-2m），将点坐标代入解析式求解． 解：把A（，2）代入y=ax2中得2=a， 解得a=1， ∴y=x2， 设点C横坐标为m， ∵四边形CDFE为正方形， ∴CD=CE=2m， ∴点E坐标为（m，2-2m）， ∴m2=2-2m， 解得m=-1-（舍）或m=-1+． ∴CD=2m=-2+2． 答：线段CD的长是-2+2． 故答案为：-2+2． 【点拨】本题考查二次函数与正方形的结合，解题关键是熟练掌握二次函数与正方形的性质． 11．（2022·河南周口·一模）如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为 ． 【答案】2 【分析】设p（x，x2-1），则OH=|x|，PH=|x2-1|，因点P在x轴上方，所以x2-1>0，由勾股定理求得OP=x2+1，即可求得OP-PH=2，得出答案． 解：设p（x，x2-1），则OH=|x|，PH=|x2-1|， 当点P在x轴上方时，∴x2-1>0, ∴PH=|x2-1|=x2-1， 在Rt△OHP中，由勾股定理，得 OP2=OH2+PH2=x2+（x2-1）2=（x2+1）2， ∴OP=x2+1， ∴OP-PH=（x2+1）-（x2-1）=2， 故答案为：2． 【点拨】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，利用坐标求线段长度是解题的关键． 12．（19-20九年级下·吉林·阶段练习）如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．如图2，则抛物线y＝x的“完美三角形”斜边AB的长 ．    【答案】2． 【分析】过点B做BN⊥x轴于N，得到△BON是等腰直角三角形，设点B坐标为（n，n），根据点B在抛物线y＝x上，求出点B坐标为（1，1），点A坐标为（-1，1），问题得解． 解：过点B做BN⊥x轴于N， 由题意得△AOB为等腰直角三角形， ∴∠ABO=45°， ∵AB∥x轴， ∴∠BON=45° ∴△BON是等腰直角三角形， 设点B坐标为（n，n）， ∵点B在抛物线y＝x上， ∴n=n 解得n=1，或n=0（不合题意，舍去）， ∴点B坐标为（1，1）， ∴点A坐标为（-1，1）， ∴AB=2． 故答案为：2    【点拨】本题考查了等腰直角三角形性质，二次函数性质，理解“完美三角形”概念，根据题意得到△AOB为等腰直角三角形是解题关键． 三、解答题 13．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． （1）求实数的值； （2）写出该二次函数图像的顶点坐标和对称轴． 【答案】（1）；（2），对称轴是轴 【分析】本题考查了二次函数的定义以及二次函数的性质，利用二次函数的定义得出方程是解题关键． （1）根据二次函数的次数是2可得方程，根据二次函数的性质，可得，可得答案； （2）根据二次函数的解析式，可得顶点坐标，对称轴． 解：（1）解：由是二次函数，且当时，随的增大而增大，得 ， 解得； （2）由（1）得二次函数的解析式为， 的顶点坐标是，对称轴是y轴． 14．（21-22九年级上·江西南昌·期中）如图，在正方形中，已知：点A，点B在抛物线上，点C，点D在x轴上． （1）求点A的坐标； （2）连接交抛物线于点P，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）P点的坐标为 【分析】（1）根据题意设，则，代入抛物线的解析式即可求得，得到； （2）根据待定系数法求得直线的解析式，然后与抛物线解析式联立成方程组，解方程组即可求得P点的坐标． 解：（1）解：由题意可设，则， ∵点A在抛物线上， ∴， ∴或（舍去）， ∴； （2）解：设直线的解析式， ∵，， ∴，解得， ∴直线为， 由解得或， ∴P点的坐标为． 【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，表示出正方形各个点的坐标是解题的关键． 15．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知二次函数的图像经过点． （1）求出这个函数关系式； （2）写出抛物线上纵坐标为2的另外一个点B的坐标，并求出的面积； （3）在抛物线上是否存在点C，使得的面积等于面积的2倍？如果存在，求出点C的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）二次函数关系式为；（2）；；（3）存在，此时C点坐标为、、、 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）根据条件求出，从而求出，即可求解； （3）由题意可得点到的距离是点C到的距离的2倍，即点C的纵坐标为1或者3，把和代入求解即可． 解：（1）解;∵二次函数的图像经过点 ∴把点直接代入可得：， ∴二次函数关系式为． （2）解：把代入，解得：或1， ∴， ∴， ∴． （3）解：存在； ∵的面积等于面积的2倍，且和都有共同的底边， ∴点到的距离是点C到的距离的2倍， ∵到的距离为2， ∴点C到的距离为1 即点C的纵坐标为1或者3， 把代入得：，把代入得：， ∴此时C点坐标为、、、； 【点拨】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到面积问题，待定系数法求解析式等，灵活运用所学知识是关键． 16．（21-22九年级下·云南·开学考试）如图，直线与抛物线交于，两点，与轴于点，其中点的坐标为． （1）求，的值； （2）若于点，．试说明点在抛物线上． 【答案】（1），；（2）见分析 【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为解方程即可． （2）如图，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N．利用全等三角形的性质求出点D的坐标，可得结论． 解：（1）把点A（-4，8）代入，得： ∴； 把点A（-4，8）代入，得： ∴； （2）如图，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N． ∵直线AB的解析式为y=-x+6， 令x=0，则y=6 ∴C（0，6）， ∵∠AMC=∠DNC=∠ACD=90°， ∴∠ACM+∠DCN=90°，∠DCN+∠CDN=90°， ∴∠ACM=∠CDN， ∵CA=CD， ∴△AMC≌△CND（SAS）， ∴CN=AM=4，DN=CM=2， ∴D（-2，2）， 当x=-2时，y=×22=2， ∴点D在抛物线y=x2上． 【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$