专题2.5 直线与圆的位置关系（高效培优讲义）数学苏科版九年级上册

专题2.5 直线与圆的位置关系 教学目标 1.能通过公共点个数或与的数量关系判断直线与圆相交、相切、相离，理解三者的转化条件; 2.掌握切线的判定定理（过半径外端且垂直半径）和性质定理（切线垂直过切点半径），能规范推理证明切线，运用性质转化垂直关系; 3.熟记切线长定理及圆外切四边形性质，明确三角形内心是角平分线交点，会用面积公式计算内切圆半径. 教学重难点 1.重点：直线与圆位置关系的判定；切线的判定与性质定理；切线长定理的应用。 2.难点：切线判定定理的灵活运用；综合运用位置关系和切线知识解决复杂几何问题。 知识点01 直线与圆的位置关系 位置关系 与的比较 交点情况 图示 相离 _______交点 相切 有_______交点 相交 有_______交点 【即学即练】 1．半径的为2，圆心到直线的距离为3，则直线与（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 2．如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为7，则r的值可以是（  ） A．3 B．4 C．7 D．10 知识点02 切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径_______且_______于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端，∴是⊙的切线 2、性质定理：切线_______于过切点的_______（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 【即学即练】 1．如图，是的内接三角形，是的直径，延长到点D，连接，且，．求证：直线是的切线． 2．如图，是的弦，过点的切线交的延长线于点，若，则 ． 知识点03 切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的 连线_______两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线，∴，平分 【即学即练】 如图，、分别切于A、B两点，并与的另一条切线分别相交于C、D两点，已知，则的周长为 ． 知识点04 三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都_______的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内_______的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离_______。 （2）中，则内切圆的半径 。 （3）_______，其中是边长，是内切圆的半径。 【即学即练】 如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（  ） A． B．24 C．26 D．52 题型01 直线与圆的三种位置关系 【例1】已知的半径，直线上有一点到圆心O的距离为，那么直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相切或相交 【变式1-1】在中，，，，以点C为圆心，r为半径作圆，若与直线相离，则r的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，已知点到直线的距离为5，如果在以点为圆心的圆上有且只有两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】四个半径为5的等圆与直线的位置关系如图所示，若某个圆上的点到直线的最大距离为8，则这个圆可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为，那么轴与的位置关系是 ． 题型02 切线的判定 【例2】如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 【变式2-1】如图，内接于是的直径，过点作于点，且平分． (1)求证：是的切线； 【变式2-2】如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 【变式2-3】如图，是的外接圆的直径，点D为上一点，过点D作于点D，交的延长线于点E，点F为线段上一点，且．求证：是的切线； 【变式2-4】如图，为半的直径，与半圆相切，四边形是平行四边形，与半交于点 (1)求证：是半的切线； 判定切线时，先明确待证直线与圆的公共点：①若已知公共点在圆上，连接该点与圆心得半径，证明半径与直线垂直即可；②若公共点未知，过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于圆的半径。关键是找准半径与垂线的对应关系，避免忽略“半径外端”或“垂直” 条件。 题型03 切线的性质 【例3】如图，在中，，以边的中点O为圆心的半圆与相切，连接，与半圆相交于点D，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式3-1】如图，是的直径，过的延长线上的点C作的切线，切点为P，点D是上一点，连接，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，点A在上，射线与相切于点C，若，则 ． 【变式3-3】如图，经过A，B两点的与相切于点A，与边相交于点E，为的直径，，连结，若，则的度数为 ． 【变式3-4】如图，是的直径，一直尺的顶点M在的延长线上，使边与相切，C为切点，连接． (1)求的度数； (2)若，求的长． 解切线性质问题时，先识别圆的切线及切点，紧扣 “圆的切线垂直于过切点的半径”，立即连接切点与圆心构造垂直关系（半径⊥切线），利用垂直得直角，结合直角三角形性质（如勾股定理）、圆周角定理或全等/相似三角形等知识转化角度或线段关系，注意切线与半径的唯一垂直对应（仅过切点的半径垂直于切线），避免混淆非切点的半径。 