专题08 平面向量及其应用（真题5个考点精准练+精选模拟练）-【好题汇编】5年（2020-2024）高考1年模拟数学真题分类汇编（上海专用）

专题08 平面向量及其应用（真题5个考点精准练+精选模拟练） 5年考情 考题示例 考点分析 2024年秋考5、15题 向量平行的坐标表示，平面向量基本定理、空间向量基本定理 2023秋考2题 2023春考2、12题 平面向量的数量积运算 平面向量的坐标运算，平面向量数量积的性质及其运算、空间向量的坐标运算 2022秋考11题 2022春考10题 平面向量数量积的性质及其运算 平面向量数量积的性质及其运算 2021年秋考4题 2021年春考16题 平面向量数量积的性质及其运算 平面向量数量积的性质及其运算 2020年秋考12题 2020年春考9、11题 两个平面向量的和或差的模的最值 平面向量数量积的性质及其运算、向量垂直的充要条件，利用向量坐标解决向量问题的方法 一．两个平面向量的和或差的模的最值（共1小题） 1．（2020•上海）已知，，，，，是平面内两两互不相等的向量，满足，且，（其中，2，，2，，，则的最大值是　6　． 【分析】设，，结合向量的模等于1和2画出图形，由圆的交点个数即可求得的最大值． 【解答】解：如图，设，， 由，且，， 分别以，为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个． 故满足条件的的最大值为6． 故答案为：6． 【点评】本题考查两向量的线性运算，考查向量模的求法，正确理解题意是关键，是中档题． 二．平面向量的数量积运算（共1小题） 2．（2023•上海）已知向量，，则　4　． 【分析】直接利用平面向量的坐标运算法则求解． 【解答】解：向量，， ． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于基础题． 三．平面向量数量积的性质及其运算（共6小题） 3．（2021•上海）在中，为中点，为中点，则以下结论：①存在，使得；②存在，使得；它们的成立情况是　　 A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【分析】设，，，，，由向量数量的坐标运算即可判断①；为中点，可得，由为中点，可得与的交点即为重心，从而可判断② 【解答】解：不妨设，，，，， ①，， 若，则，即， 满足条件的存在，例如，满足上式，所以①成立； ②为中点，，与的交点即为重心， 因为为的三等分点，为中点， 所以与不共线，即②不成立． 故选：． 【点评】本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题． 4．（2022•上海）若平面向量，且满足，，，则　　． 【分析】利用平面向量的数量积进行分析，即可得出结果． 【解答】解：由题意，有，则，设， 则得，， 由同角三角函数的基本关系得：， 则， ， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题． 5．（2022•上海）在中，，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为 　　． 【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出，再利用二次函数求最值即可． 【解答】解：建立平面直角坐标系如下， 则，，， 直线的方程为，即， 点在直线上，设， ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了数量积的坐标运算，考查了二次函数求最值，属于中档题． 6．（2021•上海）如图正方形的边长为3，求　9　． 【分析】根据，直接求解即可． 【解答】解：由数量积的定义，可得， 因为，所以． 故答案为：9． 【点评】本题主要考查平面向量数量积的定义与计算，属于基础题． 7．（2020•上海）已知、、、、五个点，满足，2，，，2，，则的最小值为　　． 【分析】可设，从而据题意可得出，，并设，根据是求的最小值，从而可得出，从而可求出，从而根据基本不等式即可求出的最小值． 【解答】解：设，则，， 设，如图， 求的最小值，则： ，，， ，当且仅当，即时取等号， 的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，利用向量坐标解决向量问题的方法，基本不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题． 8．（2020•上海）三角形中，是中点，，，，则　　． 【分析】根据余弦定理即可求出，并得出，然后进行数量积的运算即可． 【解答】解：在中，，，， 由余弦定理得，， ，且是的中点， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了余弦定理，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题． 四．平面向量的坐标运算（共1小题） 9．（2023•上海）已知向量，，则　　． 【分析】根据平面向量的坐标运算法则，计算即可． 【解答】解：因为向量，， 所以，，． 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题． 五．平面向量共线（平行）的坐标表示（共1小题） 10．（2024•上海）已知，，，则的值为 　15　． 【分析】根据向量平行的坐标表示，列方程求解即可． 【解答】解：由，，， 可得，解得． 故答案为：15． 【点评】本题考查向量平行的坐标表示，属基础题． 一．选择题（共6小题） 1．（2024•嘉定区校级模拟）已知为不共线的两个单位向量，，为非零实数，设，则“”是“”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】由向量的夹角公式，可得若，则有或，又为不共线的两个单位向量，故，从而可得结论． 【解答】解：由题意，，， 若，则有， 即， 整理得， 即，即， 则有或， 又为不共线的两个单位向量，故， 故“”是“”的充要条件． 故选：． 【点评】本题考查向量的夹角公式，数量积运算及充要条件的判定，属基础题． 2．（2024•浦东新区三模）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 【分析】当两向量不共线时，可作为基底，据此判断即可． 