精品解析：湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高一下学期期末联考数学试卷

武汉市部分重点中学2024—2025学年度下学期期末联考 高一数学 命题单位：武汉市第十一中学 审题单位：圆创教育研究中心 武汉市第一中学 本试卷共4页，19题．满分150分．考试用时120分钟． 考试时间：2025年6月25日下午14：00—16：00 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答題卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在高一下学期期中考试后，数学老师随机抽取了6名同学第19题的得分情况如下：3，9，5，8，4，1，则这组数据的平均数和极差分别为（ ） A. 5，8 B. 6，8 C. 5，7 D. 6，7 2. 已知复数z满足，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 水平放置的三角形的直观图如图，其中，那么原三角形是一个（ ） A. 等边三角形 B. 腰和底边不相等的等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 4. 如图，某同学为了测量长江对岸的武汉龟山电视塔塔高时，选取与龟山电视塔塔底B在同一水平面内蛇山上两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（ ） A. B. C. D. 5. 某汽车调查研究机构从4辆燃油车和2辆新能源车中随机选出3辆去参加一项智能驾驶测试大赛，则选出的3辆中至少有1辆新能源车的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 设a，b表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若a，b是两条平行直线，且，则 B. 若a，b是两条异面直线，与a，b都相交的两条直线是异面直线 C. 若，则 D. 若a，b是两条异面直线，且，则 7. 把某班五名学生在一周内阅读数学竞赛书籍的时间1，2，3，4，5（单位：小时）作为一组样本数据，现增加统计两位学生，他们一周内阅读数学竞赛书籍的时间分别为正整数m、n（单位：小时），与原有样本数据一起构成一组新样本数据，与原组样本数据比较，下列说法正确的是（ ） A. 若，则方差不变 B. 若极差不变，则 C. 若，则中位数变大 D. 若平均数不变，则 8. 在中，A，B，C所对的边分别为，已知且，若面积为4，则（ ） A. 2 B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与C相互独立 B. 事件A，B，C两两独立 C. D. 11. 已知空间四边形中，且，设，设与平面所成角为，二面角的平面角为，则（ ） A. B. C. D. 的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某工厂生产的零件需要经过两道质量检测工序合格后方可认定零件合格，第一道检测工序检测合格的概率为0.8，第二道工序检测合格的概率为0.7，则一个零件不合格的概率___________． 13. 已知为单位向量，且向量在上的投影向量为，则与的夹角为___________． 14. 已知三棱锥，侧棱，底面是以为斜边的等腰直角三角形，且，则该三棱锥体积为___________；D为内切圆（含圆内）上一动点，设D到平面的距离为m，D到平面距离为n，则的最大值为___________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角B的大小； （2）若的面积为且，求的周长． 16. 如图，已知四棱锥中，平面，底面为直角梯形，为中点． （1）求证： 平面； （2）求点D到平面的距离． 17. 为增强中学生国防观念，提升青少年爱国情怀与国防素养，某市教育局举办了“青春筑国防”的知识竞赛活动，现从所有竞答试卷的卷面成绩中随机抽取200份作为样本数据，将样本答卷中分数分成六组： ，……，，并作出如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）求样本数据的第47百分位数； （3）已知落在内样本数据的平均数是55，方差是6；落在内样本数据的平均数是64，方差是，且这两组数据的总方差是22，求落在内样本数据的方差． 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为： 和，记总体的样本平均数为，样本方差为，则 18. 如图，在底面为菱形的直四棱柱中，M、N是直四棱柱上底面内相异的两点且． （1）若M为上底面的中心且，求异面直线与所成角的余弦值； （2）恰好是二面角的平面角，证明：点M在定直线上； （3）在（2）的条件下若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 19. 统计学中，协方差用来描述两组数据和之间的总体的误差．定义：协方差．已知甲、乙两位同学五次考试（满分5分）数学和物理成绩如下表： 甲 ① ② ③ ④ ⑤ 数学成绩 1 2 3 4 5 物理成绩 1 3 3 3 5 2 5 6 7 10 乙 ① ② ③ ④ ⑤ 数学成绩 3 3 4 5 5 物理成绩 1 3 3 4 4 4 6 7 9 9 （1）依据表格数据分别求出甲、乙的数学成绩x与物理成绩y的协方差； （2）分别求出甲、乙两同学数学成绩的方差，以及物理成绩的方差，并计算他们数学物理总成绩的方差．