专题02 全等三角形的性质与判定（专项训练）数学浙教版2024八年级上册

专题02 全等三角形的性质和判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、全等三角形对应边相等、对应角相等（常考点） 1 题型二、全等三角形的周长和面积分别相等 3 题型三、用“SSS”证明两个三角形全等（常考点） 3 题型四、三角形的稳定性 5 题型五、用“SSS”为依据进行尺规作图 7 题型六、用“SAS”证明两个三角形全等（常考点） 8 题型七、全等三角形——旋转模型（重点） 10 题型八、用“SSA”证明三角形全等的探究 10 题型九、用“ASA”证明两个三角形全等（常考点） 10 题型十、用“AAS”证明两个三角形全等（常考点） 10 题型十一、全等三角形——“一线三等角”模型（重点） 10 题型十二、证明两个三角形全等并解决问题（重点） 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、全等三角形对应边相等、对应角相等 1.（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，已知，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，已知，若，，则的长度为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，中，点D，E分别在边，上，若，则的度数为 ． 4.（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，中，，，，点是的中点，点在边上以的速度由点向点运动，同时点在边上由点向点运动，当点的运动速度为 时，可以与全等． 5.（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，已知，，，，． (1)求的度数及的长； (2)与平行吗？说明理由． 题型二、全等三角形的周长和面积分别相等 6.（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点D，E是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．24 B．23 C．22 D．26 7.（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，将周长为的三角形沿边方向向右平移得到三角形，则四边形的周长为 ． 8.（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）如图，在中，，将沿方向向右平移得到，交于G，已知，则阴影部分的面积为 ． 题型三、用“SSS”证明两个三角形全等 9.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，中，，则由“”可以判定（   ） A． B． C． D．以上都不对 10.（17-18七年级·全国·课后作业）如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（    ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 11.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，与相交于点，则与的位置关系是 ． 12.（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在和中，点在边上，交于点．若，，，，则 ． 13.（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 14.（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在和中，点在同一条直线上， ． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型四、三角形的稳定性 15.（25-26七年级上·山东青岛·开学考试）如图，用一根钢条将一扇打开的玻璃窗支撑起来，这样风就不容易吹动窗户，这里所用的原理是（    ） A．平行四边形的不稳定性 B．两点之间线段最短 C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．三角形的稳定性 16.（24-25七年级下·广东清远·期末）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性 17.（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常象图中所示那样钉上两条斜拉的木条（图中的两根木条），这样做是运用了三角形的 ． 18.（24-25八年级上·广西南宁·期中）空调安装在墙上时，一般都会利用三角形支架按如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是 ． 题型五、用“SSS”为依据进行尺规作图 19.（24-25七年级下·山西运城·期中）如图，已知直线，小明用直尺和圆规作出了的平行线，在作图痕迹中，弧是（   ） A．以为圆心，为半径的弧 B．以为圆心，为半径的弧 C．以为圆心，为半径的弧 D．以为圆心，为半径的弧 20.（24-25七年级下·广东茂名·期中）如图，点C 在的边上，用尺规作图： ①以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交于点D， 交 于点E； ②以点C 为圆心，以 的长为半径画弧，交于点F； ③以点F 为圆心，以的长为半径画弧，交前弧于点P； ④作射线；   下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 21.（24-25七年级下·上海·期末）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，请根据所学的三角形全等的有关知识，说明得出的依据是 ． 题型六、用“SAS”证明两个三角形全等 22.（22-23七年级下·河北保定·期末）小亮设计了如下测量一池塘两端的距离的方案：先取一个可直接到达点，的点，连接，，延长至点，延长至点，使得，，再测出的长度，即可知道，之间的距离．他设计方案的理由是（　　） A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS 23.（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，，，则，理由是 ． 24.（24-25七年级下·吉林·阶段练习）如图，在的正方形网格中， ． 25.（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，在中，，是的中线，设长为x，那么x的取值范围是 ． 26.（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在的两侧，，． (1)求证：： (2)若，求的度数． 27.（24-25七年级下·山西太原·开学考试）阅读下列材料，完成相应的任务 全等四边形 根据全等图形的定义可知：四条边分别相等、四个角也分别相等的两个四边形全等．在“探索三角形全等的条件”时，我们把两个三角形中“一组边相等”或“一组角相等”称为一个条件，智慧小组的同学类比“探索三角形全等的条件”的方法探索“四边形全等的条件”，进行了如下思考：如图，在四边形和四边形中，连接对角线，这样两个四边形全等的问题就转化为“”与“”的问题．若先给定的条件，只要再增加两个条件使“”即可推出两个四边形中“四条边分别相等、四个角也分别相等”，从而说明两个四边形全等． 按照智慧小组的思路，小明对图中的四边形和四边形先给出如下条件：，，，小亮在此基础上又给出“，”两个条件，他们认为满足这五个条件能得到“四边形四边形” 任务： (1)请根据小明和小亮给出的条件，请根据全等图形的定义说明四边形四边形的理由． (2)在材料小明所给条件的基础上，小颖又给出两个条件“，”．满足这五个条件 （填“能”或“不能”）得到四边形四边形． 题型七、全等三角形——旋转模型 28.（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中不正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 29.（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，，，，，，则 ． 30.（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，点C在线段上（不与点A，B重合），在的上方分别作和，且，，连接，交于点P，下列结论正确的是（填序号） ． ①；    ②平分；    ③平分；④． 31.（24-25六年级下·山东济南·期末）在中，，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，吗？请说明理由； (2)在（1）的结论下，试求：的度数； (3)设，，如图2，当点在线段上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由． 32.（2023八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，E、F分别是边延长线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________． 题型九、用“ASA”证明两个三角形全等 33.