精品解析：江西省吉安市吉州区2024-2025学年下学期期末八年级数学试题

吉州区2024-2025学年第二学期期末检测 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟；总分120分） 一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分） 1. 2024年4月30日17时46分，神舟飞船再一次按计划准时准点从太空返回地面，中国航天员不断在太空创造新的纪录．下列四个以航天为主题的图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式从左到右的变形，属于分解因式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE＝3，则两平行线AD与BC间的距离为（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 在求3x的倒数的值时，嘉淇同学将3x看成了8x，她求得的值比正确答案小5，依上述情形，所列关系式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 平行四边形的周长为，相邻两边的差为，则平行四边形的各边长为（ ） A ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 6. 如图，在方格纸中，将绕点按顺时针方向旋转90°后得到，则下列四个图形中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7 因式分解：__________． 8. 若不等式组的解集是，且，则的取值范围是__________． 9. 已知与中，，，将与按如图位置摆放，其中点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在直线的同侧，点E是的中点，B，D两点之间的距离为 __． 10. 关于x的分式方程：有增根，则k的值是__________． 11. 如图，在中，由绕点顺时针旋转得到，其中点与点、点与点是对应点，连接，且在同一条直线上，则的长为__________． 12. 在中，，，，过点的直线把分割成两个三角形且交线段AC于点P，使其中只有一个是等腰三角形，则_____________________． 三、解答题（共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解不等式组：； （2）计算：． 14. 先化简代数式，再从，，三个数中选一个恰当的数作为的值代入求值． 15. 如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，判断与的数量关系并加以说明． 16. 已知四边形是平行四边形，为对角线，分别在图①、图②中按要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图①，为上任意一点，请仅用无刻度直尺在上找出另一点，使； （2）如图②，上任意一点，请仅用无刻度直尺在上找出另一点，使． 17. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点D落在线段AB上．求证：DC平分∠ADE． 四、简答题（本题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请在图中画出与关于原点成中心对称的，并直接写出点，，的坐标：________，________，________； （2）将点，，的横坐标分别加，纵坐标分别减，依次得到点，，，请在图中画出； （3）若点是内的任意一点，点经过（1）（2）中的两次变换后的对应点为，则点的坐标为________（用含，的式子表示）． 19. 如图①平行四边形的对角线和相交于点，过点且与边，分别相交于点和点． （1）求证：； （2）如图②，已知，，，， ①当为多少度时，； ②在①的条件下，连接，求的周长． 20. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1500元，购进乙种粽子的金额是1000元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍． （1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？ （2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1450元，问最多购进多少个甲种粽子？ 五、解答题（本题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 【综合与实践】 （1）【阅读理解】如图①，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证，得到，从而把转化在一个三角形中即可判断：之间的等量关系为__________； （2）【问题探究】如图②，在四边形中，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究之间的等量关系，并证明你的结论； （3）【问题解决】如图③，与交于点，且点是的中点，点在线段上，且，若，求的值． 22. 先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． （1）上述因式分解的方法是__________，共应用了__________次； （2）若分解因式，则需应用上述方法__________次，结果是__________； （3）仿照上述方法因式分解：（n为正整数）； （4）利用（3）中结论计算：． 六、简答题（本题12分） 23. 如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系． （1）思路梳理 将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为__； （2）类比引申 如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明． （3）联想拓展 如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为________________. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 吉州区2024-2025学年第二学期期末检测 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟；总分120分） 一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分） 1. 2024年4月30日17时46分，神舟飞船再一次按计划准时准点从太空返回地面，中国航天员不断在太空创造新的纪录．下列四个以航天为主题的图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形的定义和识别，理解中心对称图形的定义，根据图形识别中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项，旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形； 选项，旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形； 选项，旋转后与原来的图形重合，是中心对称图形； 选项，旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形． 