根据计算结果，猜想一般情况下和之间的等量关系式（不需要证明）； （3）在一般情况下，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉市部分重点中学2024—2025学年度下学期期末联考 高一数学 命题单位：武汉市第十一中学 审题单位：圆创教育研究中心 武汉市第一中学 本试卷共4页，19题．满分150分．考试用时120分钟． 考试时间：2025年6月25日下午14：00—16：00 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答題卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在高一下学期期中考试后，数学老师随机抽取了6名同学第19题的得分情况如下：3，9，5，8，4，1，则这组数据的平均数和极差分别为（ ） A. 5，8 B. 6，8 C. 5，7 D. 6，7 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算数据的平均数和极差进行判断即可. 【详解】这6个数据的平均数为：； 这6个数中，最大值为9，最小值为1，所以这组数据的极差为：. 故选：A 2. 已知复数z满足，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的代数形式的除法求出复数，再根据共轭复数的概念明确，根据复数虚部的概念可得的虚部. 【详解】因为， 所以. 所以的虚部为：. 故选：B 3. 水平放置的三角形的直观图如图，其中，那么原三角形是一个（ ） A. 等边三角形 B. 腰和底边不相等的等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用斜二测画法的性质即可求解原图性质. 【详解】结合直观图的画法，画出原如下图： 其中，, 所以，. 所以为等腰三角形，且腰和底边不相等. 故选：B 4. 如图，某同学为了测量长江对岸的武汉龟山电视塔塔高时，选取与龟山电视塔塔底B在同一水平面内蛇山上两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中，利用正弦定理求，再在直角中，求即可. 【详解】如图： 在中，因为，，所以， 又，由正弦定理可得：（）. 因为平面，平面，所以， 又，所以为等腰直角三角形，且. 所以. 故选：C 5. 某汽车调查研究机构从4辆燃油车和2辆新能源车中随机选出3辆去参加一项智能驾驶测试大赛，则选出的3辆中至少有1辆新能源车的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用古典概型的概率计算公式，结合对立事件概率之间的关系求解. 【详解】设“选出的3辆车都是燃油车”为事件，则. 设“选出的3辆中至少有1辆新能源车”为事件，则事件、为对立事件， 所以. 故选：C 6. 设a，b表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若a，b是两条平行直线，且，则 B. 若a，b是两条异面直线，与a，b都相交的两条直线是异面直线 C. 若，则 D. 若a，b是两条异面直线，且，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理，结合举例，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】对A：若a，b是两条平行直线，且，则或，故A错误； 对B：若a，b是两条异面直线，与a，b都相交的两条直线可能相交，如a，b是异面直线，在直线上取一点，在直线上取两点、，连接，，则与相交于点，并非异面直线，故B错误； 对C：若，则与平面的关系不能确定，故C错误； 对D：如图： 过直线作平面，且，因为，所以， 又因为，，所以， 因为，是异面直线，所以直线、不平行，又， 所以，为相交直线，设交点为， 又，所以，故D正确. 故选：D 7. 把某班五名学生在一周内阅读数学竞赛书籍的时间1，2，3，4，5（单位：小时）作为一组样本数据，现增加统计两位学生，他们一周内阅读数学竞赛书籍的时间分别为正整数m、n（单位：小时），与原有样本数据一起构成一组新样本数据，与原组样本数据比较，下列说法正确的是（ ） A. 若，则方差不变 B. 若极差不变，则 C. 若，则中位数变大 D. 若平均数不变，则 【答案】D 【解析】 【分析】举例说明，ABC错误，求出原数据与新数据的平均数，可判断D是否正确. 【详解】原数据的平均数为：， 原数据的方差为：. 对A：若，则满足， 此时所得新数据的平均数为：， 方差为：，方差变小，故A错误； 对B：若极差不变，由可能是，，……，不一定要，故B错误； 对C：若，如，则新数据的中位数是3， 因为原数据的中位数也是3，没变，故C错误； 对D：新数据的平均数为：， 由，故D正确. 故选：D. 8. 在中，A，B，C所对的边分别为，已知且，若面积为4，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，结合三角变换和正弦定理，可求边，再结合三角形的面积公式和余弦定理，可求，再利用二倍角公式，可求. 【详解】因为. 所以 所以 所以. 由正弦定理可得：，又，所以. 因为面积为4，所以① 由余弦定理可得：, 所以：② ①②可得：，即. 所以. 故选：C 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】设，.