专题08 平面向量及其应用 （上海专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）高考1年模拟数学真题分类汇编

专题08 平面向量及其应用 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 平面向量共线的坐标表示（5年2考） 2025年由坐标判断向量是否共线；由向量共线（平行）求参数 2024年由向量共线（平行）求参数 上海高考平面向量及其应用的命题趋势近年来呈现出稳中求变、综合化与实际应用并重的特点，未来命题可能进一步加强向量与其他数学模块的融合。 平面向量的数量积（5年3考） 2025年数量积的坐标表示 2023年数量积的坐标表示 2022年用定义求向量的数量积 平面向量的应用（5年1考） 2021年解析法在向量中的应用 考点01 平面向量共线的坐标表示 1．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ． 【答案】15 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，，解得． 故答案为：15． 2．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（  ） A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个 【答案】B 【知识点】由坐标判断向量是否共线、数列不等式恒成立问题、利用导数研究方程的根 【分析】由可知范围，再由三角形三边关系可得的不等关系，结合函数零点解不等式可得. 【详解】由题意，不妨设， 三点均在第一象限内，由可知，， 故点恒在线段上，则有. 即对任意的，恒成立， 令，构造函数， 则，由单调递增， 又，存在，使， 即当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故至多个零点， 又由， 可知存在个零点，不妨设，且. ①若，即时，此时或. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得； ②若，即时，此时. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得或； 综上可知，正整数的个数有个. 故选：B. 3．（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点． (1)若的焦点，求离心率e； (2)若，且上存在一点P，满足，求m； (3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的坐标表示、根据椭圆方程求a、b、c、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由方程可得，再由焦点坐标得，从而求出得离心率； （2）设点坐标，由向量关系坐标化可解得坐标，代入椭圆方程可得； （3）根据中垂线性质，由斜率与中点坐标得直线方程，联立直线与椭圆方程，将钝角条件转化为向量不等式，再坐标化利用韦达定理代入化简不等式求解可得范围. 【详解】（1）由题意知，，则， 由右焦点，可知，则， 故离心率. （2）由题意， 由得，， 解得，代入， 得，又，解得. （3）由线段的中垂线的斜率为，所以直线的斜率为， 则，解得， 由得中点坐标为， 故直线，显然直线过椭圆内点， 故直线与椭圆恒有两不同交点， 设， 由消得， 由韦达定理得， 因为为钝角，则，且， 则有， 所以， 即，解得， 又， 故，即的取值范围是. 考点02 平面向量的数量积 4．（2023·上海·高考真题）已知,，求 【答案】4 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】 由平面向量数量积的坐标运算求解. 【详解】由题意得 故答案为：4 5．（2022·上海·高考真题）若，且满足，则 . 【答案】/ 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用定义求向量的数量积 【分析】设，利用数量积定义求出，即可求出. 【详解】因为，所以，设. 由可得：， 两式相除得：. 又，且 解得：. 因为，所以，解得：. 故答案为：. 6．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、数量积的坐标表示、辅助角公式、垂直关系的向量表示 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得. 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则 ， 由，， 则， 故. 故答案为：. 考点03 平面向量的应用 7．（2021·上海·高考真题）在△中，为中点，为中点，则以下结论：① 存在△，使得；② 存在三角形△，使得∥，则 （    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】B 【知识点】解析法在向量中的应用 【分析】建立坐标系，设出坐标，利用坐标关系表示出即可判断. 【详解】不妨设，，，，， ① ，，若，∴， ∴，满足条件的明显存在，∴①成立； ② F为AB中点，，与交点即重心， ∵为三等分点，为中点，∴与不共线，即②不成立； 故选：B 一、单选题 1．