第二十五章 概率初步 章节（9知识点回顾+22题型练习）核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

第二十五章 概率初步 章节（9知识点回顾+22题型练习） 题型汇聚 题型一 事件的分类 题型二 判断事件发生的可能性的大小 题型三 改变条件使事件发生的可能性相同 题型四 列举随机实验的所有可能结果 题型五 判断实验所得结果是否是等可能的 题型六 概率的意义理解 题型七 判断几个事件概率的大小关系 题型八 根据概率公式计算概率 题型九 根据概率作判断 题型十 已知概率求数量 题型十一 几何概率 题型十二 列举法求概率 题型十三 列表法或树状图法求概率 题型十四 游戏的公平性 题型十五 关于频率与概率关系说法的正误 题型十六 求某事件的频率 题型十七 由频率估计概率 题型十八 用频率估计概率的综合应用 题型十九 概率在保险业中的应用 题型二十 概率在转盘抽奖中的应用 题型二十一 概率在比赛中的应用 题型二十二 概率的其他应用 知识清单 知识点1．随机事件 （1）确定事件 事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． （2）随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 知识点2．可能性的大小 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 知识点3．概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． （5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． 知识点4．概率公式 （1）随机事件A的概率P（A）＝． （2）P（必然事件）＝1． （3）P（不可能事件）＝0． 知识点5．几何概率 所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度 简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 知识点6．列表法与树状图法 （1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率． （2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． （3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． （5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举． 知识点7．游戏公平性 （1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （2）概率＝． 知识点8．利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 知识点9．模拟试验 （1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟试验． （2）模拟试验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果． （3）模拟试验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》要求，只要设计出一个模拟试验即可． 题型练习 题型一 事件的分类 1．（24-25九年级上·云南红河·期中）下列语句所描述的事件是随机事件的是 （    ） A．明天气温会升高 B．早晨的太阳从东方升起 C．抛出的石子会下落 D．有一名运动员奔跑的速度是 2．（24-25九年级上·全国·期末）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的11个小球，其中红球4个，黑球7个．先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A． (1)当事件A为必然事件时，则　　； (2)当事件A为随机事件时，则　　． 题型二 判断事件发生的可能性的大小 3．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）下列说法正确的是（   ） A．打开电视机，一定正在播放新闻联播 B．抛掷一枚均匀的硬币，落地后反面一定朝上 C．从1，2，3中随机取一个数，得到奇数的可能性较大 D．买一张彩票，不可能中奖 4．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）把正面分别写有7，4，5，7，5，5的6张卡片反面向上放在桌子上，从中任意摸一张，摸到可能性最大的数字是 ． 题型三 改变条件使事件发生的可能性相同 5．一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于 ． 题型四 列举随机实验的所有可能结果 6．（24-25九年级上·全国·期末）三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中同时随机抽出两张，所有等可能的结果有（　　） A．12种 B．6种 C．4种 D．3种 7．（24-25九年级上·北京海淀·期末）学校即将举办为期一天的“科学节”系列活动，“科普实验”“机器人体验”等精彩纷呈的主题活动将在不同时段陆续展开，下图为此次活动的海报．同学们可以根据自己的兴趣和时间，选择心仪的活动参与．参加每个主题活动时需全程参与，之后可获得相应的积分用于兑换纪念品．例如，小明参加“科普实验”活动时，需从8:00至10:00全程参与，之后可获得7个积分． 科学奇遇记 序号 主题活动 开始时间 结束时间 积分 A 科普实验 8:00 10:00 7 B 设计工坊 9:00 11:00 8 C 微观世界 10:30 11:50 5 D 机器人体验 11:30 13:30 9 E 温室生态展 13:00 14:40 7 F 人工智能展 14:00 16:45 8 G 梦幻剧场 15:00 17:30 5 H 创意荟 16:00 19:00 10 回答下列问题： （1）如果小明计划至少参加三个主题活动，且其中之一为人工智能展，那么他参加活动的方案可以为 （填活动序号，写出一种即可）； （2）如果小明希望在活动中获得至少27个积分用于换取纪念品，那么他参加活动的方案共有 种． 题型五 判断实验所得结果是否是等可能的 8．小梅随机选择在下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，则她选择在周二去打疫苗的概率为（    ） A．1 B． C． D． 题型六 概率的意义理解 9．（24-25九年级上·广东广州·期末）下列说法正确的是（   ） A．一颗质地均匀的骰子已连续掷了2023次，其中掷出5点的次数最少，则第2024次一定掷出5点 B．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该彩票一定会中奖 C．天气预报说明天下雨的概率是，所以明天将有一半时间在下雨 D．任意画一个三角形，其内角和一定是 10．（23-24九年级上·全国·课后作业）如果买1张彩票中奖的概率是，那么买1张彩票一定不会中奖吗？买1000张彩票一定能中奖吗？ 题型七 判断几个事件概率的大小关系 11．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）随机事件的概率是（   ） A．1 B．0 C．大于0且小于1 D．大于1 12．有两个一红一黄大小均匀的小正方体，每个小正方体的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.