故选：C． 2. 下列各式从左到右的变形，属于分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分解因式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、是整式的乘法，故此项错误； B、没把一个多项式转化成几个整式的积，故此项错误； C、是整式的乘法，故此项错误，故此项错误； D、把一个多项式转化成几个整式的积，故此项正确． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积，注意因式分解与整式的乘法是互逆关系． 3. 如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE＝3，则两平行线AD与BC间的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】过点P作PF⊥AD于F，作PG⊥BC于G，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PF＝PE，PG＝PE，再根据平行线之间的距离的定义判断出EG的长即为AD、BC间的距离． 【详解】解：如图，过点P作PF⊥AD于F，作PG⊥BC于G， ∵AP是∠BAD的平分线，PE⊥AB， ∴PF＝PE， 同理可得PG＝PE， ∵AD∥BC， ∴点F、P、G三点共线， ∴FG的长即为AD、BC间的距离， ∴平行线AD与BC间的距离为3＋3＝6， 故选D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等. 4. 在求3x的倒数的值时，嘉淇同学将3x看成了8x，她求得的值比正确答案小5，依上述情形，所列关系式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目意思，列出数量关系，即可得出答案． 【详解】解析：根据题意，3x的倒数比8x的倒数大5，列出方程：； 故选：B． 【点睛】本题考查了倒数概念，分式方程的应用、解题的关键是解读题意，设出未知数，正确列出分式方程． 5. 平行四边形的周长为，相邻两边的差为，则平行四边形的各边长为（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解二元一次方程组． 设较长边为，邻边为，根据周长和相邻两边的差建立方程组，求解即可． 【详解】解：设较长边为，邻边为， ∵平行四边形的对边相等，周长为相邻两边之和的2倍， ∴，即 ∵相邻两边的差为， ∴ 即 得， 解得， 将代入得， 解得， ∴平行四边形的各边长为，，，， 故选：B． 6. 如图，在方格纸中，将绕点按顺时针方向旋转90°后得到，则下列四个图形中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据绕点按顺时针方向旋转90°逐项分析即可． 【详解】A、是由关于过B点与OB垂直的直线对称得到，故A选项不符合题意； B、是由绕点按顺时针方向旋转90°后得到，故B选项符合题意； C、与对应点发生了变化，故C选项不符合题意； D、是由绕点按逆时针方向旋转90°后得到，故D选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转变换．解题的关键是弄清旋转的方向和旋转的度数． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 先提取公因式m，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 若不等式组解集是，且，则的取值范围是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，解题的关键是分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀和不等式组的解集，确定的取值范围即可． 【详解】解：∵不等式组的解集是， ∴． 故答案为：． 9. 已知与中，，，将与按如图位置摆放，其中点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在直线的同侧，点E是的中点，B，D两点之间的距离为 __． 【答案】 【解析】 【分析】连接．证明，从而可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质证明是解题的关键． 10. 关于x的分式方程：有增根，则k的值是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【详解】解：方程两边都乘以，得：， 分式方程有增根， 令，解得， ， 解得， 故答案为：2． 11. 如图，在中，由绕点顺时针旋转得到，其中点与点、点与点是对应点，连接，且在同一条直线上，则的长为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】先利用互余计算出∠BAC=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=2，接着根据旋转的性质得A′B′=AB=2，B′C=BC=1，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，于是可判断△CAA′为等腰三角形，所以∠CAA′=∠A′=30°，再利用三角形外角性质计算出∠B′CA=30°，可得B′A=B′C=1，然后利用AA′=AB′+A′B′进行计算． 【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=60°， ∴∠BAC=30°， ∴AB=2BC=2×1=2， ∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C′， ∴A′B′=AB=2，B′C=BC=1，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°， ∴△CAA′为等腰三角形， ∴∠CAA′=∠A′=30°， ∵A、B′、A′在同一条直线上， ∴∠A′B′C=∠B′AC+∠B′CA， ∴∠B′CA=60°-30°=30°， ∴B′A=B′C=1， ∴AA′=AB′+A′B′=2+1=3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系． 12. 在中，，，，过点的直线把分割成两个三角形且交线段AC于点P，使其中只有一个是等腰三角形，则_____________________． 【答案】3或3.6或1 【解析】 【分析】在Rt△ABC中，通过解直角三角形可得出AC=5、S△ABC=6，找出所有可能的剪法，利用等腰三角形的性质和勾股定理求出AP即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4， ∴AC==5， 沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况： 如图①所示，AB=AP=3； 如图②所示，AB=BP=3，且P在AC上时， 作△ABC的高BD，则BD==2.4， ∴AD=DP==1.8， ∴AP=2AD=3.6； 如图③所示，CB=CP=4， ∴AP=AC-CP=5-4=1； 综上所述：AP的值为3或3.6或1， 故答案为：3或3.6或1． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质，找出所有可能的分割法是解题的关键． 三、解答题（共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解不等式组：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2）2 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，实数的混合运算． （1）先求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可； （2）先利用平方差公式算乘法，再算减法即可． 【详解】（1）解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为； （2）解： ． 14. 先化简代数式，再从，，三个数中选一个恰当的数作为的值代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件确定的值，将字母的值代入求解． 【详解】解： ， ∵，， ∴当时，原式 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 15. 如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，判断与的数量关系并加以说明． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】本题考查三角形全等判定与性质，角平分线的性质，连接，先证，得到，结合角平分线性质求解即可得到证明； 【详解】证明：，证明： 连接， 在与中， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴． 16. 已知四边形是平行四边形，为对角线，分别在图①、图②中按要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图①，为上任意一点，请仅用无刻度直尺在上找出另一点，使； （2）如图②，为上任意一点，请仅用无刻度直尺在上找出另一点，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）连接交于，连接并延长交于，点即为所作； （2）连接交于，连接并延长交于，连接并延长交于，连接交于，点即为所作． 【小问1详解】 解：如图①，连接交于，连接并延长交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴点即为所作； 【小问2详解】 解：如图②，连接交于，连接并延长交于，连接并延长交于，连接交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴点即为所作． 17. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点D落在线段AB上．求证：DC平分∠ADE． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】利用旋转的性质，等腰三角形的性质证明即可． 【详解】证明：由旋转可知，△ABC≌△DEC， ∴∠A=∠CDE，AC=DC， ∴∠A=∠ADC， ∴∠ADC=∠CDE， 即DC平分∠ADE． 【点睛】本题考查了旋转的全等性，等腰三角形的性质，熟练掌握两个性质是解题的关键． 四、简答题（本题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请在图中画出与关于原点成中心对称的，并直接写出点，，的坐标：________，________，________； （2）将点，，的横坐标分别加，纵坐标分别减，依次得到点，，，请在图中画出； （3）若点是内的任意一点，点经过（1）（2）中的两次变换后的对应点为，则点的坐标为________（用含，的式子表示）． 【答案】（1）作图见详解，（-3，1），（-2，4），（-6，3）；（2）见详解；（3） 【解析】 【分析】（1）作的各个顶点关于原点中心对称的对称点，再顺次连接起来，根据图形直接写出，，的坐标即可； （2）作各个顶点平移后的点，再顺次连接起来，即可； （3）根据（1）（2）的图形变换，直接写出的坐标，即可． 【详解】解：（1）即为所求，（-3，1），（-2，4），（-6，3）， 故答案是：（-3，1），（-2，4），（-6，3）； （2）即为所求； （3）关于原点成中心对称后得，然后横坐标加，纵坐标减得， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查图形与坐标，中心对称变换，平移变换，作出图形变换后三角形各个顶点的对称点，是解题的关键． 19. 如图①平行四边形的对角线和相交于点，过点且与边，分别相交于点和点． （1）求证：； （2）如图②，已知，，，， ①当多少度时，； ②在①的条件下，连接，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）证明，进而结论得证； （2）①由，，可得是等腰直角三角形，，则，由，可得，计算求解即可；②由①可知，，由勾股定理得，，则，由，，可知是的垂直平分线，则，根据的周长为，计算求解即可． 【小问1详解】 证明：∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①解：∵平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴当时，； ②解：由①可知，， 由勾股定理得，， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的周长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，垂直平分线的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，垂直平分线的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 20. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1500元，购进乙种粽子的金额是1000元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍． （1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？ （2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1450元，问最多购进多少个甲种粽子？ 