专题12 矩形3种常考题型归类-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（吉林专用）

专题12 矩形 （原卷版） 矩形的性质 1．（2024·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·吉林·中考真题）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则 ． 3．（2023·吉林长春·中考真题）如图①．在矩形．，点在边上，且．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，连续．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．（）    (1)当点和点重合时，线段的长为__________； (2)当点和点重合时，求； (3)当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由； (4)作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围． 4．（2023·吉林·中考真题）如图，在正方形中，，点是对角线的中点，动点，分别从点，同时出发，点以的速度沿边向终点匀速运动，点以的速度沿折线向终点匀速运动．连接并延长交边于点，连接并延长交折线于点，连接，，，，得到四边形．设点的运动时间为（）（），四边形的面积为（）   　　   (1)的长为__________，的长为_________．（用含x的代数式表示） (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)当四边形是轴对称图形时，直接写出的值． 5．（2022·吉林长春·中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在上，点B的对应点为点E，折痕为；再沿过点F的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点H，折痕为；然后连结，沿所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想． 【问题解决】 (1)小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程： 证明：四边形是矩形， ∴． 由折叠可知，，． ∴． ∴． 请你补全余下的证明过程． 【结论应用】 (2)的度数为________度，的值为_________； (3)在图①的条件下，点P在线段上，且，点Q在线段上，连结、，如图②，设，则的最小值为_________．（用含a的代数式表示） 6．（2020·吉林长春·中考真题）【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容． 【问题解决】（1）如图①，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在上．求证：四边形是正方形． 【规律探索】（2）由【问题解决】可知，图①中的为等腰三角形．现将图①中的点沿向右平移至点处（点在点的左侧），如图②，折痕为，点在上，点在上，那么还是等腰三角形吗？请说明理由． 【结论应用】（3）在图②中，当时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点与点重合，折痕为，点在上．要使四边形为菱形，则___________． 矩形的判定 7．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形． 8．（2024·吉林·中考真题）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E，O均在格点上．图①中已画出四边形，图②中已画出以为半径的，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中，面出四边形的一条对称轴． (2)在图②中，画出经过点E的的切线． 矩形的判定与性质综合 9．（2024·吉林长春·中考真题）【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】 小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】 如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的大小为 度，线段长度的最小值为________． 【方法应用】 某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米． 10．（2023·吉林·中考真题）某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下： 填写人：王朵              综合实践活动报告            时间：2023年4月20日 活动任务：测量古树高度 活动过程 【步骤一】设计测量方案 小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．      【步骤二】准备测量工具 自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺．      【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点． 如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角． 测出眼睛到地面的距离． 测出所站地方到古树底部的距离．   ________． ． ． 【步骤四】计算古树高度．（结果精确到） （参考数据：） 请结合图①、图④和相关数据写出的度数并完成【步骤四】． 矩形的性质 11．（2024·吉林·模拟预测）如图，在矩形中，点是的中点，连接交于点，若，则的长度是（   ）    A．6 B．5 C． D． 12．（2024·吉林·模拟预测）如图，在矩形中，，，E，F分别为，边的中点，动点P从点E出发沿向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿向点C运动，连接，过点B作于点H，连接．若点P的速度是点Q的速度的倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段长度的最大值为 ，线段长度的最小值为 ． 13．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，若，则的度数是 ．    14．（2024·吉林长春·一模）如图，在矩形中，，．点E、F分别在边、上（点E不与A、D重合）且，于点P，交于点Q，于点M，交于点N．给出下面四个结论： ①四边形是矩形； ②平分四边形的周长； ③； ④当时，四边形的面积为2． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 15．（2024·重庆渝北·二模）如图，在矩形中，．平分交于点E，以B为圆心．长为半径画弧，交于点F．若点E为的中点，则图中阴影部分的面积为 ． 16．