如同时掷出这两个小正方体，将它们朝上的面的数字分别组成一个两位数.（红色数字作为十位，黄色数字作为个位），请回答下列问题. （1）请分别写出一个必然事件和一个不可能事件. （2）得到的两位数可能有多少个？其中个位与十位上数字相同的有几个？ （3）任写出一组两个可能性一样大的事件. 题型八 根据概率公式计算概率 13．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）一个不透明袋子中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外无其他差别．摇匀后随机从中摸出一个球是红球的概率为（　） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·福建泉州·期末）某批发商从节能灯厂购进了50盒额定功率为的节能灯．由于包装工人的疏忽，在包装时混进了的节能灯．每盒中混入的节能灯数见下表： 每盒中混入的节能灯数 1 2 3 4 5 盒数 14 25 9 1 1 (1)平均每盒混入几个的节能灯？ (2)从这50盒中任意抽取一盒，求该盒中混入的节能灯不超过2个的概率． 题型九 根据概率作判断 15．（22-23九年级上·重庆渝中·期末）将个硬币分别单独放在桌面上，其中有个硬币反面朝上，其余硬币正面朝上．规定一次操作必须同时翻转4个不同的硬币，次操作的目标是使所有的硬币都正面朝上． ①如果，而，那么不能实现目标 ②如果，而，那么最小等于 ③如果且（为正整数），若，那么不能实现目标 以上判断正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 16．（22-23九年级上·河南洛阳·期末）甲袋中放着22个红球和8个黑球，乙袋中放着100个红球、40个黑球和5个白球．三种球除了颜色以外没有任何区别．两袋中的球都已经各自搅匀，从袋中任取1个球，如果你想取出一个黑球，选哪个袋成功的机会大呢？请说明理由． 题型十 已知概率求数量 17．（24-25九年级上·四川成都·期末）一个盒子里有白球14个，黑球若干，这些球除颜色外都相同．将盒子里的球搅拌均匀，从中随机摸出一个黑球的概率为，则盒子中黑球个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 18．（23-24九年级上·广西河池·期末）一个不透明布袋里有3个红球，4个白球和m个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从中随机摸出1个球是红球的概率为0.25，则m的值为 ． 题型十一 几何概率 19．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，其“落在海洋里”发生的可能性（    ）“落在陆地上”的可能性． A．大于 B．等于 C．小于 D．三种情况都有可能 20．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）太阳运行的轨道近似一个圆形，古人将之称作“黄道”，并把黄道分为份，每度就是一个节气，统称“二十四节气”这一时间认知体系被誉为“中国的第五大发明”．如图，将黄道制作成一个转盘，任意转动一次转盘，指针落在每一个区域的可能性相同，则任意转动一次转盘，指针落在“冬至”区域的概率是 ． 题型十二 列举法求概率 21．（24-25九年级上·山西运城·期中）甲、乙、丙三人通过抓阄来决定谁能得到仅有的一张球票，他们准备了三张完全相同的纸条，其中一张上画了“☆”，另两张空白．将三张纸条揉成三个大小相同的纸团后混在一起，按“甲—乙—丙”的顺序每人随机各取一个纸团，谁取到的纸团上画有“☆”，谁就能得到球票．下列说法正确的是（   ） A．甲能得到球票的概率最大 B．乙能得到球票的概率最大 C．丙能得到球票的概率最大 D．三人能得到球票的概率相等 22．（24-25九年级上·江苏南京·期末）（1）不透明的袋子中装有个编号分别为，，的小球，这些球除编号外无其他区别．从袋子中随机摸出个球，求它们编号之和是偶数的概率． （2）不透明的袋子中装有个编号分别为，，，，，，，，的小球，这些球除编号外无其他区别．从袋子中随机摸出个球，它们编号之和是偶数的概率为______． 题型十三 列表法或树状图法求概率 23．（2025九年级上·全国·专题练习）小明珍藏了四枚由国家邮政局发行的《红旗渠》特种邮票，上面分别绘有“愚公移山”“青年洞”“桃源桥”和“人间天河”的图案．这些邮票除图案外，质地、规格、背面图案完全相同．初中毕业之际，他想把心爱的邮票送2枚给好朋友小亮，于是将这些邮票背面朝上，让小亮随机抽取，则小亮抽到的邮票正好是“愚公移山”和“人间天河”的概率是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）消防教育进校园，消防安全记心间．为切实提升广大师生的自护自救能力，阳光中学组织全体师生开展了消防演练．在实际演练之前，学校提前制定好了活动方案，为了保证广大师生的安全，防止踩踏事件的发生，在各楼层的通道处安排了疏散引导员．该校决定在九年级的甲，乙，丙，丁4位老师中随机选取2位作为疏散引导员，其中甲、乙是男老师，丙，丁是女老师． (1)若从中先选取1名疏散引导员，这名疏散引导员是女老师的概率是______； (2)请用画树状图法或列表法，求被选到的2位老师是一男一女的概率． 题型十四 游戏的公平性 25．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）某口袋中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该是（    ） A．3 B．4 C．1 D．2 26．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，可以自由转动的转盘被分成3等份．甲、乙两人利用这个转盘做游戏，规则如下：随机转动转盘两次，停止后，指针各指向一个数字，若第一次的数字大于第二次的数字，则甲胜；否则乙胜，你认为这个游戏规则对两人公平吗？说明理由（请用列表或画树状图的方法）． 题型十五 关于频率与概率关系说法的正误 27．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数很大时，f等于P D．当试验次数很大时，在P附近摆动，并趋于稳定 28．一般地，当试验的可能结果有很多且各种可能结果发生的可能性相等时，则用列举法，利用概率公式 的方式得出概率． 当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，常常是通过 来估计概率，即在同样条件下，大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生的 ． 题型十六 求某事件的频率 29．（22-23九年级上·河南南阳·期末）在掷一枚骰子次的试验中，“偶数朝上”的频数为，则“偶数朝上”的频率为（   ） A． B． C． D． 30．（23-24九年级上·重庆江津·期末）年重庆入选“中国研学旅行目的地·标杆城市”，某校为了了解九年级学生对以下哪类研学内容最感兴趣(每人仅选一类)：．源远流长的巴渝文化；．享誉世界的三峡文化；．可歌可泣的抗战文化；．感天动地的移民文化．从九年级学生中随机抽取若干名学生进行调查，绘制了如图所示的统计表和扇形统计图(均不完整)． 抽取的学生最感兴趣研学内容统计表如下： 研学内容 人数 频率 抽取的学生最感兴趣研学内容扇形统计图如下： 请根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ； (2)若该校九年级共有名学生，估计选择“．可歌可泣的抗战文化”的有多少人? (3)小聪和小明参加了本次调查，请你用列表或画树状图的方法求他们选择同一类内容的概率． 