2.3 一元二次方程的应用 暑假题型专练2024-2025学年浙教版八年级数学下册

浙教版八年级下册 2.3 一元二次方程的应用 暑假题型专练 一、传播问题 1.甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了（　　） A.11人 B.12人 C.13人 D.14人 2.香蕉是河口县的主要农副产品之一，香蕉的种植备受当地各农户的青睐．香蕉种植中，要注意病毒预防，香蕉有一种病叫“香蕉黄叶病”（又称“香蕉巴拿马病”），是一种通过土壤传播的香蕉传染病，染病香蕉逐步枯萎死亡，且因为土壤遗留，发病地区30年以上不能种植香蕉，是香蕉的“不治之症”．如果某农户家的一块香蕉地中有一棵香蕉感染了“巴拿马病毒”，经过两轮传染后有81棵香蕉被传染．请你用学过的知识分析，每轮传染中平均每棵香蕉传染的棵数为（　　） A.8棵 B.9棵 C.10棵 D.11棵 3.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮传播后共有169台电脑被感染，每轮感染过程中平均一台电脑会感染的电脑台数为（　　） A.9 B.10 C.11 D.12 4.已知3人感染了某种传染病毒，经过两轮传染后，感染总人数为108人，则平均每人每轮传染 　   　人． 5.电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有121台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则x＝　  　． 6.冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ （2）若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 7.春季流感，学校有2个人患了流感，经过两轮传染后共有162人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染的人数相同． （1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人； （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 二、增长率问题 1.某电视机厂计划用两年时间把某种型号的电视机成本降低19%，若每年下降的百分比相同，则这个百分数是（　　） A.19% B.10%或9% C.10% D.9% 2.春节是我们国家的传统节日，也是消费旺季，全国各地积极增加市场供应，畅通产销衔接，某商场自元旦以来营业额大增，一月份第一周的营业额为60万元，前三周的营业额共为218.4万元，若第二、三周的平均增长率均为m，则m的值为（　　） A.10% B.15% C.20% D.25% 3.受油价上涨等因素刺激，传统燃油汽车市场进入“寒冬”期，但新能源汽车迎来了销量春天．据统计，2020年我国新能源汽车累计销量为150万辆，销量逐年增加，预计到2022年销量达到486万辆．若2020年到2022年的年平均增长率为x，则x的值为（　　） A.80% B.120% C.112% D.150% 4.某商品原价100元，连续两次涨价后，售价为144元．若平均增长率为x，则x＝　  　． 5.国产动画电影《舒克贝塔•五角飞碟》于2024年元旦档上映，电影的点映及预售总票房突破400万元，若票房以后每天按相同的增长率m增长，则一天后票房总收入将达到 　 　        万元．（用含m的代数式表示） 6.近几年随着网购的流行，实体经济受到严重影响，但商家为了确保利润，不会轻易降价销售．友谊商店在2021年至2023年期间销售一种礼盒．2021年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2023年，这种礼盒的进价比2021年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2021年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒． （1）2021年这种礼盒的进价是多少元/盒？ （2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？ 7.为了推进“绿美潮州”生态建设，潮州市某公司加快技术升级改造，2023年第一季度A产品的生产成本是每件200元，技术升级改造后，A产品的生产成本逐季度下降，第三季度A产品的生产成本是每件128元，若A产品生产成本每个季度的平均下降率都相同．求该产品生产成本每个季度的平均下降率是多少． 三、数字问题 1.已知一个两位数等于它个位上的数的平方，并且十位上的数字比个位上的数字小3，则这个两位数为（　　） A.25 B.25或36 C.36 D.﹣25或﹣36 2.一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，这个两位数是（　　） A.36 B.72 C.36或63 D.27或72 3.有一个三位数，其个位、十位、百位的数字是三个连续整数，并且个位数字与百位数字的平方和是十位数字的5倍．则这个三位数是（　　） A.321 B.123 C.321或123 D.±123或±321 4.有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，这个两位数为 　    　． 5.已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是 　   　． 6.一个两位数的两个数字之和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，他与原两位数的积为1458，求原两位数． 7.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小2，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小36，求原来的两位数． 四、球赛问题 1.某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则九年级班级的个数为（　　） A.5 B.6 C.7 D.8 2.某女子冰壶比赛有若干支队伍参加了双循环比赛，双循环比赛共进行了56场，共有多少支队伍参加比赛？