对于A，由分析出都是实数，即，，即可判断；对于B，通过特例，，满足，但是即可判断；对于C，由，推出即可判断；对于D，由 ，推出，当且仅当时成立，即可判断. 【详解】设，， 对于A，因为虚数不能比较大小，所以若，说明都是实数， 即，，所以，故A是真命题，正确； 对于B，设，， 则有，，. 而，， ，故B是假命题，错误； 对于C，若，则，即 且，即，所以，故C是真命题，正确； 对于D，若，说明，此时，. 当且仅当的时候，能成立，故D是假命题，错误. 故选：AC 10. 设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与C相互独立 B. 事件A，B，C两两独立 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，得到且和，结合概率的计算公式，逐项求解，即可得到答案. 【详解】由题意，可得， 对于A中，事件，可得，且， 所以，所以事件与不相互独立，所以A错误； 对于B中，由， 所以事件两两相互独立，所以B正确； 对于C中，事件，所以，所以C正确； 对于D中，由，所以D正确. 故选：BCD. 11. 已知空间四边形中，且，设，设与平面所成角为，二面角的平面角为，则（ ） A. B. C. D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，分别在和中，利用余弦定理，求得的长，可得判定A正确；作平面于点，设，得到，作于点，得到为二面角的平面角，求得，可判定 C正确；根据直线与平面所成角的定义和最小角定理，可判定B错误；由，且，结合三角函数的基本关系式，可判定D正确. 【详解】在空间四边形中，且， 在中，可得， 在中，可得， 所以，所以A正确； 过点作平面于点，设， 则为直线与平面所成的角，则， 过点作于点，因为平面，且平面， 所以，因为，且平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，即， 在直角中，可得， 所以，所以C正确； 由，其中为直线与平面所成的角， 根据直线与平面所成角的定义和最小角定理，可得，即，所以B错误； 因为，可得，且，则 则，即， 即的最小值为，所以 D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某工厂生产的零件需要经过两道质量检测工序合格后方可认定零件合格，第一道检测工序检测合格的概率为0.8，第二道工序检测合格的概率为0.7，则一个零件不合格的概率___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解. 【详解】由第一道检测工序检测合格的概率为0.8，第二道工序检测合格的概率为0.7， 且第一道检测工序和第二道检测工序之间相互独立， 则一个零件不合格的概率. 故答案为：. 13. 已知为单位向量，且向量在上的投影向量为，则与的夹角为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由向量为单位向量，且向量在上的投影向量为， 可得，可得， 所以与的夹角为， 因为，所以. 故答案为：. 14. 已知三棱锥，侧棱，底面是以为斜边的等腰直角三角形，且，则该三棱锥体积为___________；D为内切圆（含圆内）上一动点，设D到平面的距离为m，D到平面距离为n，则的最大值为___________． 【答案】 ①. 96 ②. ## 【解析】 【分析】第一空，可由三棱锥的边长关系得出全等，从而得出为三棱锥的高，得出三棱锥的体积；第二空，建立空间直角坐标系，根据题意条件设出点坐标，利用空间点面距公式分别用表示，可得，进而利用函数单调性求最小值. 【详解】如图所示，取中点， 在等腰中，， 则， 等腰直角中，， 又，又，为公共边， 所以全等， 故，又，平面， 故平面. 因此三棱锥的体积 ； 设的内切圆半径为，其面积， 周长， 由，则，解得. 如图，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则,,,，， 内切圆圆心， 则，，； 在平面内，直线，即； 直线，即， 设，由D为内切圆（含圆内）上一动点， 则，可得， 且，， 且. 设平面的法向量， 则，令，则， 故D到平面的距离； 设平面的法向量， 则，令，则， 故D到平面的距离； 所以. 设，则在上单调递减； 故，即时,等号成立， 故当且仅当点与中点重合时，取最大值，最大值为. 故答案为：96；. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角B的大小； （2）若的面积为且，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及和角的正弦公式，诱导公式将变形化简，再结合角的范围即可求出角B； （2）由三角形的面积公式求出，再由余弦定理求出，即可求出的周长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得． 即， 因为，所以． 所以． 因为，，所以， 因为，所以． 【小问2详解】 因为，所以， 由余弦定理得， 由，可得， 所以，所以的周长为． 16. 如图，已知四棱锥中，平面，底面为直角梯形，为中点． （1）求证： 平面； （2）求点D到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）先根据已知证明四边形为平行四边形，得出，再应用线面平行判定定理得出线面平行； （2）根据线面平行判定定理得出平面，再结合等体积法及三棱锥体积公式计算求解. 