第五章函数应用单元测试卷-2025-2026学年高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册

第五章　函数应用　单元检测卷 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.函数f(x)=(x2-1)的零点个数是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 2.函数f(x)=x2--eln 4在区间(k,k+1)(k∈N)内有零点,则k= (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 3.某工厂生产A,B两种成本不同的产品,由于市场发生变化,A产品连续两次提价20%,B产品连续两次降价20%,结果都以每件23.04元出售,若此时厂家同时出售A,B产品各一件,则相对于没有调价的盈亏情况是 (　　) A.不亏不赚 B.赚5.92元 C.赚28.96元 D.亏5.92元 4.已知函数f(x)=log2x-()x,若实数x0是方程f(x)=0的解,且0<x1<x0,则f(x1)的值 (　　) A.恒为负 B.等于零 C.恒为正 D.不小于零 5.“喊泉”是一种地下水的毛细现象.人们在泉口吼叫或发出其他声音时,声波传入泉洞内的储水池,进而产生“共鸣”等作用,泉洞中的水生动物受到惊动,激起水波,形成涌泉.声音越大,涌起的泉水越高.已知听到的声强I与标准声强I0(I0约为10-12,单位:W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级,记作L(贝尔),即L=lg.取贝尔的10倍作为响度的常用单位,简称为分贝(dB).已知某处“喊泉”的响度y(单位:dB)与喷出的泉水高度x(单位:m)之间满足关系式y=2x,甲、乙两名同学大喝一声激起的涌泉的最高高度分别为70 m,65 m.若甲同学大喝一声的声强大约相当于n个乙同学同时大喝一声的声强,则n的值约为 (　　) A.10 B.100 C.200 D.1 000 6.若方程lg(kx)=2lg(x+1)仅有一个实数根,那么实数k的取值范围为 (　　) A.(0,4) B.(-∞,0) C.(-∞,0)∪{4} D.(0,4] 7.已知函数f(x)=|lg x|-()x有两个零点x1,x2(x1<x2),则有 (　　) A.x1x2<0 B.x1x2=1 C.x1x2>1 D.0<x1x2<1 8.已知f(x)=|ex-1|+1,若函数g(x)=[f (x)]2+(a-2)·f(x)-2a有三个零点,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知函数f(x)=x2-2x+a有两个零点x1,x2,以下结论正确的是 (　　) A.a<1 B.若x1x2≠0,则+= C.f(-1)=f(3) D.函数y=f(|x|)有4个零点 10.已知函数f(x)=若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),且x1<x2<x3<x4,则 (　　) A.x1+x2=-2 B.0<x3<1<x4<2 C.x3x4≥1 D.x1+x2+x3+x4=0 11.已知函数f(x)=则下列关于函数y=f(f(x))+1的零点个数的判断正确的是 (　　) A.当a>0时,有4个零点 B.当a<0时,有1个零点 C.无论a为何值,均有4个零点 D.无论a为何值,均有1个零点 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.用二分法求方程x2+1=3的一个近似解时,已经确定有根区间为(0,1),则下一步可确定这个根所在的区间为　　　　. 13.设a>0且a≠1,则关于x的方程ax+1=-x2+2x+2a的解的个数为　　　　. 14.若函数f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且仅有两个零点,则实数a的取值范围为　　　　. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知函数f(x)=a2x-2ax+1+2(a>0且a≠1). (1)若f(-1)=,求函数g(x)=f(x)+1的所有零点; (2)若函数f(x)的最小值为-7,求实数a的值. 16.(15分)已知定义域为R的奇函数f(x),当0<x≤1时,f(x)=x2-x+1,当x>1时,f(x)=　　　　　.①;②e1-x;③. 请从上述三个条件中任选一个填入横线中,并回答下列问题. (1)若当x∈(0,m]时,f(x)的最小值为,求m的取值范围. (2)是否存在实数k,使函数F(x)=f(x)-kx有5个不相等的零点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 17.