（2024·吉林延边·模拟预测）如图，在矩形中，对角线与交于点，，，垂足分别为、．求证：． 17．（2024·吉林延边·模拟预测）在矩形纸片中，，点在边上，将矩形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点在边上，将沿折叠，使点落在上的点处，延长与交于点． (1)①与的位置关系为 ； ②求证：四边形是平行四边形； (2)判断与的数量关系，并说明理由； (3)若四边形为菱形，且，则的值为 ． 18．（2024·吉林·模拟预测）如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上两点，．    (1)求证：； (2)连接，，，请添加一个条件，使得四边形是矩形（不需要写理由）．   19．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，E为上一点，且，过点E作于点F，延长交的延长线于点G． (1)求证：四边形是矩形； (2)连结，若，则的值为______． 矩形的判定 20．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)设的面积为，的面积为，矩形的面积为，则，，的等量关系为______． 21．（2024·吉林长春·二模）如图，在菱形中，，，是边上一动点，过点分别作于点于点，连接． (1)求证：四边形为矩形． (2)求的最小值． 22．（2024·吉林长春·三模）如图，在中，，点是的中点，点是的中点，过点A作交的延长线于点F，交于点．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，则的面积为_________． 23．（2024·吉林四平·模拟预测）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图①所示，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，，求证：； 【类比探究】 （2）如图（2）所示，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，且，则的值为__________； 【拓展延伸】 （3）如图③所示，在四边形中，．点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F．若，，则的值为__________． 24．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，是边的中线，平分的外角，，垂足为E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点O，若，，则的值为______． 矩形的判定与性质综合 25．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在矩形中，，，为边上一动点，过作于点，则四边形周长的最小值为 ． 26．（2024·吉林长春·二模）综合与实践课上，老师组织同学们开展以“矩形的折叠”为主题的数学活动， 【探索发现】 操作一：如图①，取一张矩形纸片．对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，在上取一点H，连结，，总有． 操作二：如图②，第二次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕，把纸片展平，连接，，，由，，知是等边三角形．根据以上操作，除等边三角形的三个内角外，在不添加任何辅助线的情况下，写出图②中一个的角：__________． 【探究提升】 如图③，延长交于点G，求证：是等边三角形． 【拓展应用】 如图④，第三次折叠纸片，使点D落在上的点Q处，并使折痕经过点C，得到折痕，把纸片展平，连结，．若点Q在点N的左侧，，则矩形的面积为__________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 矩形 （解析版） 矩形的性质 1．（2024·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，，据此可得答案． 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形， ∴，， ∴轴， ∴点的坐标为， 故选：C． 2．（2022·吉林·中考真题）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则 ． 【答案】/2.5 【分析】由矩形的性质可得点F是OA的中点，从而EF是△AOD的中位线，则由三角形中位线定理即可求得EF的长． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴BD=AC=10，OA=AC，OD=BD=5， ∵， ∴，即点F是OA的中点． ∵点是边的中点， ∴EF是△AOD的中位线， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理等知识，掌握中位线定理是本题的关键． 3．（2023·吉林长春·中考真题）如图①．在矩形．，点在边上，且．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，连续．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．（）    (1)当点和点重合时，线段的长为__________； (2)当点和点重合时，求； (3)当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由； (4)作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4)或或 【分析】（1）证明四边形是矩形，进而在中，勾股定理即可求解． （2）证明，得出； （3）过点作于点，证明得出，即可得出结论 （4）分三种情况讨论，①如图所示，当点在上时，②当点在上时，当重合时符合题意，此时如图，③当点在上，当重合时，此时与点重合，则是正方形，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接，      ∵四边形是矩形 ∴ ∵， ∴四边形是矩形， 当点和点重合时， ∴， 在中，， 故答案为：． （2）如图所示，    ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）如图所示，过点作于点，    ∵，， ∴， 则四边形是矩形， ∴ 又∵ ∴， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形； （4）①如图所示，当点在上时，    ∵， 在中，， 则， ∵，则，， 在中，， ∴ 解得： 当时，点在矩形内部，符合题意， ∴符合题意， ②当点在上时，当重合时符合题意，此时如图，    则，， 在中， ， 解得：， ③当点在上，当重合时，此时与点重合，则是正方形，此时    综上所述，或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，勾股定理，求正切，轴对称的性质，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键． 