【小问1详解】 取的中点G，连接， 因G、E分别为的中点，所以， 又则， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面平面，则平面． 【小问2详解】 因平面平面，所以且， 因，所以，又，平面， 则平面，又平面，则， 由，得， 设点D到平面的距离为h，连接．则， 即， 即， 解得， 则点D到平面的距离为． 17. 为增强中学生国防观念，提升青少年爱国情怀与国防素养，某市教育局举办了“青春筑国防”的知识竞赛活动，现从所有竞答试卷的卷面成绩中随机抽取200份作为样本数据，将样本答卷中分数分成六组： ，……，，并作出如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）求样本数据的第47百分位数； （3）已知落在内样本数据的平均数是55，方差是6；落在内样本数据的平均数是64，方差是，且这两组数据的总方差是22，求落在内样本数据的方差． 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为： 和，记总体的样本平均数为，样本方差为，则 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解； （2）根据题意，利用百分数数的定义与计算方法，即可求解； （3）根据题意，得到据在区间和的个数，结合分层抽样方差的计算公式，即可解. 【小问1详解】 解：根据频率分布直方图的性质，可得， 解得. 【小问2详解】 解：由频率分布直方图得，前3组数的频率为， 前4组数的频率为， 因此第47百分位数在第4组即区间上， 设第47百分位数为m，则满足，解得. 【小问3详解】 解：样本数据在区间的个数为， 在区间上的个数为，所以， 又由，解得． 18. 如图，在底面为菱形的直四棱柱中，M、N是直四棱柱上底面内相异的两点且． （1）若M为上底面的中心且，求异面直线与所成角的余弦值； （2）恰好是二面角的平面角，证明：点M在定直线上； （3）在（2）的条件下若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据题意，证得直四棱柱的底面为正方形，结合异面直线的定义，得到为异面直线与所成角，利用，即可求解； （2）根据题意，得到，证得面，得到，进而得到，证得面，得到平面与面重合，即可得到答案； （3）根据题意，证得点M为上底面中心，过M作交于K，交于L，作交于P点，证得，进而得到平面，得到直线与平面所成角，结合和基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为在底面为菱形直四棱柱中， 可得且平面，平面， 所以且， 又因为，所以， 由直四棱柱的底面为菱形，所以底面为正方形， 因为，所以为正方体，可得， 所以为异面直线与所成角， 又因为为上底面的中心，所以. 【小问2详解】 证明：由于是二面角的平面角，则， 因为，平面，平面，所以面， 又因为面，以， 因为直四棱柱，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以，所以， 又因为在直四棱柱中，可得平面， 因为面，则， 又因为，且平面，所以面， 由平面且平面， 又由平面与面有公共直线，可得平面与面重合， 所以点M在面内，又点M在面内，所以面， 所以点M在上． 【小问3详解】 解：因为，由（1）知底面为正方形且为长方体， 又因为，所以，所以， 因为点M在上，故点M为的中点，所以点M为上底面中心， 过M作交于K，交于L，则K为的中点，L为的中点， 作交于P点， 因为面且面，则， 又因为，平面，平面，所以平面， 则直线与平面所成角 设，则 因为，所以 所以， 当且仅当时，等号成立， 故直线与平面所成角的正弦值的最大值是． 19. 统计学中，协方差用来描述两组数据和之间的总体的误差．定义：协方差．已知甲、乙两位同学五次考试（满分5分）数学和物理成绩如下表： 甲 ① ② ③ ④ ⑤ 数学成绩 1 2 3 4 5 物理成绩 1 3 3 3 5 2 5 6 7 10 乙 ① ② ③ ④ ⑤ 数学成绩 3 3 4 5 5 物理成绩 1 3 3 4 4 4 6 7 9 9 （1）依据表格数据分别求出甲、乙的数学成绩x与物理成绩y的协方差； （2）分别求出甲、乙两同学数学成绩的方差，以及物理成绩的方差，并计算他们数学物理总成绩的方差．根据计算结果，猜想一般情况下和之间的等量关系式（不需要证明）； （3）在一般情况下，证明：． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据平均数的计算公式分别求出甲乙两同学的数学平均成绩和物理成绩，再根据协方差公式分别代入计算即可； （2）根据方差的计算公式分别计算即可求出甲、乙两同学数学成绩的方差，以及物理成绩的方差，根据平均数的计算公式即可求出甲、乙的数学与物理总成绩，再根据方差的计算公式即可求出他们数学物理总成绩的方差，即可猜想出一般情况下和之间的等量关系式； （3）把证明转化成证明，然后分等于0和不等于0两种情况讨论，在这种情况中，利用均值不等式放缩，再用累加法即可得证. 【小问1详解】 甲的数学成绩x与物理成绩y的协方差： 乙的数学成绩x与物理成绩y的协方差： 【小问2详解】 解甲的数学成绩x与物理成绩y的方差为： 乙的数学成绩x与物理成绩y的方差为： 甲的数学与物理总成绩： 乙的数学与物理总成绩： 由甲、乙同学成绩数据可知： 【小问3详解】 欲证， 只需证 即证 以下证明（※）式： ①当时，（※）式显然成立 ②当时，由均值不等式 …… 则上述n个不等式相加可得： 所以则（※）式成立， 所以成立 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $