2.3 一元二次方程的应用 暑假巩固练习2024-2025学年浙教版数学八年级下册

浙教版八年级下册 2.3 一元二次方程的应用 暑假巩固 一、传播问题 1.为了宣传垃圾分类，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（　　） A.9 B.10 C.11 D.12 2.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮传播后共有169台电脑被感染，每轮感染过程中平均一台电脑会感染的电脑台数为（　　） A.9 B.10 C.11 D.12 3.甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了（　　） A.11人 B.12人 C.13人 D.14人 4.鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例，两天后发现共有144只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数为　    　． 5.“泱泱华夏，浩浩千秋．于以求之？旸谷之东．山其何辉，韫卞和之美玉…”这是武汉16岁女孩陈天羽用文言文写70周年阅兵的观后感．小汀州同学把这篇气势磅礴、文采飞扬的文章放到自己的微博上，并决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将文章发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为　   　． 6.春季流感，学校有2个人患了流感，经过两轮传染后共有162人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染的人数相同． （1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人； （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 7.如今，每到春季，甲流便肆虐横行，成为当前主流流行疾病之一，某一小区有1位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有36人患了甲流． （1）每轮感染中平均一个人传染几人？ （2）如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过200人患了甲流？ 二、增长率问题 1.天气越来越冷，家用暖风机的市场需求量逐步变大．据了解，某商店销售一款家用暖风机，10月的销售额为30000元，12月的销售额为76800元，则10月到12月该款暖风机销售额的平均增长率为（　　） A.256% B.260% C.160% D.60% 2.随着新能源电动汽车的快速增加，绵阳市正在快速推进全市电动汽车的充电桩建设，已知到2023年底，绵阳全市约有3.5万个充电桩，根据规划到2025年底，全市的充电桩数量将会达到5.04万个，则从2023年底到2025年底，全市充电桩数量的年平均增长率为（　　） A.10% B.15% C.20% D.25% 3.某地区为贯彻“绿水青山就是金山银山”理念，在2022年植树造林2000亩，计划2024年植树造林2880亩．若设植树造林面积的年平均增长率为x，则x的值为（　　） A.20% B.11% C.10% D.120% 4.某商品原售价为60元，4月份下降了20%，从5月份起售价开始增长，6月份售价为75元，设5，6月份每个月的平均增长率为x，则x的值为 　    　． 5.某小微企业今年1月份的利润为100万元，3月份的利润上升到121万元，若1至3月利润的增长率相同，则每月增长的百分率是 　 　． 6.为了推进“绿美潮州”生态建设，潮州市某公司加快技术升级改造，2023年第一季度A产品的生产成本是每件200元，技术升级改造后，A产品的生产成本逐季度下降，第三季度A产品的生产成本是每件128元，若A产品生产成本每个季度的平均下降率都相同．求该产品生产成本每个季度的平均下降率是多少． 7.为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．2022年这种药剂价格为200元，2024年该药剂价格为98元． （1）求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率； （2）该制药厂计划2025年对此药剂继续降价，并要求此种药剂的价格不低于73.5元，则此次价格的下降率最多是多少？ 三、数字问题 1.一个两位数比它的个位数字的平方小2．并且个位数字比十位数字大3．下列的各数中，是符合要求的两位数的是（　　） A.25 B.36 C.47 D.59 2.有一个三位数，其个位、十位、百位的数字是三个连续整数，并且个位数字与百位数字的平方和是十位数字的5倍．则这个三位数是（　　） A.321 B.123 C.321或123 D.±123或±321 3.一个两位数个位上的数字比十位上的数字大1，个位上的数字与十位上的数字的平方和为13，则这个两位数为（　　） A.32 B.23 C.41 D.14 4.已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是 　   　． 5.有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并且十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是 　   　． 6.一个两位数，十位数与个位数字之和是3，把这个数的个位数与十位数字对调后，得到的新两位数与原来的两位数的乘积为252，求原来的两位数． 7.一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数． 四、球赛问题 1.实验学校举行了2023年冬季运动会篮球比赛，九年级共有m个班进行了单循环比赛（每两队之间只进行一场比赛），单循环比赛共进行了21场，则m的值为（　　） A.6 B.7 C.8 D.9 2.为增强学生体质，培养学生正确的体育思想和团队意识，2019年初某市开展了“篮球进园”活动．近日，该市篮球协会要组织初中学校的篮球队进行一次联赛，要求每两队之间进行一场比赛，计划安排5天，每天比赛3场，则参加比赛的球队数是（　　） A.5 B.6 C.7 D.8 3.