（　　） A.8 B.10 C.7 D.9 3.某学校组织一次足球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划组织x支球队参加，安排36场比赛，则x为（　　） A.6 B.7 C.8 D.9 4.县工会计划组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排早、午、晚共3场比赛，比赛组织者应邀请 　 　支队参赛． 5.某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛，则比赛组织者应邀请 　  　个队参赛． 6.第六届“粤港杯”男子篮球赛在广东恩平落幕，广东队顺利捧杯豪取五连冠．若参加比赛的每两队之间都进行1场比赛，一共比赛120场，共有多少个队参加该比赛？ 7.某校乒乓球队举行队内比赛，比赛规则是每两个队员之间都赛一场，每场比赛都要分出胜负，每一场比赛结束后依据胜负给出相应积分，本次比赛一共进行了210场，用时两天完成，下面是第一天比赛结束后部分队员的积分表： （1）在本次比赛中，有一名队员只输掉了一场比赛，则该名队员的积分是多少？ （2）如果有一名队员在本次比赛中的积分不低于34分，那么他最多负 　   　场． 五、握手或互赠礼物问题 1.九年级某班的每位同学都将自己的相片向全班其他同学各赠送一张作为留念，全班共送出2450张相片，则这个班共有多少个学生（　　） A.49 B.50 C.51 D.52 2.毕业10年后，某班同学聚会，见面时相互间均握了一次手，一共握手的次数为780，则这次参加聚会的同学有（　　） A.38人 B.40人 C.41人 D.42人 3.科学兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，那么全组共有（　　）名学生． A.12 B.12或66 C.15 D.33 4.某生物兴趣小组的学生将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一个，全组共互赠了72个．则该兴趣小组共有 　  　名学生． 5. “国庆”节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手10次，则参加聚会的人数是 　  　人． 6.毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品30件，则该兴趣小组的人数为多少？ 7.在一次聚会上，规定每两人见面必须握手，且只握手1次． （1）若参加聚会的人数为4，共握手 　  　次；若参加聚会的人数为n（n为正整数），共握手 　  　次； （2）若参加聚会的人共握手45次，求参加聚会的人数； （3）嘉琪由握手问题想到了一个数学问题：有m个即将初中毕业的学生在一起聚会，每两个人之间互送一张照片，共送出 　   　张照片． 六、与几何图形有关的问题 1.从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条，剩下的面积是48m2，则原来这块木板的边长是（　　） A.10m B.8m C.11m D.6m 2.直角三角形的三边长是连续偶数，则三边长分别是（　　） A.2，4，6 B.4，6，8 C.6，8，10 D.8，10，12 3.一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积是9cm2，则较长的直角边的长为（　　）cm． A. B.2 C.3 D.6 4.若直角三角形两条直角边的边长之和为17，面积是30，则该直角三角形的斜边长为 　   　． 5.如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2，则图中x的值为 　   　． 6.学校体育组准备在操场上划出一块长方形区域开展跳绳比赛，比赛区域包括六块相同的跳绳场地及预留道路，如图是比赛区域的规划图，现知道每块跳绳场地的长是宽的两倍（场地间空隙忽略不计），预留道路的宽度为4米，比赛区域的总面积为144平方米．请你根据以上信息，求比赛区域的长和宽分别是多少米？ 7.临近春节，安全先行，为保障人们的人身财产安全，有效遏制燃放烟花爆竹所产生的噪声和空气污染以及消防安全隐患，小华要为小区的一个长6分米，宽4分米的长方形“安全、环保度佳节倡议书”四周外围添加一个边框，要求边框的上下左右宽度相等，且边框面积与倡议书内容所占面积相等．求小华添加的边框的宽度． 七、动态几何问题 1.如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，△PCQ的面积等于4． A.1 B.2 C.4 D.1或4 2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A出发向终点B以1cm/s的速度移动；同时点Q沿BC边从点B出发向终点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当△PBQ的面积为12cm2时，点P一运动的时间是（　　） A.2s B.2s或6s C.6s D.6s或8s 3.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．当t为（　　）秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的？ A.1.5 B.2 C.3或者1.5 D.以上答案都不对 4.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝24cm，AC＝16cm，现有动点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，经过 　     　秒，△APQ的面积是△ABC面积的一半？ 5.如图，AO＝BO＝6厘米，OC是一条射线，OC⊥AB．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B爬行，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线OC方向爬行，它们同时出发，当点P到达B点时点Q也停止运动．设运动时间为t秒，经过 　               　秒，△POQ的面积为8平方厘米． 6.