(15分)中国茶文化博大精深.小明在茶艺选修课中了解到,不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别,达到最佳口感时的水温不同.为了方便控制水温,小明联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型:如果物体的初始温度是θ1,环境温度是θ0,则经过时间t(单位:分)后物体温度θ将满足θ=θ0+(θ1-θ0)·e-kt ,其中k为正的常数.小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到,200 mL初始温度为98 ℃的水在19 ℃室温中温度下降到相应温度所需的时间如下表所示. 从98 ℃下降到90 ℃所用时间 2分钟 从98 ℃下降到85 ℃所用时间 3.4分钟 从98 ℃下降到80 ℃所用时间 5分钟 (1)请依照牛顿冷却模型写出冷却时间t(单位:分)与冷却后水温θ(单位:℃)的函数关系,并选取一组数据求出相应的k值.(精确到0.01) (2)已知某种茶叶用75 ℃左右的水冲泡,可使茶汤清澈明亮,口感最佳.在(1)的条件下,在19 ℃室温下,为获得该茶的最佳口感,200 mL水煮沸后,应大约冷却多少分钟冲泡?说明理由.(结果保留正数,参考数据:ln 79≈4.369, ln 71≈4.263,ln 66≈4.190,ln 61≈4.111,ln 56≈4.025) 18.(17分)对于函数f(x),若在其定义域内存在实数x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,则称f(x)有“※点”x0. (1)判断函数f(x)=x2+2x在[0,1]上是否有“※点”,并说明理由; (2)若函数f(x)=lg 在(0,+∞)上有“※点”,求正实数a的取值范围. 19.(17分)已知函数f(x)=-x2+2ex+t-1,g(x)=x+(x>0),其中e表示自然对数的底数. (1)若函数h(x)=g(x)-m有零点,求实数m的取值范围; (2)试确定t的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根. 第五章　函数应用　单元检测卷　参考答案 1.B　要使函数有意义,则x2-4≥0,解得x≥2或x≤-2.由f(x)=0得x2-4=0或x2-1=0(不成立,舍去),即x=2或x=-2,故函数f(x)的零点个数为2. 2.B　在(0,+∞)上,f(x)的图象是一条连续曲线,且f(x)单调递增,由f(2)=4--4=-<0,f(3)=9--4=>0及零点存在定理知,f(x)的零点在区间(2,3)内,∴k=2,故选B. 3.D　令A,B两种产品的原价分别为x,y元,由题意得1.22x=23.04,0.82y=23.04,解得x=16,y=36; 而23.04×2-16-36=-5.92,所以相对于没有调价的盈亏情况是亏5.92元. 4.A　函数f(x)的定义域为(0,+∞),由于函数y=log2x在(0,+∞)上单调递增,函数y=()x在(0,+∞)上单调递减,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.由条件知f(x0)=0,且x1∈(0,x0),故f(x1)<0. 5.A　设甲同学的声强为I1,乙同学的声强为I2, 则140=10lg,130=10lg,∴I1=102,I2=10,从而=10.∴n的值约为10. 6.C　由题意,当x=0时,方程无意义,若方程只有一个实数根, 图D 1 则即 作出函数y=x++2(x>-1)的图象,如图D 1所示,由图可知,当k<0或k=4时,原方程仅有一个实数根. 7.D　令g(x)=|lg x|,t(x)=()x,画出函数g(x)和t(x)的图象,如图D 2所示. 过B点作平行于x轴的直线,设与g(x)的图象的另一个交点为C,令C点的横坐标为x3,则可得g(x2)=g(x3), 即lg x2=-lg x3,lg x2+lg x3=0,lg(x2x3)=0,因此x2x3=1,由图可知x1<x3,且 x1>0,故0<x1x2<1. 图D 2 图D 3 8.A　若g(x)=[f (x)]2+(a-2)f(x)-2a=[f(x)-2][f(x)+a]有三个零点,即关于x的方程[f(x)-2][f(x)+a]=0有三个根.当f(x)=2时,由|ex-1|+1=2,得|ex-1|=1,得ex-1=1或ex-1=-1,即ex=2或ex=0(不合题意),则x=ln 2,此时方程只有一个根,所以 f(x)=-a有两个不同的根.作出f(x)及y=-a的图象如图D 3所示,由图象知,1<-a<2,即-2<a<-1,故实数a的取值范围是(-2,-1). 9.ABC　根据题意,函数f(x)=x2-2x+a有两个零点x1,x2,即方程x2-2x+a=0有两个不同的根,为x1,x2. 对于A,若方程x2-2x+a=0有两个不同的根,则有(-2)2-4a>0,解得a<1,故A正确; 对于B,易知x1+x2=2,x1x2=a,则+==,故B正确; 对于C,函数f(x)=x2-2x+a的图象的对称轴为直线x=1,则有f(-1)=f(3),故C正确; 对于D,当a=0时,y=f(|x|)=x2-2|x|,有3个零点,故D错误. 10.ABD　当x≥0时,f(x)=2x-1+21-x-2≥2-2=2-2=0,当且仅当2x-1=21-x,即x=1时,等号成立.f(x)在[0,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.当x<0时,f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在[-1,0)上单调递增.作出函数f(x)的图象,如图D 4所示. 图D 4 由题意知f(x)有4个零点,且x1<x2<x3<x4,则可令f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=a,则a∈(0,). 对于A,因为当x<0时,f(x)=x2+2x+,易知y=x2+2x+的图象的对称轴为直线x=-1,所以x1+x2=-2,故A正确; 对于B,由图可知,0<x3<1<x4, 由f(x4)=a<,可得f(x4)=+-2<,又f(2)=,易得x4<2,所以0<x3<1<x4<2,故B正确; 对于C,因为当x≥0时,f(x)=2x-1+21-x-2, 结合图象可知此时y=2x-1+21-x-2的图象关于直线x=1对称,可得x3+x4=2,由基本不等式可知x3x4<()2=1,故C错误; 对于D,由A可知x1+x2=-2,由C可知x3+x4=2,所以x1+x2+x3+x4=-2+2=0,故D正确. 故选ABD. 11.AB　当a>0时,若x≤0,则f(x)∈(-∞,1],其中若f(x)≤0,f(f(x))∈(-∞,1],函数y=f(f(x))+1有1个零点,若f(x)∈(0,1],f(f(x))∈(-∞,0],函数y=f(f(x))+1有1个零点;若x>0,f(x)∈R,其中若f(x)≤0,f(f(x))∈(-∞,1],函数y=f(f(x))+1有1个零点,若f(x)>0,f(f(x))∈R,函数y=f(f(x))+1有1个零点.故当a>0时,函数y=f(f(x))+1有4个零点. 当a<0时,若x≤0,则f(x)∈[1,+∞),f(f(x))∈[0,+∞),则函数y=f(f(x))+1无零点;若x>0,则f(x)∈R,其中若f(x)≤0,f(f(x))∈[1,+∞),函数无零点,若f(x)>0,f(f(x))∈R,函数y=f(f(x))+1有1个零点.故当a<0时,函数y=f(f(x))+1有1个零点. 综上,选AB. 12.(0,)　设函数f(x)=x2+1-3,因为f(0)=1>0,f(1)=-1<0,f()=()2+1-3<0,则f(0)·f()<0,所以下一步可确定这个根所在区间为(0,). 13.2　原方程等价于ax=-(x-1)2+2a.当a>1时,分别画出y=ax(a为参数)和y=-(x-1)2+2a(a为参数)的大致图象,注意到抛物线y=-(x-1)2+2a的顶点(1,2a)在(1,a)的上方,故此时两图象交点的个数是2,如图D 5(1);当0<a<1时,同理可得两图象也有2个交点,如图D 5(2).综上可得,关于x的方程ax+1=-x2+2x+2a的解的个数为2. 图D 5 14.(-∞,1)∪(0,)∪(1,+∞)　①当x2-ax+1≥0时, 由f(x)=0,得(a-1)x2+(a-2)x-1=0,即[(a-1)x-1](x+1)=0, 当a=1时,x=-1,此时x2-ax+1≥0成立; 当a≠1时,x=或x=-1, 若方程有一根为x=-1,则1+a+1≥0,即a≥-2且a≠1; 若方程有一根为x=,则()2-a×+1≥0,解得a≤2且a≠1; 当x==-1时,a=0,此时1+a+1≥0成立. ②当x2-ax+1<0时,由f(x)=0,得(a+1)x2-(a+2)x+1=0,即[(a+1)x-1](x-1)=0, 当a=-1时,x=1,显然x2-ax+1<0不成立; 当a≠-1时,x=1或x=, 若方程有一根为x=1,则1-a+1<0,即a>2; 若方程有一根为x=,则()2-a×+1<0,解得a<-2; 当x=时,a=0,显然x2-ax+1<0不成立. 综上,当a<-2时,零点为,; 当-2≤a<0时,零点为,-1; 当a=0时,只有一个零点-1; 当0<a<1时,零点为,-1; 当a=1时,只有一个零点-1; 当1<a≤2时,零点为,-1; 当a>1时,零点为1,-1; 所以当函数有两个零点时,a≠0且a≠1. 15.(1)由f(-1)=,得a-2=2-2,∴a=2,∴f(x)=22x-4×2x+2. 