题型04 切线的判定和性质的综合应用 【例4】以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则正方形周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【变式4-1】如图，是的直径，C是上一点，于点D，过点A作的切线，交的延长线于点P，连接并延长与的延长线交于点E．求证：是的切线； 【变式4-2】如图，是的切线，是 上一点，且． (1)求证：是 的切线； (2)交于点 ，若，，求的半径． 【变式4-3】如图，为等腰三角形，，O是的中点，与相切于点D，求证：是的切线． 【变式4-4】如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于．    (1)求证：是的切线； (2)若，，则　　． 【变式4-5】如图，在中，，以为直径的半圆交于点，点是边和半圆的公共点，且满足．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长度． 题型05 用尺规作图过圆上一点或圆外一点作圆的切线 【例5】科学家阿基米德曾说：“假如给我一个支点，我可以撬起整个地球！”这运用的是杠杆原理．如图1，表示地球，点是支点． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出撬起地球的杠杆（直线），使其经过点，且与相切于点．（标明字母，保留作图痕迹，不写作法） (2)如图2，连接交于点，延长交于点，为下方的上一点，且，在图1的条件下，若为的中点，求的度数． 【变式5-1】数学活动课上，老师让同学们根据切线的定义，用尺规过点P作的一条切线． (1)尺规作图：作的切线．（保留作图痕迹）． (2)作图的依据是：________； 【变式5-2】如图，半圆的圆心在的边上，交于，两点，与边相切于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规，过点作的垂线，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 【变式5-3】如图，在中，． (1)在边上确定一点O，以O为圆心，为半径作，使得与边相切于点D；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)已知，，在所作的图形中，求的半径． 过圆上一点作切线：连接该点与圆心得半径，以该点为顶点，用尺规作半径的垂线，此垂线即为切线； 过圆外一点作切线：连接该点与圆心，作线段的垂直平分线得中点，以中点为圆心、原线段一半为半径画圆，与原圆交于两点，连接外点与这两点即得切线。 题型06 三角形的内切圆与内心 【例6】如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，点O，I分别是的外心和内心，连接，．若，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图所示，已知是的内切圆，、、是切点，，，则为（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，中，，点O为的外心，，，是的内切圆．则的长为 ． 【变式6-4】如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，． (1)若，则　　； (2)若，，求的半径． 题型07 切线长定理 【例7】如图， 的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图1，已知内切于四边形，与分别相切于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，与交于点，若，求证：． 【变式7-2】如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边分别相切于点A、B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若，则的度数为 ． 【变式7-3】足球不仅是全球最受欢迎的运动，更是一种文化纽带．它超越国界，连接人心，激发团队精神与拼搏意志，带来激情与欢乐，成为人们情感交流的桥梁图①是一次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型，是圆的切线，为切点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出这个圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，延长交射线于点，若，请补全图形，并求的长． 【变式7-4】已知点在以为直径的圆上，过点、作圆的切线，交于点，连， (1)证明：； (2)若，求的值． 一、单选题 1．三个半径均为6的圆与直线l的位置关系如图所示，若点P在其中的某个圆上，且点P到直线l的距离为8，则这个圆只能是（    ） A． B． C．或 D．或 2．如图，切于点A，．则度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，是的内切圆，切点分别为，，．若，，则的周长为（    ） A．16 B．23 C．25 D．32 4．如图，点I是的内心，点O是的外心，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，的边经过点且与⊙相交于点，，与⊙相切于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，半径为5的与矩形的边都相切，且经过顶点，与边相交于点．若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知和的半径分别为2和3，若，则和的位置关系是 ． 9．如图，点O是内心，也是的外心．