（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）小明不小心把一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），为了能配一块与原来完全一样的三角形，小明应该带（    ）去玻璃商店． A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 34.（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，图书馆的左侧有一栋高度为12米的居民房，点位于图书馆与居民房之间，且D、C、E三点共线．测得点到点的距离为28米，点到点的距离为12米，且，则图书馆的高度为（    ） A．12米 B．16米 C．28米 D．40米 35.（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，中，，G为的中点，连接并延长交于点E，作，垂足为H，交于点下列判断 ； ； ； ，所有正确结论的序号为（    ） A． B． C． D． 36.（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，是高和的交点， ，则的长为 ． 37.（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，是的角平分线，，，，的面积是3，则的面积为 ． 38.（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，点在边上， ． (1)求证： (2)若，求的长． 39.（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点A、、、在同一条直线上，点、分别在直线的两侧，且，，． (1)求证： (2)求证： 题型十、用“AAS”证明两个三角形全等 40.（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在和中，，，，如果的面积，那么的面积为（　　） A． B． C． D． 41.（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，是中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 42.（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）如图，在与中，，分别交、于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号为： ． 43.（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，、分别是和边上的高，与相交于，若，，则 ． 44.（24-25七年级下·上海静安·期中）如图，在和中，，，是中点，，垂足为点． (1)试说明：； (2)若，求的长． 题型八、用“SSA”证明三角形全等的探究 45.（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，把长度确定的两根木棍，的一端固定在A处，和第三根木棍摆出固定，将木棍绕点A转动，得到，这个实验说明（   ） A．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等 B．有两角分别相等且其中一角的对边相等的两个三角形不一定全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 46.我们知道：三角形全等的判定方法有：“”，面对于“”，课本第38页提供了如下材料： 思考：如图，把一条一短的两根木板的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木板，得到，这个实验说明了什么？    这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究．      (1)如果这两个三角形都是直角三角形，则“”成立．如图1，在和中，．根据________，可直接证得； (2)如果这两个三角形都是锐角三角形，则“”也成立，如图2，在锐角和锐角中，．求证：． 证明：作，垂足分别为G，H， 在和中，． ∴． …… 请你完成余下的证明过程： (3)如果这两个三角形都是钝角三角形，则“”仍然成立．如图3，在钝角和钝角中，，求证：．请简要叙述你的证明思路． 题型十一、全等三角形——“一线三等角”模型 47.（20-21八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 48.（17-18八年级上·河南郑州·期中）如图中，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是(   )    A．50 B．44 C．38 D．32 49.（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，于点，过点作，且，过点作 交延长线于点，连接并延长交于点．若，，则 ． 50.（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ． 51.（20-21八年级上·天津河东·期中）如图，已知：中，，，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F． （1）当EF与斜边BC不相交时，请证明如图； （2）如图2，当EF与斜边BC这样相交时，其他条件不变，证明：； 52.（20-21八年级上·湖南株洲·期末）如图1，已知AB＝AC，AB⊥AC．直线m经过点A，过点B作BD⊥m于D， CE⊥m于E．我们把这种常见图形称为“K”字图． （1）悟空同学对图1进行一番探究后，得出结论：DE＝BD＋CE，现请你替悟空同学完成证明过程． （2）悟空同学进一步对类似图形进行探究，在图2中，若AB＝AC，∠BAC＝∠BDA＝∠AEC，则结论DE＝BD＋CE，还成立吗？如果成立，请证明之． 53.（17-18九年级上·黑龙江七台河·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，∠ABC＝45 º，点O是AB的中点，过A、C两点向经过点O的直线作垂线，垂足分别为E、F. （1）如图①，求证：EF＝AE+CF. （2）如图②，图③，线段EF、AE、CF之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.    54.（24-25七年级下·河南郑州·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 题型十二、证明两个三角形全等并解决问题 55.（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，于点，为边上一点，连接与交于点，为外一点，满足，，连接． (1)求证：； (2)求证：． 56.（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）在中，，点在的延长线上． (1)如图1，过点作，连接，与交于点，若为的中线，连接与全等吗？请说明理由； (2)如图2，点在的延长线上，，点在的延长线上，连接，若，，，试判断之间的关系，并说明理由． 57.（24-25七年级下·云南临沧·期末）如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)请说明的理由； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动设点的运动时间为秒，当的面积为时，求的值； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，且当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求的值． 58.（24-25七年级下·福建福州·期末）已知：，，，，连接，． (1)如图，求证：； (2)如图，连接，，于点，于点，于点，于点，连接，． 求证：； 求证：，垂直且相等． 1.（24-25七年级下·山东枣庄·期末）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 2.（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，要测量河岸相对两点A，B的距离，已知垂直于河岸，先在上取点C，D，使 ，再过点D作的垂线段，使点A，C，E在同一条直线上，测出，，则的长是（   ） A． B．5 C．6 D．1 3.（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，，，则∠C的度数为（   ） A． B． C． D． 4.（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，点，，，在同一直线上，已知，，，连接交于点，若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5.（24-25七年级下·北京海淀·期末）如图，在和中，若，，，、交于点M，连接，则下列结论：①；②；③平分；④平分，其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6.（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，，，请添加一个条件 ，使得． 7.（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，，，，则 ． 8.（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为 ． 9.（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，求的面积．