题型十七 由频率估计概率 31．（23-24九年级上·广东梅州·期中）盒子中有黄色小球和橙色小球若干个，小明同学进行了如下试验：每次摸出一个小球记下它的颜色并放回盒中，如此反复1500次，摸出橙色小球300次，由此可估计摸出橙色小球的概率为（     ） A． B． C． D． 32．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）在一个不透明的布袋中装有6个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红每次摸出一个球记下颜色后放回并搅匀，通过大量重复试验后发现，摸到黑球的频率稳定在，估计布袋中黑球的个数． 题型十八 用频率估计概率的综合应用 33．（24-25九年级上·四川巴中·期末）生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码采用黑白相间的图形来记录数据符号信息．丹丹帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，她在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中白色区域的面积为（    ） A． B． C． D． 34．（24-25九年级上·贵州黔东南·期末）下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约是 （精确到） ． 投篮次数 投中次数 投中频率 题型十九 概率在保险业中的应用 35．人寿保险公司的一张关于某地区的生命表的部分摘录如下： 年龄 活到该年龄的人数 在该年龄的死亡人数 40 80500 892 50 78009 951 60 69891 1200 70 45502 2119 80 16078 2001 … … … 根据上表解下列各题： （1）某人今年50岁，他当年去世的概率是多少？他活到80岁的概率是多少？ （保留三个有效数字） （2）如果有20000个50岁的人参加人寿保险，当年死亡的人均赔偿金为10万元，预计保险公司需付赔偿的总额为多少？ 题型二十 概率在转盘抽奖中的应用 36．某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择： 方案一：是直接获得20元的礼金卷； 方案二：是得到一次摇奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少． 指针指向 两红 一红一蓝 两蓝 礼金券（元） 18 9 18 (1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率． (2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠． 题型二十一 概率在比赛中的应用 37．某单位要在两名射击队员中推出一名参加比赛，已知同等条件下，甲射中某物的可能性大于乙，则所推出的人中应（    ） A．选甲 B．选乙 C．都可以 D．不能确定 38．杨华与季红用5张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正面如图1所示，背面完全一样，将它们背面朝上搅匀后，同时抽出两张．规则如下：当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，杨华得1分；当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，季红得1分（如图2）．问题：游戏规则对双方公平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？ 题型二十二 概率的其他应用 39．（22-23九年级上·山西阳泉·期末）如图是可以自由转动的转盘，转盘被等分成三个扇形，并分别标上1，2，3，转盘停止后，则指针指向的数字为奇数的概率是（    ） A． B． C． D． 40．疫情防控期间，任何人进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校．现在学校需在东门、南门和西门分别增加一人测温，甲、乙、丙三人被随机增派到三个校门测温．小明每天走东门进校，小丽每天走西门进校．请用所学概率知识解决下列问题： （1）写出甲、乙、丙被分配到三个校门测温的所有可能结果； （2）小明、小丽两人中，进校时谁遇到甲的可能性大？请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十五章 概率初步 章节（9知识点回顾+22题型练习） 题型汇聚 题型一 事件的分类 题型二 判断事件发生的可能性的大小 题型三 改变条件使事件发生的可能性相同 题型四 列举随机实验的所有可能结果 题型五 判断实验所得结果是否是等可能的 题型六 概率的意义理解 题型七 判断几个事件概率的大小关系 题型八 根据概率公式计算概率 题型九 根据概率作判断 题型十 已知概率求数量 题型十一 几何概率 题型十二 列举法求概率 题型十三 列表法或树状图法求概率 题型十四 游戏的公平性 题型十五 关于频率与概率关系说法的正误 题型十六 求某事件的频率 题型十七 由频率估计概率 题型十八 用频率估计概率的综合应用 题型十九 概率在保险业中的应用 题型二十 概率在转盘抽奖中的应用 题型二十一 概率在比赛中的应用 题型二十二 概率的其他应用 知识清单 知识点1．随机事件 （1）确定事件 事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． （2）随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 知识点2．可能性的大小 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 知识点3．概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． （5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． 知识点4．概率公式 （1）随机事件A的概率P（A）＝． （2）P（必然事件）＝1． （3）P（不可能事件）＝0． 知识点5．几何概率 所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度 简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 知识点6．列表法与树状图法 （1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率． （2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． （3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． （5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举． 知识点7．游戏公平性 （1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （2）概率＝． 知识点8．利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 知识点9．模拟试验 （1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟试验． （2）模拟试验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果． （3）模拟试验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》要求，只要设计出一个模拟试验即可． 