4．（2023·吉林·中考真题）如图，在正方形中，，点是对角线的中点，动点，分别从点，同时出发，点以的速度沿边向终点匀速运动，点以的速度沿折线向终点匀速运动．连接并延长交边于点，连接并延长交折线于点，连接，，，，得到四边形．设点的运动时间为（）（），四边形的面积为（）   　　   (1)的长为__________，的长为_________．（用含x的代数式表示） (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)当四边形是轴对称图形时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据正方形中心对称的性质得出，可得四边形是平行四边形，证明即可； （2）分，两种情况分别画出图形，根据正方形的面积，以及平行四边形的性质即可求解； （3）根据（2）的图形，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点是正方形对角线的中点， ∴，则四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴ 故答案为：；． （2）解：当时，点在上，    由（1）可得， 同理可得， ∵，， 则 ； 当时，如图所示，    则，， ， ∴； 综上所述，； （3）依题意，①如图，当四边形是矩形时，此时， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 即， 解得：，    当四边形是菱形时，则， ∴， 解得：（舍去）； ②如图所示，当时，四边形是轴对称图形，   ，解得， 当四边形是菱形时，则，即，解得：（舍去）， 综上所述，当四边形是轴对称图形时，或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，动点问题，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．（2022·吉林长春·中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在上，点B的对应点为点E，折痕为；再沿过点F的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点H，折痕为；然后连结，沿所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想． 【问题解决】 (1)小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程： 证明：四边形是矩形， ∴． 由折叠可知，，． ∴． ∴． 请你补全余下的证明过程． 【结论应用】 (2)的度数为________度，的值为_________； (3)在图①的条件下，点P在线段上，且，点Q在线段上，连结、，如图②，设，则的最小值为_________．（用含a的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)22.5°， (3) 【分析】（1）根据折叠的性质可得AD=AF，，由HL可证明结论； （2）根据折叠的性质可得 证明是等腰直角三角形，可求出GF的长，从而可得结论 ； （3）根据题意可知点F与点D关于AG对称，连接PD，则PD为PQ+FQ的最小值，过点P作PR⊥AD，求出PR=AR=，求出DR，根据勾腰定理可得结论． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ∴． 由折叠可知，，． ∴． ∴． 由折叠得，， ∴ ∴ 又AD=AF，AG=AG ∴ （2）由折叠得，∠ 又∠ ∴∠ 由得，∠ ∠ 又∠ ∴∠ ∴∠ ∴ 设则 ∴ ∴ ∴ （3）如图，连接 ∵ ∴AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称， 连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长； 过点P作交AD于点R， ∵∠ ∴∠ ∴ 又 ∴ ∴ 在中， ∴ ∴的最小值为 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，矩形的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． 6．（2020·吉林长春·中考真题）【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容． 【问题解决】（1）如图①，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在上．求证：四边形是正方形． 【规律探索】（2）由【问题解决】可知，图①中的为等腰三角形．现将图①中的点沿向右平移至点处（点在点的左侧），如图②，折痕为，点在上，点在上，那么还是等腰三角形吗？请说明理由． 【结论应用】（3）在图②中，当时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点与点重合，折痕为，点在上．要使四边形为菱形，则___________． 【答案】（1）见解析；（2）是等腰三角形，见解析；（3） 【分析】（1）由题意根据邻边相等的矩形是正方形进行分析证明即可． （2）根据题意证明∠QFP=∠FPQ即可解决问题． （3）由题意证明△PFQ，△PGA都是等边三角形，设QF=m，求出AB，AD（用m表示）即可解决问题． 【详解】解：（1）证明：如图①中， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠ADA′=90°， 由翻折可知，∠DA′E=∠A=90°， ∴∠A=∠ADA′=∠DA′E=90°， ∴四边形AEA′D是矩形， ∵DA=DA′， ∴四边形AEA′D是正方形． （2）结论：△PQF是等腰三角形． 理由：如图②中， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠QFP=∠APF， 由翻折可知，∠APF=∠FPQ， ∴∠QFP=∠FPQ， ∴QF=QP， ∴△PFQ是等腰三角形． （3）如图③中， ∵四边形PGQF是菱形， ∴PG=GQ=FQ=PF， ∵QF=QP， ∴△PFQ，△PGQ都是等边三角形，设QF=m， ∵∠FQP=60°，∠PQD′=90°， ∴∠DQD′=30°， ∵∠D′=90°， ∴， 由翻折可知，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查矩形的性质，正方形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 矩形的判定 7．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定及矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．利用可证明，得出，根据得出，即可证明四边形是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明四边形是矩形． 【详解】证明：∵是边的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 8．