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以4cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）． （1）当运动时间为t（s）时，CP＝　  　cm，CQ＝　       　cm；（用含t的代数式表示） （2）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值． 7.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动．与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．点P、Q分别从点A，B同时出发，当点Q移动到点C时，两点停止移动．设移动时间为t s．（t＞0） （1）填空：BQ＝　   　cm，PB＝　    　cm；（用含t的代数式表示） （2）是否存在t的值，使得△PBQ的面积为4cm2？若存在请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 浙教版八年级下册 2.3 一元二次方程的应用 暑假题型专练（参考答案） 一、传播问题 1.甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了（　　） A.11人 B.12人 C.13人 D.14人 【答案】D 【解析】传染源为1人，每次传播x人，第一轮传播后，感染的人数一共为（x+1）人，（x+1）人则成为第二轮的传染源，因此第二轮感染的人数为x（x+1）人，根据两轮感染的总人数196即可列出方程求解． 设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 根据题意，得x+1+（x+1）x＝225， 解得：x＝14或x＝﹣16（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了14个人． 故选：D． 2.香蕉是河口县的主要农副产品之一，香蕉的种植备受当地各农户的青睐．香蕉种植中，要注意病毒预防，香蕉有一种病叫“香蕉黄叶病”（又称“香蕉巴拿马病”），是一种通过土壤传播的香蕉传染病，染病香蕉逐步枯萎死亡，且因为土壤遗留，发病地区30年以上不能种植香蕉，是香蕉的“不治之症”．如果某农户家的一块香蕉地中有一棵香蕉感染了“巴拿马病毒”，经过两轮传染后有81棵香蕉被传染．请你用学过的知识分析，每轮传染中平均每棵香蕉传染的棵数为（　　） A.8棵 B.9棵 C.10棵 D.11棵 【答案】A 【解析】设每轮传染中平均每棵香蕉传染的棵数为x棵，由一棵香蕉感染了“巴拿马病毒”经过两轮传染后有81棵香蕉被传染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 设每轮传染中平均每棵香蕉传染的棵数为x棵， 依题意得：（1+x）2＝81， 解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）． 故选：A． 3.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮传播后共有169台电脑被感染，每轮感染过程中平均一台电脑会感染的电脑台数为（　　） A.9 B.10 C.11 D.12 【答案】D 【解析】设每轮感染过程中平均一台电脑会感染x台电脑，根据“一台电脑被感染，经过两轮的传播就会共有169台电脑被感染”，列出一元二次方程，解之取其正值即可． 设每轮感染过程中平均一台电脑会感染x台电脑， 依题意得：（1+x）2＝169， 解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合题意，舍去）， 即每轮感染过程中平均一台电脑会感染12台电脑， 故选：D． 4.已知3人感染了某种传染病毒，经过两轮传染后，感染总人数为108人，则平均每人每轮传染 　   　人． 【答案】5． 【解析】设1个人传染x人，第一轮共传染（x+1）人，第二轮共传染（x+1）2人，由此列方程解答，再进一步求问题的答案． 设每个人传染x人，根据题意列方程得， 3（x+1）2＝108， 解得x1＝5，x2＝﹣8（不合题意，舍去）， 故答案为：5． 5.电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有121台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则x＝　  　． 【答案】10． 【解析】设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了x台电脑，这（x+1）台电脑又感染给了x（1+x）台电脑．等量关系：经过两轮感染后就会有121台电脑被感染，然后可列方程进行求解． 每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑， 列方程得：1+x+x（1+x）＝121， ∴x2+2x﹣120＝0， 解得：x1＝﹣12（舍去），x2＝10． 答：每轮感染中平均一台电脑会感染10台电脑． 故答案为：10． 6.冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ （2）若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 【答案】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人， 由题意得：1+x+（1+x）x＝64， 解得：x＝7，x＝﹣9（不合题意舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了7人； （2）第三轮感染的人数＝64×7＝448（人）， ∴第三轮感染后，患流感的总人数为：448+64＝512（人）， 答：第三轮感染后，患流感的共有512人． 7.春季流感，学校有2个人患了流感，经过两轮传染后共有162人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染的人数相同． （1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人； （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 【答案】解：（1）设平均一人传染了x人， x+1+（x+1）x＝162÷2， 解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染8个人． （2）162+162×8＝1458（人）． 