题型练习 题型一 事件的分类 1．（24-25九年级上·云南红河·期中）下列语句所描述的事件是随机事件的是 （    ） A．明天气温会升高 B．早晨的太阳从东方升起 C．抛出的石子会下落 D．有一名运动员奔跑的速度是 【答案】A 【知识点】事件的分类 【详解】本题考查随机事件的判断.随机事件是指可能发生也可能不发生的事件；必然事件是一定会发生的事件；不可能事件是绝对不会发生的事件；需逐一分析各选项是否符合随机事件的定义. 【分析】A. 明天气温会升高：气温变化受多种因素影响，可能升高也可能不升高，属于随机事件； B. 早晨的太阳从东方升起：根据自然规律必然发生，属于必然事件； C. 抛出的石子会下落：受重力作用必然下落，属于必然事件； D. 运动员奔跑速度为：远超人类极限，不可能实现，属于不可能事件； 故选A. 2．（24-25九年级上·全国·期末）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的11个小球，其中红球4个，黑球7个．先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A． (1)当事件A为必然事件时，则　　； (2)当事件A为随机事件时，则　　． 【答案】(1)4 (2)2或3 【知识点】事件的分类 【分析】（1）当事件A为必然事件时，意味着剩余球一定都是黑球，没有红球，确定计算即可． （2）当事件A为随机事件时，意味着剩余球一定有红球，得到，根据球的个数是整数，求整数解即可． 本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵“摸出黑球”为必然事件， ∴必须把红球全部取出，才能使摸出黑球为必然事件， ∴m的值是4； 故答案为：4． （2）解：∵“摸出黑球”为随机事件， ∴必须留有红球，才能使摸出黑球为随机事件， ∴， ∴m的值是2或3； 故答案为：2或3． 题型二 判断事件发生的可能性的大小 3．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）下列说法正确的是（   ） A．打开电视机，一定正在播放新闻联播 B．抛掷一枚均匀的硬币，落地后反面一定朝上 C．从1，2，3中随机取一个数，得到奇数的可能性较大 D．买一张彩票，不可能中奖 【答案】C 【知识点】判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题主要考查了判断事件可能性大小，根据事件出现的可能性大小进行判断即可． 【详解】解：A．打开电视机，可能正在播放新闻联播，原说法错误，不符合题意； B．抛掷一枚均匀的硬币，落地后反面可能朝上，原说法错误，不符合题意； C．从1，2，3中随机取一个数，得到奇数的可能性较大，原说法正确，符合题意； D．买一张彩票，可能中奖，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）把正面分别写有7，4，5，7，5，5的6张卡片反面向上放在桌子上，从中任意摸一张，摸到可能性最大的数字是 ． 【答案】5 【知识点】判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题主要考查了事件的可能性，卡片数最多的数字即为摸到可能性最大的数，据此可得答案． 【详解】解：∵一共有6张卡片，每张卡片被摸到的可能性相同，其中写有5的卡片最多， ∴摸到可能性最大的数是5， 故答案为：5． 题型三 改变条件使事件发生的可能性相同 5．一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于 ． 【答案】2 【知识点】改变条件使事件发生的可能性相同 【分析】使得不透明的袋子中白球比红球的个数多1即可求解． 【详解】解：∵要使摸到白球比摸到红球的可能性大， ∴n的最小值等于3+1-2=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了可能性的大小，本题可以通过比较白球和红球的个数求解． 题型四 列举随机实验的所有可能结果 6．（24-25九年级上·全国·期末）三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中同时随机抽出两张，所有等可能的结果有（　　） A．12种 B．6种 C．4种 D．3种 【答案】D 【知识点】列举随机实验的所有可能结果 【分析】本题考查了列举法求等可能结果，根据题意列举所有等可能结果，即可求解． 【详解】解：从中同时随机抽出两张，所有等可能结果为：、；、；、这3种结果， 故选：D． 7．（24-25九年级上·北京海淀·期末）学校即将举办为期一天的“科学节”系列活动，“科普实验”“机器人体验”等精彩纷呈的主题活动将在不同时段陆续展开，下图为此次活动的海报．同学们可以根据自己的兴趣和时间，选择心仪的活动参与．参加每个主题活动时需全程参与，之后可获得相应的积分用于兑换纪念品．例如，小明参加“科普实验”活动时，需从8:00至10:00全程参与，之后可获得7个积分． 科学奇遇记 序号 主题活动 开始时间 结束时间 积分 A 科普实验 8:00 10:00 7 B 设计工坊 9:00 11:00 8 C 微观世界 10:30 11:50 5 D 机器人体验 11:30 13:30 9 E 温室生态展 13:00 14:40 7 F 人工智能展 14:00 16:45 8 G 梦幻剧场 15:00 17:30 5 H 创意荟 16:00 19:00 10 回答下列问题： （1）如果小明计划至少参加三个主题活动，且其中之一为人工智能展，那么他参加活动的方案可以为 （填活动序号，写出一种即可）； （2）如果小明希望在活动中获得至少27个积分用于换取纪念品，那么他参加活动的方案共有 种． 【答案】 （或或） 2 【知识点】列举随机实验的所有可能结果 【分析】本题考查事件的可能性，列举法的应用： （1）三项活动的时间不能有冲突，由此可解； （2）根据各项活动的积分可得，要想获得至少27个积分，需参加积分为10，9，8的三项活动，再判断时间是否冲突，即可求解． 【详解】解：（1）由表格可知，活动G，H的开始时间比F（人工智能展）的结束时间早，不能参加， 活动E的结束时间比F（人工智能展）的开始时间晚，不能参加， 所以需要从活动A，B，C，D中选两项，其中A与B时间冲突，B与C时间冲突，C与D时间冲突， 可选A和C，或A 和D，B和D， 故他参加活动的方案可以为：（或或）； （2）参加活动最高可得积分：，第二可得， 所以要想获得至少27个积分，需参加积分为10，9，8的三项活动，即或， 又因为H与F时间冲突， 所以他参加活动的方案只能是，共1种； 参加四个活动有一种方案获得29积分； 故答案为：2 故答案为：（或或）；2． 题型五 判断实验所得结果是否是等可能的 8．小梅随机选择在下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，则她选择在周二去打疫苗的概率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断实验所得结果是否是等可能的 【分析】根据题意中从下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，共有5种情况，且每种情况的可能性相同，即可得出选择周二打疫苗的概率． 【详解】解：小梅选择周一到周五共有5种情况，且每种情况的可能性相同，均为， ∴选择周二打疫苗的概率为：， 故选：B． 【点睛】题目主要考查简单概率的计算，理解题意是解题关键． 题型六 概率的意义理解 9．（24-25九年级上·广东广州·期末）下列说法正确的是（   ） A．