若，则的度数 ． 10．如图，分别与圆相切于两点，点为圆上一点，连接，若，则的度数为 ． 11．如图，是的弦，与相切于点，经过圆心．若，则 ．    12．如图，、是的两条弦，，过点的切线与的延长线交于点，则 ． 13．一个菱形的周长是，两对角线之比是，则该菱形的内切圆的半径是 ． 14．如图，在中，是的内切圆，分别与相切于点D，E，F，则圆心O到顶点A的距离为 ． 三、解答题 15．如图，的顶点，在上，圆心在边上，，与相切于点，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 16．如图，在中，． (1)用尺规作图法作斜边边上的垂直平分线交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，以为圆心，为半径作，求证：与相切． 17．如图，为的直径，取的中点C，过点C作交于点D，D在的上方，连接、，点E在线段的延长线上，且． (1)求的度数； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 18．如图，内接于，是上一点，．是外一点，，，连接． (1)若，，求的长； (2)求证：是的切线． 19．如图，已知，以为直径的与分别交于点D，E，与过E点的切线垂直，垂足为F． (1)求证：平分； (2)当时，求证：． 20．如图，四边形是平行四边形，点是的中点，以为直径的圆交于点，交于点，点在上，与相切，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 直线与圆的位置关系 教学目标 1.能通过公共点个数或与的数量关系判断直线与圆相交、相切、相离，理解三者的转化条件; 2.掌握切线的判定定理（过半径外端且垂直半径）和性质定理（切线垂直过切点半径），能规范推理证明切线，运用性质转化垂直关系; 3.熟记切线长定理及圆外切四边形性质，明确三角形内心是角平分线交点，会用面积公式计算内切圆半径. 教学重难点 1.重点：直线与圆位置关系的判定；切线的判定与性质定理；切线长定理的应用。 2.难点：切线判定定理的灵活运用；综合运用位置关系和切线知识解决复杂几何问题。 知识点01 直线与圆的位置关系 位置关系 与的比较 交点情况 图示 相离 无交点 相切 有一个交点 相交 有两个交点 【即学即练】 1．半径的为2，圆心到直线的距离为3，则直线与（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】A 【详解】解：∵的半径为2，圆心到直线的距离为3，且， ∴直线与相离． 故选：A． 2．如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为7，则r的值可以是（  ） A．3 B．4 C．7 D．10 【答案】D 【详解】解：∵直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为7， ∴， 故选：D． 知识点02 切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端，∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 【即学即练】 1．如图，是的内接三角形，是的直径，延长到点D，连接，且，．求证：直线是的切线． 【答案】见解析 【详解】证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，，且是的半径， ∴直线是的切线． 2．如图，是的弦，过点的切线交的延长线于点，若，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接并延长，交于点，连接，则， ∵是的直径， ∴， ∵是的切线，点是切点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点03 切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的 连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线，∴，平分 【即学即练】 如图，、分别切于A、B两点，并与的另一条切线分别相交于C、D两点，已知，则的周长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，设与切于点， ，，分别切⊙于点，，， ，，， 的周长 ， 故答案为：． 知识点04 三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）中，则内切圆的半径 。 （3），其中是边长，是内切圆的半径。 【即学即练】 如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（  ） A． B．24 C．26 D．52 【答案】C 【详解】解： 是的内切圆且半径为2，，， ， ， 则的面积为26， 故选：C 题型01 直线与圆的三种位置关系 【例1】已知的半径，直线上有一点到圆心O的距离为，那么直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相切或相交 【答案】D 【详解】解：直线上有一点到圆心O的距离为， 圆心O到直线上的距离， 的半径， ， 当时，直线与相切； 当时，直线与相交； 直线与的位置关系是相切或相交． 故选：D． 【变式1-1】在中，，，，以点C为圆心，r为半径作圆，若与直线相离，则r的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意画图如下， 过点作于点， ，，， ， 以点C为圆心，r为半径作圆，且与直线相离， ， ， 解得， 故选：C． 【变式1-2】如图，已知点到直线的距离为5，如果在以点为圆心的圆上有且只有两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：已知点O到直线l的距离为5，要使圆上有且只有两个点到直线l的距离为2． 