专题讲义3.2 导数与函数的单调性-2026届高三数学一轮复习

专题3.2 导数与函数的单调性 题型1 由导数求不含参数函数的单调区间 4 题型2 由导数求含参数函数的单调性 6 考点1 导函数可因式分解型 6 考点2 导函数不可因式分解型 11 题型3 由函数的单调性求参数 15 考点1 由函数在区间上的单调性求参数 15 考点2 由函数在区间上存在单调性求参数 18 考点3 由函数在区间上不单调求参数 21 题型4 函数单调性的应用 23 考点1 比较函数值大小 23 考点2 根据函数的单调性解不等式 27 高考真题演练 30 知识点一 函数的单调性与导数 1．函数的单调性与导数正负的关系 一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有如下关系： 单调递增 在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递增. 单调递减 在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递减. 注：对于可导函数，： ①在区间上为增函数，反之不成立，故是在区间上为增函数的充分不必要条件； ②在区间上为减函数，反之不成立，故是在区间上为减函数的充分不必要条件； ③若在某区间上仅有有限个点使，其余的点恒有，则仍为该区间上的增函数(减函数的情形类似)。 2．从导数的几何意义理解函数的单调性与导数的关系 如果即切线的斜率为正，则切线的倾斜角为锐角，曲线呈上升趋势，即函数单调递增； 如果，即切线的斜率为负，则切线的倾斜角为钝角，曲线呈下降趋势，即函数单调递减。 知识点二 利用导数求函数的单调区间 求函数的单调区间，就是解不等式或，不等式的解集就是所求的单调区间，其步骤如下： (1)确定函数的定义域； (2)求出导数的零点； (3)用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性. 一般地，上述步骤(2)和(3)可转化为解不等式 不等式的解集在定义域内的部分即为函数的单调递增区间； 不等式的解集在定义域内的部分即为函数的单调递减区间. 知识点三 导数背景下函数单调性充要条件的探究 1．在某个区间内，是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但. 2．函数在内单调递增(减)的充要条件是在内恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有并不影响函数在该区间内的单调性. 3．在某个区间上单调的函数的平均变化率的几何意义与的正负的关系： 一般地，设函数)的定义域为，区间，在区间内任取两个值，，当改变量时，若，那么就称函数在区间上是增函数；若，那么就称函数在区间上是减函数。 如果一个函数在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说这个函数在这个区间上具有单调性。 在区间内，任取，)两点，则函数的平均变化率为，其几何意义为直线的斜率。 若在区间内是增函数，则直线的斜率为正，的导数为正；若在区间内是减函数，则直线的斜率为负，的导数为负。 知识点四 导函数与原函数的图像的关联 (1)由导函数在某区间上的符号可以确定函数在这个区间上的单调情况。 如果在上，那么函数在上单调递减； 如果在上，那么函数在上单调递增； 如果函数在点处的导数值，那么函数在该点两侧的单调性一般情况下是不同的。根据提供的信息可以画出函数的大致图像，但要注意图像的连续性及线条的平滑性。 (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图像就“平缓”一些。 常见的对应情况如下表所示： 图像 的变化规律 且越来越大 且越来越小 且越来越小 且越来越大 函数值的变化规律 函数值增加得越来越快 函数值增加得越来越慢 函数值减小得越来越快 函数值减小得越来越慢 拓展点一 已知函数的单调性求参数的取值范围 (1)可导函数在上单调递增(减)的充要条件是在上恒成立，且在的任何子区间内都不恒等于0。 (2)已知在区间上的单调性，求参数范围的方法： ①利用集合的包含关系处理在上单调递增(减)的问题，则区间是相应单调区间的子集； ②利用不等式恒成立处理在上单调递增(减)的问题，则在内恒成立，注意验证等号是否成立。 题型1 由导数求不含参数函数的单调区间 1．（2025高三·全国·专题练习）函数的递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】简单复合函数的导数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】对函数求导，令导函数大于0构建不等式，其解集为单调增区间. 【详解】由，得， 其中，，令，即，解得， 所以函数的递增区间是. 故选：D 2．（多选题）函数在下列哪个区间单调递增（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】利用导数求出函数的增区间，即可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为，， 因为，由得或， 因此函数的增区间为、. 故选：BD. 3．若幂函数的图象过点，则函数的递减区间为（    ） A． B．和 C． D． 【答案】B 【知识点】求幂函数的解析式、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【解析】根据条件先求解出的解析式，然后利用导数求解出的单调递减区间. 【详解】因为为幂函数，且过点，所以设，所以，所以，所以， 所以，则， 当或时，；当时，， 所以的递减区间为和， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是求解完的解析式之后，根据去分析的单调递减区间. 4．已知函数，其单调增区间为 ； 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】先求出函数的导函数，再通过导函数大于0即可求得函数的单调递增区间． 【详解】由题得函数的定义域为 由，则， 令，得， 所以的单调递增区间为. 故答案为： 5．（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数的单调递减区间是 . 【答案】（写成，，，同样给分） 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】根据导数和函数单调性的关系，即可求解. 【详解】因为，， 令，得，解得， 所以的单调递减区间是. 故答案为： 题型2 由导数求含参数函数的单调性 考点1 导函数可因式分解型 6．（2025·江苏南京·二模）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）把代入，求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出导数，按，，，分类讨论即得函数的单调性. 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 求导得 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，由，得；由，得或， 函数在上单调递减，在和上单调递增； 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得或， 函数在上单调递减，在和上单调递增， 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在和上单调递增； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在和上单调递增. 