【答案】（1）甲种粽子的单价为10元，乙种粽子的单价为5元 （2）最多购进90个甲种粽子 【解析】 【分析】（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，根据等量关系：购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，列出分式方程即可； （2）设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子（200-m）个，根据不等关系：总金额不超过1450元，列出不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则， 答：甲种粽子的单价为10元，乙种粽子的单价为5元． 【小问2详解】 解：设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子（200-m）个， 依题意得：， 解得：， 答：最多购进90个甲种粽子． 【点睛】本题考查了分式方程与一元一次不等式的实际应用，理解题意，找到关系式并正确列出方程与不等式是解题的关键，注意分式方程要检验． 五、解答题（本题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 【综合与实践】 （1）【阅读理解】如图①，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证，得到，从而把转化在一个三角形中即可判断：之间的等量关系为__________； （2）【问题探究】如图②，在四边形中，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究之间的等量关系，并证明你的结论； （3）【问题解决】如图③，与交于点，且点是的中点，点在线段上，且，若，求的值． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）延长交的延长线于点F，用证明，得到，从而得到，再利用是∠的平分线推导，得到； （2）与（1）同理可证，得到，再证明，继而得解； （3） 延长交的延长线于点H，用证明，得到，从而求得，过点作于，推导，可知，利用含角的直角三角形的性质求出，再证明可得，从而得解． 【小问1详解】 解：（1），理由如下： 如图， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∵是∠的平分线， ∴， ∴； 【小问2详解】 ，理由：延长相交于点 ∵点E是中点， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴ 是的角平分线 ， ； 【小问3详解】 延长相交于 由（2）同理得，() 过点作于， 在中，，， 根据勾股定理得， 在和中， 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，延长线段，用截长补短的方法构造出全等三角形是解题的关键． 22. 先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． （1）上述因式分解的方法是__________，共应用了__________次； （2）若分解因式，则需应用上述方法__________次，结果是__________； （3）仿照上述方法因式分解：（n为正整数）； （4）利用（3）中结论计算：． 【答案】（1）提取公因式法，2 （2）2025， （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可知，分解因式的方法为提公因式法，一共用了2次； （2）仿照题意利用提公因式法求解即可； （3）仿照题意利用提公因式法求解即可； （4）先把原式变形为，再令，结合（3）的结论求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，上述分解因式的方法是：提取公因式法，根据运算步骤可知共用了2次； 【小问2详解】 解： ， 分解，需应用上述方法2025次，结果是； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 六、简答题（本题12分） 23. 如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系． （1）思路梳理 将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为__； （2）类比引申 如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明． （3）联想拓展 如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为________________. 【答案】（1）EF＝BE＋DF；（2）EF＝DF−BE；证明见解析；（3）. 【解析】 【分析】（1）将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，首先证明F，D，G三点共线，求出∠EAF＝∠GAF，然后证明△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质解答； （2）将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，首先证明E'，D，F三点共线，求出∠EAF＝∠E'AF，然后证明△AFE≌△AFE'，根据全等三角形的性质解答； （3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，同（1）可证△AED≌AED'，求出∠ECD'＝90°，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合， ∵∠B＋∠ADC＝180°， ∴∠FDG＝180°，即点F，D，G三点共线， ∵∠BAE＝∠DAG，∠EAF＝∠BAD， ∴∠EAF＝∠GAF， 在△AFG和△AFE中，， ∴△AFG≌△AFE， ∴EF＝FG＝DG＋DF＝BE＋DF； （2）EF＝DF−BE； 证明：将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，则△ABE≌ADE'， ∴∠DAE'＝∠BAE，AE'＝AE，DE'＝BE，∠ADE'＝∠ABE， ∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ABE＝180°， ∴∠ADE'＝∠ADC，即E'，D，F三点共线， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠E'AF＝∠BAD−（∠BAF＋∠DAE'）＝∠BAD−（∠BAF＋∠BAE）＝∠BAD−∠EAF＝∠BAD， ∴∠EAF＝∠E'AF， 在△AEF和△AE'F中，， ∴△AFE≌△AFE'（SAS）， ∴FE＝FE'， 又∵FE'＝DF−DE'， ∴EF＝DF−BE； （3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'， 同（1）可证△AED≌AED'， ∴DE＝D'E． ∵∠ACB＝∠B＝∠ACD'＝45°， ∴∠ECD'＝90°， 在Rt△ECD'中，ED'＝，即DE＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵活运用利用旋转变换作图、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$