为增强学生体质，某学校准备开展足球比赛，赛制为单循环形式，现计划安排6场比赛，则共有几支队伍参赛（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 4.我校八年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式（即每两班之间都比赛一场），若共进行了45场比赛，则有 　   　个班级篮球队参加． 5. “感受绿茵魅力，传播足球文化”，2023河南省校园足球文化节隆重举行．本次采用单循环赛制（每两队之间赛一场），若计划安排36场比赛，则需要邀请 　  　个球队参加． 6.球队两两比赛，主场客场各一场，共42场，问有多少支队伍？ 7.第六届“粤港杯”男子篮球赛在广东恩平落幕，广东队顺利捧杯豪取五连冠．若参加比赛的每两队之间都进行1场比赛，一共比赛120场，共有多少个队参加该比赛？ 五、握手或互赠礼物问题 1.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，那么全组有（　　）名同学． A.12 B.13 C.14 D.15 2.毕业10年后，某班同学聚会，见面时相互间均握了一次手，一共握手的次数为780，则这次参加聚会的同学有（　　） A.38人 B.40人 C.41人 D.42人 3.在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（　　） A.9人 B.10人 C.11人 D.12人 4.参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手36次，则有 　  　人参加聚会． 5.某生物兴趣小组的学生将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一个，全组共互赠了72个．则该兴趣小组共有 　  　名学生． 6.参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手6次，有多少人参加聚会？（列一元二次方程，解应用题） 7.小王大学毕业后光荣地被国家选派去援疆支教，他的亲戚或朋友到机场为小王送行，小王及父母与前来送行的客人一一握手，客人之间也相互握手，但小王及父母之间不握手，共有88次握手，请问送行的客人来了多少人？ 六、与几何图形有关的问题 1.直角三角形中一直角边的长为10，另两边长为连续偶数，则直角三角形的周长为（　　） A.49 B.17 C.60 D.不能确定 2.如图1，有一张长32cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是130cm2，则纸盒的高为（　　） A.2cm B.2.5cm C.3cm D.4cm 3.空地上有一段长为a米的旧墙AB，工人师傅欲利用旧墙和木棚栏围成一个封闭的长方形菜园（如图），已知木栅栏总长为40米，所围成的长方形菜园面积为S平方米．若a＝18，S＝194，则（　　） A.有一种围法 B.有两种围法 C.不能围成菜园 D.无法确定有几种围法 4.一个长方形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，长方形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为7cm2；按照图②放置长方形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，长方形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为 　   　． 5.若直角三角形两条直角边的边长之和为17，面积是30，则该直角三角形的斜边长为 　   　． 6.如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米． （1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边AB的长； （2）请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由． 7.为实现“绿色江夏•和谐江夏”，江夏区政府准备开发城北一块长为32m，宽为21m的长方形空地． （1）方案一：如图1，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1m就是它的右边线．则这块草地的面积为 　　m2； （2）方案二：如图2，将这块空地种上草坪，修纵横两条宽1m的小路，则这块草地的面积为 　     　m2； （3）方案三：修建一个长是宽的1.6倍，面积为432m2的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在25m到30m之间，宽在13m到20m之间．这个篮球场能用做比赛吗？并说明理由． 七、动态几何问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A出发向终点B以1cm/s的速度移动；同时点Q沿BC边从点B出发向终点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当△PBQ的面积为12cm2时，点P一运动的时间是（　　） A.2s B.2s或6s C.6s D.6s或8s 2.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．当t为（　　）秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的？ A.1.5 B.2 C.3或者1.5 D.以上答案都不对 3.如图，在Rt△MNC中，∠C＝90°，MC＝6cm，NC＝8cm，P，Q分别是MC，NC上的动点，若点P，Q同时从M，N两点出发分别沿MC，NC方向向点C匀速运动，它们的速度都是1cm/s，则经过（　　）秒后，△PQC的面积为Rt△MCN面积的一半． A.2 B.3 C.4 D.5 4.如图，AO＝BO＝6厘米，OC是一条射线，OC⊥AB．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B爬行，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线OC方向爬行，它们同时出发，当点P到达B点时点Q也停止运动．设运动时间为t秒，经过 　               　秒，△POQ的面积为8平方厘米． 5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm， （1）AC＝　  　cm； （2）现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是1cm/s，点Q的速度是2cm/s．P、Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动．设运动时间为t秒．当t＝　 　s时，PQ平分△ABC的面积． 6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．点P、Q同时由A、C两点出发，分别以1cm/s和2cm/s的速度沿线段AC、CB匀速移动，当一点到达终点时，另一点也停止移动． （1）设经过t秒，用含t的代数式表示PC、CQ，PC＝　   　，CQ＝　     　； （2）几秒后，△PCQ的面积是△ABC面积的？ 7.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm，动点M、N分别从点A和点C同时开始移动，点M的速度为2cm/s，点N的速度为3m/s，点M移动到点C后停止，点N移动到点B后停止，问经过几秒，△MCN的面积为36cm2？ 浙教版八年级下册 2.3 一元二次方程的应用 暑假巩固（参考答案） 一、传播问题 1.为了宣传垃圾分类，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（　　） A.9 B.10 C.11 D.12 【答案】B 【解析】根据传播规则结合经过两轮转发后共有111个人参与了宣传活动，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 依题意，得：1+n+n2＝111， 解得：n1＝10，n2＝﹣11． 故选：B． 2.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮传播后共有169台电脑被感染，每轮感染过程中平均一台电脑会感染的电脑台数为（　　） A.9 B.10 C.11 D.12 【答案】D 【解析】设每轮感染过程中平均一台电脑会感染x台电脑，根据“一台电脑被感染，经过两轮的传播就会共有169台电脑被感染”，列出一元二次方程，解之取其正值即可． 设每轮感染过程中平均一台电脑会感染x台电脑， 依题意得：（1+x）2＝169， 解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合题意，舍去）， 即每轮感染过程中平均一台电脑会感染12台电脑， 故选：D． 3.甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了（　　） A.11人 B.12人 C.13人 D.14人 【答案】D 【解析】传染源为1人，每次传播x人，第一轮传播后，感染的人数一共为（x+1）人，（x+1）人则成为第二轮的传染源，因此第二轮感染的人数为x（x+1）人，根据两轮感染的总人数196即可列出方程求解． 设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 根据题意，得x+1+（x+1）x＝225， 解得：x＝14或x＝﹣16（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了14个人． 故选：D． 4.鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例，两天后发现共有144只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数为　    　． 【答案】11． 【解析】设每只病鸡传染健康鸡x只，则第一天有x只鸡被传染，第二天有x（x+1）只鸡被传染，所以经过两天的传染后感染患病的鸡共有：1+x+x（x+1）只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡144，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可． 设每只病鸡传染健康鸡x只，由题意得： x+1+x（x+1）＝144，即（1+x）2＝144， 解得x1＝11，x2＝﹣13（不符合题意舍去）． 答：设每只病鸡传染健康鸡11只． 故答案为：11． 5.“泱泱华夏，浩浩千秋．于以求之？旸谷之东．山其何辉，韫卞和之美玉…”这是武汉16岁女孩陈天羽用文言文写70周年阅兵的观后感．小汀州同学把这篇气势磅礴、文采飞扬的文章放到自己的微博上，并决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将文章发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为　   　． 【答案】10． 【解析】根据经过两轮转发后共有111个人参与了宣传活动，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 依题意得：1+n+n2＝111， 整理得：n2+n﹣110＝0， 解得：n1＝10，n2＝﹣11（不合题意，舍去）． 故答案为：10． 6.春季流感，学校有2个人患了流感，经过两轮传染后共有162人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染的人数相同． （1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人； （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 【答案】解：（1）设平均一人传染了x人， x+1+（x+1）x＝162÷2， 解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染8个人． （2）162+162×8＝1458（人）． 答：经过三轮传染后共有1458人会患流感． 7.如今，每到春季，甲流便肆虐横行，成为当前主流流行疾病之一，某一小区有1位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有36人患了甲流． （1）每轮感染中平均一个人传染几人？ （2）如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过200人患了甲流？ 【答案】解：（1）设每轮感染中平均一个人传染x人，根据题意，得（1+x）2＝36． 解得x＝5，或x＝﹣7（不合题意舍去）． 答：每轮感染中平均一个人传染5人． （2）根据题意，知第三轮的患病人数为（5+1）3＝216， ∵200＜216， ∴经过三轮传染后累计患甲流的人数会超过200人． 二、增长率问题 1.天气越来越冷，家用暖风机的市场需求量逐步变大．据了解，某商店销售一款家用暖风机，10月的销售额为30000元，12月的销售额为76800元，则10月到12月该款暖风机销售额的平均增长率为（　　） A.256% B.260% C.160% D.60% 【答案】D 【解析】设10月到12月该款暖风机销售额的平均增长率为x，利用12月该款暖风机的销售额＝10月该款暖风机的销售额×（1+10月到12月该款暖风机销售额的平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 设10月到12月该款暖风机销售额的平均增长率为x， 根据题意得：30000（1+x）2＝76800， 解得：x1＝0.6＝60%，x2＝﹣2.6（不符合题意，舍去）， ∴10月到12月该款暖风机销售额的平均增长率为60%． 故选：D． 2.随着新能源电动汽车的快速增加，绵阳市正在快速推进全市电动汽车的充电桩建设，已知到2023年底，绵阳全市约有3.5万个充电桩，根据规划到2025年底，全市的充电桩数量将会达到5.04万个，则从2023年底到2025年底，全市充电桩数量的年平均增长率为（　　） A.10% B.15% C.20% D.25% 【答案】C 【解析】设全市充电桩数量的年平均增长率为x，利用规划到2025年底绵阳全市的充电桩数量＝到2023年底绵阳全市的充电桩数量×（1+全市充电桩数量的年平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 设全市充电桩数量的年平均增长率为x， 根据题意得：3.5（1+x）2＝5.04， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， ∴全市充电桩数量的年平均增长率为20%． 故选：C． 3.某地区为贯彻“绿水青山就是金山银山”理念，在2022年植树造林2000亩，计划2024年植树造林2880亩．若设植树造林面积的年平均增长率为x，则x的值为（　　） A.20% B.11% C.10% D.120% 【答案】A 【解析】利用计划2024年植树造林的面积＝2022年植树造林的面积×（1+植树造林面积的年平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 根据题意得：2000（1+x）2＝2880， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， ∴x的值为20%． 故选：A． 4.某商品原售价为60元，4月份下降了20%，从5月份起售价开始增长，6月份售价为75元，设5，6月份每个月的平均增长率为x，则x的值为 　    　． 【答案】25%． 【解析】先算出4月份的售价，再根据平均增长率的等量关系：a（1+x）2＝b，列方程进行求解即可． 4月份的售价为：60×（1﹣20%）＝48元， 由题意得：48（1+x）2＝75； 解得：x＝0.25或x＝﹣2.25（舍掉）， ∴x的值为：25%； 故答案为：25%． 5.某小微企业今年1月份的利润为100万元，3月份的利润上升到121万元，若1至3月利润的增长率相同，则每月增长的百分率是 　 　． 【答案】10%． 【解析】设每月增长的百分率是x，根据企业3月份的利润＝企业1月份的利润×（1+每月增长的百分率）2，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 设每月增长的百分率是x， 由题意得：100（1+x）2＝121， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）， 即每月增长的百分率是10%， 故答案为：10%． 6.为了推进“绿美潮州”生态建设，潮州市某公司加快技术升级改造，2023年第一季度A产品的生产成本是每件200元，技术升级改造后，A产品的生产成本逐季度下降，第三季度A产品的生产成本是每件128元，若A产品生产成本每个季度的平均下降率都相同．求该产品生产成本每个季度的平均下降率是多少． 【答案】解：设该产品生产成本每个季度的平均下降率是x， 根据题意得：200（1﹣x）2＝128， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去）． 答：该产品生产成本每个季度的平均下降率是20%． 7.为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．2022年这种药剂价格为200元，2024年该药剂价格为98元． （1）求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率； （2）该制药厂计划2025年对此药剂继续降价，并要求此种药剂的价格不低于73.5元，则此次价格的下降率最多是多少？ 【答案】解：（1）设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为x， 根据题意得：200（1﹣x）2＝98， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝1.7（不符合题意，舍去）． 答：2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为30%； （2）设此次价格的下降率是y， 根据题意得：98（1﹣y）≥73.5， 解得：y≤0.25， ∴y的最大值是0.25，即25%． 答：此次价格的下降率最多是25%． 三、数字问题 1.一个两位数比它的个位数字的平方小2．并且个位数字比十位数字大3．下列的各数中，是符合要求的两位数的是（　　） A.25 B.36 C.47 D.59 【答案】C 【解析】对于数字问题关键是要做好解设，本题可设十位数字是x，个位数字就为（x+3），那么这个两位数就是10x+（x+3）．然后根据“一个两位数比它的个位数字的平方小2”列出等式 设十位数字为x 10x+（x+3）+2＝（x+3）2 x＝1或x＝4 所以这个两位数为14或47 故选：C． 2.有一个三位数，其个位、十位、百位的数字是三个连续整数，并且个位数字与百位数字的平方和是十位数字的5倍．则这个三位数是（　　） A.321 B.123 C.321或123 D.±123或±321 【答案】D 【解析】直接利用已知个位、十位、百位的数字是三个连续整数假设出各数，再利用个位数字与百位数字的平方和是十位数字的5倍得出等式求出即可． 设十位数字为x，则个位数字为：x﹣1，百位数字为：x+1， 根据题意可得：（x﹣1）2+（x+1）2＝5x， 解得：x1＝2，x2＝0.5（不合题意舍去）， 则个位数字为：x﹣1＝1，百位数字为：x+1＝3， 故这个三位数是：321， 当设十位数字为x，则个位数字为：x+1，百位数字为：x﹣1， 根据题意可得：（x﹣1）2+（x+1）2＝5x， 解得：x1＝2，x2＝0.5（不合题意舍去）， 则个位数字为：x+1＝3，百位数字为：x11＝1， 故这个三位数是：123， 同理可得：这个三位数可以为：±123或±321． 故选：D． 3.一个两位数个位上的数字比十位上的数字大1，个位上的数字与十位上的数字的平方和为13，则这个两位数为（　　） A.32 B.23 C.41 D.14 【答案】B 【解析】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为（x﹣1），根据个位上的数字与十位上的数字的平方和为13，列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可得出结论． 设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为（x﹣1）， 依题意得：x2+（x﹣1）2＝13， 整理得：x2﹣x﹣6＝0 解得：x1＝3，x2＝﹣2， 又∵x为非负整数， ∴x＝3， ∴x﹣1＝3﹣1＝2， 即这个两位数为23， 故选：B． 4.已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是 　   　． 【答案】84． 【解析】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为（x+4），根据个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其非负整数代入[10（x+4）+x]中即可求出结论． 设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为（x+4）， 依题意得：x2+（x+4）2﹣[10（x+4）+x]＝﹣4， 整理得：2x2﹣3x﹣20＝0 解得：x1＝4，x2＝﹣． 又∵x为非负整数， ∴x＝4， ∴10（x+4）+x＝10×（4+4）+4＝84． 故答案为：84． 5.有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并且十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是 　   　． 【答案】23． 【解析】设这个两位数中十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+1），根据题意列得方程后解方程即可． 设这个两位数中十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+1）， 则x2﹣（x+1）＝1， 整理得：x2﹣x﹣2＝0， 解得：x1＝2，x1＝﹣1（舍去）， 则2+1＝3， 那么这个两位数为：23， 故答案为：23． 6.一个两位数，十位数与个位数字之和是3，把这个数的个位数与十位数字对调后，得到的新两位数与原来的两位数的乘积为252，求原来的两位数． 【答案】解：设原来的两位数十位上的数字为x，则个位上的数字为（3﹣x），依题意得： （10x+3﹣x）[10（3﹣x）+x]＝252， 解得x1＝1，x2＝2， 当x＝1时，3﹣x＝2， 当x＝2时，3﹣x＝1， 原来的两位数是12或21． 答：原来的两位数是12或21． 7.一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数． 【答案】解：设个位数字为 x，则十位数字为 （11﹣x）， x2+（11﹣x）2＝85， 解得：x1＝2，x2＝9． 当 x＝2时，两位数为92， 当x＝9 时，两位数为29． 答：两位数为92或29． 四、球赛问题 1.实验学校举行了2023年冬季运动会篮球比赛，九年级共有m个班进行了单循环比赛（每两队之间只进行一场比赛），单循环比赛共进行了21场，则m的值为（　　） A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】B 【解析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 根据题意得：m（m﹣1）＝21， 整理得：m2﹣m﹣42＝0， 解得：m1＝7，m2＝﹣6（不符合题意，舍去）， ∴m的值为7． 故选：B． 2.为增强学生体质，培养学生正确的体育思想和团队意识，2019年初某市开展了“篮球进园”活动．近日，该市篮球协会要组织初中学校的篮球队进行一次联赛，要求每两队之间进行一场比赛，计划安排5天，每天比赛3场，则参加比赛的球队数是（　　） A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】B 【解析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数＝，由此可得出方程． 设邀请x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛， 由题意得，， 解得：x1＝6，x2＝﹣5， 故选：B． 3.为增强学生体质，某学校准备开展足球比赛，赛制为单循环形式，现计划安排6场比赛，则共有几支队伍参赛（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】设共有x支队伍参赛，根据单循环赛制的计算方法列一元二次方程求解即可． 设共有x支队伍参赛，进行单循环赛制， ∴，整理得，x2﹣x﹣12＝（x+3）（x﹣4）＝0， ∴x1＝﹣3（舍去），x2＝4， 故选：B． 4.我校八年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式（即每两班之间都比赛一场），若共进行了45场比赛，则有 　   　个班级篮球队参加． 【答案】10． 【解析】设共有x个班级球队参加比赛，根据共有45场比赛列出方程，求出方程的解即可得到结果． 设共有x个班级球队参加比赛， 根据题意得：＝45， 整理得：x2﹣x﹣90＝0， 即（x﹣10）（x+9）＝0， 解得：x＝10或x＝﹣9（舍去）， 则共有10个班级球队参加比赛， 故答案为：10． 5. “感受绿茵魅力，传播足球文化”，2023河南省校园足球文化节隆重举行．本次采用单循环赛制（每两队之间赛一场），若计划安排36场比赛，则需要邀请 　  　个球队参加． 【答案】9． 【解析】设需要邀请x个球队参加，利用比赛的总场数＝参数队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 设需要邀请x个球队参加， 根据题意得：x（x﹣1）＝36， 整理得：x2﹣x﹣72＝0， 解得：x1＝9，x2＝﹣8， ∴需要邀请9个球队参加． 故答案为：9． 6.球队两两比赛，主场客场各一场，共42场，问有多少支队伍？ 【答案】有7支队伍． 【解析】设球队共有x支，则每支球队都要与余下的（x﹣1）支球队进行比赛，又每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场，即每两支球队相互之间都要比赛两场，故这x支球队一共需要比赛x（x﹣1）场，而这个场次又是42场，据此列出方程． 设有x支队伍， 根据题意得：x（x﹣1）＝42， 解得：x＝7； 答：有7支队伍． 7.第六届“粤港杯”男子篮球赛在广东恩平落幕，广东队顺利捧杯豪取五连冠．若参加比赛的每两队之间都进行1场比赛，一共比赛120场，共有多少个队参加该比赛？ 【答案】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， 解：设共有x个队参加该比赛． 根据题意，得， 解得x＝16或x＝﹣15（舍去）． ∴共有16个队参加该比赛． 五、握手或互赠礼物问题 1.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，那么全组有（　　）名同学． A.12 B.13 C.14 D.15 【答案】C 【解析】先求每名同学赠的标本，再求x名同学赠的标本，而已知全组共互赠了182件，故根据等量关系可得到方程，求解即可． 设全组有x名同学，则每名同学所赠的标本为：（x﹣1）件，那么x名同学共赠：x（x﹣1）件， 则x（x﹣1）＝182， 整理得：x2﹣x﹣182＝0， 解得x1＝﹣13（不合题意舍去），x2＝14． 故全组共有14名同学． 故选：C． 2.毕业10年后，某班同学聚会，见面时相互间均握了一次手，一共握手的次数为780，则这次参加聚会的同学有（　　） A.38人 B.40人 C.41人 D.42人 【答案】B 【解析】设这次参加聚会的同学有x人，利用握手的总次数＝这次参加聚会的同学人数×（这次参加聚会的同学人数﹣1）÷2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 设这次参加聚会的同学有x人， 根据题意得：x（x﹣1）＝780， 整理得：x2﹣x﹣1560＝0， 解得：x1＝40，x2＝﹣39（不符合题意，舍去）， ∴这次参加聚会的同学有40人． 故选：B． 3.在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（　　） A.9人 B.10人 C.11人 D.12人 【答案】B 【解析】设参加聚会的同学有x人，则每人需赠送出（x﹣1）份礼物，根据所有人共送了90份礼物，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 设参加聚会的同学有x人，则每人需赠送出（x﹣1）份礼物， 依题意得：x（x﹣1）＝90， 整理得：x2﹣x﹣90＝0， 解得：x1＝10，x2＝﹣9（不符合题意，舍去）， ∴参加聚会的同学有10人． 故选：B． 4.参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手36次，则有 　  　人参加聚会． 【答案】9． 【解析】设有x人参加聚会，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 设有x人参加聚会，根据题意， 得， 解得：x1＝9，x2＝﹣8（舍去）， ∴有9人参加聚会， 故答案为：9． 5.某生物兴趣小组的学生将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一个，全组共互赠了72个．则该兴趣小组共有 　  　名学生． 【答案】9． 【解析】先求每名同学赠的标本，再求x名同学赠的标本，而已知全组共互赠了72个，故根据等量关系可得到方程，求解即可． 设全组有x名同学， 则每名同学所赠的标本为：（x﹣1）个， 那么x名同学共赠：x（x﹣1）个， 则x（x﹣1）＝72， 解得x1＝﹣8（不合题意舍去），x2＝9． 故全组共有9名同学． 故答案为：9． 6.参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手6次，有多少人参加聚会？（列一元二次方程，解应用题） 【答案】解：设有x人参加聚会， 根据题意，x（x﹣1）＝6， 化为一般形式，得x2﹣x﹣12＝0． 解得x1＝4，x2＝﹣3（舍去）． 答：有4人参加聚会． 7.小王大学毕业后光荣地被国家选派去援疆支教，他的亲戚或朋友到机场为小王送行，小王及父母与前来送行的客人一一握手，客人之间也相互握手，但小王及父母之间不握手，共有88次握手，请问送行的客人来了多少人？ 【答案】解：设送行的客人来了x人， 依题意得：（x+3）（x+3﹣1）﹣3＝88， 解得x1＝﹣16（舍去），x2＝11． 答：送行的客人来了11人． 六、与几何图形有关的问题 1.直角三角形中一直角边的长为10，另两边长为连续偶数，则直角三角形的周长为（　　） A.49 B.17 C.60 D.不能确定 【答案】C 【解析】设另一直角边为x，则斜边为x+2，根据勾股定理得（x+2）2＝x2+102，即可求出x，再得出周长即可． 设另一直角边为x，则斜边为x+2， 根据勾股定理得：（x+2）2＝x2+102， 解得x＝24， ∴直角三角形的周长为10+24+26＝60，故C正确． 故选：C． 2.