（2025·上海宝山·二模）已知向量，，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由共线向量的坐标表示，建立方程，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：D. 2．（2025·上海杨浦·二模）已知、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，根据数量积的运算律得到，设，， ，再由数量积的坐标表示及两角差的正弦公式计算可得. 【详解】因为、、是单位圆上的三个点，如图建立平面直角坐标系， 因为，即，所以， 所以，即， 不妨设，，设，所以，， 所以， 所以当，即时取得最大值，且. 故选：D    3．（2025·上海黄浦·三模）设、是平面内相交成的两条射线，、分别是与、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.已知在如图所示的仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，且，点、、分别为、、的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据可得出，设，，则，根据平面向量的线性运算得出，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的最大值. 【详解】由题意，则， 设则， 则， 整理得：，不妨设，，则. 因点、分别为、的中点， 则，， 同理可得， 故 ， 将，代入上式， 可得： ， 其中是锐角，且，故的最大值为. 故选：A. 4．（2025·上海·三模）已知集合是由平面向量组成的集合，若对任意，均有，则称集合是“凸”的，则下列集合中不是“凸”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出各个选项表示的平面区域，根据给定集合E是“凸”的意义判断作答. 【详解】设，，，则C为线段AB上一点， 因此一个集合E是“凸”的就是E表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内， 四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示：                 A                                 B                 C                                 D 观察选项A，B，C，D所对图形知，B对应集合不是“凸”的，ACD对应集合是“凸”的. 故选：B 二、填空题 5．（2025·上海·模拟预测）已知，若，则 ． 【答案】/ 【分析】由平面向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由得，解得. 故答案为：. 6．（2025·上海嘉定·二模）已知向量，若，则 ． 【答案】8 【分析】由向量垂直的坐标表示，列方程求参数值. 【详解】由题设. 故答案为：8 7．（2025·上海浦东新·模拟预测）已知向量，则向量在向量上的投影向量为 . 【答案】 【分析】根据向量数量积的坐标运算及投影向量的概念求解. 【详解】因为，， 所以向量在向量上的投影向量为， 故答案为： 8．（2025·上海徐汇·二模）已知是正方形，点是的中点，点在对角线上，且则的大小为 . 【答案】/ 【分析】建立平面直角坐标系，求出点的坐标，利用数量积即可求解. 【详解】以点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，设， 则有，由有，所以， 所以，所以， 即，所以， 故答案为：. 9．（2025·上海宝山·二模）已知中，，，点在线段上，且，则的值为 . 【答案】 【分析】根据确定，从而可得，从而用向量数量积的运算律即可求解. 【详解】设等腰在边上的高为， 因为，所以， 所以， 所以， 所以 . 故答案为：. 10．（2025·上海金山·模拟预测）已知点O是△ABC外接圆圆心，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且有，若，则实数λ的值为 ． 【答案】3 【分析】由已知结合余弦定理可得，设D为BC中点，可得，由，可得，计算可求解. 【详解】， 又， 则， 则， 设D为BC中点，则有， ∴， 由可得， ∴， 所以，所以，即 又，所以， 故． 故答案为：. 11．（2025·上海青浦·三模）已知平面向量，，，满足，，则当与的夹角最大时，的值为 . 【答案】 【分析】以为原点建立平面坐标系，设，，根据向量的数量积的运算公式，分别求得向量的终点所表示的轨迹方程，进而根据圆的性质，即可求解． 【详解】设的起点均为，以为原点建立平面坐标系，如图所示，    不妨设，，则，， 由可得，即， ∴的终点在以为圆心，以为半径的圆上， 同理的终点在以为圆心，以为半径的圆上． 显然当，为圆的两条切线时，最大，即与的夹角最大． 设圆心为，则，∴，则， ∴， 设与轴交于点，由对称性可知轴，且， ∴， 即当与的夹角最大时， 故答案为： 12．