7．（2025·河北保定·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，再分类讨论求出函数的单调区间及单调性. 【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 8．（2025高三·全国·专题练习）已知，讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数求函数（含参）的单调区间、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】对求导并进行因式分解，根据的取值分类讨论，利用导数为正时函数单增，导数为负时函数单减进行判断即可. 【详解】的定义域为， . 当时，且，可得： 时，，单调递增， 时，，单调递减. 当时，. ①当时，且， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减. ②当时，，在内，，单调递增. ③当时，且， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 9．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见详解 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义求切线方程； （2）求导可得，分类讨论的符号以及与0的大小关系，利用导数判断原函数的单调区间. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率为， 所以切线方程为，即. （2）由题意可知：的定义域为，且， （i）若，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； （ⅱ）若，令，解得或， ①当，即时， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； ②当，即时，则，可知在内单调递增； ③当，即时， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； 综上所述：若，的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递减区间为，单调递增区间为. 考点2 导函数不可因式分解型 10．（2025高三·全国·专题练习）讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】先求出函数的定义域，然后对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增、导函数小于0时原函数单调递减对a分3种情况进行讨论. 【详解】的定义域为， ， 当时，即时，，故在单调递增； 当时，，故在单调递减； 当时，令，解得， 当时，； 时，， 故在上单调递减，在单调递增． 综上所述： 当时，在单调递增； 当时， 在单调递减； 当时， 在上单调递减，在单调递增． 11．已知函数，定义域为． (1)讨论的单调性． 【答案】(1)当时，在上递增；当时，在上递增，在上递减 【知识点】求已知函数的极值、利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究方程的根 【分析】（1）对求导，令，分和，判断与0的正负即可得出的单调性； 【详解】（1）因为， 所以， 设，， (i)时，则， 所以在上递增；            (ii)或，， 当时，，， 方程的两根都为正， 令可得：，令可得：， 所以在上递增，在上递减； 当时，，， 方程的两根都为负， 令可得：，所以在上递增， 综上：当时，在上递增； 当时，在上递增，在上递减； 12．已知函数． (1)当时，求的解集； (2)当时，求的单调区间． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【知识点】根据函数的单调性解不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）利用导函数研究函数的单调性，结合，即可得解集； （2）对函数求导，构造并结合二次函数性质，分类讨论确定导函数的符号研究单调区间. 【详解】（1）当时，，， 所以在上单调递减，又， 则当时，；当时，， 故的解集为． （2），（） 设，（）的对称轴，， 当，有，则，在单调递减． 当，则有两个不等正根，， 所以、上，上， 在、上单调递减，在上单调递增； 当，则有一个正根，即上，上， 在上单调递增，在上单调递减． 综上： 当，的单调减区间为，无单调递增区间； 当，的单调减区间为、，单调递增区间为； 当，的单调递增区间为，单调减区间为． 13．（2025·贵州黔东南·三模）设函数． (1)若，试求函数的极值； (2)设，讨论的单调性． 【答案】(1)的极大值为，无极小值 (2)当时，的单调减区间为，无增区间； 当时，的单调增区间为，单调减区间为 【知识点】求已知函数的极值、利用导数求函数（含参）的单调区间、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）利用导数研究单调性，即可求得函数的极值； （2）由题意得，即，令，由和分类讨论即可. 【详解】（1）当时，，函数的定义域为， 所以，令有， 由有，有， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值； （2）由， 所以的定义域为， 所以，令， 当时，，，所以在单调递减； 当时，令有，， 所以， 所以由有，，有，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以的单调增区间为，单调减区间为； 综上有：当时，的单调减区间为，无增区间； 当时，的单调增区间为，单调减区间为. 题型3 由函数的单调性求参数 考点1 由函数在区间上的单调性求参数 14．（2024·宁夏·模拟预测）函数在R上是单调递增的充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、充分条件 【分析】利用导数判断的单调性，转化为不等式恒成立问题，结合即可求解. 【详解】由，得， 因为在R上单调递增，所以不等式在R上恒成立， 即在R上恒成立， 所以，解得. 所以在R上单调递增的充分条件为的子集. 故选：B 15．（2025·山东菏泽·一模）已知函数在区间单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】先对函数求导，令导数等于0，求出增减区间，进而得到或，即可求得结果. 【详解】由已知得，当时，令，得， 令，解得；令，解得； 故在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以若在区间上单调，则需满足或，即或， 所以的取值范围是 故选：B 16．（2025·江苏·一模）若在上单调递减，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、基本不等式求和的最小值 【分析】根据题意得知，不等式在上恒成立，由参变量分离法得出，求出函数，在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为在上单调递减， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立，令， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 17．