【解答】解：对于，可设，可知且，显然不成立，所以这两个向量可作为基底， 同理可知，，选项中的两个向量都可构成基底； 对于，，所以这两个向量不构成基底． 故选：． 【点评】本题考查平面向量基本定理与向量共线的判断方法，属于基础题． 3．（2024•徐汇区校级模拟）在中，，，．为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论： ①的最小值为； ②的最小值为； ③的最大值为； ④的最大值为8． 其中，正确结论的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】以为原点，，所在的直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，设，然后表示出的坐标，由题意可得，再逐个分析判断即可． 【解答】解：如图，以为原点，，所在的直线分别为，轴，建立平面直角坐标系， 则，，， 因为，所以设， 则，， 所以， 所以，即为任意角）， 所以 （其中， 所以的最大值为，最小值为， 所以①③错误， 因为， 所以 （其中， 因为， 所以， 所以， 所以的最小值为，最大值为14， 所以②正确，④错误． 故选：． 【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题． 4．（2024•闵行区校级三模）已知，，，，．若，，则 的最小值为　　 A．0 B． C．1 D． 【分析】根据给定条件，画出图形，确定点的位置，再利用向量模的几何意义，借助对称思想求解作答． 【解答】解：令，，， 依题意，， 而，则． 因为，，， 所以有点在半径为1，所含圆心角为的扇形的弧上，如图， 因为，，所以表示直线上的点与直线上的点间距离， ，分别是点到点，的距离， 因此，表示三点，，两两距离的和， 作点关于直线对称点，关于直线对称点，连交，分别于点，， 连，，，，则有，， 令，则，， 于是得：，而， 由余弦定理可得：， 因此，， 对于直线上任意点、直线上任意点，连接，，，，，， 则，，， 当且仅当点与重合且点与点重合时取“”， 从而得， 所以的最小值为． 故选：． 【点评】本题考查平面向量的数量积的应用，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题． 5．（2024•杨浦区二模）平面上的向量、满足：，，． 定义该平面上的向量集合．给出如下两个结论： ①对任意，存在该平面的向量，满足 ②对任意，存在该平面向量，满足 则下面判断正确的为　　 A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误 【分析】首先建立平面直角坐标系，进一步利用向量的数量积运算和点到直线的距离公式求出结果． 【解答】解：不妨设，，， 如图所示： 由于，所以， 化简得：，①， 由于，得到，②， 由①②得：，如图所示：其宽度． 故得到命题①②正确． 故选：． 【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的数量积运算，点到直线的距离公式，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 6．（2024•嘉定区二模）已知，，且、不共线，则的面积为　　 A． B． C． D． 【分析】由已知先求出到的距离，然后结合三角形面积公式即可求解． 【解答】解：设到的距离为， 因为，，则的一个法向量，， 则，， 故． 故选：． 【点评】本题主要考查了向量的坐标表示的应用，属于中档题． 二．填空题（共31小题） 7．（2024•浦东新区校级四模）已知平面内，，三点不共线，且点满足，则是的 　垂　心．（填“重”或“垂”或“内”或“外” 【分析】由条件等式移项后，逆用数量积的分配律将其化简成，即得，同理可得另外两个垂直关系，即得点为其垂心． 【解答】解：因为，同理，，故为的垂心． 故答案为：垂． 【点评】本题主要考查逆用数量积的分配律，属于基础题． 8．（2024•闵行区校级模拟）已知点在以为直径的球面上，若，则　　． 【分析】根据平面向量数量积的定义，求解即可． 【解答】解：因为点在以为直径的球面上，且， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与应用问题，是基础题． 9．（2024•浦东新区校级模拟）已知非零向量，满足，且，则向量与的夹角为　　． 【分析】根据题意，设向量与的夹角为，分析可得，变形可得，由向量夹角公式计算可得的值，结合的范围分析可得答案． 【解答】解：根据题意，设向量与的夹角为， 又由，则有，变形可得， 又由非零向量，满足，即， 则， 又由，则， 故答案为：． 【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直与向量数量积的关系，属于基础题． 10．（2024•宝山区三模）若向量在向量上的投影向量为，则等于 　　． 【分析】根据已知条件，结合投影向量的定义，即可求解． 【解答】解：向量，向量， 则，， 故向量在向量上的投影向量为：， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查投影向量的定义，属于基础题． 11．（2024•浦东新区校级模拟）向量在向量方向上的投影向量是 　　． 【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解． 【解答】解：，， 向量在向量方向上的投影向量是： ． 故答案为：． 【点评】本题考查了向量坐标的数量积的运算，投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题． 12．（2024•黄浦区校级模拟）在平面直角坐标系中，，把向量顺时针旋转定角得到，关于轴的对称点记为，，1，，10，则的坐标为 　　． 【分析】根据题意求出的前几个值，发现以2为周期出现，即可求出． 【解答】解：进行实际操作，则，，，， 注意到，重合，因此所有操作以2为周期，故． 故答案为：． 【点评】本题考查向量的坐标表示，属于基础题． 13．（2024•闵行区校级模拟）设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，则　　． 