（2025·上海·模拟预测）若向量与不共线也不垂直，且，则 . 【答案】 【分析】根据平面向量的数量积求夹角即可. 【详解】由题意可得： ， 故： ，即向量 与的夹角为 . 故答案为： 13．（2025·上海黄浦·三模）已知非零向量在向量上的投影向量为，，则 【答案】 【分析】利用投影向量的定义结合平面向量数量积的运算性质可求出的值，再利用平面向量数量积的运算性质可求出的值. 【详解】因为非零向量在向量上的投影向量为， 所以，故， 所以. 故答案为：. 14．（2025·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系中，一质点P从原点O出发，第一次从点O移动到点，第二次从点移动到点，…，第k次从点（规定）移动到点.记向量，其模长为k，方向与x轴正方向成角，设为经过n次移动的位移向量，即，则当时，n的值为 . 【答案】 【分析】根据题意，求出向量的坐标，再求出向量的坐标，根据模长求解即可. 【详解】根据题意可知的模长为k，方向与x轴正方向成角，， ∴， ∴，； ，； ，； ，. 故. 故答案为：. 15．（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，，根据题意可得为圆的直径，得，将求范围问题转化为直线与圆相切的问题. 【详解】将圆化为标准方程，圆心，半径. 因为，所以为圆的直径. 设，. 由. 因为为直径，所以， 则. 令，即，且， 当直线与圆相切时，取得最值. 根据圆心到直线的距离等于半径，可得，解得或， 所以，则的取值范围是. 故答案为：. 16．（2025·上海·模拟预测）设，集合.若对任意，均存在和，满足，，则的最大值为 . 【答案】 【分析】设方程表示的区域为，分析可知区域为正方形及其内部，设，可知点在线段上，记为过点的线段的长度的最大值，则的最大值为的最小值，根据对称性分析求解即可. 【详解】设方程表示的区域为， 用代换方程不变，可知区域关于y轴对称； 用代换方程不变，可知区域关于x轴对称； 当时，区域可化为，据此可得区域的图形如图阴影所示， 取， 可知区域为正方形及其内部， 设，点均在区域内， 因为，，即，， 可知点在线段上， 又因为，记为过点的线段的长度的最大值， 若求，不妨假设点在正方形的边界上， 若，即， 可知的最大值为的最小值， 取的中点分别为，可知区域关于直线对称， 根据对称性只需假定点在线段上即可，此时， 可知当点与点重合时，取到最小值， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：1.根据题意分析集合表示的平面区域； 2.根据向量相关知识分析的最大值表示的意义. 三、解答题 17．（2025·上海长宁·二模）已知向量． (1)求函数的单调递减区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）由数量积的坐标形式结合三角变换公式可得，由整体法可求函数的单调减区间； （2）函数在给定区间上的零点问题可转化为与的图象在上有两个不同的交点，利用正弦函数的性质可求参数的取值范围. 【详解】（1）， 令，则，其中， 故函数的单调递减区间为，. （2）由题设有在有两个不同的零点， 而，故在有两个不同的解， 故与的图象在上有两个不同的交点， 而在为增函数，在为减函数， 且，故， 故. 18．（2025·上海·三模）设函数，其中向量，，，. (1)求函数的最大值及相应的值； (2)将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的. 【答案】(1)最大值为，，； (2). 【分析】（1）由向量数量积的坐标运算及三角恒等变换化简函数式得，根据正弦型函数的性质求最大值及其对应自变量； （2）设，根据图象平移得，由余弦函数的奇偶性列方程求得，（），，再由向量模长的最小值，即可得结果. 【详解】（1）， 故函数的最大值为，相应的值为，； （2）设，则平移后的函数为， 为奇函数，故，，得，， 于是，当时，最小，此时. 19．（2025·上海普陀·二模）设，点分别是椭圆的上顶点与右焦点，且，直线经过点与交于两点，是坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)若，点是轴上的一点，且的面积为，求点的坐标； (3)若点在直线上，向量在直线上的投影为向量，证明. 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据焦点坐标和的长度求出基本量后可得椭圆的标准方程； （2）求出直线与椭圆的交点后可得关于横坐标的方程，从而可求其坐标. （3）利用两角和的正切结合韦达定理可证. 【详解】（1）， 直线l过所以右焦点，即， 所以，椭圆方程为. （2）当，直线，， 解得， ， 设，到直线距离， 由面积，得或， 即或 . （3）    设， 因为向量在直线上的投影为向量，故， 故直线的斜率为，故直线的方程为，故， 而， 故， 联立， ，， 故， 设，设， 由双勾函数的性质可得在为增函数， 故，故， . / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 平面向量及其应用 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 平面向量共线的坐标表示（5年2考） 2025年由坐标判断向量是否共线；由向量共线（平行）求参数 2024年由向量共线（平行）求参数 上海高考平面向量及其应用的命题趋势近年来呈现出稳中求变、综合化与实际应用并重的特点，未来命题可能进一步加强向量与其他数学模块的融合。 