1.1 正数和负数 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版七年级数学上册

1.1 正数和负数 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版七年级数学上册 核心知识点 一、正数与负数的基本概念 正数的定义 大于 0 的数称为正数，如等。正数前面的 “+” 号通常可省略，直接写作  等。 负数的定义 小于 0 的数称为负数，需在正数前加 “-” 号表示，如 -3、-0.5、 等。负数的 “-” 号不可省略。 0 的特殊性 0 既不是正数也不是负数，是正数与负数的分界点，也是唯一的中性数。 二、相反意义的量及其表示 相反意义的量的含义 在实际问题中，具有相反意义的一对量（如收入与支出、上升与下降），可用正数和负数表示。例如： 零上 记作 ，零下记作 ； 盈利 200 元记作 +200 元，亏损 150 元记作 -150 元。 表示方法 若规定某一方向或性质为正，则相反方向或性质为负。例如： 向东走 3 米记为 +3 米，则向西走 2 米记为 -2 米； 水位上升 0.8 米记为 \(+0.8\) 米，则下降 0.3 米记为 \(-0.3\) 米。 三、有理数的定义与分类 有理数的定义 整数和分数统称为有理数。所有有理数都可以写成分数形式 （a、b 为整数，。 按定义分类 整数：包括正整数（如 1, 2, 3）、0、负整数（如 - 1, -2, -3）； 分数：包括正分数（如、3.5）和负分数（如、-0.75）。 按性质分类 正数：正整数和正分数的统称，如 5； 负数：负整数和负分数的统称，如 - 4、-1.2； 0：单独分类，既不属于正数也不属于负数。 四、非正数与非负数的概念 非正数 0 和负数的统称，即小于或等于 0 的数，如 0、-1、。 非负数 0 和正数的统称，即大于或等于 0 的数，如 0、2、。 五、典型应用场景 温度表示 例如：某地气温为，表示最低零下 3 摄氏度，最高零上 8 摄氏度。 海拔高度 例如：珠穆朗玛峰海拔约 +8848米（高于海平面），吐鲁番盆地海拔约-155米（低于海平面）。 收支记录 例如：收入 500 元记作+500元，支出 300 元记作-300\元。 六、易错点与注意事项 符号的规范性 负数必须带 “\(-\)” 号，正数符号可省略但不可随意添加（如 +(-2) 表示负数）。 0 的多重身份 0 不仅是整数，也是有理数，同时是非正数和非负数的公共元素。 分数的形式 有限小数（如 0.25）和无限循环小数（如 均属于分数，因此也是有理数。 专项练习 一、选择题 1．热气球上升5米记为，则下降3米应该记为（　　） A．3 B．2 C． D． 2．如果规定收入为正，那么支出为负，收入2元记作＋2元，支出5元记作（　　） A．5元 B．－5元 C．－3元 D．7元 3．在某次班级测验中，班级的平均分为90分，小明的成绩为87分，记做-3，若小亮的成绩记做+2，则小亮的成绩为（　　） A．2分 B．88分 C．92分 D．90分 4．已知一个乒乓球的标准质量为，把质量为的乒乓球记为，则质量为的乒乓球应记为（　　） A． B． C． D． 5．中国是最早采用正负数表示具有相反意义的量的国家．若某地海拔高于海平面，记作，则海拔低于海平面可记作（　　） A． B． C． D． 6．当前，手机移动支付已经成为新型的消费方式，中国正在向无现金支付发展．小明在妈妈的微信零钱明细中看到，收入200元被记作元，则元表示（　　） A．收入35元 B．支出35元 C．收入165元 D．支出165元 7．中国是最早采用正负数表示相反意义，并进行负数运算的国家．若把气温为零上记作，则表示气温为（　　） A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 8．负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，其中有“把卖马和牛得到的钱算作正，把买猪付出的钱算作负”，如果收入7元记作+7，那么支出12元记作（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．如果表示向东走，那么表示　 　． 10． 以30分钟为一个时间单位，并把每天上午11时记为0，11时以前记为负，11时以后记为正。例如：上午 10：30 记为-1，上午 11：30 记为1.依此类推，上午9：30 应记为　 　，中午13：30应记为　 　。 11．某天，调皮的小明从1楼乘坐电梯，他上下电梯的记录如下(向上为正，向下为负，单位：楼)：-2，+4，+1，-3，+3。其中正数有　 　，负数有　 　，小明最终停在的楼层是　 　。 12． 如果一辆汽车向东行驶800米，我们记作+800米，那么这辆汽车向西移动1000米，我们记作 　 　米． 13．某种零件，标明要求是：20±0.02mm（p表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是19.9mm，零件　 　（填“合格”或“不合格”）. 14．负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，负数与对应的正数“数量相等，意义相反”，如果向东走了5米，记作＋5米，那么向西走5米，可记作　 　米. 15．某蓄水池的标准水位记为，如果水面高于标水位表示为，那么水面低于标准水位表示为　 　． 16．中国古代数学著作《九章算术》在方程一章首次正式引入“负数”，如果电梯上升5层记为．那么电梯下降5层应记为　 　． 三、解答题 17．如果一个问题中出现具有相反意义的量，就可以用正数和负数分别表示它们．例如：用千米表示向东行驶60千米，那么下列各数分别表示什么？ （1）千米； （2）千米； （3）0千米． 18．某仓库6天内粮食进、出库的吨数如下(“+”表示进库，“-”表示出库)： +26，-30，-18，+34，-20，-15 （1）经过这6天后，库里的粮食增多或减少了多少吨？ （2）经过这6天后，仓库管理员结算发现库里有480吨粮食，那么6天前库里存粮多少吨？ 19．下表是某河流今年某一周内的水位变化情况，上周末（星期六）的水位已经达到警戒水位33米.（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降.单位：米） 星期 日 一 二 三 四 五 六 水位变化 +0.2 +0.8 -0.4 +0.2 +0.3 -0.5 -0.2 （1）本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？分别是多少？ （2）与上周末相比，本周末河流的水位是上升了还是下降了？本周末的水位是多少？ 20．某工厂一周计划每天生产电动车80辆，由于工人实行轮休，每天上班人数不同，实际每天生产量与计划量相比情况如下表(增加的为正数，减少的为负数)： 星期 一 二 三 四 五 六 日 数量(辆) +4 -1 +2 -2 +6 -3 -5 （1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆电动车? （2）本周总生产量是多少辆? 比原计划增加了还是减少了? 增加或减少多少辆? 21．聪聪和慧慧为了合理计划自己的开支，每天坚持记录自己当天的收支情况.下表是她们上周每天的收支情况（记收入为正，单位：元）. 星期 学生 一 二 三 四 五 六 日 结余 聪聪 10 -5.20 0 -4.80 5 -3 -4 -2 慧慧 8 0 0 -6 -1 0 0 1 根据上表回答下列问题： （1）分别说出聪聪这一行中10，0，-4各数的实际意义. （2）说出“星期五”这一列中5，-1的实际意义. （3）说出“结余”一列中-2，1的实际意义. 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：热气球上升5米记为+5， 那么下降3米应该记为-3． 故答案为：D． 【分析】由于正数与负数可以表示一对具有相反意义的量，故知道了上升用正数表示，则下降就用负数表示. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：由题意得：支出5元记作“﹣5元” 故答案为：B. 【分析】根据题意规定即可得到答案. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：∵班级的平均分为9（0分），小明的成绩为8（7分），记做-3，即90-3=87（分）， ∴小亮的成绩记做+2，表示小亮的成绩为90+2=92（分）， 故选：C． 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 4．【答案】D 【解析】【解答】解：比标准质量少，记为， 故答案为：D． 【分析】根据正负数的意义即可求出答案. 5．【答案】C 【解析】【解答】解∶∵某地海拔高于海平面，记作， ∴海拔低于海平面可记作． 故答案为：C． 【分析】根据用正数和负数表示相反意义的量结合题意即可求解。 6．【答案】B 【解析】【解答】解：∵收入200元被记作元，则元表示支出35元． 故答案为：B 【分析】根据用正数和负数表示相反意义的量结合题意即可求解。 7．【答案】B 【解析】【解答】解：∵把气温为零上记作， ∴表示气温为零下． 故答案为：B. 【分析】由于正负数可以表示一对相反意义的量，故弄清楚了零上为正，则零下为负，据此作答即可． 8．【答案】D 【解析】【解答】解：如果收入7元记作，那么支出12元记作． 故答案为：D 【分析】根据正数和负数表示相反意义的量结合题意即可求解。 9．【答案】向西走 【解析】【解答】解： 表示向东走 ，则另一端为相反方向，故本空表示：向西走了10m. 【分析】本题考查在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示. 10．【答案】- 3；5 【解析】【解答】解： ∵上午9：30是上午11时前90分钟， 90÷30=3， 11时以前记为负， ∴上午9：30 应记为-3； ∵ 中午13：30是上午11时后150分钟， 150÷30=5， 11时以后记为正 ， ∴ 中午13：30应记为5. 故答案为：- 3， 5 . 【分析】先将时间换算为11时前或后多少分钟，再根据 以30分钟为一个时间单位， 换算成时间单位，然后用正、负数表示出数. 