过点O作直线l的垂线，垂足为A． 当圆与直线l的位置关系满足： 以O为圆心的圆与直线l相交，且在直线l两侧到直线l距离为2的点中，只有两个在圆上． 从距离角度看，圆的半径r要满足：，即． 故选：D 【变式1-3】四个半径为5的等圆与直线的位置关系如图所示，若某个圆上的点到直线的最大距离为8，则这个圆可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、、、是四个半径为5的等圆，某个圆上的点到直线l的最大距离为8， ∴直线与这个圆相交且不经过圆心，且与圆有两个交点， 某个圆上的点到直线l的最大距离为8是， 故选：C． 【变式1-4】在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为，那么轴与的位置关系是 ． 【答案】相交 【详解】解：∵的圆心坐标为， ∴到y轴的距离d为3， ∵， ∴y轴与相交， 故答案为：相交． 题型02 切线的判定 【例2】如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 【答案】A 【详解】解：∵与有唯一公共点的直线是， ∴与相切的直线是， 故选：A． 【变式2-1】如图，内接于是的直径，过点作于点，且平分． (1)求证：是的切线； 【答案】(1)见解析 【详解】（1）证明：证明：如答图，连接． ∵平分， . ， ， ， . ， 又是的半径， 是的切线． 【变式2-2】如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 【答案】D 【详解】解：是的直径，且是的切线 又 直线与相切 故选项A、B可以判定，不符合题意； C、根据圆的切线的定义，可知与圆仅有一个公共点的直线是切线，选项C可以判定，不符合题意； D、根据与圆心的距离等于半径的直线为圆的切线，选项D不可判定，符合题意； 故选：D． 【变式2-3】如图，是的外接圆的直径，点D为上一点，过点D作于点D，交的延长线于点E，点F为线段上一点，且．求证：是的切线； 【答案】见解析 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； 【变式2-4】如图，为半的直径，与半圆相切，四边形是平行四边形，与半交于点 (1)求证：是半的切线； 【答案】(1)见解析 【详解】（1）证明：连接， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， 在和中， ， ， 切于A， ， ， 是半的切线； 判定切线时，先明确待证直线与圆的公共点：①若已知公共点在圆上，连接该点与圆心得半径，证明半径与直线垂直即可；②若公共点未知，过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于圆的半径。关键是找准半径与垂线的对应关系，避免忽略“半径外端”或“垂直” 条件。 题型03 切线的性质 【例3】如图，在中，，以边的中点O为圆心的半圆与相切，连接，与半圆相交于点D，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】解：因为在中，， 所以， 因为在中，点O为的中点， 所以， 记切点为点E，连接，如图， 所以可知， 所以， 因为点O为的中点， 所以点E为的中点， 所以， 所以圆的半径为3，即， 所以， 即的长为2 ． 故选：D ． 【变式3-1】如图，是的直径，过的延长线上的点C作的切线，切点为P，点D是上一点，连接，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接， 由圆周角定理得：， 是的切线， ， ， 故选：C． 【变式3-2】如图，点A在上，射线与相切于点C，若，则 ． 【答案】70 【详解】解：∵射线与相切于点C， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：70． 【变式3-3】如图，经过A，B两点的与相切于点A，与边相交于点E，为的直径，，连结，若，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， 为的直径，与相切于点， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3-4】如图，是的直径，一直尺的顶点M在的延长线上，使边与相切，C为切点，连接． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)4 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是的切线， ， ， ， ， ∴， ， ， ； （2）解：由题意得：， ， ∵， ，则， 解得， ∴． 解切线性质问题时，先识别圆的切线及切点，紧扣 “圆的切线垂直于过切点的半径”，立即连接切点与圆心构造垂直关系（半径⊥切线），利用垂直得直角，结合直角三角形性质（如勾股定理）、圆周角定理或全等/相似三角形等知识转化角度或线段关系，注意切线与半径的唯一垂直对应（仅过切点的半径垂直于切线），避免混淆非切点的半径。 题型04 切线的判定和性质的综合应用 【例4】以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则正方形周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ， 设正方形的边长为，，则， ∵经过的半径的外端，且， ∴是的切线， ∵与相切于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴正方形周长为16， 故选：C． 【变式4-1】如图，是的直径，C是上一点，于点D，过点A作的切线，交的延长线于点P，连接并延长与的延长线交于点E．求证：是的切线； 【答案】见解析 【详解】证明∶ 如图，连接． ，经过圆心， 垂直平分． ． 在和中 ． ． 是的切线， ． ．即． 