（2025·黑龙江·二模）已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求导，根据在区间上导数恒大于等于0，然后参变分离，结合正弦函数性质可得. 【详解】， 因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立. 即在区间上恒成立. 因为，所以，所以， 所以，即实数的最小值为. 故选：B 18．（2025·山西·模拟预测）若函数在区间单调递增，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】先求出导函数，再根据单调性得出，最后结合基本不等式计算求解. 【详解】， 令，则当时，， 又因为， 当且仅当时等号成立，且当时，不恒为0， 故的取值范围是. 故答案为：. 19．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测），，且，不等式恒成立，则m的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】对已知变形得，令，则，利用导数法并利用分离参数得对于恒成立，最后利用反比例函数的性质求解最值即可得解. 【详解】不妨设，则， 由可得，所以， 令，则， 因为，所以在上单调递减， 所以对于恒成立，可得对于恒成立， 因为在上单调递减，所以. 故答案为： 考点2 由函数在区间上存在单调性求参数 20．已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】对函数求导并根据其单调区间得出不等式，求得相应最小值可得结果. 【详解】由题意可知， 因为函数在上存在单调递减区间， 则在上有解，可得，所以． 令，则， 显然，可知函数单调递增，则， 即，所以实数的取值范围是． 故选：C 21．若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】对函数求导得.由函数在上存在单调递增区间可知在上有解，分离参数后可得在上有解，故.设，，求导研究其在上的单调性求出函数最大值即可求解. 【详解】∵，∴. ∵函数在上存在单调递增区间，∴在上有解，即在上有解，∴在上有解，即在上有解，∴. 设，.则， 令得；令得， ∴在上单调递减，在上单调递增. 又，，∴，∴， 即实数的取值范围为. 故选：D. 22．（2025·山东威海·三模）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求导，由题意将问题转换成有解，构造函数，由其单调性得到，求解即可. 【详解】求导可得， 由题意有解， 即有解， 即有解， 令， 因为，易知在单调递增， 此时，所以， 又，， 所以，解得：， 所以的取值范围是. 故选：B. 23．若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】先求导得，令，，只需在有解即可. 【详解】， 令，即，只需在有解， ，，即存在，使， ，，当时，， 当时，只需，即. 综上所述，. 故答案为： 考点3 由函数在区间上不单调求参数 24．（24-25高二下·北京大兴·期末）已知函数在定义域上不是单调函数，则实数不可能是（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性求参数值、由函数在区间上的单调性求参数、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】先求导根据原函数的单调性确定导函数的正负情况结合二次函数图象的性质确定即可求出的取值范围. 【详解】对函数求导得：， 因为函数在定义域上不是单调函数，所以导函数的函数值既有正值又有负值， 故，即，所以，所以实数不可能是. 故选：C 25．（2025·江苏苏州·三模）若在上不单调，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】由题意可得存在，使得，求解即可. 【详解】由，可得， 所以在上不单调，所以在上有解， 即在有解，即存在，使得， 又因为在上单调递减，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 26．（2024·四川·模拟预测）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据题意可知在区间有变号零点，结合变号零点与给定区间的关系求解即可. 【详解】由题意知， 因为在区间上不单调，即在区间有变号零点，又，所以，，， 所以在区间内， 所以，解得，即m的取值范围是. 故答案为：. 27．若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．m>1 【答案】B 【知识点】由函数的单调区间求参数 【详解】首先求出的定义域和极值点，由题意得极值点在区间内，且，得出关于的不等式组，求解即可． 【分析】函数的定义域为， 且， 令，得， 因为在区间上不单调， 所以，解得： 故选：B. 28．已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】导数的运算法则、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据函数在区间上不单调，可知在区间上有零点，列出不等式组，可求得答案. 【详解】因为函数在区间上不单调， 所以在区间上有零点， 由，得，则得， 故选：D． 题型4 函数单调性的应用 考点1 比较函数值大小 29．（多选题）（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）下列命题为真命题的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】对函数求导，求函数单调性，逐项计算，即可求解. 【详解】令，则，当，，函数单调递增；当时，，函数单调递减． 因为，函数在上单调递减，所以， 即，又因为，故，即， 所以A错误； 因为，函数在上单调递增，所以， 即，则，故B正确； 因为，函数在上单调递减，所以，即， 而因为，两边取对数得到，两边同时除以2得到， 所以C正确； 因为，变形可得，由函数的单调可知，故D正确． 故选：BCD． 30．（2025·湖北武汉·三模）已知定义在上的函数，其导函数为，对任意的都有成立，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】通过构造函数，利用已知条件判断函数的单调性，再根据函数单调性比较函数值的大小. 【详解】设，对求导，可得. 因为对任意的都有，即，且，所以，这表明在上单调递减. 逐一分析选项， 因为在上单调递减，所以，即，也就是，所以A选项错误. 仅根据已知条件无法得出，所以B选项错误. 因为在上单调递减，所以，即，也就是，所以C选项正确. 因为在上单调递减，所以，即，也就是，所以D选项错误. 不等式一定成立的是. 故选：C. 31．（2025·山西·三模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而利用单调性比较大小. 【详解】设， 则，，， 因为，当时，，所以在上单调递增． 又，所以． 故选：C 32．（2025·山东·模拟预测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】构造函数，利用导数判断函数单调性， 确定a范围； 由对数函数的单调性判断的单调性，确定b的范围，利用指数函数的单调性判断单调性， 确定c范围， 最终确定a，b，c的大小. 【详解】单调递增， 因为 且 且， 故， 令， 因为， 在均单调递增， 则在单调递增， 因为 且， 故， 即 ； 令， 因为， 在R上单调递减， 故单调递减， 因为 且， 则 ， 因此. 故选：D. 33．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、比较函数值的大小关系 【分析】构造函数，由导数得出单调性即可得出，构造，由导数得出单调性，即可得出． 【详解】构造函数， 当时，，故在上单调递增， 所以， 构造函数， 则， 当在单调递增， 所以，即， 所以. 故选：B． 考点2 根据函数的单调性解不等式 34．（24-25高二下·湖北武汉·期末）函数是定义域为的偶函数， 且，恒有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】由题可得，设，可判断函数的单调性及奇偶性，再利用单调性及奇偶性解不等式即可. 【详解】， ， 又，且，则，， 设，则， 所以在单调递增， 又函数是定义域为的偶函数，所以也是上的偶函数， 又，所以，即， 则，解得. 故选：C. 35．已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】先令，根据题中条件，判断其单调递减；将所求不等式化为，结合单调性，得到，求解即可. 【详解】令，因为，所以， 所以在上单调递减； 又，所以， 因此不等式可化为， 所以，解得， 即不等式的解集为. 故选：A 36．已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】设，求导，结合已知条件得在定义域上单调递增，然后化简已知不等式得，利用单调性即可求解. 【详解】设， 则， 因为，所以，又，所以恒成立， 所以在定义域上单调递增． 故原不等式可转化为，又，所以， 所以，所以，故不等式的解集为． 故选：B 37．已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】构造函数，利用导数研究的单调性，进而利用的单调性解不等式即可. 【详解】令，则， 所以在上单调递减， 因为， 所以不等式可变为，即， 所以，即， 所以不等式的解集为. 故选：D. 38．（2025·海南·模拟预测）定义在上的函数满足，当时，．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】构造函数，然后判断的单调性和奇偶性，然后将不等式变形并求出不等式的解集即可. 【详解】令，则. 所以，所以是偶函数. 当时，，所以在上单调递增. 因为，所以. 即. 因为是偶函数，所以. 又在上单调递增，所以. 两边平方得，解得. 故选：A. 一、单选题 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 2．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小. 【详解】方法一：构造法 设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以 故选：C. 方法二：比较法 解： ， ， ， ① ， 令 则 ， 故 在 上单调递减， 可得 ，即 ，所以 ； ② ， 令 则 ， 令 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 故 二、解答题 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； 【答案】(1)见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； 【详解】（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； 【详解】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 5．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数． （1）讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析； 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可； 【详解】(1)由函数的解析式可得：， 当时，若，则单调递减， 若，则单调递增； 当时，若，则单调递增， 若，则单调递减， 若，则单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，若，则单调递增， 若，则单调递减， 若，则单调递增； 6．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数，其中. （1）讨论的单调性； 【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性. 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 因为，故， 当时，；当时，； 所以的减区间为，增区间为. 7．（2021·全国乙卷·高考真题）已知函数． （1）讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析； 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、求过一点的切线方程 【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性； 【详解】(1)由函数的解析式可得：， 导函数的判别式， 当时，在R上单调递增， 当时，的解为：， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增； 综上可得：当时，在R上单调递增， 当时，在，上 单调递增，在上单调递减. 8．（2022·北京·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； 【答案】(1) (2)在上单调递增. 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程； （2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解； 【详解】（1）解：因为，所以， 即切点坐标为， 又， ∴切线斜率 ∴切线方程为： （2）解：因为，     所以， 令， 则， ∴在上单调递增， ∴ ∴在上恒成立， ∴在上单调递增. 9．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可； （2）原问题即在区间上恒成立，整理变形可得在区间上恒成立，然后分类讨论三种情况即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则， 据此可得， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）由函数的解析式可得， 满足题意时在区间上恒成立. 令，则， 令，原问题等价于在区间上恒成立， 则， 当时，由于，故，在区间上单调递减， 此时，不合题意; 令，则， 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 即在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，，满足题意. 当时，由可得， 当时，在区间上单调递减，即单调递减， 注意到，故当时，，单调递减， 由于，故当时，，不合题意. 综上可知：实数得取值范围是. 【点睛】方法点睛： （1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. （2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法 ①函数在区间上单调，实际上就是在该区间上(或)恒成立． ②函数在区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集． 10．（2020·全国II卷·高考真题）已知函数f(x)=sin2xsin2x. （1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性； 【答案】（1）当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；【详解】(1)由函数的解析式可得：，则： ， 在上的根为：， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 导数与函数的单调性 基础巩固 一、单选题 1．若函数，则函数的单调递减区间为（    ）． A．， B．， C． D． 2．设是函数的导函数，则的图象可能是（    ） A．    B．   C．   D．   3．设函数的导函数为，若的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ） A．和 B． C．和 D．和 4．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 5．（2024�云南昆明�模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ） A． B． C．e D． 6．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，若，，,则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．函数在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·新疆·模拟预测）若函数是区间上的单调函数，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，函数的单调递减区间是 B．当时，单调递增区间是 C．当时，极小值是 D．若在上是增函数，则的取值范围为 三、填空题 12．若函数在区间上是严格增函数，而函数在区间上是严格减函数，那么称函数是区间上的”缓增函数”，区间叫做“缓增区间”.已知函数是区间上的“缓增函数”，若定义为的区间长度，那么满足条件的“缓增区间”的区间长度最大值为 . 13．已知函数有三个单调区间，则实数的取值范围为 ． 14．（2025·福建泉州·二模）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 . 15．（2024·上海·三模）若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题 16．（2025·广东广州·三模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 17．（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数为增函数，求的值； 18．（2024·陕西西安·模拟预测）已知，. (1)讨论的单调性； 19．（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数. (1)已知在取得极值，求a的值， (2)当时，讨论的单调性； 五、能力提升 20．（23-24高三上�广东广州�期中）已知（其中为自然对数的底数），，，则（    ） A． B． C． D． 21．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．若对任意的，且，则m的最小值是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高三上�四川成都�期中）已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 24．（多选题）（24-25高三上�四川绵阳�开学考试）已知，则（） A． B．在上单调递增 C．，使 D．，使 25．（2025高三�北京�专题练习）在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．则下列选项错误的是（ ） A．双曲正弦函数是增函数 B．双曲余弦函数是增函数 C．双曲正切函数是增函数 D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 导数与函数的单调性 基础巩固 一、单选题 1．若函数，则函数的单调递减区间为（    ）． A．， B．， C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求出函数的定义域，由，求函数的单调递减区间. 【详解】，函数定义域为， ， 令，解得， 则函数的单调递减区间为. 故选：C. 2．设是函数的导函数，则的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】利用导数求出原函数的单调性，选择图像即可. 【详解】由，得或，由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 由图知，只有C选项的图象符合. 故选：C. 3．设函数的导函数为，若的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ） A．和 B． C．和 D．和 【答案】A 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】根据导数正负与单调性关系，结合图像逐个判断. 【详解】根据的图象可知，当时，， 当时，， 所以在内单调递减，在内单调递增， 故BCD错误，A正确. 故选：A. 4．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数图像的识别、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】首先对函数求导，然后判断函数的单调性，进而可得出对应的图象. 【详解】， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减，排除B，C，D. 故选：A． 5．（2024�云南昆明�模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ） A． B． C．e D． 【答案】A 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由函数在区间上的单调性求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】在上恒成立，即，构造函数，，求导得到其单调性，得到，得到，求出答案. 【详解】由题意得在上恒成立， ，故，即， 令，，则在上恒成立， 故在上单调递减， 故， 故，故a的最小值为. 故选：A 6．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用的导函数，结合在区间上的单调性列不等式，解不等式求得的取值范围. 【详解】依题意，由此排除CD选项. 由，解得，由此排除B选项，只有A选项正确.证明如下： 由于在区间上单调递减，所以，解得. 故选：A 【点睛】本小题主要考查根据函数在区间上的单调性求参数的取值范围，考查导数的计算，属于基础题. 7．已知函数，若，，,则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】根据题意，求出函数的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得在上为增函数，又由，分析可得答案． 