第四章图形的相似单元练习-2025—2026学年北师大版数学九年级上册

第四章 图形的相似 单元练习 一、单选题 1．已知，那么下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，点D，E分别在和上，且，若，，则的长是（    ） A．1 B． C．2 D．3 4．如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 5．若线段a，b，c，d是成比例线段，且，则（　　） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点若点的坐标为，点的坐标为，的面积为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，点F是中点，连接，，．把线段沿射线方向平移到，点D在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长和面积分别是（    ） A．16，16 B．18，12 C．16，12 D．12，6 8．我国古代数学著作《周髀算经》记载商高用矩（带有直角的曲尺）之道“偃矩以望高”的数学道理，即用曲尺测量物体高度的方法．如图所示：设曲尺平行于水平线的一边长度为，垂直于水平线的一边长度为，当人眼，曲尺两边端点，，物体的顶端点在同一直线上时，人眼到过点的水平线的高度为，人眼到物体的水平距离为，则可求得物体的高度等于．其依据的图形变化是（   ） A．图形的平移 B．图形的轴对称 C．图形的旋转 D．图形的相似 9．如图，在中，点分别在边和上，且，若，则等于（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线分别交，于点，，连接，以下结论不正确的是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知，且x，y均不为0，则 ． 12．如图，直线，分别交直线，于点，，，，，．若，，则 ． 13．如图，中，，D是上的一点，，E为的中点，连接．若，则的值为 ． 14．如图，E为平行四边形的对角线上的一点，且，，连接并延长，过点D作，与的延长线相较于点F，则的长为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，正方形绕着它的中心O在平面内自由旋转，在x轴上取点 ，将线段绕点P逆时针旋转 得到线段，连接．若，则的最大值为 ，此时的长为 ． 三、解答题 16．如图，点分别在正方形的边，上，连接和，，，．求证：． 17．在平面直角坐标系中，． (1)求的面积； (2)已知为轴上一点，若，求点的坐标． 18．校园周边有一河流，小明想通过自己所学的数学知识计算河流的宽度．如图，河流两侧河岸平行，他在河的对岸选定一个目标作为点A，再在学校一侧的河岸边选出点B和点C，分别在的延长线上取点D、E，连接，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为7.5米．过点A作于点F（即为河流的宽度），请你根据提供的数据计算河流的宽度． 19．如图，矩形中P为对角线上一动点，过P点作交于于点E，作交于点F，连接、．    (1)若， ①求证：平分； ②求证： (2)已知， 且P为的中点， 求矩形的周长． 20．如图1，正方形的边长为5，点E是边上一点，连接，将四边形沿直线折叠，点A、B的对应点分别为点N、M，的延长线与交于点F，与的延长线交于点G． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)若是以为腰的等腰三角形，求的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第四章 图形的相似 单元练习-2025—2026学年北师大版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B D C B C D C D 1．D 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练运用比例的性质是解题关键． 由已知比例式出发，利用比例的基本性质及等式变形，逐项分析判断即可． 【详解】解：， ． A、可变为，无法得出，故此选项错误，不符合题意； B、，两边同乘得，当时，即，不一定成立，故此选项错误，不符合题意； C、，得，即，则，不一定成立，故此选项错误，不符合题意； D、，得，即，故此选项正确，符合题意． 2．B 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据最长边分别为和确定相似比，相似三角形的周长比等于相似比，再根据周长之和为即可求解． 【详解】解：两个相似三角形的最长边分别为和， 相似比为， 较大三角形与较小三角形的周长比为：， 它们的周长之和为， 较小三角形的周长为：， 故选：B． 3．B 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，根据题意易证，得，即可求解，掌握相似三角形的判定方法及性质是解答本题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵，则， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4．D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 5．C 【分析】本题主要考查了成比例线段的定义，根据成比例线段的定义，四条线段满足，即与的比等于与的比。将已知数值代入比例式，解方程即可求出的值。 【详解】解：线段，，，是成比例线段， ， 将，，代入， 可得：， 整理得：， 解得：， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键，由题意得与的相似比为，则与的面积比为，进而可得答案． 【详解】解：与是位似图形，位似中心为点，点的坐标为，点的坐标为， 与的相似比为， 与的面积比为， 的面积为， 的面积是． 故选：B． 7．C 【分析】先论证四边形是平行四边形，再分别求出，，，继而用平行四边形的周长公式和面积公式求出即可． 【详解】解：由平移的性质可知，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 在中，，，， ∴， 在中，，，点F是的中点， ∴， ∵，点F是的中点， ∴，， ∴点D是的中点， ∴， ∵点F是的中点，点D是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形的周长为， 四边形的面积为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理等知识，推到四边形是平行四边形和是的中位线是解决问题的关键． 8．D 【分析】本题考查相似三角形的应用，几何变换的类型，过E作于H，判定，推出，求出，因此，于是得到答案． 