是的切线． 【变式4-2】如图，是的切线，是 上一点，且． (1)求证：是 的切线； (2)交于点 ，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：证明：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）设的半径为， ， ， ，                  ， 解得（不符合题意，舍去）， ∴的半径为2． 【变式4-3】如图，为等腰三角形，，O是的中点，与相切于点D，求证：是的切线． 【答案】见解析 【详解】证明：连接，过点O作于E点， 则． ∵切于D， ∴， ∴， ∴． 又∵O是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即是的半径， ∴与相切． 【变式4-4】如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于．    (1)求证：是的切线； (2)若，，则　　． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接、，    为的直径， ， ， 点是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：在中，，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，圆周角定理，解决本题的关键是综合运用以上知识． 【变式4-5】如图，在中，，以为直径的半圆交于点，点是边和半圆的公共点，且满足．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即：，又为的半径， 为的切线；    （2）解：设的半径为， 则， 由（1）可知：， 为直角三角形， 又， ， ， ， ， 在中，，， ， 为等边三角形， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长公式，切线的判定定理，以及平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题． 题型05 用尺规作图过圆上一点或圆外一点作圆的切线 【例5】科学家阿基米德曾说：“假如给我一个支点，我可以撬起整个地球！”这运用的是杠杆原理．如图1，表示地球，点是支点． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出撬起地球的杠杆（直线），使其经过点，且与相切于点．（标明字母，保留作图痕迹，不写作法） (2)如图2，连接交于点，延长交于点，为下方的上一点，且，在图1的条件下，若为的中点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)15° 【详解】（1）解：如图（1），直线即为所求作的直线； （2）解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴． 【变式5-1】数学活动课上，老师让同学们根据切线的定义，用尺规过点P作的一条切线． (1)尺规作图：作的切线．（保留作图痕迹）． (2)作图的依据是：________； 【答案】(1)见解析 (2)直径所对的圆周角为直角 【详解】（1）解：如图，直线即为所求的切线． （2）解：由作图知是的内接三角形，且是的直径， 则，即， 是的半径， 是的切线， 故作图的依据是：直径所对的圆周角为直角． 【变式5-2】如图，半圆的圆心在的边上，交于，两点，与边相切于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规，过点作的垂线，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）证明：如图，连接，． 为的切线， ． 由（1）可知，， ． ，， ． ． 【变式5-3】如图，在中，． (1)在边上确定一点O，以O为圆心，为半径作，使得与边相切于点D；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)已知，，在所作的图形中，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：如图：为所作． （2）解：连接， 在中，，，， ， ，且点在上， 为的切线， 与相切于， ， ， 设的半径为， 在中， ， 解得：，即的半径为． 过圆上一点作切线：连接该点与圆心得半径，以该点为顶点，用尺规作半径的垂线，此垂线即为切线； 过圆外一点作切线：连接该点与圆心，作线段的垂直平分线得中点，以中点为圆心、原线段一半为半径画圆，与原圆交于两点，连接外点与这两点即得切线。 题型06 三角形的内切圆与内心 【例6】如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，设等边的内切圆圆心为O，与分别相切于D、E，连接， 由切线的性质可得， ∵， ∴平分， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴边长为a的正三角形的内切圆半径是， 故选：A． 【变式6-1】如图，点O，I分别是的外心和内心，连接，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点I是的内心， ∴平分， ∴， 故选：D． 【变式6-2】如图所示，已知是的内切圆，、、是切点，，，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：圆是的内切圆， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 【变式6-3】如图，中，，点O为的外心，，，是的内切圆．