一颗质地均匀的骰子已连续掷了2023次，其中掷出5点的次数最少，则第2024次一定掷出5点 B．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该彩票一定会中奖 C．天气预报说明天下雨的概率是，所以明天将有一半时间在下雨 D．任意画一个三角形，其内角和一定是 【答案】D 【知识点】概率的意义理解 【分析】本题考查了概率的意义，理解概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小是解题的关键． 【详解】解：A. 一颗质地均匀的骰子已连续掷了2023次，其中掷出5点的次数最少，则第2024次不一定掷出5点，原说法错误； B. 某种彩票中奖的概率是，买100张该彩票不一定会中奖，原说法错误； C. 天气预报说明天下雨的概率是，所以明天下雨的几率是，原说法错误； D. 任意画一个三角形，其内角和一定是，说法正确； 故选：D． 10．（23-24九年级上·全国·课后作业）如果买1张彩票中奖的概率是，那么买1张彩票一定不会中奖吗？买1000张彩票一定能中奖吗？ 【答案】见解析 【知识点】概率的意义理解 【分析】买1000张彩票结果是随机的，再结合买1000张彩票中奖的可能性比买1张彩票中奖的可能性大，解答即可． 【详解】解：买1000张彩票相当于做1000次试验，而每次试验的结果是随机的，只能说买1000张彩票中奖的可能性比买1张彩票中奖的可能性大，买1张彩票有可能中奖，买1000张彩票不一定中奖， 买1张彩票有可能中奖，买1000张彩票不一定中奖． 【点睛】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键． 题型七 判断几个事件概率的大小关系 11．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）随机事件的概率是（   ） A．1 B．0 C．大于0且小于1 D．大于1 【答案】C 【知识点】判断几个事件概率的大小关系 【分析】本题主要考查了事件的可能性，随机事件是在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，故随机事件的概率是大于0且小于1． 【详解】解：随机事件是在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，故随机事件的概率是大于0且小于1， 故选：C． 12．有两个一红一黄大小均匀的小正方体，每个小正方体的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.如同时掷出这两个小正方体，将它们朝上的面的数字分别组成一个两位数.（红色数字作为十位，黄色数字作为个位），请回答下列问题. （1）请分别写出一个必然事件和一个不可能事件. （2）得到的两位数可能有多少个？其中个位与十位上数字相同的有几个？ （3）任写出一组两个可能性一样大的事件. 【答案】解：（1）必然事件：组成的两位数十位与个位上的数字一定是1～6的数字；不可能事件：组成的两位数是10（答案不唯一）；（2）得到的两位数可能有36个；个位与十位上数字相同的有6个；（3）11与12出现的可能性一样大. 【知识点】判断几个事件概率的大小关系 【分析】（1）组成的数只要是十位与个位上的数字是1～6的就是必然事件，否则是不可能事件； （2）根据十位上出现的数字与个位上出现的数字的可能情况解答，写出十位与个位数字相同的情况即可； （3）根据任意一个数出现的可能性相同解答． 【详解】（1）必然事件：组成的两位数十位与个位上的数字一定是1～6的数字； 不可能事件：组成的两位数是10（答案不唯一）； （2）十位数字有1～6共6种可能， 个位数字有1～6共6种可能， ∴6×6=36， 得到的两位数可能有36个； 个位与十位上数字相同的有11、22、33、44、55、66共6个； （3）11与12出现的可能性一样大. 【点睛】本题考查了正方体相对面上的文字问题，随机事件与可能性的大小的计算，是基础题，比较简单. 题型八 根据概率公式计算概率 13．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）一个不透明袋子中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外无其他差别．摇匀后随机从中摸出一个球是红球的概率为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查简单概率的计算，根据概率公式直接求解即可． 【详解】解：袋中共有4个白球和2个红球，总球数为个，红球有2个， ∴随机摸出一个球是红球的概率为， 故选：B． 14．（24-25九年级上·福建泉州·期末）某批发商从节能灯厂购进了50盒额定功率为的节能灯．由于包装工人的疏忽，在包装时混进了的节能灯．每盒中混入的节能灯数见下表： 每盒中混入的节能灯数 1 2 3 4 5 盒数 14 25 9 1 1 (1)平均每盒混入几个的节能灯？ (2)从这50盒中任意抽取一盒，求该盒中混入的节能灯不超过2个的概率． 【答案】(1)平均每盒混入2个3的节能灯 (2) 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查平均数和概率公式，解题的关键是掌握平均数的定义． （1）根据平均数的定义列式计算即可； （2）由题意直接根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：（个）, 答：平均每盒混入2个的节能灯． （2）不超过2个的有盒． P（不超过2个的概率）． 题型九 根据概率作判断 15．（22-23九年级上·重庆渝中·期末）将个硬币分别单独放在桌面上，其中有个硬币反面朝上，其余硬币正面朝上．规定一次操作必须同时翻转4个不同的硬币，次操作的目标是使所有的硬币都正面朝上． ①如果，而，那么不能实现目标 ②如果，而，那么最小等于 ③如果且（为正整数），若，那么不能实现目标 以上判断正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】根据概率作判断 【分析】根据题意，设正面朝上记为，反面朝上记为，根据其和的奇偶性，以及每次同时翻转个不同的硬币，每次不改变和的奇偶性，根据所有的硬币都正面朝上，其和的奇偶性进行判断即可求解． 【详解】解：①如果，而， 则, ∵一次操作必须同时翻转个不同的硬币， ∴每次都改变硬币的正反，不论怎么操作总有个硬币反面朝上或朝下， ∴不能实现目标；故①正确 ②如果，而， 设正面朝上记为，反面朝上记为， 则有个和个，其和为奇数， ∵一次操作必须同时翻转个不同的硬币， ∴每次操作改变个数，其和仍然为奇数， ∴不能实现目标； 故②不正确； ③如果且（为正整数），若， 同②可知，设正面朝上记为，反面朝上记为， 则有个和个，其和为，是奇数， ∵一次操作必须同时翻转个不同的硬币，次操作的目标是使所有的硬币都正面朝上． ∴每次操作改变个数，其和仍然为奇数，而目标的结果为偶数， ∴不能实现目标； 故③正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了逻辑推理，概率，能够将问题转化是解题的关键． 16．（22-23九年级上·河南洛阳·期末）甲袋中放着22个红球和8个黑球，乙袋中放着100个红球、40个黑球和5个白球．三种球除了颜色以外没有任何区别．两袋中的球都已经各自搅匀，从袋中任取1个球，如果你想取出一个黑球，选哪个袋成功的机会大呢？请说明理由． 【答案】乙袋，见解析 【知识点】根据概率作判断 【分析】直接求出概率比较即可． 【详解】解：从乙袋中取出一个球是黑球的机会大． 原因如下：从甲袋中取出一个球是黑球的概率是； 从乙袋中取出一个球是黑球的概率是． ∵， ∴从乙袋中取出一个球是黑球的机会大． 