答：经过三轮传染后共有1458人会患流感． 二、增长率问题 1.某电视机厂计划用两年时间把某种型号的电视机成本降低19%，若每年下降的百分比相同，则这个百分数是（　　） A.19% B.10%或9% C.10% D.9% 【答案】C 【解析】如果把第1年的成本设为a，设平均每年下降的百分率为x，那么第2年的成本为（1﹣x）a元，第3年的成本为a（1﹣x）2元，而此时的成本为（1﹣19%）a元，根据这个等量关系列出方程． 设每年下降的百分率为x，原成本价是a元， 由题意，可得（1﹣x）（1﹣x）a＝（1﹣19%）a， 解得x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意舍去）． 所以平均每年下降的百分率为10%． 故选：C． 2.春节是我们国家的传统节日，也是消费旺季，全国各地积极增加市场供应，畅通产销衔接，某商场自元旦以来营业额大增，一月份第一周的营业额为60万元，前三周的营业额共为218.4万元，若第二、三周的平均增长率均为m，则m的值为（　　） A.10% B.15% C.20% D.25% 【答案】C 【解析】由一月份第一周的营业额及第二、三周营业额的平均增长率，可得出第二周的营业额为60（1+m）万元，第三周的营业额为60（1+m）2万元，结合前三周的营业额共为218.4万元，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． ∵一月份第一周的营业额为60万元，且第二、三周的平均增长率均为m， ∴第二周的营业额为60（1+m）万元，第三周的营业额为60（1+m）2万元． 根据题意得：60+60（1+m）+60（1+m）2＝218.4， 整理得：25m2+75m﹣16＝0， 解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣3.2（不符合题意，舍去）， ∴m的值为20%． 故选：C． 3.受油价上涨等因素刺激，传统燃油汽车市场进入“寒冬”期，但新能源汽车迎来了销量春天．据统计，2020年我国新能源汽车累计销量为150万辆，销量逐年增加，预计到2022年销量达到486万辆．若2020年到2022年的年平均增长率为x，则x的值为（　　） A.80% B.120% C.112% D.150% 【答案】A 【解析】由2020年到2022年的年平均增长率为x，可得：150（1+x）2＝486，即可解得平均增长率为80%． 2020年到2022年的年平均增长率为x， 根据题意得：150（1+x）2＝486， 解得：x＝0.8或x＝﹣2.8（舍去）， ∴平均增长率为80%， 故选：A． 4.某商品原价100元，连续两次涨价后，售价为144元．若平均增长率为x，则x＝　  　． 【答案】见试题解答内容10%． 【解析】根据原价为100元，连续两次涨价x后，现价为144元，根据增长率的求解方法，列方程求x． 依题意，有：100（1+x）2＝144， 1+x＝±1.2， 解得：x＝20%或﹣2.2（舍去）． 故答案为：20%． 5.国产动画电影《舒克贝塔•五角飞碟》于2024年元旦档上映，电影的点映及预售总票房突破400万元，若票房以后每天按相同的增长率m增长，则一天后票房总收入将达到 　 　        万元．（用含m的代数式表示） 【答案】400（1+m）． 【解析】因为票房以后每天按相同的增长率m增长，一天后 票房总收入将达到400（1+m）万元． ∵票房以后每天按相同的增长率m增长，一天后票房总收入将达到400（1+m）万元． 故答案为：400（1+m）． 6.近几年随着网购的流行，实体经济受到严重影响，但商家为了确保利润，不会轻易降价销售．友谊商店在2021年至2023年期间销售一种礼盒．2021年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2023年，这种礼盒的进价比2021年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2021年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒． （1）2021年这种礼盒的进价是多少元/盒？ （2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？ 【答案】解：（1）设2021年这种礼盒的进价是x元/盒，则2023年这种礼盒的进价是（x﹣11）元/盒， 依题意，得：＝， 解得：x＝35， 经检验，x＝35是原方程的解，且符合题意． 答：2021年这种礼盒的进价是35元/盒． （2）2021年及2023年购进这种礼盒的数量为3500÷35＝100（盒）． 设该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率为y， 依题意，得：（60﹣35）×100（1+y）2＝（60﹣35+11）×100， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率为20%． 7.为了推进“绿美潮州”生态建设，潮州市某公司加快技术升级改造，2023年第一季度A产品的生产成本是每件200元，技术升级改造后，A产品的生产成本逐季度下降，第三季度A产品的生产成本是每件128元，若A产品生产成本每个季度的平均下降率都相同．求该产品生产成本每个季度的平均下降率是多少． 【答案】解：设该产品生产成本每个季度的平均下降率是x， 根据题意得：200（1﹣x）2＝128， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去）． 答：该产品生产成本每个季度的平均下降率是20%． 三、数字问题 1.已知一个两位数等于它个位上的数的平方，并且十位上的数字比个位上的数字小3，则这个两位数为（　　） A.25 B.25或36 C.36 D.﹣25或﹣36 【答案】B 【解析】设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+3），根据该两位数等于它个位上的数的平方，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，进而即可得出该两位数． 