则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图：过点P作于D、于E、于F， ∵点P是内切圆的圆心， ∴，、、， ∴四边形是正方形， ∵中，，，， ∴， 设，，， 则，解得：， ∴， ∵点O为的外心， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 【变式6-4】如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，． (1)若，则　　； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）解：，是的切线， ， 又， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，连接，，，， ，，是的切线， ，，， ，，， ， ， ， ． ， 的半径为1． 题型07 切线长定理 【例7】如图， 的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，故B选项正确； ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴，，， ∵，，， 设，，， ∴，解得， ∴，，，故C选项正确； 过点C作于点H， ∴， 设，则， ∵在中，， 在中，， ∴，解得， ∴， ∴， 连接，，，， 设的半径为r，即， ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴，，， ∴， ∴，解得：， ∴，故D选项正确； ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， 若成立， 则，这与矛盾， ∴不成立，故A选项错误． 故选：A 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，勾股定理，三角形的内角和定理，圆周角定理等，综合运用相关知识是解题的关键． 【变式7-1】如图1，已知内切于四边形，与分别相切于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，与交于点，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：根据切线长定理可得：，，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵四边形的内切圆与边分别相切于点E，F，G，H， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，圆中的弧、弦、圆周角之间的关系等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 【变式7-2】如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边分别相切于点A、B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：∵切于点A，是半径， 分别切于点A、B， ． 故答案为：． 【变式7-3】足球不仅是全球最受欢迎的运动，更是一种文化纽带．它超越国界，连接人心，激发团队精神与拼搏意志，带来激情与欢乐，成为人们情感交流的桥梁图①是一次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型，是圆的切线，为切点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出这个圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，延长交射线于点，若，请补全图形，并求的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解， 【详解】（1）解：点O如图所示： （2）解：连接，如图所示 ∵是圆的切线，为切点． ∴，，， 则， 在中，由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得出， 即， ∴， 解得， ∴． 【变式7-4】已知点在以为直径的圆上，过点、作圆的切线，交于点，连， (1)证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【详解】（1）解：连接交于点Q． 分别与相切， ∴，， 则垂直平分，即， ∵为的直径， ∴， ∴； （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴． 设， 则，， ∴． 设， 则，， ∴， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质与定理，切线长定理，圆周角定理，垂直平分线的性质与判定，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 一、单选题 1．三个半径均为6的圆与直线l的位置关系如图所示，若点P在其中的某个圆上，且点P到直线l的距离为8，则这个圆只能是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：由题意可知，、、的半径均为6，点P到直线l的距离为8， 若点在上，则点P到直线l的距离不大于6，不符合题意； 若点在或上，点P到直线l的距离可以为8，符合题意； 故选：C． 2．如图，切于点A，．则度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵切于点A， ∴， ∵， ∴， 故选：B 3．如图，是的内切圆，切点分别为，，．若，，则的周长为（    ） A．16 B．23 C．25 D．32 【答案】D 【详解】解：是的内切圆，切点分别为，，， ， ， ， 的周长为： ； 故选：D． 4．如图，点I是的内心，点O是的外心，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为点O是的外心，且， 所以， 在中有，， 又因为点I是的内心， 所以为的角平分线，为的角平分线， 所以，， 所以， 所以 ． 故选：C ． 5．如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴． ∵以为直径的与相切于点A， ∴， ∴． 故选：C． 6．如图，的边经过点且与⊙相交于点，，与⊙相切于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接， ∵与⊙相切， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 7．如图，在平面直角坐标系中，半径为5的与矩形的边都相切，且经过顶点，与边相交于点．若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵与矩形的边都相切， ∴，， ∴， ∵矩形中，, ∴， ∴轴， ∵点A的坐标是， ∴点D的纵坐标为3， ∴， ∵矩形中， ∴， ∴， ∴， 连接，根据勾股定理得：， ∴点E的坐标为． 故选：A． 二、填空题 8．已知和的半径分别为2和3，若，则和的位置关系是 ． 【答案】外切 【详解】解：∵和的半径分别为2和3，且， ∴和的位置关系是外切， 故答案为：外切 9．如图，点O是内心，也是的外心．若，则的度数 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵点O是内心， ∴分别平分， ∴， ∴， ∴， ∵点O是的外心， ∴， 故答案为：． 10．如图，分别与圆相切于两点，点为圆上一点，连接，若，则的度数为 ． 【答案】/80度 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵分别与圆相切于两点， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，是的弦，与相切于点，经过圆心．若，则 ．    【答案】 【详解】解：连接，    是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．如图，、是的两条弦，，过点的切线与的延长线交于点，则 ． 【答案】28 【详解】解：如图：连接， ， 由切线的性质可得：，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．一个菱形的周长是，两对角线之比是，则该菱形的内切圆的半径是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示：菱形，对角线，可得菱形内切圆的圆心即为对角线交点， 设与圆相切于点E，可得， ∵一个菱形的周长是，两对角线之比是， ∴，， 设，则， 故， 解得：， 则， 故， 解得：． 故答案为：． 14．如图，在中，是的内切圆，分别与相切于点D，E，F，则圆心O到顶点A的距离为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连结，设半径为r， ∵， ∴， ∵是的内切圆，分别与相切于点D、E、F， ∴，且， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 三、解答题 15．如图，的顶点，在上，圆心在边上，，与相切于点，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：∵与相切与点， ∴， ∴， ∵， ∴; （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 16．如图，在中，． (1)用尺规作图法作斜边边上的垂直平分线交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，以为圆心，为半径作，求证：与相切． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图，分别以A、B为圆心，大于的一半的长为半径作圆弧，得到两个交点，过这两点线直线，垂直平分线即为所求； （2）证明：连接， ，， ， 直线垂直平分线段， ， ， ， 又， ， ， 为的半径， 与相切． 17．如图，为的直径，取的中点C，过点C作交于点D，D在的上方，连接、，点E在线段的延长线上，且． (1)求的度数； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)与的位置关系是相切，理由见解析 【详解】（1）解：如图，连接， ， 点为的中点，， ， ， 是等边三角形， ， ， ； （2）解：与的位置关系是相切，理由如下： 由（1）知，， ， ， 是的切线． 18．如图，内接于，是上一点，．是外一点，，，连接． (1)若，，求的长； (2)求证：是的切线． 【答案】(1)4 (2)见解析 【详解】（1）解：， ，即， 又，， ， ， ； （2）证明：连接并延长交于点，连接， 是的直径， ， ， ∵， ∴， 由（1）知 ∴， ， 又， ， ， ， ， 是的切线． 19．如图，已知，以为直径的与分别交于点D，E，与过E点的切线垂直，垂足为F． (1)求证：平分； (2)当时，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：连接， ∵为的切线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即平分； （2）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 20．如图，四边形是平行四边形，点是的中点，以为直径的圆交于点，交于点，点在上，与相切，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，， 是的切线， ， ， 连接， 为的直径， 又， ， 四边形为菱形． （2）解：连接， 为的直径， 四边形为菱形， ， ， ∴， 设，在和中分别用勾股定理得： ， ∴， 解得：， 的长为2． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$