【点睛】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 题型十 已知概率求数量 17．（24-25九年级上·四川成都·期末）一个盒子里有白球14个，黑球若干，这些球除颜色外都相同．将盒子里的球搅拌均匀，从中随机摸出一个黑球的概率为，则盒子中黑球个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【知识点】已知概率求数量 【分析】本题考查了简单概率的计算，熟练掌握概率的意义，巧妙引入未知数建立方程求解是解题的关键． 设盒子中黑球个数为个，总数为个，根据概率建立方程求解即可． 【详解】解：设盒子中黑球个数为个，总数为个， 根据题意，得， 解得， 经检验是分式方程的根且符合题意， 即盒子中黑球个数为个， 故选B． 18．（23-24九年级上·广西河池·期末）一个不透明布袋里有3个红球，4个白球和m个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从中随机摸出1个球是红球的概率为0.25，则m的值为 ． 【答案】5 【知识点】已知概率求数量 【分析】本题考查了概率公式，解答本题的关键是明确题意，根据题意求出布袋中球的总数． 根据题目中的数据可以计算出总的球的个数，从而可以求得的值． 【详解】由题意可得，布袋中球的总数为：（个）， 所以 故答案为：5． 题型十一 几何概率 19．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，其“落在海洋里”发生的可能性（    ）“落在陆地上”的可能性． A．大于 B．等于 C．小于 D．三种情况都有可能 【答案】A 【知识点】几何概率 【分析】本题考查了几何概率的求法，理解题意是解题的关键．将地球总面积分为10份，海洋占7份，分别求出落在海洋里的概率和陆地上的概率，从而得到答案． 【详解】解：已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为，即相当于将地球总面积分为10份，海洋占7份，所以落在海洋里的概率是，落在陆地上的概率是，所以 “落在海洋里”的可能性更大． 故答案为：A． 20．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）太阳运行的轨道近似一个圆形，古人将之称作“黄道”，并把黄道分为份，每度就是一个节气，统称“二十四节气”这一时间认知体系被誉为“中国的第五大发明”．如图，将黄道制作成一个转盘，任意转动一次转盘，指针落在每一个区域的可能性相同，则任意转动一次转盘，指针落在“冬至”区域的概率是 ． 【答案】 【知识点】几何概率 【分析】此题考查了几何概率，熟知概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键．首先由图可得此转盘被平分成了等份，其中“冬至”区域有份，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵如图，此转盘被平分成了等份，其中“冬至”有份， ∴指针落在“冬至”区域的概率是：． 故答案为：． 题型十二 列举法求概率 21．（24-25九年级上·山西运城·期中）甲、乙、丙三人通过抓阄来决定谁能得到仅有的一张球票，他们准备了三张完全相同的纸条，其中一张上画了“☆”，另两张空白．将三张纸条揉成三个大小相同的纸团后混在一起，按“甲—乙—丙”的顺序每人随机各取一个纸团，谁取到的纸团上画有“☆”，谁就能得到球票．下列说法正确的是（   ） A．甲能得到球票的概率最大 B．乙能得到球票的概率最大 C．丙能得到球票的概率最大 D．三人能得到球票的概率相等 【答案】D 【知识点】列举法求概率 【分析】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．画出树状图，利用列举法求出甲、乙、丙各抽到五星（“☆”）的概率，由此即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下：    则甲抽到五星的概率为，乙抽到五星的概率为，丙抽到五星的概率为， 所以甲、乙、丙得到球票的概率一样大， 故选：D． 22．（24-25九年级上·江苏南京·期末）（1）不透明的袋子中装有个编号分别为，，的小球，这些球除编号外无其他区别．从袋子中随机摸出个球，求它们编号之和是偶数的概率． （2）不透明的袋子中装有个编号分别为，，，，，，，，的小球，这些球除编号外无其他区别．从袋子中随机摸出个球，它们编号之和是偶数的概率为______． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】列表法或树状图法求概率、列举法求概率 【分析】本题主要考查用列表法进行求解概率． （1）根据列表法可进行求解概率； （2）分别列举出不透明的袋子中装有个编号分别为，，，，，，，，的小球，这些球除编号外无其他区别．从袋子中随机摸出个球，共有等可能性情况，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：（1）由题意可列表如下： 1 2 3 1 3 4 2 3 5 3 4 5 ∴从袋子中随机摸出个球共有种，其中它们编号之和是偶数有种情况， ∴它们编号之和是偶数的概率为； （2）不透明的袋子中装有个编号分别为，，，，，，，，的小球，这些球除编号外无其他区别．从袋子中随机摸出个球，共有种等可能性情况，分别为，，，，，，，，其中它们编号之和是偶数的有5种，分别为，，，，， ∴它们编号之和是偶数的概率为． 题型十三 列表法或树状图法求概率 23．（2025九年级上·全国·专题练习）小明珍藏了四枚由国家邮政局发行的《红旗渠》特种邮票，上面分别绘有“愚公移山”“青年洞”“桃源桥”和“人间天河”的图案．这些邮票除图案外，质地、规格、背面图案完全相同．初中毕业之际，他想把心爱的邮票送2枚给好朋友小亮，于是将这些邮票背面朝上，让小亮随机抽取，则小亮抽到的邮票正好是“愚公移山”和“人间天河”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查列表法或树状图求概率，熟练掌握列表法是解题的关键．通过列表格的方式把每种情况都列举出来，再利用概率公式把相应的概率求解出来． 【详解】解：用A、B、C、D分别表示“愚公移山”、“青年洞”、“桃源桥”和“人间天河”， 则小亮抽到的邮票的所有情况列表如下： A B C D A AB AC AD B BA BC BD C CA CB CD D DA DB DC 由表可知，总共有种等可能情况，符合条件的有2种， 则小亮抽到的邮票正好是“愚公移山”和“人间天河”的概率为， 故选：A． 24．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）消防教育进校园，消防安全记心间．为切实提升广大师生的自护自救能力，阳光中学组织全体师生开展了消防演练．在实际演练之前，学校提前制定好了活动方案，为了保证广大师生的安全，防止踩踏事件的发生，在各楼层的通道处安排了疏散引导员．该校决定在九年级的甲，乙，丙，丁4位老师中随机选取2位作为疏散引导员，其中甲、乙是男老师，丙，丁是女老师． (1)若从中先选取1名疏散引导员，这名疏散引导员是女老师的概率是______； (2)请用画树状图法或列表法，求被选到的2位老师是一男一女的概率． 【答案】(1) (2)，见解析 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中这名疏散引导员是女老师的结果有2种，利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及被选到的2位老师是一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中这名疏散引导员是女老师的结果有2种， ∴从中先选取1名疏散引导员，这名疏散引导员是女老师的概率是． 