平面向量的数量积（5年3考） 2025年数量积的坐标表示 2023年数量积的坐标表示 2022年用定义求向量的数量积 平面向量的应用（5年1考） 2021年解析法在向量中的应用 考点01 平面向量共线的坐标表示 1．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ． 2．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（  ） A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个 3．（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点． (1)若的焦点，求离心率e； (2)若，且上存在一点P，满足，求m； (3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 考点02 平面向量的数量积 4．（2023·上海·高考真题）已知,，求 5．（2022·上海·高考真题）若，且满足，则 . 6．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ． 考点03 平面向量的应用 7．（2021·上海·高考真题）在△中，为中点，为中点，则以下结论：① 存在△，使得；② 存在三角形△，使得∥，则 （    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 一、单选题 1．（2025·上海宝山·二模）已知向量，，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（2025·上海杨浦·二模）已知、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为（    ）. A． B． C． D． 3．（2025·上海黄浦·三模）设、是平面内相交成的两条射线，、分别是与、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.已知在如图所示的仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，且，点、、分别为、、的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·上海·三模）已知集合是由平面向量组成的集合，若对任意，均有，则称集合是“凸”的，则下列集合中不是“凸”的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2025·上海·模拟预测）已知，若，则 ． 6．（2025·上海嘉定·二模）已知向量，若，则 ． 7．（2025·上海浦东新·模拟预测）已知向量，则向量在向量上的投影向量为 . 8．（2025·上海徐汇·二模）已知是正方形，点是的中点，点在对角线上，且则的大小为 . 9．（2025·上海宝山·二模）已知中，，，点在线段上，且，则的值为 . 10．（2025·上海金山·模拟预测）已知点O是△ABC外接圆圆心，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且有，若，则实数λ的值为 ． 11．（2025·上海青浦·三模）已知平面向量，，，满足，，则当与的夹角最大时，的值为 . 12．（2025·上海·模拟预测）若向量与不共线也不垂直，且，则 . 13．（2025·上海黄浦·三模）已知非零向量在向量上的投影向量为，，则 14．（2025·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系中，一质点P从原点O出发，第一次从点O移动到点，第二次从点移动到点，…，第k次从点（规定）移动到点.记向量，其模长为k，方向与x轴正方向成角，设为经过n次移动的位移向量，即，则当时，n的值为 . 15．（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 . 16．（2025·上海·模拟预测）设，集合.若对任意，均存在和，满足，，则的最大值为 . 三、解答题 17．（2025·上海长宁·二模）已知向量． (1)求函数的单调递减区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围． 18．（2025·上海·三模）设函数，其中向量，，，. (1)求函数的最大值及相应的值； (2)将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的. 19．（2025·上海普陀·二模）设，点分别是椭圆的上顶点与右焦点，且，直线经过点与交于两点，是坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)若，点是轴上的一点，且的面积为，求点的坐标； (3)若点在直线上，向量在直线上的投影为向量，证明. / 学科网（北京）股份有限公司 $$