设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+3）， 根据题意得：10x+x+3＝（x+3）2， 整理得：x2﹣5x+6＝0， 解得：x＝2或x＝3， ∴x+3＝5或x+3＝6， ∴这个两位数为25或36． 故选：B． 2.一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，这个两位数是（　　） A.36 B.72 C.36或63 D.27或72 【答案】C 【解析】设十位数字为x，则个位数字为（9﹣x），根据这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合这个两位数是[10x+（9﹣x）]，即可得出这个两位数是36或63． 设十位数字为x，则个位数字为（9﹣x）， 依题意得：x（9﹣x）＝2×9， 整理得：x2﹣9x+18＝0， 解得：x1＝3，x2＝6． 当x＝3时，9﹣x＝9﹣3＝6，此时这个两位数是3×10+6＝36； 当x＝6时，9﹣x＝9﹣6＝3，此时这个两位数是6×10+3＝63． 故选：C． 3.有一个三位数，其个位、十位、百位的数字是三个连续整数，并且个位数字与百位数字的平方和是十位数字的5倍．则这个三位数是（　　） A.321 B.123 C.321或123 D.±123或±321 【答案】D 【解析】直接利用已知个位、十位、百位的数字是三个连续整数假设出各数，再利用个位数字与百位数字的平方和是十位数字的5倍得出等式求出即可． 设十位数字为x，则个位数字为：x﹣1，百位数字为：x+1， 根据题意可得：（x﹣1）2+（x+1）2＝5x， 解得：x1＝2，x2＝0.5（不合题意舍去）， 则个位数字为：x﹣1＝1，百位数字为：x+1＝3， 故这个三位数是：321， 当设十位数字为x，则个位数字为：x+1，百位数字为：x﹣1， 根据题意可得：（x﹣1）2+（x+1）2＝5x， 解得：x1＝2，x2＝0.5（不合题意舍去）， 则个位数字为：x+1＝3，百位数字为：x11＝1， 故这个三位数是：123， 同理可得：这个三位数可以为：±123或±321． 故选：D． 4.有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，这个两位数为 　    　． 【答案】见试题解答内容 【解析】设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+2），根据十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+2）， 根据题意得：3x（x+2）＝10x+（x+2）， 整理得：3x2﹣5x﹣2＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣（不合题意，舍去）， ∴x+2＝4， ∴这个两位数为24． 故答案为：24． 5.已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是 　   　． 【答案】84． 【解析】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为（x+4），根据个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其非负整数代入[10（x+4）+x]中即可求出结论． 设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为（x+4）， 依题意得：x2+（x+4）2﹣[10（x+4）+x]＝﹣4， 整理得：2x2﹣3x﹣20＝0 解得：x1＝4，x2＝﹣． 又∵x为非负整数， ∴x＝4， ∴10（x+4）+x＝10×（4+4）+4＝84． 故答案为：84． 6.一个两位数的两个数字之和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，他与原两位数的积为1458，求原两位数． 【答案】解：设个位数字为x，则十位数字为（9﹣x）．则 [10x+（9﹣x）][10（9x）+x]＝1458 整理，得 （x﹣8）（x﹣1）＝0， 解得x＝8或x＝1 答：这个两位数是81或18． 7.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小2，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小36，求原来的两位数． 【答案】解：设个位数字为x，则十位数字为x2﹣2，由题意得： 10（x2﹣2）+x﹣（10x+x2﹣2）＝36， 解得：x1＝3，x2＝﹣2（不合题意，舍去）， 十位数字：32﹣2＝7， 这个两位数为：73， 答：原来的两位数73． 四、球赛问题 1.某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则九年级班级的个数为（　　） A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】B 【解析】设九年级共有x个班，根据“赛制为单循环形式，且共需安排15场比赛”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出九年级的班级数． 设九年级共有x个班， 依题意得：x（x﹣1）＝15， 整理得：x2﹣x﹣30＝0， 解得：x1＝﹣5（不合题意，舍去），x2＝6． 故选：B． 2.某女子冰壶比赛有若干支队伍参加了双循环比赛，双循环比赛共进行了56场，共有多少支队伍参加比赛？（　　） A.8 B.10 C.7 D.9 【答案】A 【解析】设有x支队伍，根据双循环比赛的制度规则，一共要赛x（x﹣1）场． 设有x支队伍． 由题意得：x（x﹣1）＝56． 解得：x1＝8，x2＝﹣7（舍）． 故选：A． 3.某学校组织一次足球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划组织x支球队参加，安排36场比赛，则x为（　　） A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】D 【解析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 根据题意得：x（x﹣1）＝36， 整理得：x2﹣x﹣72＝0， 解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合题意，舍去）， ∴x的值为9． 故选：D． 4.县工会计划组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排早、午、晚共3场比赛，比赛组织者应邀请 　 　支队参赛． 【答案】7． 【解析】设比赛组织者应邀请x支队参赛，根据每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排早、午、晚共3场比赛，列出方程进行求解即可． 设比赛组织者应邀请x支队参赛，由题意，得：， 解得：x＝7或x＝﹣6（舍去）； 答：比赛组织者应邀请7支队参赛． 故答案为：7． 5.某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛，则比赛组织者应邀请 　  　个队参赛． 【答案】见试题解答内容 【解析】设比赛组织者应邀请x个队参赛，根据共赛2×5场，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 设比赛组织者应邀请x个队参赛， 依题意，得：x（x﹣1）＝2×5， 整理，得：x2﹣x﹣20＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣4（舍去）． 故答案为：5． 6.第六届“粤港杯”男子篮球赛在广东恩平落幕，广东队顺利捧杯豪取五连冠．若参加比赛的每两队之间都进行1场比赛，一共比赛120场，共有多少个队参加该比赛？ 【答案】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， 解：设共有x个队参加该比赛． 根据题意，得， 解得x＝16或x＝﹣15（舍去）． ∴共有16个队参加该比赛． 7.某校乒乓球队举行队内比赛，比赛规则是每两个队员之间都赛一场，每场比赛都要分出胜负，每一场比赛结束后依据胜负给出相应积分，本次比赛一共进行了210场，用时两天完成，下面是第一天比赛结束后部分队员的积分表： （1）在本次比赛中，有一名队员只输掉了一场比赛，则该名队员的积分是多少？ （2）如果有一名队员在本次比赛中的积分不低于34分，那么他最多负 　   　场． 【答案】解：（1）设在本次比赛共有x个队员参加比赛， 由表格得赢一场比赛得20÷10＝2（分），输掉一场比赛得7÷7＝1（分）， 由题意得x（x﹣1）＝210，解得x＝21（负值舍去）， ∴共有21个队员参加比赛， ∴每个队员一共比赛20场， 有一名队员只输掉了一场比赛，则该名队员的积分是（20﹣1）×2+1＝39（分）， 答：该名队员的积分是39分； （2）设该名队员在本次比赛中最多负y场， 由题意得（20﹣y）×2+y≥34，解得y≤6， ∴该名队员在本次比赛中最多负6场， 故答案为：6． 五、握手或互赠礼物问题 1.九年级某班的每位同学都将自己的相片向全班其他同学各赠送一张作为留念，全班共送出2450张相片，则这个班共有多少个学生（　　） A.49 B.50 C.51 D.52 【答案】B 【解析】设全班有x名同学，则每人送出（x﹣1）张相片，共送出x（x﹣1）张相片，进而可列出方程，解方程即可求出答案． 设全班有x名同学，则每人送出（x﹣1）张相片， 根据题意得x（x﹣1）＝2450， 即x2﹣x﹣2450＝0， （x﹣50）（x+49）＝0， 解得x1＝50，x2＝﹣49（舍去）． 即全班有50名学生． 故选：B． 2.毕业10年后，某班同学聚会，见面时相互间均握了一次手，一共握手的次数为780，则这次参加聚会的同学有（　　） A.38人 B.40人 C.41人 D.42人 【答案】B 【解析】设这次参加聚会的同学有x人，利用握手的总次数＝这次参加聚会的同学人数×（这次参加聚会的同学人数﹣1）÷2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 设这次参加聚会的同学有x人， 根据题意得：x（x﹣1）＝780， 整理得：x2﹣x﹣1560＝0， 解得：x1＝40，x2＝﹣39（不符合题意，舍去）， ∴这次参加聚会的同学有40人． 故选：B． 3.科学兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，那么全组共有（　　）名学生． A.12 B.12或66 C.15 D.33 【答案】A 【解析】设全组共有x名学生，每一个人赠送x﹣1件，全组共互赠了x（x﹣1）件，共互赠了132件，可得到方程，求解即可． 设全组共有x名学生，由题意得 x（x﹣1）＝132 解得：x1＝﹣11（不合题意舍去），x2＝12， 答：全组共有12名学生． 故选：A． 4.某生物兴趣小组的学生将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一个，全组共互赠了72个．则该兴趣小组共有 　  　名学生． 【答案】9． 【解析】先求每名同学赠的标本，再求x名同学赠的标本，而已知全组共互赠了72个，故根据等量关系可得到方程，求解即可． 设全组有x名同学， 则每名同学所赠的标本为：（x﹣1）个， 那么x名同学共赠：x（x﹣1）个， 则x（x﹣1）＝72， 解得x1＝﹣8（不合题意舍去），x2＝9． 故全组共有9名同学． 故答案为：9． 5. “国庆”节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手10次，则参加聚会的人数是 　  　人． 【答案】5． 【解析】根据“见面时每两人都握了一次手，所有人共握手10次”，设有x个同学参加这次聚会，列出关于x的一元二次方程，解之即可． 根据题意得： ＝10， 解得：x1＝﹣4（舍去），x2＝5， 答：这次同学聚会有5人， 故答案为：5． 6.毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品30件，则该兴趣小组的人数为多少？ 【答案】解：设该兴趣小组的人数为x人，则每个同学需送出（x﹣1）件礼物， 依题意，得：x（x﹣1）＝30， 解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）． 答：该兴趣小组的人数为6人． 7.在一次聚会上，规定每两人见面必须握手，且只握手1次． （1）若参加聚会的人数为4，共握手 　  　次；若参加聚会的人数为n（n为正整数），共握手 　  　次； （2）若参加聚会的人共握手45次，求参加聚会的人数； （3）嘉琪由握手问题想到了一个数学问题：有m个即将初中毕业的学生在一起聚会，每两个人之间互送一张照片，共送出 　   　张照片． 【答案】解：（1）参加聚会的人数为4，则共握手×4×3＝6（次）； 参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手n（n﹣1）次． 故答案为：6；n（n﹣1）. （2）设有x 人参加聚会，根据题意得， x（x﹣1）＝45， 解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）， 答：参加聚会的有10人； （3）根据题意得m（m﹣1）（张）． 答：共送出m（m﹣1）张照片， 故答案为：m（m﹣1）． 六、与几何图形有关的问题 1.从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条，剩下的面积是48m2，则原来这块木板的边长是（　　） A.10m B.8m C.11m D.6m 【答案】B 【解析】设原来这块木板的边长是x m，则剩下长方形的长是x m，宽是（x﹣2）m，根据剩下的面积是48m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 设原来这块木板的边长是x m，则剩下长方形的长是x m，宽是（x﹣2）m， 根据题意得：x（x﹣2）＝48， 整理得：x2﹣2x﹣48＝0， 解得：x1＝8，x2＝﹣6（不符合题意，舍去）， ∴原来这块木板的边长是8m． 故选：B． 2.直角三角形的三边长是连续偶数，则三边长分别是（　　） A.2，4，6 B.4，6，8 C.6，8，10 D.8，10，12 【答案】C 【解析】根据连续偶数相差是2，设中间的偶数是x，则另外两个是x﹣2，x+2根据勾股定理即可解答． 根据连续偶数相差是2，设中间的偶数是x，则另外两个是x﹣2，x+2根据勾股定理，得 （x﹣2）2+x2＝（x+2）2， x2﹣4x+4+x2＝x2+4x+4， x2﹣8x＝0， x（x﹣8）＝0， 解得x＝8或0（0不符合题意，应舍去）， 所以它的三边是6，8，10． 故选：C． 3.一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积是9cm2，则较长的直角边的长为（　　）cm． A. B.2 C.3 D.6 【答案】D 【解析】设较长的直角边的长为x cm，则较短的直角边的长为（x﹣3）cm，由三角形面积公式列出一元二次方程，解方程取其正值即可． 设较长的直角边的长为x cm，则较短的直角边的长为（x﹣3）cm， 由题意得：x（x﹣3）＝9， 解得：x1＝6，x2＝﹣3（不符合题意舍去）， ∴x＝6， 即较长的直角边的长为6cm， 故选：D． 4.若直角三角形两条直角边的边长之和为17，面积是30，则该直角三角形的斜边长为 　   　． 【答案】13． 【解析】设直角三角形较短的直角边长为x，则较长的直角边长为（17﹣x），根据该直角三角形的面积是30，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入中，即可求出结论． 设直角三角形较短的直角边长为x，则较长的直角边长为（17﹣x）， 根据题意得：x（17﹣x）＝30， 整理得：x2﹣17x+60＝0， 解得：x1＝5，x2＝12（不符合题意，舍去）， ∴该直角三角形的斜边长为＝＝13． 故答案为：13． 5.如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2，则图中x的值为 　   　． 【答案】1m． 【解析】由题意：剩余绿地的面积为224m2，列出一元二次方程，解方程即可． 根据题意得：（18﹣2x）（15﹣x）＝224， 整理得：x2﹣24x+23＝0， 解得：x1＝1，x2＝23（不符合题意，舍去）， 即图中x的值为1m， 故答案为：1m． 6.学校体育组准备在操场上划出一块长方形区域开展跳绳比赛，比赛区域包括六块相同的跳绳场地及预留道路，如图是比赛区域的规划图，现知道每块跳绳场地的长是宽的两倍（场地间空隙忽略不计），预留道路的宽度为4米，比赛区域的总面积为144平方米．请你根据以上信息，求比赛区域的长和宽分别是多少米？ 【答案】解：设跳绳场地的宽为x米，则跳绳场地的长为2x米，比赛区域的长为2x+4+2x＝（4x+4）米，宽为3x米， 根据题意得：（4x+4）•3x＝144， 整理得：x2+x﹣12＝0， 解得：x1＝3，x2＝﹣4（不符合题意，舍去）， ∴4x+4＝4×3+4＝16（米）， 3x＝3×3＝9（米）． 答：比赛区域的长是16米，宽是9米． 7.临近春节，安全先行，为保障人们的人身财产安全，有效遏制燃放烟花爆竹所产生的噪声和空气污染以及消防安全隐患，小华要为小区的一个长6分米，宽4分米的长方形“安全、环保度佳节倡议书”四周外围添加一个边框，要求边框的上下左右宽度相等，且边框面积与倡议书内容所占面积相等．求小华添加的边框的宽度． 【答案】解：设小华添加的边框的宽度应是x分米， 依题意，得：（6+2x）（4+2x）﹣6×4＝6×4， 解得：x1＝1，x2＝﹣6（不合题意，舍去）． 答：小华添加的边框的宽度应是1分米． 七、动态几何问题 1.如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，△PCQ的面积等于4． A.1 B.2 C.4 D.1或4 【答案】A 【解析】设t秒后，△PCQ的面积等于4，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可． 设t秒后，△PCQ的面积等于4， 由题意得：BP＝t，CQ＝2t，则CP＝5﹣t， ∵S△PCQ＝CQ•CP， ∴4＝×2t×（5﹣t）， 整理得：t2﹣5t+4＝0， 解得：t1＝1，t2＝4（不合题意，舍去）， 即1秒后，△PCQ的面积等于4， 故选：A． 