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取，连接．根据小颖的思路可得的面积为 ． 10.（24-25七年级下·四川成都·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了下面问题：如图，是的中线，若，，求的取值范围．善思小组通过探究发现，延长至点，使，连接，可以证出，利用全等三角形的性质，可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． 请你利用“善思小组”的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ； ． ． C． D． （2）求得的取值范围是 ； ．     B．      C．      D． 11.（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在长方形中，，，点F在上，，动点P从点F出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点C；动点E从点D出发，以每秒的速度沿运动，最终回到点D；过点P作垂直直线于点M，在整个运动过程中，若点P运动的时间为x，则当 秒时，与全等． 12.（24-25九年级下·福建福州·期中）如图，已知．求证：． 13.（24-25九年级下·湖南长沙·期末）如图，点在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 14.（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，，点，，，在一条直线上． (1)求证：； (2)连接．若，求的度数． 15.（24-25七年级下·江西吉安·期末）【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据_____证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于，若，，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 16.（24-25八年级上·湖南长沙·期中）（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______； （2）探究问题：如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，直线PQ经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若、，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时．求此时的值．（直接写出结果） 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 全等三角形的性质和判定（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、全等三角形对应边相等、对应角相等（常考点） 1 题型二、全等三角形的周长和面积分别相等 3 题型三、用“SSS”证明两个三角形全等（常考点） 3 题型四、三角形的稳定性 5 题型五、用“SSS”为依据进行尺规作图 7 题型六、用“SAS”证明两个三角形全等（常考点） 8 题型七、全等三角形——旋转模型（重点） 10 题型八、用“SSA”证明三角形全等的探究 10 题型九、用“ASA”证明两个三角形全等（常考点） 10 题型十、用“AAS”证明两个三角形全等（常考点） 10 题型十一、全等三角形——“一线三等角”模型（重点） 10 题型十二、证明两个三角形全等并解决问题（重点） 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、全等三角形对应边相等、对应角相等 1.（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，已知，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到，利用三角形内角和定理解答即可． 本题考查了三角形全等的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的性质和三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 2.（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，已知，若，，则的长度为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段和差的计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质得出，，根据，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 故选：C． 3.（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，中，点D，E分别在边，上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 先由全等三角形的性质得到，进而由全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 4.（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，中，，，，点是的中点，点在边上以的速度由点向点运动，同时点在边上由点向点运动，当点的运动速度为 时，可以与全等． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，注意分类讨论；分与，利用全等三角形的性质求出点E运动时间，即可求得点F运动速度，从而完成求解． 【详解】解：∵， ∴； ∵D为中点， ∴， 当时，则，， ∴E为中点， ∴， ∴点E运动时间为； ∵， ∴， ∴点F的运动速度为； 当时，则，, ∴， ∴点E的运动时间为：， ∵， ∴， ∴点F的运动速度为； 综上，当点F的运动速度为或时，可以与全等． 故答案为：或． 5.（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，已知，，，，． (1)求的度数及的长； (2)与平行吗？说明理由． 【答案】(1)，6 (2)平行，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由得到，，然后利用三角形的内角和定理求解即可； （2）由全等得到，即可得到． 【详解】（1）， ，， 在中，， ， ， ； （2）， 理由：， ， ． 题型二、全等三角形的周长和面积分别相等 6.（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点D，E是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．24 B．23 C．22 D．26 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为． 故选：A． 7.（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，将周长为的三角形沿边方向向右平移得到三角形，则四边形的周长为 ． 【答案】31 【分析】本题考查的是平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键．先根据图形平移的性质得出，，进而可得出结论． 【详解】解：∵三角形沿边方向向右平移得到三角形， ∴，， ∴，， ∴的周长是， ∴， ∴四边形的周长． 故答案为：31． 8.（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）如图，在中，，将沿方向向右平移得到，交于G，已知，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质，全等的性质；由平移得到三角形全等、线段相等是解题的关键． 由平移得，于是阴影部分面积等于梯形的面积，求得梯形的面积=，于是阴影部分的面积． 【详解】解：∵沿着点A到点C的方向平移到的位置， ∴， ∴阴影部分面积等于梯形的面积， 由平移的性质得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴梯形的面积=， ∴阴影部分的面积． 故答案为：35． 题型三、用“SSS”证明两个三角形全等 9.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，中，，则由“”可以判定（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，根据“”证明，即可求解． 【详解】解：因为， 所以． 故选B． 10.（17-18七年级·全国·课后作业）如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（    ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【答案】A 【分析】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可． 【详解】解：∵AE=FB， ∴AE+BE=FB+BE， ∴AB=FE， 在△ABC和△FED中， ， ∴△ABC≌△FED（SSS）， ∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE， ∴可利用的是①或②， 故选：A． 