令t=2x,则由g(x)=f(x)+1=0,得t2-4t+3=0,∴t=1或t=3,即2x=1或2x=3,∴x=0或x=log23. ∴函数g(x)的零点为x=0,x=log23. (2)∵f(x)=a2x-2a·ax+2=(ax-a)2+2-a2,∴f(x)min=f(1)=2-a2=-7,又a>0,∴a=3. 16.(1)若选①. 根据定义域为R的奇函数f(x),当0<x≤1时,f(x)=x2-x+1,当x>1时,f(x)=,得其图象如图D 6所示. 图D 6 由f(x)在(0,m]上的最小值为,令=,解得x=,故m的取值范围为[,]. 若选②. 易知当0<x≤1时,f(x)的最小值为,当x>1时,f(x)单调递减. 由f(x)的最小值为,令e1-x=,解得x=ln ,故m的取值范围为[,ln ]. 若选③. 易知当0<x≤1时,f(x)的最小值为,当x>1时,f(x)单调递减. 由f(x)的最小值为,令=,解得x=,故m的取值范围为[,]. (2)令F(x)=0,故当0<x≤1时,x2-x+1=kx,整理得x2-(k+1)x+1=0,由Δ=(k+1)2-4=0,解得k=1或k=-3(舍去),故当k=1时,y=kx与f(x)=x2-x+1(0<x≤1)的图象存在1个交点(1,1),则数形结合可知当k>0时,y=kx与y=f(x)在(0,+∞)上的图象只有一个交点,当k≤0时,y=kx与y=f(x)在(0,+∞)上的图象没有交点.又f(x)是定义域为R的奇函数,f(0)=0,故F(x)至多共有3个零点.故不存在满足题意的实数k. 17.(1)由θ=θ0+(θ1- θ0)·e-kt得e-kt=,即-kt=ln ,t=ln . 由表格中第一组数据知,2=ln ,即k=≈0.05; 由第二组数据知,3.4=ln ,即k=≈0.05; 由第三组数据知,5=ln ,即k=≈0.05. 故k≈0.05. (2)200 mL水煮沸后,在19 ℃室温下大约冷却7分钟左右冲泡口感最佳.理由如下. 由(1)得t=20ln ,当θ=75时,有t=20×(ln 79-ln 56)≈6.88. 所以200 mL水煮沸后,在19 ℃室温下,应大约冷却7分钟冲泡. 18.(1)f(x)=x2+2x在[0,1]上有“※点”.证明如下. 令g(x)=f(x+1)-f(x)-f(1)=(x+1)2+2x+1-x2-2x-3=2x+2x-2,则x0为g(x)的零点. 因为g(0)=-1,g(1)=2,所以g(0)g(1)<0. 由零点存在定理可知,函数g(x)在区间[0,1]上至少有1个零点, 即f(x+1)=f(x)+f(1)在[0,1]上至少有1个实根, 所以函数f(x)=x2+2x在[0,1]上有“※点”. (2)若函数f(x)=lg 在(0,+∞)上有“※点”,则存在实数x0∈(0,+∞),使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立, 即lg =lg +lg ,整理得(2-a)-2ax0+2-2a=0,x0>0. 当a=2时,解得x0=-<0,不符合题意; 当a≠2时,令h(x)=(2-a)x2-2ax+2-2a,则h(x)在(0,+∞)上有零点. 当a>2时,h(x)的图象开口向下,对称轴为直线x=,<0,h(x)在(0,+∞)上单调递减,h(0)=2-2a<0, 所以h(x)在(0,+∞)上恒小于零,不符合题意. 当0<a<2时,h(x)的图象开口向上,对称轴为直线x=,>0, 由题意知Δ=4a2-4(2-a)(2-2a)≥0,即a2-6a+4≤0,解得3-≤a≤3+. 又0<a<2,所以3-≤a<2. 综上所述,正实数a的取值范围为[3-,2). 19. 图D 7 (1) 作出g(x)=x+(x>0)和y=m的大致图象,如图D 7所示,可知若使h(x)=g(x)-m有零点,则只需m≥2e, 即m的取值范围为[2e,+∞). 令h(x)=0,得g(x)=m,即x2-mx+e2=0. 函数h(x)=g(x)-m(x>0)有零点,即方程x2-mx+e2=0有大于零的根, 故解得m≥2e,即m的取值范围为[2e,+∞). (2)若g(x)-f(x)=0,则g(x)=f(x), ∵g(x)-f(x)=0有两个相异实根,∴函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点. ∵f(x)=-x2+2ex+t-1=-(x-e)2+e2+t-1, 其图象开口向下,且对称轴为直线x=e,f(x)的最大值为e2+t-1. 作出函数g(x)与f(x)的大致图象,如图D 8所示. 图D 8 故当e2+t-1>2e,即t>1+2e-e2时,g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根. ∴t的取值范围是(1+2e-e2,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$