11．【答案】+4，+1，+3；-2，-3；第4层 【解析】【解答】解：正数有：+4，+1，+3； 负数有：-2，-3； 小明最终所在的楼层是4楼， 故答案为：+4，+1，+3；-2，-3；第4层. 【分析】小明乘坐电梯的记录中，正数为+4，+1，+3，负数为-2，-3；根据记录，小明从1楼开始，依次向下2层，向上4层，向上1层，向下3层，最后向上3层，最终到达4楼. 12．【答案】﹣1000 【解析】【解答】解：一辆汽车向东行驶800米，我们记作+800米，那么这辆汽车向西移动1000米，我们记作-1000米， 故答案为：-1000. 【分析】根据正数和负数表示两个具有相反意义的量，将向东记作正数，则向西为负数，据此即可求解. 13．【答案】不合格 【解析】【解答】解：∵该零件的最大直径为20+0.02=20.02mm，最小直径为20-0.02=19.98mm，而19.9＜19.98， ∴ 直径是19.9mm的零件是不合格的. 故答案为：不合格. 【分析】根据正数与负数的实际意义，利用有理数的加减法法则求出该零件直径的取值范围，即可判断得出答案. 14．【答案】 【解析】【解答】解：∵向东走了5米，记作＋5米， ∴向西走5米，可记作米. 故答案为：-5. 【分析】正数与负数可以表示一对具有相反意义的量，若规定向东走为正，则向西走为负，据此解答. 15．【答案】-0.1m 【解析】【解答】解：∵水面高于标水位0.23m表示为+0.23m， ∴水面低于标准水位0.1m表示为-0.1m． 故答案为：-0.1m． 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，据此解答即可. 16．【答案】-5 【解析】【解答】∵电梯上升5层记为， ∴电梯下降5层应记为-5， 故答案为：-5. 【分析】根据正负数的意义、相反意义的量及表示方法求解即可。 17．【答案】（1）解：由题意可知，向东行驶为正，则千米表示向东行驶800千米； （2）解：由题意可知，向东行驶为正，向西行驶为负，则千米表示向西行驶50千米； （3）解：0千米表示原地不动. 【解析】【分析】（1）根据正数和负数的意义，向东行驶为正，进行作答，即可求解； （2）根据正数和负数的意义，结合正数和负数是一组具有相反意义的量，向西行驶为负，作答即可； （3）根据0的意义，可得0表示“没有”，即可得到答案． （1）解：由题意可知，向东行驶为正， 则千米表示向东行驶800千米； （2）解：由题意可知，向东行驶为正，向西行驶为负， 则千米表示向西行驶50千米； （3）解：0千米表示原地不动； 18．【答案】（1）解：（+26）+（-30）+（-18）+（+34）+（-20）+（-15）=-23（吨） 答：经过这6天，库里的粮食减少了23吨。 （2）解：480+23=503（吨） 答：6天前库里存粮503吨。 【解析】【分析】（1）根据有理数的加减运算，将数字求和； （2）根据（1）中粮食变化的数量求出原来的库存即可。 19．【答案】（1）解：周日33+0.2=33.2（米）， 周一33.2+0.8=34（米）， 周二34-0.4=33.6（米）， 周三33.6+0.2=33.8（米）， 周四33.8+0.3=34.1（米）， 周五34.1-0.5=33.6（米）， 周六33.6-0.2=33.4（米）. 答：周四水位最高，最高水位是34.1米，周日水位最低最低水位是33.2米； （2）解：33.4-33=0.4>0， 答：与上周末相比，本周末河流的水位上升了，水位是33.4米. 【解析】【分析】(1)先利用正负数的知识，把每天的水位算出来，就知道哪天最高，哪天最低. (2)用这周周六水位情况减上周周六水位情况，根据得出结果的正负来判断是上升了，还是下降了. 20．【答案】（1）解：生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产6-(-5)=6+5=11(辆). 答： 生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产11辆电动车 （2）解：总产量为4+(-1)+2+(-2)+6+(-3)+(-5)+80×7=561(辆)，比原计划增加了，增加了561-80×7=1(辆). 答： 本周总生产量是561辆， 比原计划增加了，增加1辆. 【解析】【分析】（1）根据表格中的数据，利用产量最多的数量减去产量最少的即可； （2）先根据表格中数据求出总产量，再分析求解即可. 21．【答案】（1）解：聪聪这一行中，10 表示周一收入 10元，0表示周三没有收入也没有支出；-4表示周日支出4元. （2）解：“星期五”这一列中5 表示聪聪收入5元，一1表示慧慧支出1元. （3）解：结余”一列中-2表示聪聪一周总支出2元，1表示慧慧一周总收入1元. 【解析】【分析】（1）将“收入”记为+，支出记为-，没有收入或支出记为0，以此为基础回答即可； （2）根据（1）的回答可判断，5为正数，表示收入，即收入5元，-1为负数，表示支出，即支出1元； （3）根据（1）的回答可判断，-2为负数，表示支出，即支出2元，1为正数，表示收入，即收入1元 学科网（北京）股份有限公司 $$