如图1，有一张长32cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是130cm2，则纸盒的高为（　　） A.2cm B.2.5cm C.3cm D.4cm 【答案】C 【解析】设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是130cm2，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是130cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是130cm2， 依题意，得： ×（16﹣2x）＝130， 化简，得：x2﹣24x+63＝0， 解得：x1＝3，x2＝21． 当x＝3时，16﹣2x＝10＞0，符合题意； 当x＝21时，16﹣2x＝﹣26＜0，不符合题意，舍去， 答：若纸盒的底面积是130cm2，纸盒的高为3cm． 故选：C． 3.空地上有一段长为a米的旧墙AB，工人师傅欲利用旧墙和木棚栏围成一个封闭的长方形菜园（如图），已知木栅栏总长为40米，所围成的长方形菜园面积为S平方米．若a＝18，S＝194，则（　　） A.有一种围法 B.有两种围法 C.不能围成菜园 D.无法确定有几种围法 【答案】A 【解析】设长方形EFCD的边EC为x米，则宽DC为（40﹣2x）米，根据长方形面积公式列方程，解方程即可求解． 如图所示，设长方形EFCD的边EC为x米，则宽DC为（40﹣2x）米， 根据题意得：（40﹣2x）x＝194， 即：﹣2x2+40x＝194， 解得：x1＝10+，x2＝10﹣， 而40﹣2x≤18， ∴x≥11， ∴x＝10+ 所以只有一种围法， 故选：A． 4.一个长方形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，长方形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为7cm2；按照图②放置长方形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，长方形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为 　   　． 【答案】8cm2． 【解析】设长方形的长为x，宽为y，根据图①和图②的阴影面积列出方程组，求出x，y的值，再求图③的面积求解即可． 设长方形的长为x，宽为y，由题意，得：， 整理，得：， 把②代入①得：y＝47﹣7x③， 把③代入①得：2x（47﹣7x）＝7x+7（47﹣7x）﹣17， 整理，得：7x2﹣68x+156＝0， 解得：， 当x＝6时，y＝47﹣6×7＝5， 当时，（不合题意，舍去）； ∴长方形的长为6cm，宽为5cm， ∴图③中的阴影面积为：6×5﹣16﹣3×（6﹣4）＝8cm2； 故答案为：8cm2． 5.若直角三角形两条直角边的边长之和为17，面积是30，则该直角三角形的斜边长为 　   　． 【答案】13． 【解析】设直角三角形较短的直角边长为x，则较长的直角边长为（17﹣x），根据该直角三角形的面积是30，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入中，即可求出结论． 设直角三角形较短的直角边长为x，则较长的直角边长为（17﹣x）， 根据题意得：x（17﹣x）＝30， 整理得：x2﹣17x+60＝0， 解得：x1＝5，x2＝12（不符合题意，舍去）， ∴该直角三角形的斜边长为＝＝13． 故答案为：13． 6.如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米． （1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边AB的长； （2）请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由． 【答案】解：（1）设边AB的长为x米，则AD＝77﹣4x+3＝（80﹣4x）米， 根据题意可得x（80﹣4x）＝300， 解得x1＝5，x2＝15， ∵墙的最大可用长度为30米，且当x＝5时，AD＝80﹣4×5＝60（米），不合题意， ∴x＝15米． 答：边AB的长为15米； （2）若羊圈的总面积能为440平方米， 则结合（1）可得 x（80﹣4x）＝440， 整理，得 x2﹣20x+110＝0， ∵Δ＝（﹣20）2﹣4×1×110＝﹣40＜0， ∴羊圈的总面积不能为440平方米． 7.为实现“绿色江夏•和谐江夏”，江夏区政府准备开发城北一块长为32m，宽为21m的长方形空地． （1）方案一：如图1，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1m就是它的右边线．则这块草地的面积为 　　m2； （2）方案二：如图2，将这块空地种上草坪，修纵横两条宽1m的小路，则这块草地的面积为 　     　m2； （3）方案三：修建一个长是宽的1.6倍，面积为432m2的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在25m到30m之间，宽在13m到20m之间．这个篮球场能用做比赛吗？并说明理由． 【答案】解：（1）由平移可知，小路的面积为1×21＝21（m2）， ∴草地的面积为32×21﹣21＝651（m2）， 故答案为：651； （2）由题意知，草地的面积为32×21﹣1×21﹣1×32+12＝620（m2）， 故答案为：620； （3）这个篮球场能用做比赛，理由如下； 设宽为x m，则长为1.6x m， 依题意得，1.6x2＝432， 解得，x2＝270， ∵132＝169＜270＜400＝202， ∴宽满足要求； ∵（1.6x）2＝691.2，252＝625＜691.2＜900＝302， ∴长满足要求； ∴这个篮球场能用做比赛． 七、动态几何问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A出发向终点B以1cm/s的速度移动；同时点Q沿BC边从点B出发向终点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当△PBQ的面积为12cm2时，点P一运动的时间是（　　） A.2s B.2s或6s C.6s D.6s或8s 【答案】A 【解析】利用时间＝路程÷速度，可求出点P，Q到达终点所需时间，当运动时间为t秒时，BP＝（8﹣t）cm，BQ＝2t cm，根据△PBQ的面积为12cm2，可列出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 8÷1＝8（秒），6÷2＝3（秒）． 