故答案为：； （2）解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能的结果，其中被选到的2位老师是一男一女的结果有8种， ∴被选到的2位老师是一男一女的概率为． 题型十四 游戏的公平性 25．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）某口袋中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该是（    ） A．3 B．4 C．1 D．2 【答案】D 【知识点】游戏的公平性 【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等即可． 【详解】解：由题意甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则获胜；甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜可知， 绿球与黑球的个数应相等，也为2x个， 列方程可得x+2x+2x=10， 解得x=2， 故选：D． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 26．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，可以自由转动的转盘被分成3等份．甲、乙两人利用这个转盘做游戏，规则如下：随机转动转盘两次，停止后，指针各指向一个数字，若第一次的数字大于第二次的数字，则甲胜；否则乙胜，你认为这个游戏规则对两人公平吗？说明理由（请用列表或画树状图的方法）． 【答案】游戏不公平，理由见解析 【知识点】游戏的公平性 【分析】本题考查了概率的应用，画出树状图分别求出甲乙两人获胜的概率即可求解． 【详解】解：不公平，画树状图如下： 由树状图可得：所有等可能的结果有9种，第一次的数字大于第二次的数字的情况有3种，所以甲胜的概率为：，乙胜的概率为：，而， 所以游戏不公平． 题型十五 关于频率与概率关系说法的正误 27．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数很大时，f等于P D．当试验次数很大时，在P附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【知识点】关于频率与概率关系说法的正误 【分析】本题考查了频率与概率，掌握频率的稳定性是关键．根据频率的稳定性解答即可． 【详解】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性． 故选：D． 28．一般地，当试验的可能结果有很多且各种可能结果发生的可能性相等时，则用列举法，利用概率公式 的方式得出概率． 当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，常常是通过 来估计概率，即在同样条件下，大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生的 ． 【答案】 P（A）＝ 统计频率 概率 【知识点】关于频率与概率关系说法的正误 【解析】略 题型十六 求某事件的频率 29．（22-23九年级上·河南南阳·期末）在掷一枚骰子次的试验中，“偶数朝上”的频数为，则“偶数朝上”的频率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求某事件的频率 【分析】利用频率频数总次数，进行计算即可解答．本题考查了频数与频率，熟练掌握频率频数总次数是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， “偶数朝上”的频率为， 故选：C． 30．（23-24九年级上·重庆江津·期末）年重庆入选“中国研学旅行目的地·标杆城市”，某校为了了解九年级学生对以下哪类研学内容最感兴趣(每人仅选一类)：．源远流长的巴渝文化；．享誉世界的三峡文化；．可歌可泣的抗战文化；．感天动地的移民文化．从九年级学生中随机抽取若干名学生进行调查，绘制了如图所示的统计表和扇形统计图(均不完整)． 抽取的学生最感兴趣研学内容统计表如下： 研学内容 人数 频率 抽取的学生最感兴趣研学内容扇形统计图如下： 请根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ； (2)若该校九年级共有名学生，估计选择“．可歌可泣的抗战文化”的有多少人? (3)小聪和小明参加了本次调查，请你用列表或画树状图的方法求他们选择同一类内容的概率． 【答案】(1)，； (2)人； (3)． 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、频数分布表、列表法或树状图法求概率、求某事件的频率 【分析】（）利用求出总人数，根据扇形统计图可求出，进而求出选择的人数，再由频率计算公式即可求出； （）根据样本估计总体，用乘以即可求解； （）画出树状图，根据树状图即可求解； 本题考查了列表法与树状图法求概率、频数(率)分布表、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握用列表法与树状图法求概率以及用样本估计总体是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，调查的总人数为(人)， ∴， ∴选择的人数为 (人)， ∴， 故答案为：，； （2）解：(人)， ∴估计选择“.可歌可泣的抗战文化”的约有人； （3）解：画树状图如下： 由树状图可得，共有中等可能的结果，其中选择同一类内容的结果有种， ∴他们选择同一类内容的概率． 题型十七 由频率估计概率 31．（23-24九年级上·广东梅州·期中）盒子中有黄色小球和橙色小球若干个，小明同学进行了如下试验：每次摸出一个小球记下它的颜色并放回盒中，如此反复1500次，摸出橙色小球300次，由此可估计摸出橙色小球的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查的是根据频率估计概率的原理，先计算橙色小球出现的频率，根据原理可得概率的估计值． 【详解】解：在大量重复试验中，事件发生的频率会稳定于其概率附近，小明共进行了1500次摸球试验，其中橙色小球被摸出300次， 因此，橙色小球的频率为：， 由此可估计摸出橙色小球的概率为， 故选：A 32．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）在一个不透明的布袋中装有6个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红每次摸出一个球记下颜色后放回并搅匀，通过大量重复试验后发现，摸到黑球的频率稳定在，估计布袋中黑球的个数． 【答案】14 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】本题考查了利用频率估计概率；在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解． 【详解】解：设袋中黑球的个数为， 由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解， ∴估计布袋中黑球的个数为． 题型十八 用频率估计概率的综合应用 33．（24-25九年级上·四川巴中·期末）生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码采用黑白相间的图形来记录数据符号信息．