11.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，与相交于点，则与的位置关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定；先证明得出，进而根据内错角相等，两直线平行，即可得证． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 12.（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在和中，点在边上，交于点．若，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点．根据题意可用判定，即可得，根据三角形的外角即可得． 【详解】解：在和中， ， ， ， 故答案为：． 13.（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定、全等三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）先说明，再运用证明三角形全等即可； （2）由全等三角形的性质可得，再运用三角形外角的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即：． 在与中， ， ∴． （2）解：∵ ∴， ∴． 14.（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在和中，点在同一条直线上， ． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，线段的和差计算，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据题意证明，进而根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）根据，得出，代入数据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ∴，即 又∵ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∴ 题型四、三角形的稳定性 15.（25-26七年级上·山东青岛·开学考试）如图，用一根钢条将一扇打开的玻璃窗支撑起来，这样风就不容易吹动窗户，这里所用的原理是（    ） A．平行四边形的不稳定性 B．两点之间线段最短 C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．三角形的稳定性 【答案】D 【分析】根据三角形具有稳定性的特性解答即可． 【详解】解：用一根钢条将一扇打开的玻璃窗支撑起来，这样风就不易吹动窗户，这里所运用的原理是三角形的稳定性． 故选：D 16.（24-25七年级下·广东清远·期末）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】此题考查了三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答． 根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性， 故选：D． 17.（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常象图中所示那样钉上两条斜拉的木条（图中的两根木条），这样做是运用了三角形的 ． 【答案】稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是熟知三角形稳定性的特点．根据三角形具有稳定性进行解答即可． 【详解】解：这样做是运用了三角形的稳定性． 故答案为：稳定性． 18.（24-25八年级上·广西南宁·期中）空调安装在墙上时，一般都会利用三角形支架按如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查了三角形的性质，根据三角形的性质解答即可，熟练掌握三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：空调安装在墙上时，一般都会利用三角形支架按如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 题型五、用“SSS”为依据进行尺规作图 19.（24-25七年级下·山西运城·期中）如图，已知直线，小明用直尺和圆规作出了的平行线，在作图痕迹中，弧是（   ） A．以为圆心，为半径的弧 B．以为圆心，为半径的弧 C．以为圆心，为半径的弧 D．以为圆心，为半径的弧 【答案】B 【分析】本题考查作图−基本作图，平行线的判定等知识，根据平行线的判定，作一个角等于已知角的方法即可判断，解题的关键是熟练掌握基本知识， 【详解】在作图痕迹中，弧是以为圆心，为半径的弧． 故选：B． 20.（24-25七年级下·广东茂名·期中）如图，点C 在的边上，用尺规作图： ①以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交于点D， 交 于点E； ②以点C 为圆心，以 的长为半径画弧，交于点F； ③以点F 为圆心，以的长为半径画弧，交前弧于点P； ④作射线；   下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由作图过程推出即可求解. 【详解】解：由作图过程可知：， ∴ ，； 由①可知：， ∵， ∴； 不能推出； 故选：C. 21.（24-25七年级下·上海·期末）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，请根据所学的三角形全等的有关知识，说明得出的依据是 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是正确解答本题的关键． 由作法易得，依据定理得到，由全等三角形的对应角相等得到． 【详解】解：由作图方法可知， 在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）． 故答案为：． 题型六、用“SAS”证明两个三角形全等 22.（22-23七年级下·河北保定·期末）小亮设计了如下测量一池塘两端的距离的方案：先取一个可直接到达点，的点，连接，，延长至点，延长至点，使得，，再测出的长度，即可知道，之间的距离．他设计方案的理由是（　　） A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴． 故选：A． 23.（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，，，则，理由是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握证明两三角形全等是解题的关键． 【详解】解：在和中， ， ∴， 故答案为：． 24.（24-25七年级下·吉林·阶段练习）如图，在的正方形网格中， ． 【答案】/90度 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据网格特点，证明，得到，进而得到即可． 【详解】解：如图，由图可知： ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 25.（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，在中，，是的中线，设长为x，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系和全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过构造全等三角形，将已知边和所求线段转化到同一个三角形中． 延长到，使，证明，得到，再利用三角形三边关系确定的取值范围． 【详解】解：延长到，使， ∵是的中线 在和中， ， ， 在中，， ∴，即， 则． 故答案为：． 26.（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在的两侧，，． (1)求证：： (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据题意推出，，即可求证； （2）根据题意推出结合，得；根据，即可求解； 【详解】（1）证明：∵， ∴，即； ∵． ∴， ∵A ∴； （2）解：∵， ∴； ∵ ∴ ∵， ∴； ∴， ∴ 27.（24-25七年级下·山西太原·开学考试）阅读下列材料，完成相应的任务 全等四边形 根据全等图形的定义可知：四条边分别相等、四个角也分别相等的两个四边形全等．在“探索三角形全等的条件”时，我们把两个三角形中“一组边相等”或“一组角相等”称为一个条件，智慧小组的同学类比“探索三角形全等的条件”的方法探索“四边形全等的条件”，进行了如下思考：如图，在四边形和四边形中，连接对角线，这样两个四边形全等的问题就转化为“”与“”的问题．若先给定的条件，只要再增加两个条件使“”即可推出两个四边形中“四条边分别相等、四个角也分别相等”，从而说明两个四边形全等． 按照智慧小组的思路，小明对图中的四边形和四边形先给出如下条件：，，，小亮在此基础上又给出“，”两个条件，他们认为满足这五个条件能得到“四边形四边形” 任务： (1)请根据小明和小亮给出的条件，请根据全等图形的定义说明四边形四边形的理由． (2)在材料小明所给条件的基础上，小颖又给出两个条件“，”．满足这五个条件 （填“能”或“不能”）得到四边形四边形． 