【详解】解：根据题意，函数，其导数函数， 则有在上恒成立， 则在上为增函数； 又由， 则； 故选：． 【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数单调性的性质，属于基础题． 8．函数在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围 【解析】先求函数的对称轴，再根据题意建立不等式，最后求实数a的取值范围即可. 【详解】因为函数是二次函数，所以对称轴：， 因为函数在上不单调，所以，解得： 故选：C 二、多选题 9．下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】先用偶函数的定义判断各选项，再通过举反例或利用导数判断其在上的单调性即可. 【详解】对于A，，定义域为，， 所以是偶函数，且在上单调递增，故A正确； 对于B，，定义域为，， 所以是偶函数，当时， 令得，即在上单调递减，故B不正确； 对于C，，定义域为，， 所以是偶函数，， 所以在上不单调递增，故C不正确； 对于D，，定义域为，， 所以是偶函数，当时，，恒成立， 所以在上单调递增，故D正确. 故选：AD. 10．（2025·新疆·模拟预测）若函数是区间上的单调函数，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】利用导数求出函数的增区间和减区间，结合题意可得出区间的包含关系，可求出实数的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】因为，则， 由可得，由可得或， 所以，函数的增区间为和，减区间为， 若函数在上单调递减，则， 且成立，则，无解； 若函数在上单调递增， 则或， 即或，解得或， 故选：ACD． 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，函数的单调递减区间是 B．当时，单调递增区间是 C．当时，极小值是 D．若在上是增函数，则的取值范围为 【答案】BCD 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】ABC选项，先求出函数定义域，求导，得到函数单调性和极值情况，进而判断；D选项，转化为在上恒成立．利用导函数求出的单调性和最大值，得到答案. 【详解】ABC选项，因为函数，所以函数的定义域为， 故A错误． 当时，． 当变化时，和变化情况如下表： 1 - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 由上表可知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 极小值是，B，C正确． D选项，由，得． 若函数为上的增函数，则在上恒成立， 即不等式在上恒成立， 也即在上恒成立． 令，则． 当时，， 所以在上为减函数， 所以，所以， 所以的取值范围为． 故选：BCD 三、填空题 12．若函数在区间上是严格增函数，而函数在区间上是严格减函数，那么称函数是区间上的”缓增函数”，区间叫做“缓增区间”.已知函数是区间上的“缓增函数”，若定义为的区间长度，那么满足条件的“缓增区间”的区间长度最大值为 . 【答案】 【知识点】求函数的单调区间 【分析】分别求出函数的单增区间，再求出的单减区间，即可求出函数的“缓增区间”，进而求出“缓增区间”的区间长度最大值. 【详解】二次函数的单增区间是. 而. 由对勾函数的性质可知：的单减区间为，. 所以及其非空真子集均为函数的“缓增区间”，其中区间的长度最长，为. 所以满足条件的“缓增区间”的区间长度最大值为. 故答案为：. 13．已知函数有三个单调区间，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由函数的单调区间求参数 【分析】依题意，原函数的导函数方程必有两相异实根，计算即得实数b的取值范围. 【详解】函数的定义域为，. ∵函数有三个单调区间， ∴方程有两个不等的实根，即有两个不等的实根， ∴，解得，∴实数的取值范围为. 故答案为：. 14．（2025·福建泉州·二模）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】对函数求导并根据单调性得出不等式在恒成立，再构造函数并利用单调性即可求得实数的取值范围. 【详解】对于，则， 因为在区间上单调递增， 所以在恒成立， 显然，所以在恒成立， 令，， 则，所以在上单调递增， 所以，则或（舍去）， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 15．（2024·上海·三模）若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、已知函数最值求参数 【分析】根据题意，函数的极小值点在内，再结合即可求出实数的取值范围. 【详解】因为，所以，令得，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，有极小值， 因为函数在上存在最小值， 又，所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 16．（2025·广东广州·三模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、根据极值点求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值求参数 【分析】（1）根据导函数的几何意义，求在函数图形上一点的切线方程. （2）根据函数单调性与导函数的关系，对参数进行分类讨论，求出各类别中导函数的正负，求出函数单调区间. 【详解】（1）当时，，， 则，，所以切线方程为，化简得. （2）由可得，则，即函数定义域为， 当时，恒成立，所以在上单调递增. 当时，令，即，解得，因为定义域为， 所以，由，可得, 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上所述： 当时， 在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 17．（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数为增函数，求的值； 【答案】(1) (2) 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）简化函数表达式，计算，求导函数并计算，利用点斜式写出切线方程； （2）求函数的导函数，分析导函数在不同区间的符号，建立不等式求解参数范围； 【详解】（1）当时，，则， 所以， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为 （2） ， 因为函数为增函数，所以对所有成立， 当时，，不等式恒成立， 所以，又，所以， 当时，，不等式恒成立， 所以，又，所以， 当，，不等式恒成立，此时， 综上：， 18．（2024·陕西西安·模拟预测）已知，. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导，分，，对函数进行讨论； 【详解】（1）由题可知：函数的定义域为 ，由，令，所以或， 当时，令，；令，或， 所以函数在单调递增，在单调递减. 当时，在恒成立，所以函数在单调递减； 当时，令，；令，或， 所以函数在单调递增，在单调递减 19．