丹丹帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，她在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中白色区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用频率估计概率的综合应用 【分析】本题考查了用频率估计概率，掌握概率公式是解题的关键．先计算出点落在白色区域的频率稳定值，再用总面积乘以落入白色部分的频率稳定值即可求解． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落在黑色区域的频率稳定在左右， 点落在白色区域的频率稳定在左右， 估计此二维码中白色区域的面积为． 故选：B． 34．（24-25九年级上·贵州黔东南·期末）下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约是 （精确到） ． 投篮次数 投中次数 投中频率 【答案】 【知识点】用频率估计概率的综合应用 【分析】此题考查了利用频率估计概率的知识，掌握了以上知识是解答本题的关键； 本题根据频率估计概率的方法结合表格数据即可得答案； 【详解】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数附近， ∴这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为， 故答案为：； 题型十九 概率在保险业中的应用 35．人寿保险公司的一张关于某地区的生命表的部分摘录如下： 年龄 活到该年龄的人数 在该年龄的死亡人数 40 80500 892 50 78009 951 60 69891 1200 70 45502 2119 80 16078 2001 … … … 根据上表解下列各题： （1）某人今年50岁，他当年去世的概率是多少？他活到80岁的概率是多少？ （保留三个有效数字） （2）如果有20000个50岁的人参加人寿保险，当年死亡的人均赔偿金为10万元，预计保险公司需付赔偿的总额为多少？ 【答案】（1）0.0122、0.206；（2）2438.18万 【知识点】概率在保险业中的应用 【详解】试题分析：(1)利用频率估算；(2)利用频率估算20000个人中有多少人去世，再乘以赔偿金. 试题解析： （1）P(50岁去世)=0.0122,P（活到80岁）=0.206 . （2）951÷78009×20000×10≈2438.18万 题型二十 概率在转盘抽奖中的应用 36．某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择： 方案一：是直接获得20元的礼金卷； 方案二：是得到一次摇奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少． 指针指向 两红 一红一蓝 两蓝 礼金券（元） 18 9 18 (1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率． (2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠． 【答案】(1) (2)方案一，见解析； 【知识点】概率在转盘抽奖中的应用 【分析】（1）根据列表法（或画树状图法）求指针分别指向一红区和一蓝区的概率即可； （2）根据（1）的树状图求出方案二的平均收益即可判断； 【详解】（1）解：由题可知，转盘A中红色区域的圆心角的度数是蓝色区域的圆心角的度数的2倍，转盘B中蓝色区域的圆心角的度数是红色区域的圆心角的度数的2倍，故可画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能的情况，其中两个转盘指针一个指向红色区域、一个指向蓝色区域的情况有5种， ∴P(一红区和一蓝区)= （2）由（1）中的树状图可知，指针指向两个红色区域有2种情况，指向两个蓝色区域也有2种情况 ， ∴P(两个红区)= ，P(两个蓝区)= ， ∴方案二的平均收益为：， ∵13<20， ∴若只考虑获得最多的礼品券，选择方案一更加实惠； 【点睛】本题主要考查列表法（或画树状图法）求概率，掌握概率的求解方法是解题的关键． 题型二十一 概率在比赛中的应用 37．某单位要在两名射击队员中推出一名参加比赛，已知同等条件下，甲射中某物的可能性大于乙，则所推出的人中应（    ） A．选甲 B．选乙 C．都可以 D．不能确定 【答案】A 【知识点】概率在比赛中的应用 【详解】根据题意可知，同等条件下，甲射中某物的可能性大于乙.故应该派甲去. 故选A. 38．杨华与季红用5张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正面如图1所示，背面完全一样，将它们背面朝上搅匀后，同时抽出两张．规则如下：当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，杨华得1分；当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，季红得1分（如图2）．问题：游戏规则对双方公平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？ 【答案】（1）游戏对双方不公平 （2）改为：当拼成的图形是小人时杨华得3分，其余规则不变，就能使游戏对双方公平（答案不唯一） 【知识点】概率在比赛中的应用 【分析】游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等． 【详解】解：（1）这个游戏对双方不公平 ∵；； ；， ∴杨华平均每次得分为（分）； 季红平均每次得分为（分）． ∵＜， ∴游戏对双方不公平 （2）改为：当拼成的图形是小人时杨华得3分，其余规则不变，就能使游戏对双方公平．（答案不唯一，其他规则可参照给分） 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 题型二十二 概率的其他应用 39．（22-23九年级上·山西阳泉·期末）如图是可以自由转动的转盘，转盘被等分成三个扇形，并分别标上1，2，3，转盘停止后，则指针指向的数字为奇数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】概率的其他应用 【分析】根据概率公式求解． 【详解】解：由转盘被等分成三个扇形可知：有3种等可能的结果，转盘停止后指向奇数的情况有2种， 所以指针指向的数字为奇数的概率是． 故选D． 【点睛】本题考查的是概率公式的应用，正确理解题意是解题的关键． 40．疫情防控期间，任何人进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校．现在学校需在东门、南门和西门分别增加一人测温，甲、乙、丙三人被随机增派到三个校门测温．小明每天走东门进校，小丽每天走西门进校．请用所学概率知识解决下列问题： （1）写出甲、乙、丙被分配到三个校门测温的所有可能结果； （2）小明、小丽两人中，进校时谁遇到甲的可能性大？请说明理由． 【答案】（1）有6种，见解析；（2）一样大，见解析． 【知识点】列表法或树状图法求概率、概率的其他应用 【分析】（1）画树状图，计算判断；（2）计算各自的概率，比较大小判断即可． 【详解】解：（1）画树状图如图： 共有6个等可能的结果； （2）小明、小丽两人中，进校时遇到甲的可能性一样大，理由如下： 由（1）可知，共有6个等可能的结果，其中甲分配在东门的结果有2个，甲分配在西门的结果有2个， ∴小明进校时谁遇到甲的概率为， 小丽进校时谁遇到甲的概率为， ∴小明、小丽两人中，进校时遇到甲的可能性一样大． 【点睛】本题考查了画树状图确定等可能性，判断游戏的公平性，准确画树状图，并用概率公式计算事件的概率是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$