【答案】(1)见解析 (2)不能 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，全等四边形的判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用证明得到，则可利用证明得到，据此可证明四边形和四边形的四条边对应相等，四个角对应相等，则可证明结论； （2）同理可证明得到，再导角证明，但是不可根据证明，据此可得答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形和四边形的四条边对应相等，四个角对应相等， ∴四边形四边形； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 而由，，，不可以根据证明， ∴满足这五个条件不能得到四边形四边形． 题型七、全等三角形——旋转模型 28.（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中不正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角定理的应用，解题的关键是证明，根据全等三角形的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：， ，故①正确 在和中， ，故②正确； ，，故③正确； ， ， ， ，故④正确； 故选：A． 29.（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，，，，，，则 ． 【答案】125 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，证明，得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 30.（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，点C在线段上（不与点A，B重合），在的上方分别作和，且，，连接，交于点P，下列结论正确的是（填序号） ． ①；    ②平分；    ③平分；④． 【答案】①②④ 【分析】根据题意证明即可求解①；作于点，于点，证明，利用全等三角形性质即可判断②，再结合三角形内角和定理，即可判断③；借助全等三角形性质和对顶角相等即可证明④． 【详解】解： ， ， ， ，， ， ， 故①正确； 作于点，于点， ， ， ，， ， ， 平分. 故②正确； ， ， ， ， 不一定等于， 不一定等于， 不一定平分， 故③错误； 记与相交于点， ， ， ， ， ， 故④正确， 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 31.（24-25六年级下·山东济南·期末）在中，，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，吗？请说明理由； (2)在（1）的结论下，试求：的度数； (3)设，，如图2，当点在线段上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）由可得，即可证明； （2）由可得，推出，结合，即可求解； （3）由可得，证明，得到，则，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， 即， 在与中， ， ； （2）， ， ， ， 又， ， 即； （3）， 理由：， 即． 在与中， ， ， ， ， ， ， ． 32.（2023八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，E、F分别是边延长线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3） 【分析】本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出，本题的3个问题运用了类比的方法依次解决问题． （1）如图，延长到G，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）如图，延长到G，使，连接，同理可得：； （3）如图③，仿照（1）（2）构造全等三角形求解即可． 【详解】解：（1）如图，延长到G，使，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴； 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长到G，使，连接， ∵， ∴ ∵, ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴； （3）若如图③，在上截取，使，连接． ∵， ∴． ∵ ∴ ∴， ∴． ∴， ∵， ∴ ∴． ∵ ∴． 题型九、用“ASA”证明两个三角形全等 33.（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）小明不小心把一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），为了能配一块与原来完全一样的三角形，小明应该带（    ）去玻璃商店． A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．解题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的判定定理：、、、、．本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证． 【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故选：B． 34.（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，图书馆的左侧有一栋高度为12米的居民房，点位于图书馆与居民房之间，且D、C、E三点共线．测得点到点的距离为28米，点到点的距离为12米，且，则图书馆的高度为（    ） A．12米 B．16米 C．28米 D．40米 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：米，米，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴米， 故选：C． 35.（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，中，，G为的中点，连接并延长交于点E，作，垂足为H，交于点下列判断 ； ； ； ，所有正确结论的序号为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及三角形中线的性质，准确找到判定三角形全等条件是解题的关键， ①依据题中条件，可以判定 ，根据全等三角形性质可得； ②由①中 ，可得； ③根据三角形中线平分面积的性质进行判断； ④若④结论成立，那么D需为的中点，进而判断④错误． 【详解】解：① 在和中， ， ， ，故①正确； ②由①得 ， ，故②正确； ③是的中点， 是的中线， ，故③正确； ④由图可知，， 但点D题中未说明是的中点， ， ， 故④错误； 综上，正确的结论为①②③， 故选： 36.（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，是高和的交点， ，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了三角形的高，余角性质，全等三角形的判定和性质，由三角形的高和余角性质可得，进而可证，得到，进而可得，则，即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的高， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 37.（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，是的角平分线，，，，的面积是3，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，有关三角形中线的三角形面积；延长交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，由三角形的中线得，即可求解；掌握全等三角形的判定及性质，有关三角形中线的三角形面积的求法是解题的关键． 【详解】解：延长交于， 是的角平分线，， ， ， ， （）， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 38.（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，点在边上， ． (1)求证： (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行线的性质可得，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴． 39.（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点A、、、在同一条直线上，点、分别在直线的两侧，且，，． (1)求证： (2)求证： 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由平行线的性质得到，根据即可证明，即可得出结论； （2）由，得到，根据即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 题型十、用“AAS”证明两个三角形全等 40.（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在和中，，，，如果的面积，那么的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形面积公式，同角的补角相等，作于，于，则有，根据同角的补角相等得出，从而证明，则有，然后通过三角形面积公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：作于，于，如图， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 故选：． 