（2024·吉林·中考真题）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E，O均在格点上．图①中已画出四边形，图②中已画出以为半径的，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中，面出四边形的一条对称轴． (2)在图②中，画出经过点E的的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，切线的判定，画对称轴等等： （1）如图所示，取格点E、F，作直线，则直线即为所求； （2）如图所示，取格点，作直线，则直线即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，取格点E、F，作直线，则直线即为所求； 易证明四边形是矩形，且E、F分别为的中点； （2）解：如图所示，取格点，作直线，则直线即为所求； 易证明四边形是正方形，点E为正方形的中心，则． 矩形的判定与性质综合 9．（2024·吉林长春·中考真题）【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】 小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】 如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的大小为 度，线段长度的最小值为________． 【方法应用】 某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米． 【答案】问题解决：（1）见解析（2）30，；方法应用：线段长度的最小值为米 【分析】（1）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，根据平行四边形性质证明结论即可； （2）先证明，根据垂线段最短求出最小值； （3）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，求出，进而得，利用垂线段最短求出即可． 【详解】解：问题解决：（1）证明：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线， 四边形是平行四边形， ； （2）在等边中，， ； 当时，最小，此时最小， 在中， ， 线段长度的最小值为； 方法应用：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 当时，最小，此时最小， 作于点R， 在中， ， 在中， ， 线段长度的最小值为米． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质，垂线段最短及矩形性质，熟练掌握相关性质是解题关键． 10．（2023·吉林·中考真题）某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下： 填写人：王朵              综合实践活动报告            时间：2023年4月20日 活动任务：测量古树高度 活动过程 【步骤一】设计测量方案 小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．      【步骤二】准备测量工具 自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺．      【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点． 如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角． 测出眼睛到地面的距离． 测出所站地方到古树底部的距离．   ________． ． ． 【步骤四】计算古树高度．（结果精确到） （参考数据：） 请结合图①、图④和相关数据写出的度数并完成【步骤四】． 【答案】， 【分析】根据测角仪显示的度数和直角三角形两锐角互余即可求得的度数，证明四边形是矩形得到，再解直角三角形求得的度数，即可求解． 【详解】解：测角仪显示的度数为， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形，，      在中，， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用和矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的运算是解题的关键． 矩形的性质 11．（2024·吉林·模拟预测）如图，在矩形中，点是的中点，连接交于点，若，则的长度是（   ）    A．6 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】可证，从而可求，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 点是的中点， ， ， 解得：， ； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行线分线段成比例定理，掌握性质及定理是解题的关键． 12．（2024·吉林·模拟预测）如图，在矩形中，，，E，F分别为，边的中点，动点P从点E出发沿向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿向点C运动，连接，过点B作于点H，连接．若点P的速度是点Q的速度的倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段长度的最大值为 ，线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】当点P与点A重合时，线段长度的最大，求出长度的最大值，连接交于，连接，取的中点，连接，，过点作于．解直角三角形求出，即可解决问题． 【详解】解：由题意得：当点P与点A重合时，线段长度的最大， ∵点P的速度是点Q的速度的倍， ∴， ∴， ∴线段长度的最大值为， 连接交于，连接，取的中点，连接，，过点作于，如图所示：    则，， ∵矩形中，，，，， ∴， ∴， ∵E，F分别为，边的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ，，， ， ， ， ， ， ， ，由于和点都是定点，所以其中点也是定点，当，，共线时，此时最小， 的最小值为， 故答案为：；． 【点睛】本题考查矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题． 13．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，若，则的度数是 ．    【答案】/35度 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键．根据矩形的性质可得，，从而可得为等腰三角形，，即可求得的度数． 【详解】解：四边形为矩形，对角线、相交于点O， ， 为等腰三角形， ， ， ， 故答案为：． 14．（2024·吉林长春·一模）如图，在矩形中，，．点E、F分别在边、上（点E不与A、D重合）且，于点P，交于点Q，于点M，交于点N．