当运动时间为t秒时，AP＝t cm，BP＝（8﹣t）cm，BQ＝2t cm， 根据题意得：2t×（8﹣t）÷2＝12， 整理得：t2﹣8t＝12， 解得：t1＝2，t2＝6（不符合题意，舍去）， ∴点P的运动时间是2秒． 故选：A． 2.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．当t为（　　）秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的？ A.1.5 B.2 C.3或者1.5 D.以上答案都不对 【答案】B 【解析】当运动时间为t秒时，CP＝t cm，AQ＝2t cm，CQ＝（8﹣2t）cm，根据△PCQ的面积是△ABC面积的，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 当运动时间为t秒时，CP＝t cm，AQ＝2t cm，CQ＝（8﹣2t）cm， 依题意得：t（8﹣2t）＝××4×8， 整理得：t2﹣4t+4＝0， 解得：t1＝t2＝2， ∴当t为2秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的． 故选：B． 3.如图，在Rt△MNC中，∠C＝90°，MC＝6cm，NC＝8cm，P，Q分别是MC，NC上的动点，若点P，Q同时从M，N两点出发分别沿MC，NC方向向点C匀速运动，它们的速度都是1cm/s，则经过（　　）秒后，△PQC的面积为Rt△MCN面积的一半． A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】A 【解析】设经过x秒后△PQC的面积为Rt△MCN面积的一半，则MP＝x，NQ＝x，然后列方程求解即可． 经过x秒后△PQC的面积为Rt△MCN面积的一半， 根据题意，得， 化简得x2﹣14x+24＝0， 解得x1＝2，x2＝12（不符合题意，舍去）， ∴经过2秒后△PQC的面积为Rt△MCN面积的一半． 故选：A． 4.如图，AO＝BO＝6厘米，OC是一条射线，OC⊥AB．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B爬行，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线OC方向爬行，它们同时出发，当点P到达B点时点Q也停止运动．设运动时间为t秒，经过 　               　秒，△POQ的面积为8平方厘米． 【答案】2秒或4秒或3+． 【解析】分两种情况，①当点P在AO上时，②当点P在BO上时，分别根据△POQ的面积为8平方厘米．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 分两种情况： ①当点P在AO上时， 由题意得：（6﹣t）•2t＝8， 整理得：t2﹣6t+8＝0， 解得：t1＝2，t2＝4； ②当点P在BO上时， 由题意得：（t﹣6）•2t＝8， 整理得：t2﹣6t+8＝0， 解得：t3＝3+，t4＝3﹣（不符合题意，舍去）； 综上所述，经过2秒或4秒或3+秒，△POQ的面积为8平方厘米． 故答案为：2秒或4秒或3+． 5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm， （1）AC＝　  　cm； （2）现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是1cm/s，点Q的速度是2cm/s．P、Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动．设运动时间为t秒．当t＝　 　s时，PQ平分△ABC的面积． 【答案】（1）8；（2）2． 【解析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理，即可求出AC的长； （2）利用时间＝路程÷速度，可求出点Q到达终点的时间，当运动时间为t（0＜t≤3）s时，CP＝（8﹣t）cm，CQ＝2t cm，利用三角形的面积公式，结合PQ平分△ABC的面积，可列出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． （1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm， ∴AC＝＝＝8（cm）． 故答案为：8； （2）8÷1＝8（秒），6÷2＝3（秒）． 当运动时间为t（0＜t≤3）s时，AP＝t cm，CP＝（8﹣t）cm，CQ＝2t cm， 根据题意得：CP•CQ＝×AC•BC， 即×2t•（8﹣t）＝××8×6， 整理得：t2﹣8t+12＝0， 解得：t1＝2，t2＝6（不符合题意，舍去）， ∴t＝2s时，PQ平分△ABC的面积． 故答案为：2． 6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．点P、Q同时由A、C两点出发，分别以1cm/s和2cm/s的速度沿线段AC、CB匀速移动，当一点到达终点时，另一点也停止移动． （1）设经过t秒，用含t的代数式表示PC、CQ，PC＝　   　，CQ＝　     　； （2）几秒后，△PCQ的面积是△ABC面积的？ 【答案】解：（1）PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2t cm． 故答案为：（6﹣t）cm，2t cm； （2）依题意有：×2t（6﹣t）＝×6×8×， 解得t1＝2，t2＝4． 故2或4秒后，△PCQ的面积是△ABC面积的． 7.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm，动点M、N分别从点A和点C同时开始移动，点M的速度为2cm/s，点N的速度为3m/s，点M移动到点C后停止，点N移动到点B后停止，问经过几秒，△MCN的面积为36cm2？ 【答案】解：设经过x秒，△MCN的面积为36cm2，依题意有 ×3x（16﹣2x）＝36， 解得x1＝2，x2＝6 经检验x2＝6不符合题意，舍去． 则x＝2． 答：经过2秒，△MCN的面积为36cm2． 学科网（北京）股份有限公司 $$