41.（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，是中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中线，全等三角形的判定和性质，根据中线的定义可判断①；证明，可判断②③；证明，根据平行线的性质得出，可判断④；根据得出，结合，可判断⑤． 【详解】解： 是中线， ，故①正确； ，， ，， ，， ， 又 ，， ， ，，故②③正确； ，， ， ，故④错误； ， ， ， ，故⑤正确； 综上可知，正确的有① ② ③ ⑤，共4个， 故选C． 42.（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）如图，在与中，，分别交、于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号为： ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可证明得到，则可证明，进一步可证明，根据现有条件无法证明，据此可得答案． 【详解】解：在与中， ， ∴， ∴，故②正确， ∴，即，故①正确； ∵， ∴，故④正确； 根据现有条件无法证明，故③错误； 故答案为：①②④． 43.（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，、分别是和边上的高，与相交于，若，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握利用判定两个三角形全等和全等三角形的对应边相等是解决此题的关键．根据同角的余角相等可得，然后利用即可证出，从而得出，即可得出结论． 【详解】解：∵和分别是边和边上的高， ∴ ∴， ∴ 在和中 ∴ ∴ 故答案为：． 44.（24-25七年级下·上海静安·期中）如图，在和中，，，是中点，，垂足为点． (1)试说明：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题． （1）先证明，即可证明； （2）由，得到，，由是中点，得到，即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解： ， ，， 是中点， ， ， ， ， 即的长为． 题型八、用“SSA”证明三角形全等的探究 45.（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，把长度确定的两根木棍，的一端固定在A处，和第三根木棍摆出固定，将木棍绕点A转动，得到，这个实验说明（   ） A．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等 B．有两角分别相等且其中一角的对边相等的两个三角形不一定全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，由与不全等，可得有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 【详解】解：由题意知，与中有两边和其中一边的对角分别相等， 与不全等， 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 故选：D． 46.我们知道：三角形全等的判定方法有：“”，面对于“”，课本第38页提供了如下材料： 思考：如图，把一条一短的两根木板的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木板，得到，这个实验说明了什么？    这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究．        (1)如果这两个三角形都是直角三角形，则“”成立．如图1，在和中，．根据________，可直接证得； (2)如果这两个三角形都是锐角三角形，则“”也成立，如图2，在锐角和锐角中，．求证：． 证明：作，垂足分别为G，H， 在和中，． ∴． …… 请你完成余下的证明过程： (3)如果这两个三角形都是钝角三角形，则“”仍然成立．如图3，在钝角和钝角中，，求证：．请简要叙述你的证明思路． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据题意即可得出； （2）同理可证，再根据即可证明； （3）根据条件证明和即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：根据，可证得； （2）证明：作，垂足分别为G，H， 在和中， ， ∴．， ∴， 同理可证，， ∴， ∴，即， ∴； （3）证明：延长，过点A作，延长，过点D作，如图所示，    ∵，， ∴， ∴. ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 题型十一、全等三角形——“一线三等角”模型 47.（20-21八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据已知条件，观察图形得，，然后证后求解． 【详解】解：，，于，于， ， ， 又，， ． ，， ． 故选：C． 48.（17-18八年级上·河南郑州·期中）如图中，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是(   )    A．50 B．44 C．38 D．32 【答案】D 【分析】由已知和图形根据“K”字形全等，用AAS可证△FEA≌△MAB，△DHC≌△CMB，推出AM=EF=6，AF=BM=3， CM=DH=2，BM=CH=3，从而得出FH=14，根据阴影部分的面积=S梯形EFHD-S△EFA-S△ABC-S△DHC和面积公式代入求出即可． 【详解】∵AE⊥AB，EF⊥AF，BM⊥AM，    ∴∠F=∠AMB=∠EAB=90°， ∴∠FEA+∠EAF=90°，∠EAF+∠BAM=90°， ∴∠FEA=∠BAM， 在△FEA和△MAB中 ， ∴△FEA≌△MAB（AAS）， ∴AM=EF=6，AF=BM=3， 同理CM=DH=2，BM=CH=3， ∴FH=3+6+2+3=14， ∴梯形EFHD的面积===56， ∴阴影部分的面积=S梯形EFHD-S△EFA-S△ABC-S△DHC = =32． 故选D． 49.（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，于点，过点作，且，过点作 交延长线于点，连接并延长交于点．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、平行线的性质、熟练掌握性质定理是解题的关键．根据垂直的定义及平行线的性质可得出，利用证明，再根据全等三角形的性质得出，，再次利用证明，然后根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：，，， ， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ，， 在与中， ， ， ， ． 故答案为：． 50.（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】过点作交延长线于点，先证明，则，然后根据求即可． 【详解】解：过点作交延长线于点， 则∠DMC=90°=∠ABC， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 故填． 51.（20-21八年级上·天津河东·期中）如图，已知：中，，，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F． （1）当EF与斜边BC不相交时，请证明如图； （2）如图2，当EF与斜边BC这样相交时，其他条件不变，证明：； 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论； （2）根据（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，则BE=AF，AE=CF，就可以求出EF=BE-CF． 【详解】解：（1），， ， ，， ， 在和中， ≌， ，， ． （2），， ， ，， ， 在和中， ≌， ，， ∵， ∴ 52.（20-21八年级上·湖南株洲·期末）如图1，已知AB＝AC，AB⊥AC．直线m经过点A，过点B作BD⊥m于D， CE⊥m于E．我们把这种常见图形称为“K”字图． （1）悟空同学对图1进行一番探究后，得出结论：DE＝BD＋CE，现请你替悟空同学完成证明过程． （2）悟空同学进一步对类似图形进行探究，在图2中，若AB＝AC，∠BAC＝∠BDA＝∠AEC，则结论DE＝BD＋CE，还成立吗？如果成立，请证明之． 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析 【分析】（1）先证∠ABD=∠EAC，再证△ABD ≌ △CAE（AAS）即可； （2）先证出∠ABD ＝ ∠EAC，再证△ABD ≌ △CAE（AAS）即可． 【详解】证明：（1）∵AB⊥AC,BD⊥DE,CE⊥DE, ∴∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°, ∴∠DAB+∠ABD=∠EAC+∠DAB=90°, ∴∠ABD=∠EAC, 在△ABD和 △CAE中， ， ∴ △ABD ≌ △CAE（AAS）， ∴ BD ＝ AE ，AD ＝ CE， ∴ DE ＝ AE ＋ DA ； （2）成立， 理由如下：∵  ∠BAC ＋ ∠BAD ＋ ∠EAC ＝ 180° ，   ∠ADB＋ ∠BAD ＋ ∠ABD  ＝ 180°， ∠BAC ＝ ∠BDA， ∴∠ABD ＝ ∠EAC ， 在△ABD和 △CAE中， ， ∴ △ABD ≌ △CAE（AAS）， ∴ BD ＝ AE，AD ＝ CE， ∴ DE ＝ AE ＋ DA ＝ BD ＋ CE． 