17.2 勾股定理的逆定理 　课件 2024--2025学年人教版八年级数学下册

勾股定理的逆定理 R·八年级数学下册 活动一：故事引入，自主探究 探究点 1 勾股定理的逆定理 类似古埃及人画直角的故事，我们准备三根绳子来模仿操作，看看能否得到和古埃及人相同的结果. （1）让一根绳子的一端与 0 刻度线重合，分别在 3 cm，7 cm，12 cm 处做标记，得到长度分别为 3 cm，4 cm，5 cm 的三段，然后以这三段为边围成一个三角形，量量看是不是直角三角形. 是直角三角形 （2） 类似（1）的操作，以 2.5 cm，6 cm，6.5 cm 和 4 cm，7.5 cm，8.5 cm 的三段为边分别围成一个三角形，量量看是不是直角三角形. （3）结合上面的操作，想想学过的勾股定理，猜想一个三角形的三边满足什么关系时，这个三角形就是直角三角形，用命题形式表述. 如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2 +b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. 3 cm，4 cm，5 cm 2.5 cm，6 cm，6.5 cm 4 cm，7.5 cm，8.5 cm 下面命题的题设、结论分别是什么？ 命题2 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形． 探究点 2 互逆命题和互逆定理 命题1 如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2 = c2． 题设 结论 题设 结论 题设A 结论B ① 题设B 结论A ② 原命题 逆命题 互逆命题 我们把像这样，题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题. 我们把像这样，题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. A B C a b c ① 如图①，已知：在△ABC 中，AB = c，BC = a，CA = b，并且 a2 + b2 = c2，怎么证明△ABC 是直角三角形呢？ 如图②，画一个 Rt△A′B′C′ 中，使B′C′ = a，A′C′ = b，∠C′ = 90°. △ABC 与△ A′B′C′ 全等吗？可以说明△ABC是直角三角形吗？ A′ B′ C′ a b ② 互逆定理 根据勾股定理，A′B′2 = B′C′2 + A′C′2 = a2 + b2 = c2. ∴ A′B′ = c .在△ABC 和△A′B′C′ 中，BC = a = B′C′，AC = b = A′C′， AB = c = A′B′， ∴△ABC ≌△ A′B′C′（SSS）. ∴∠C=∠C′=90°， 即△ABC 是直角三角形. A B C a b c A′ B′ C′ a b ① ② 如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 定理：内错角相等，两直线平行； 逆定理：两直线平行，内错角相等； 互为逆定理 归纳总结 勾股定理是正确的，其逆命题也是正确的，是不是说明原命题成立，其逆命题一定成立呢？有没有反例说明？ 不一定.比如命题“对顶角相等”成立，而它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立. 例 1　判断由线段 a，b，c 组成的三角形 是不是直角三角形： （1）a = 15，b = 8，c = 17； （2）a = 13，b = 14，c = 15. 解：（1）因为 152 + 82 = 225 + 64 = 289，172 = 289， 即 152 + 82 = 172， 根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形. （2）因为 132 + 142 = 169 + 196 = 365，152 = 225， 即 132 + 142 ≠ 152， 根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形. 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 1. 判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形： （1）a = 7，b = 24，c = 25； ∵ a2 + b2 = 72 + 242 = 49 + 576 = 625，c2 = 252 = 625， ∴ a2 + b2 = c2. 由勾股定理的逆定理知这个三角形是直角三角形. 【选自教材 P34】 （2）a = 40，b = 50，c = 60； ∵ a2 + b2 = 402 + 502 = 1600 + 2500 = 4100，c2 = 602 = 3600， ∴ a2 + b2 ≠ c2. ∴这个三角形不是直角三角形. 【对应训练】 2. 有下列 4 组数： ① 5，12，13； ② 1，2，4； ③ 32，42，52； ④ 0.3，0.4，0.5 . 其中，勾股数有（ ） A A. 1 组 B. 2 组 C. 3 组 D. 4 组 3. 说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？ （1）两条直线平行，内错角相等； （2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； 其逆命题为“内错角相等，两直线平行”；这个命题成立. 其逆命题为“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”；这个命题不成立. 如 |-3| = |3|，但 -3 ≠ 3. 课堂总结 勾股定理的逆定理是什么？什么是逆命题？什么样的数叫做勾股数？ 作业布置 1. 教材 P34 习题 17.2 第 1，2，7 题. 2. 《同步练习》相应课时训练. Lavf60.16.100 $$