（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数. (1)已知在取得极值，求a的值， (2)当时，讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、根据极值点求参数 【分析】（1）求出导函数，利用可得答案； （2）求出导函数，分，，三种情况讨论，分别判断导函数符号，即可得到函数的单调性. 【详解】（1）因为， 所以， 因为在取得极值， 所以 ， 经检验符合题意； （2）由题意可知的定义域为， . 由可得或， 当时，,故在上单调递减. 当时，，故令，解集为， 令，解集为， 因此的递增区间为，递减区间为，. 当时，，令，解集为， 令，解集为， 因此的递增区间为，递减区间为，. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，的递增区间为，递减区间为，； 当时，的递增区间为，递减区间为，. 能力提升 20．（23-24高三上�广东广州�期中）已知（其中为自然对数的底数），，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据的单调性可判断大小，在构造新函数，对其求导根据其单调区间，在根据单调性，可判断大小. 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以，即， 设，则， 当时，，所以在上单调递减， 所以，可得， 由在上递增，可得，即， 综上可得. 故选：A 21．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】根据不等式，构造函数并明确其单调性，进而可得导数的不等式，利用参数分离整理不等式，构造函数，利用导数求其最值，可得答案. 【详解】当时，不等式恒成立，则， 即函数在上单调递增，则， 整理可得，令，则. 当时，，单调递减，当时，，单调递增， ，. 故选：D. 22．若对任意的，且，则m的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】根据已知条件，构造函数，利用导数求其单调区间，再结合题意即可求得的最小值. 【详解】因为，故可得， 即，， 令，则上式等价于，又， 根据题意，在单调递减； 又，令，解得，即的单调减区间为， 要满足题意，只需，即的最小值为. 故选：B. 23．（23-24高三上�四川成都�期中）已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】首先确定函数关于对称，根据导数求解函数的单调性，然后根据函数的增减性求解； 【详解】因为， 所以，函数关于对称， 因为，所以， 根据函数的单调性，单调递增， 令 所以，函数单调递减，，函数单调递增， 因为， 所以，即 ， 解得：. 故选：B 24．（多选题）（24-25高三上�四川绵阳�开学考试）已知，则（） A． B．在上单调递增 C．，使 D．，使 【答案】AD 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】对于A，代入化简即可；对于B，利用导数研究函数的单调性即可；对于C，D利用基本不等式求解即可，要注意等号是否能取到. 【详解】对于A，，，故A正确. 对于的定义域为， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以1即， 在单调递减，故B错误； 对于，当时，，此时不存在，使； 当时，， 由B知，，等号取不到，故不存在，使，故C错误； 对于D，当时，，此时不存在，使； 当时，， ，则在上恒成立， 所以在上单调递增，因为， 所以，使得即， 所以存在，使，故D正确. 故答案为：AD. 25．（2025高三�北京�专题练习）在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．则下列选项错误的是（ ） A．双曲正弦函数是增函数 B．双曲余弦函数是增函数 C．双曲正切函数是增函数 D． 【答案】B 【知识点】指数幂的化简、求值、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】对于AB，通过求导可判断，对于C，，结合的单调性可判断，对于D，由指数的运算性质化简可判断； 【详解】对A：令， 则恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故A正确； 对B：令， 则，由A知，为增函数，又， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 对C：， 由在上单调递增，且， 故是增函数，故C正确； 对D：由C知，则， ， 故，故D正确. 故选：B. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 导数与函数的单调性 题型1 由导数求不含参数函数的单调区间 4 题型2 由导数求含参数函数的单调性 6 考点1 导函数可因式分解型 6 考点2 导函数不可因式分解型 11 题型3 由函数的单调性求参数 15 考点1 由函数在区间上的单调性求参数 15 考点2 由函数在区间上存在单调性求参数 18 考点3 由函数在区间上不单调求参数 21 题型4 函数单调性的应用 23 考点1 比较函数值大小 23 考点2 根据函数的单调性解不等式 27 高考真题演练 30 知识点一 函数的单调性与导数 1．函数的单调性与导数正负的关系 一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有如下关系： 单调递增 在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递增. 单调递减 在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递减. 注：对于可导函数，： ①在区间上为增函数，反之不成立，故是在区间上为增函数的充分不必要条件； ②在区间上为减函数，反之不成立，故是在区间上为减函数的充分不必要条件； ③若在某区间上仅有有限个点使，其余的点恒有，则仍为该区间上的增函数(减函数的情形类似)。 2．从导数的几何意义理解函数的单调性与导数的关系 如果即切线的斜率为正，则切线的倾斜角为锐角，曲线呈上升趋势，即函数单调递增； 如果，即切线的斜率为负，则切线的倾斜角为钝角，曲线呈下降趋势，即函数单调递减。 知识点二 利用导数求函数的单调区间 求函数的单调区间，就是解不等式或，不等式的解集就是所求的单调区间，其步骤如下： (1)确定函数的定义域； (2)求出导数的零点； (3)用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性. 一般地，上述步骤(2)和(3)可转化为解不等式 不等式的解集在定义域内的部分即为函数的单调递增区间； 不等式的解集在定义域内的部分即为函数的单调递减区间. 知识点三 导数背景下函数单调性充要条件的探究 1．在某个区间内，是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但. 2．函数在内单调递增(减)的充要条件是在内恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有并不影响函数在该区间内的单调性. 3．在某个区间上单调的函数的平均变化率的几何意义与的正负的关系： 一般地，设函数)的定义域为，区间，在区间内任取两个值，，当改变量时，若，那么就称函数在区间上是增函数；若，那么就称函数在区间上是减函数。 如果一个函数在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说这个函数在这个区间上具有单调性。 在区间内，任取，)两点，则函数的平均变化率为，其几何意义为直线的斜率。 若在区间内是增函数，则直线的斜率为正，的导数为正；若在区间内是减函数，则直线的斜率为负，的导数为负。 