给出下面四个结论： ①四边形是矩形； ②平分四边形的周长； ③； ④当时，四边形的面积为2． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】①由三个角是直角可判定四边形是矩形，从而判断①正确；②先证明可得，设分别交于点，证明可得，由四边形是矩形，可得得出平分四边形的周长，从而判断②正确；③证明可得，同理可证再利用相似三角形性质判断③错误；④在中，，再通过面积法求得，证明，可得，求得，四边形的面积为．从而判断④正确 【详解】， 四边形是矩形， 故①正确； 矩形中， 又， 四边形是平行四边形， ， 如图，设分别交于点， ， , 又 ， 四边形是矩形， 平分四边形的周长 故②正确； 四边形是矩形， ， 同理可证 ， 故③错误； 在中，， ， ， ， 由题意可得， ， ， ， ， 四边形的面积为． 故④正确， 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 15．（2024·重庆渝北·二模）如图，在矩形中，．平分交于点E，以B为圆心．长为半径画弧，交于点F．若点E为的中点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查矩形的性质以及角平分线的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据，计算即可得到答案． 【详解】解：，平分交于点E， ， ， ， ， 点E为的中点， ， ， ， ． 故答案为：． 16．（2024·吉林延边·模拟预测）如图，在矩形中，对角线与交于点，，，垂足分别为、．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解决问题的关键． 根据矩形的性质求出，根据推出即可证得结论． 【详解】证明：四边形是矩形， ，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 17．（2024·吉林延边·模拟预测）在矩形纸片中，，点在边上，将矩形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点在边上，将沿折叠，使点落在上的点处，延长与交于点． (1)①与的位置关系为 ； ②求证：四边形是平行四边形； (2)判断与的数量关系，并说明理由； (3)若四边形为菱形，且，则的值为 ． 【答案】(1)①平行；②证明见解析； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】（）①根据四边形是矩形，得出，根据折叠得，，证明，根据内错角相等，两直线平行即可证明； ②根据四边形是矩形，得出，从而得到，根据折叠可得，，证明，即可证出，结合，即可证明四边形是平行四边形； （）根据四边形是矩形，得出，从而得到，由折叠得，从而得到，再证明，即可证明； （）根据四边形为菱形，进而推出，，推出，在中，，根据折叠得，据此即可求解． 【详解】（1）①解：∵四边形是矩形， ∴， 根据折叠得，，， ∴， ∴， 故答案为：； ②证明：如图，∵四边形是矩形， ∴， ∴， 即， 根据折叠可得，，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形； （2）解：，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由根据折叠得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵四边形为菱形， ∴， 由()得， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， 在中，， 由折叠得，， ∴， ∴， ∴当四边形为菱形时，的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，菱形的性质，平行四边形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 18．（2024·吉林·模拟预测）如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上两点，．    (1)求证：； (2)连接，，，请添加一个条件，使得四边形是矩形（不需要写理由）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质以及矩形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，根据全等三角形的判定定理进行证明； （2）根据题意补全条件证明即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ． 在和中， ， ； （2）解： ， 证明：， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形．    19．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，E为上一点，且，过点E作于点F，延长交的延长线于点G． (1)求证：四边形是矩形； (2)连结，若，则的值为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形性质得，，，再根据得，则，然后根据得，则，据此即可得出结论； （2）设，根据四边是矩形得，，根据得，则，进而得，，则，，再根据，得，进而可得由勾股定理得，最后在中，根据三角函数的定义可得出的值． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：设， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，则，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，解直角三角形，理解平行四边形的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 矩形的判定 20．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)设的面积为，的面积为，矩形的面积为，则，，的等量关系为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质， （1）先证得，再根据可得四边形为平行四边形，然后由得，进而得，再由得，据此可得出结论； （2）过点A作交延长线于H，的延长线交的延长线于K，证明四边形为矩形得，然后表示，，可得，，的等量关系． 【详解】（1）证明：∵，，且， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）过点A作交延长线于H，的延长线交的延长线于K，如下图所示： 证明四边形为矩形得， ∵平行四边形为矩形， ∴， ∵， ∴ ∴四边形为矩形 ∴， ∵，，， ∴， 即． 21．（2024·吉林长春·二模）如图，在菱形中，，，是边上一动点，过点分别作于点于点，连接． (1)求证：四边形为矩形． (2)求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理等等， （1）首先根据菱形的性质得到，然后结合，即可证明出四边形为矩形； （2）连接，作于点H，由菱形的性质得，则，由，求得，再由四边形是矩形，则，由，得，则的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】（1）∵四边形是菱形 ∴ ∵于点F，于点G， ， ∴四边形是矩形； （2）如图，连接，作于点H， ∵四边形是菱形，， ， ， ， ， ， 解得， ∵四边形为矩形 ， ， ， ∴的最小值为． 