【详解】解：过E作于H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 其依据的图形变化是图形的相似． 故选：D． 9．C 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，相似三角形的面积比，熟悉掌握相似三角形的面积比为相似比的平方是解题的关键． 利用平行判定出，再通过比值关系运算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10．D 【分析】本题考查了等腰三角形性质，垂直平分线性质，相似三角形的性质与判定，能正确理解题意，找到所求的角与已知条件之间的关系是解题的关键．由等腰三角形，“等边对等角”求出，再由垂直平分线的性质得到，得到即可判断A选项；证明，即可判断B选项；由三角形外角求出，易证是等腰三角形，得到，进而得到，再根据垂直平分线的性质得到，即可判断C选项；设，则，由相似三角形的性质即可判断D选项． 【详解】解：， ， 由作法可知，垂直平分， ，， ， ，A选项结论正确，不符合题意； ，， ， ， ，B选项结论正确，不符合题意； ， ， ， ，即，C选项结论正确，不符合题意； 设，则， ， ， ， ， ， ，D选项结论不正确，符合题意； 故选：D． 11． 【分析】利用内项之积等于外项之积得到，设，，接着把它们分别代入所求的代数式中，然后进行分式的化简计算即可． 本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， 设，， 原式 故答案为： 12． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识点是解答． 根据平行线分线段成比例定理得到，然后代入数据即可求出的值． 【详解】解：直线， ，即， ， 故答案为：． 13．/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理．熟练掌握勾股定理，相似三角形的判定和性质，等边对等角，是解题的关键．根据中点定义得，由，得，由，，得，得，得，得，即得． 【详解】解：∵E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．3 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造平行四边形和相似三角形，延长交于点，易得四边形为平行四边形，进而推出，证明，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， 延长交于点， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3． 15． / 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，图形的旋转问题，证明是解题的关键．连接，，根据等腰直角三角形的性质可得，，可证明，从而得到，进而得到当最大时，最大，当点D在x轴正半轴时，最大，此时点P，O，D三点共线；在中，利用勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， 当点D在x轴正半轴时，最大，此时点P，O，D三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为； 如图， ∵点D在x轴正半轴，， 此时点A在y轴上， 在中，， ∴． 故答案为：； 16．见解析 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相关性质和判定是解题的关键．根据已知条件求出，再证明，又由正方形的性质，得，根据“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”即可证明出结论． 【详解】证明：四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， ， ， △△． 17．(1)6 (2)或 【分析】（1）利用分割法计算即可． （2）设，则，根据面积相等，建立方程求解即可． 本题考查了坐标系中的作图，分割法求面积，解绝对值方程，数轴上两点间距离计算，熟练掌握分割法是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，，得的面积为：． （2）解：设，则， 又， 根据题意，得， 解得或， 故点或． 18．河流的宽度为10米 【分析】本题考查的是相似三角形判定与性质的应用，过点E作，垂足为H，先证，得出，再证得出，求出结论． 【详解】解：过点E作，垂足为H， ， ， ， ， ． ，， ． ， ， ，即 ． 答：河流的宽度为10米． 19．(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】此题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质与判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）①由矩形得到，然后根据等边对等角和平行线得到，等量代换得到，然后结合即可求解； ②证明出，得到，然后等量代换即可证明； （2）如图所示，过点D作，由相似得到，代数求出，利用三线合一求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：①∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； ②∵， ∴， ∴， ∵（矩形的性质），，， ∴， ∴， ∴ ∴整理得，； （2）解：如图所示，过点D作，    ∵，且为的中点， ∴，（矩形的性质）， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴矩形的周长． 20．(1)见解析 (2) (3)或． 【分析】（1）如图1，连接，根据四边形是正方形，得出，，，根据翻折得出，，从而得出，．证明，即可证明． （2）如图，证明，得出．设，，则，在中，勾股定理列方程求解即可． （3）分为①，②，画图解答即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接， 四边形是正方形， ，， ， 翻折四边形， ，， ，． 又， ． ． （2）解：如图， ，， ， ． 设，， ， ， 在中，； 化简得：； （舍去），； ． （3）解：①如图，若，则， ，， ， ； 设，则， ，， 在中，， 化简得：， （舍去），． ②如图，若，则． 设，则， ， 在中，， 化简得：， ． 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，的值为或． 【点睛】该题考查了正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$