53.（17-18九年级上·黑龙江七台河·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，∠ABC＝45 º，点O是AB的中点，过A、C两点向经过点O的直线作垂线，垂足分别为E、F. （1）如图①，求证：EF＝AE+CF. （2）如图②，图③，线段EF、AE、CF之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.    【答案】（1）见解析；（2）图②：EF＝AE+CF  图③：EF＝AE-CF，见解析 【分析】（1）连接OC，运用AAS证△AOE≌△OCF即可； （2）按（1）中的方法，连接OC，证明△AOE≌△OCF，即可得出结论 【详解】（1）连接OC，∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠AOC=90°，AO=CO， ∵∠AOE+∠COF=90°，∠EAO+∠AOE=90°， ∴∠EAO=∠COF， 又∵AO=CO，∠AEO=∠CFO， ∴△AOE≌△OCF（AAS） ∴OE＝CF，AE＝OF ∴EF＝AE+CF    （2）如图②，连接OC， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠AOC=90°，AO=CO， ∵∠AOE+∠COF=90°，∠EAO+∠AOE=90°， ∴∠EAO=∠COF， 又∵AO=CO，∠AEO=∠CFO， ∴△AOE≌△OCF（AAS） ∴OE＝CF，AE＝OF ∴EF＝AE+CF.    54.（24-25七年级下·河南郑州·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)21 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：21． 题型十二、证明两个三角形全等并解决问题 55.（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，于点，为边上一点，连接与交于点，为外一点，满足，，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． （1）由可得，再根据全等三角形的判定定理得证； （2）由（1）可知，结合已知条件得到，利用三角形全等的性质即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ． ， ． 56.（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）在中，，点在的延长线上． (1)如图1，过点作，连接，与交于点，若为的中线，连接与全等吗？请说明理由； (2)如图2，点在的延长线上，，点在的延长线上，连接，若，，，试判断之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)全等，理由见详解 (2)，理由见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形． （1）根据为的中线，得出，根据，得出，根据即可证明． （2）在 上截取 ，连接，如图，证明，得出，再证明，得出，结合，即可得． 【详解】（1）解：全等， 理由如下： ∵为的中线， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：． 理由：在 上截取 ，连接，如图， 在和中， ， ， ， ∵，， ∴， 在和中， ， ， ， ∵， ∴． 57.（24-25七年级下·云南临沧·期末）如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)请说明的理由； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动设点的运动时间为秒，当的面积为时，求的值； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，且当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)当的面积为时，的值为或 (3)或时，与全等 【分析】（1）根据原理证明即可； （2）由题意，，当点在线段上时，， 当点在延长线上时，，根据三角形的面积列式解答即可． （3）分类解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形面积计算，分类证明全等，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：是高， ， 是高， ， ，， ， 在和中， ， ． （2）解：由知， ， ， ， 由题意，， 当点在线段上时，， ， 解得：； 当点在延长线上时，， ， 解得：； 综上，当的面积为时，的值为或． （3）解：存在．理由如下： 如图中，当时， ，， ． ， ， 解得， 如图中，当时， ，， ． ， ， 解得， 综上所述，或时，与全等． 58.（24-25七年级下·福建福州·期末）已知：，，，，连接，． (1)如图，求证：； (2)如图，连接，，于点，于点，于点，于点，连接，． 求证：； 求证：，垂直且相等． 【答案】(1)见解析； (2)见解析；见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，，则，所以，证明，然后通过全等三角形的性质即可求证； （）先证，，再证明，故有，然后通过面积即可求证； 延长交于点，交的延长线于点，证明，，然后通过全等三角形的性质和三角形的内角和定理即可求证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明： ， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴； 延长交于点，交的延长线于点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，垂直且相等． 1.（24-25七年级下·山东枣庄·期末）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，三角形的三边关系等．判断能否唯一画出，需验证各选项是否满足三角形全等的判定条件（如、、、、），或三条线段的长是否符合三角形的三边关系． 【详解】解：A、，，，已知三角形的两边、以及一个角， ∵不是边、的夹角， 故根据三角形的判定定理，无法判定所画三角形与A选项所给条件的三角形全等， 即无法能画出唯一的，A选项不符合题意； B、，，，已知三角形的三个角的度数，没有三角形的边长， 故根据三角形的判定定理，无法判定所画三角形与B选项所给条件的三角形全等， 即无法能画出唯一的，B选项不符合题意； C、∵， 故，，三条线段无法构成三角形，故C选项不符合题意； D、，，，已知三角形的两个角与，以及、的夹边的长， 故根据三角形的判定定理，能判定所画三角形与D选项所给条件的三角形全等， 即能画出唯一的，D选项符合题意． 故选：D． 2.（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，要测量河岸相对两点A，B的距离，已知垂直于河岸，先在上取点C，D，使 ，再过点D作的垂线段，使点A，C，E在同一条直线上，测出，，则的长是（   ） A． B．5 C．6 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用． 由、均垂直于，即可得出，结合、，即可证出，由此即可得出，此题得解． 【详解】解：∵，， ∴， 在 中， ∴， ∴． 故选：B． 3.（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，，，则∠C的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质求得，即可求得结论． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 4.（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，点，，，在同一直线上，已知，，，连接交于点，若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，先求出，根据 “”可证得，推出，然后结合已知条件求出的值，进而可得答案． 【详解】解：∵， ， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 5.（24-25七年级下·北京海淀·期末）如图，在和中，若，，，、交于点M，连接，则下列结论：①；②；③平分；④平分，其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的判定定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．证明，可判断①结论；根据全等三角形的性质和三角形内角和定理，可判断②结论；过点作，，根据全等三角形的性质和角平分线的判定定理，可判断③结论；假设平分，可证，则，可判断④结论． 【详解】解：， ，即， 又，， ， ，①结论正确； ， ， ， ， ，②结论正确； 如图，过点作，， ， ， 平分，③结论正确； 假设平分， ， 平分， ， ，即， 又， ， ， 而题干中没有说明，即无法判断平分，④结论错误； 故选：B． 6.