2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A出发向终点B以1cm/s的速度移动；同时点Q沿BC边从点B出发向终点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当△PBQ的面积为12cm2时，点P一运动的时间是（　　） A.2s B.2s或6s C.6s D.6s或8s 【答案】A 【解析】利用时间＝路程÷速度，可求出点P，Q到达终点所需时间，当运动时间为t秒时，BP＝（8﹣t）cm，BQ＝2t cm，根据△PBQ的面积为12cm2，可列出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 8÷1＝8（秒），6÷2＝3（秒）． 当运动时间为t秒时，AP＝t cm，BP＝（8﹣t）cm，BQ＝2t cm， 根据题意得：2t×（8﹣t）÷2＝12， 整理得：t2﹣8t＝12， 解得：t1＝2，t2＝6（不符合题意，舍去）， ∴点P的运动时间是2秒． 故选：A． 3.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．当t为（　　）秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的？ A.1.5 B.2 C.3或者1.5 D.以上答案都不对 【答案】B 【解析】当运动时间为t秒时，CP＝t cm，AQ＝2t cm，CQ＝（8﹣2t）cm，根据△PCQ的面积是△ABC面积的，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 当运动时间为t秒时，CP＝t cm，AQ＝2t cm，CQ＝（8﹣2t）cm， 依题意得：t（8﹣2t）＝××4×8， 整理得：t2﹣4t+4＝0， 解得：t1＝t2＝2， ∴当t为2秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的． 故选：B． 4.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝24cm，AC＝16cm，现有动点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，经过 　     　秒，△APQ的面积是△ABC面积的一半？ 【答案】2或12． 【解析】设经过x秒△APQ的面积是△ABC面积的一半，根据点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s表示出BP＝4xcm，CQ＝2xcm，进而表示出AP＝（24﹣4x）cm，AQ＝（16﹣2x）cm，利用面积表示出方程求解即可． 设经过x秒△APQ的面积是△ABC面积的一半， ∵点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s， ∴BP＝4xcm，CQ＝2xcm， （1）当AP＝（24﹣4x）cm，AQ＝（16﹣2x）cm， 根据题意得：（24﹣4x）（16﹣2x）＝××24×16， 整理得x2﹣14x+24＝0， 解得：x＝2或x＝12（舍去）． （2）当AP＝（4x﹣24）cm，AQ＝（2x﹣16）cm， 根据题意得：（4x﹣24）（2x﹣16）＝××24×16， 整理得x2﹣14x+24＝0， 解得：x＝2（舍去）或x＝12． 故答案为：2或12． 5.如图，AO＝BO＝6厘米，OC是一条射线，OC⊥AB．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B爬行，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线OC方向爬行，它们同时出发，当点P到达B点时点Q也停止运动．设运动时间为t秒，经过 　               　秒，△POQ的面积为8平方厘米． 【答案】2秒或4秒或3+． 【解析】分两种情况，①当点P在AO上时，②当点P在BO上时，分别根据△POQ的面积为8平方厘米．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 分两种情况： ①当点P在AO上时， 由题意得：（6﹣t）•2t＝8， 整理得：t2﹣6t+8＝0， 解得：t1＝2，t2＝4； ②当点P在BO上时， 由题意得：（t﹣6）•2t＝8， 整理得：t2﹣6t+8＝0， 解得：t3＝3+，t4＝3﹣（不符合题意，舍去）； 综上所述，经过2秒或4秒或3+秒，△POQ的面积为8平方厘米． 故答案为：2秒或4秒或3+． 6.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以4cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）． （1）当运动时间为t（s）时，CP＝　  　cm，CQ＝　       　cm；（用含t的代数式表示） （2）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值． 【答案】解：（1）当运动时间为t（s）时，CP＝2t cm，AQ＝4t cm， ∴CQ＝AC﹣AQ＝（16﹣4t）cm． 故答案为：2t，（16﹣4t）； （2）根据题意得：CP•CQ＝×BC•AC， 即×2t•（16﹣4t）＝××8×16， 整理得：t2﹣4t+4＝0， 解得：t1＝t2＝2． 答：t的值为2． 7.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动．与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．点P、Q分别从点A，B同时出发，当点Q移动到点C时，两点停止移动．设移动时间为t s．（t＞0） （1）填空：BQ＝　   　cm，PB＝　    　cm；（用含t的代数式表示） （2）是否存在t的值，使得△PBQ的面积为4cm2？若存在请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）由题意得：BQ＝2t（cm），PB＝（5﹣t）cm， 故答案为：2t，（5﹣t）； （2）存在，理由如下： 由题意得：×2t×（5﹣t）＝4， 解得：t1＝1，t2＝4（不符合题意，舍去）， ∴存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2，此时t的值为1． 学科网（北京）股份有限公司 $$