22．（2024·吉林长春·三模）如图，在中，，点是的中点，点是的中点，过点A作交的延长线于点F，交于点．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，则的面积为_________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，可得，利用即可证明，得，从而可证明四边形是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一可得，，即可由有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题； （2）先由勾股定理求得，从而求得，，则，再证明，得到，则，即可由求解． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ， ， 在和中， ， ； ， 四边形是平行四边形， ，是线段的中点， ，， ， 四边形是矩形； （2）解：由（1）得， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查矩形的判定，等要三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握相关性质与判定定理是解题的关键． 23．（2024·吉林四平·模拟预测）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图①所示，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，，求证：； 【类比探究】 （2）如图（2）所示，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，且，则的值为__________； 【拓展延伸】 （3）如图③所示，在四边形中，．点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F．若，，则的值为__________． 【答案】（1）详见解析；（2）；（3） 【分析】（1）首先根据正方形的性质得到，，然后证明出，得到，即可； （2）设与交于点，根据矩形的性质得到，进而得到，然后证明出，即可得到； （3）过点作交的延长线于点，证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】解：（1）∵在正方形中， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）如图2，设与交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图3，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定与性质等知识．熟练掌握相关知识点，证明三角形全等或相似，是解题的关键． 24．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，是边的中线，平分的外角，，垂足为E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点O，若，，则的值为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质： （1）根据等腰三角形的性质可得，，再结合平分，可得，即可求证； （2）根据矩形的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵，是边的中线， ∴，， ∵平分的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵是边的中线，， ∴， ∴， ∴． 矩形的判定与性质综合 25．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在矩形中，，，为边上一动点，过作于点，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理-最短路径问题，矩形的性质，垂直平分线的性质，理解转化思想和矩形的性质和判定是解题的关键． 先根据矩形的性质，垂直平分线的性质，把线段进行等量代换，在根据轴对称的性质确定最小值，最后根据四边形的周长公式求解． 【详解】解：延长到，使得，连接，交于，连接，如图： ∵四边形为矩形， ∴，， ∵垂直平分， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形周长为， ∴四边形周长的最小值为， 故答案为：． 26．（2024·吉林长春·二模）综合与实践课上，老师组织同学们开展以“矩形的折叠”为主题的数学活动， 【探索发现】 操作一：如图①，取一张矩形纸片．对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，在上取一点H，连结，，总有． 操作二：如图②，第二次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕，把纸片展平，连接，，，由，，知是等边三角形．根据以上操作，除等边三角形的三个内角外，在不添加任何辅助线的情况下，写出图②中一个的角：__________． 【探究提升】 如图③，延长交于点G，求证：是等边三角形． 【拓展应用】 如图④，第三次折叠纸片，使点D落在上的点Q处，并使折痕经过点C，得到折痕，把纸片展平，连结，．若点Q在点N的左侧，，则矩形的面积为__________． 【答案】探索发现：、、、、（答案不唯一）；结论应用：证明见解析；拓展提升： 【分析】探索发现：由折叠可得：是等边三角形，，，再结合矩形的性质与平行线的性质可得结论； 探究提升：由探索发现可得：，从而可得结论； 拓展应用：先求解，如图，同理可得：，证明，，可得，，，证明四边形为平行四边形，可得，同理可得：，再进一步结合勾股定理可得答案． 【详解】探索发现： 解：由折叠可得：是等边三角形，，， ∴，， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； 探究提升： 由探索发现可得：， ∴， ∴为等边三角形； 拓展应用： ∵， ∴， 如图，同理可得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， 同理可得：， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 同理可得：， ∵同理可得：，而，， ∴， ∴， ∴， 由可得： ， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质与判定，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握基础图形的性质是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$