（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，，，请添加一个条件 ，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 本题可根据全等三角形的判定定理添加合适的条件． 【详解】在和中， ∴添加一个条件（答案不唯一），使得． 故答案为：（答案不唯一）． 7.（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，，，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查全等三角形的性质，线段的和与差，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 由全等三角形的对应边相等推出，即可求出的长． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 8.（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得，进一步求解即可． 【详解】解： 为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ∵， ∴， ， ， 故答案为：． 9.（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，求的面积．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取，连接．根据小颖的思路可得的面积为 ． 【答案】64 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；先通过等量代换推出，再利用“边角边”证明，再通过求出的面积即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10.（24-25七年级下·四川成都·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了下面问题：如图，是的中线，若，，求的取值范围．善思小组通过探究发现，延长至点，使，连接，可以证出，利用全等三角形的性质，可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． 请你利用“善思小组”的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ； ． ． C． D． （2）求得的取值范围是 ； ．        B．         C．         D． 【答案】 D C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，倍长中线法证明三角形全等是解题的关键； （1）如图中，延长到点，使，连接，利用证明； （2）根据全等三角形的性质推出，再根据，可得结论； 【详解】（1）解：延长到点，使，连接． 是的中线， ， 在和中， ， ， 故答案为：D； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：C； 11.（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在长方形中，，，点F在上，，动点P从点F出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点C；动点E从点D出发，以每秒的速度沿运动，最终回到点D；过点P作垂直直线于点M，在整个运动过程中，若点P运动的时间为x，则当 秒时，与全等． 【答案】 【分析】本题考查三角形全等的判定与动态问题，根据长方形得到，结合垂直得到，即可根据与全等得到，列式求解即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ①当点在上，点在上时， ∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， ∵动点P从点F出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点C；动点E从点D出发，以每秒的速度沿运动，最终回到点D， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ②当点在上，点在上时， ∵与全等， ∴，， ∵动点P从点F出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点C；动点E从点D出发，以每秒的速度沿运动，最终回到点D， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 无解， 故答案为：． 12.（24-25九年级下·福建福州·期中）如图，已知．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得成为解题的关键． 由角的和差可得，再运用证得，然后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 13.（24-25九年级下·湖南长沙·期末）如图，点在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为8． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质， （1）利用等量代换得，从而利用“”证明即可； （2）由（1）知，可得，再利用求解即可． 【详解】（1）证明：，，且， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， 的长为8． 14.（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，，点，，，在一条直线上． (1)求证：； (2)连接．若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，正确理解全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据得出,根据，问题得证； （2）根据全等三角形的性质得出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：， ，即， ； （2）， ， ， ， 平分， ， 设，则 在中，根据三角形内角和定理，得 ， 15.（24-25七年级下·江西吉安·期末）【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据_____证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于，若，，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（1），证明见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，由角平分线的定义构造全等三角形是解题的关键． （1）根据题意可得，，，据此根据全等三角形的性质与判定定理可得答案； （2）延长交于点，同理可得，则，根据三角形的外角的性质可得，由此即可求解； （3）延长、交于点，可证，得到，同理可证明得到，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）延长交于点，如图， 同理可证明， ∴， ∵， ∴； （3），证明如下： 延长、交于点，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴． 16.（24-25八年级上·湖南长沙·期中）（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______； （2）探究问题：如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，直线PQ经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若、，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时．求此时的值．（直接写出结果） 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或或 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理． （1）利用平角的定义即可求解； （2）先证明出，得出，，即可得出结果； （3）由以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分类讨论，分别画出图形，结合图形列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： ∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （3）当点移动到点时，，移动到点时，； 当点移动到点时，，移动到点时，； 分以下三种情况： ①当E在上，D在上时，即，如图，此时，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当E在上，D在上时，即，如图，此时，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当E在上，D在上时，即，如图，此时，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴， 不在范围内，不符合题意； ④当E到达A后，D在上时，即，如图，此时，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，当或或时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$