知识点四 导函数与原函数的图像的关联 (1)由导函数在某区间上的符号可以确定函数在这个区间上的单调情况。 如果在上，那么函数在上单调递减； 如果在上，那么函数在上单调递增； 如果函数在点处的导数值，那么函数在该点两侧的单调性一般情况下是不同的。根据提供的信息可以画出函数的大致图像，但要注意图像的连续性及线条的平滑性。 (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图像就“平缓”一些。 常见的对应情况如下表所示： 图像 的变化规律 且越来越大 且越来越小 且越来越小 且越来越大 函数值的变化规律 函数值增加得越来越快 函数值增加得越来越慢 函数值减小得越来越快 函数值减小得越来越慢 拓展点一 已知函数的单调性求参数的取值范围 (1)可导函数在上单调递增(减)的充要条件是在上恒成立，且在的任何子区间内都不恒等于0。 (2)已知在区间上的单调性，求参数范围的方法： ①利用集合的包含关系处理在上单调递增(减)的问题，则区间是相应单调区间的子集； ②利用不等式恒成立处理在上单调递增(减)的问题，则在内恒成立，注意验证等号是否成立。 题型1 由导数求不含参数函数的单调区间 1．（2025高三·全国·专题练习）函数的递增区间是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）函数在下列哪个区间单调递增（    ） A． B． C． D． 3．若幂函数的图象过点，则函数的递减区间为（    ） A． B．和 C． D． 4．已知函数，其单调增区间为 ； 5．（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数的单调递减区间是 . 题型2 由导数求含参数函数的单调性 考点1 导函数可因式分解型 6．（2025·江苏南京·二模）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线； (2)讨论函数的单调性. 7．（2025·河北保定·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 8．（2025高三·全国·专题练习）已知，讨论的单调性. 9．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调区间. 考点2 导函数不可因式分解型 10．（2025高三·全国·专题练习）讨论函数的单调性. 11．已知函数，定义域为． (1)讨论的单调性． 12．已知函数． (1)当时，求的解集； (2)当时，求的单调区间． 13．（2025·贵州黔东南·三模）设函数． (1)若，试求函数的极值； (2)设，讨论的单调性． 题型3 由函数的单调性求参数 考点1 由函数在区间上的单调性求参数 14．（2024·宁夏·模拟预测）函数在R上是单调递增的充分条件是（   ） A． B． C． D． 15．（2025·山东菏泽·一模）已知函数在区间单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（2025·江苏·一模）若在上单调递减，则实数的取值范围为 ． 17．（2025·黑龙江·二模）已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D．1 18．（2025·山西·模拟预测）若函数在区间单调递增，则的取值范围是 . 19．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测），，且，不等式恒成立，则m的取值范围为 ． 考点2 由函数在区间上存在单调性求参数 20．已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 21．若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 22．（2025·山东威海·三模）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为 . 考点3 由函数在区间上不单调求参数 24．（24-25高二下·北京大兴·期末）已知函数在定义域上不是单调函数，则实数不可能是（   ） A．0 B． C．1 D． 25．（2025·江苏苏州·三模）若在上不单调，则实数的取值范围是 ． 26．（2024·四川·模拟预测）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 . 27．若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．m>1 28．已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型4 函数单调性的应用 考点1 比较函数值大小 29．（多选题）（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）下列命题为真命题的是（    ）． A． B． C． D． 30．（2025·湖北武汉·三模）已知定义在上的函数，其导函数为，对任意的都有成立，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 31．（2025·山西·三模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 32．（2025·山东·模拟预测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 33．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 考点2 根据函数的单调性解不等式 34．（24-25高二下·湖北武汉·期末）函数是定义域为的偶函数， 且，恒有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 35．已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 36．已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 37．已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 38．（2025·海南·模拟预测）定义在上的函数满足，当时，．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 2．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 二、解答题 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； 5．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数． （1）讨论的单调性； 6．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数，其中. （1）讨论的单调性； 7．（2021·全国乙卷·高考真题）已知函数． （1）讨论的单调性； 8．（2022·北京·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； 9．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 10．（2020·全国II卷·高考真题）已知函数f(x)=sin2xsin2x. （1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性； 2 学科网（北京）股份有限公司 $$