【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解． 【解答】解：由题意可知，， ，， 则，解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题． 14．（2024•青浦区二模）已知向量，，则　　． 【分析】根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，即可求解． 【解答】解：向量，， 则，，， 故， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查平面向量的夹角公式，属于基础题． 15．（2024•金山区二模）已知向量，，若，则实数的值为 　3　． 【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解． 【解答】解：，，， 则，解得． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题． 16．（2024•黄浦区校级三模）已知向量，且，则　　． 【分析】根据题意，有，根据向量平行的充要条件，构造方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：， 即 故答案为： 【点评】本题考查的知识点是向量平行的坐标运算：，则 17．（2024•浦东新区校级模拟）已知向量，的夹角为，，，则　　． 【分析】由平面向量的数量积运算计算即可求得． 【解答】解：因为向量，的夹角为，，， 所以， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量的数量积与夹角，属于基础题． 18．（2024•黄浦区校级三模）中，，，为上一点，，则　　． 【分析】由数量积的定义计算即可． 【解答】解：作交于，如图， 则，又， 则，因此， 故 ． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量数量积的计算，属基础题． 19．（2024•闵行区三模）已知，若向量在向量方向上的数量投影为，则实数的值为 　3　． 【分析】利用向量投影的计算公式求解． 【解答】解：， ，， 向量在向量方向上的数量投影为， 解得． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，考查了向量投影的概念，属于基础题． 20．（2024•宝山区校级四模）如图，矩形中，为中点，与交于点，若将，作为平面向量的一个基，则向量可表示为 　　（用表示）． 【分析】根据平行线的性质证出，由此得到，结合，化简整理可得，从而可得答案． 【解答】解：矩形中，由，得， 所以，即，整理得， 结合，，可得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查平面向量的线性运算法则、平面向量基本定理等知识，属于基础题． 21．（2024•虹口区模拟）已知向量满足，，，则等于 　　． 【分析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量模的运算求解即可． 【解答】解：由， 则， 即， 即， 则， 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量模的运算，属基础题． 22．（2024•浦东新区校级模拟）已知均为单位向量，且，则与的夹角的余弦值为 　　． 【分析】根据条件对两边平方，进行数量积的运算即可求出的值，然后即可求出和的值，从而根据向量夹角的余弦公式即可得解． 【解答】解：均为单位向量，， ， ， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了单位向量的定义，向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，是基础题． 23．（2024•浦东新区校级四模）向量，且，则　　． 【分析】根据题意，用，表示，利用模长公式求出，，再计算，的数量积和夹角余弦值． 【解答】解：因为向量，，且， 所以， 所以， 所以，， 所以，， 所以， 又，， 所以， 所以， 所以，． 故答案为：． 【点评】本题考查向量的数量积，解题中需要一定的计算能力，属于中档题． 24．（2024•浦东新区校级模拟）在所在的平面上有一点，满足，则　　． 【分析】由可得，则． 即可求解． 【解答】解：由可得， 则． ， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查了向量的数量积运算，向量的线性运算，属于中档题． 25．（2024•黄浦区校级三模）已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图），若在上，且，则的最大值为 　　． 【分析】以线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设，，，利用向量的坐标运算，结合三角函数的恒等变形与性质求解即可． 【解答】解：如图，以线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 设，，， 由题意：，，，， 则， 由，可得，，，， 即，解得， 所以， 因为，，则， 所以当时，取得最大值1， 则的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量的坐标运算及三角恒等变换，属中档题． 26．（2024•嘉定区校级模拟）平面内互不重合的点、、、、、、，若，其中，2，3，4，则的取值范围为 　，　． 【分析】根据三角形重心的性质，推导出，其中为△的重心，可知点在以点为圆心，为半径的圆上，然后根据向量加减法的几何意义与三角形的性质，算出的最大值与最小值，进而可得所求取值范围． 【解答】解：设为△的重心， 则， 因为，所以，即在以点为圆心，为半径的圆上， 不妨设点与坐标原点重合，作出半径分别为，，1，的同心圆，如图所示， 则，当且仅当，，都在线段上，等号成立， 而， 当且仅当，，在线段上，且在线段上，在线段上时，等号成立． 综上所述，的最大值为5，最小值为1，可知，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查三角形重心的性质、向量的加法则、向量的模及其性质，考查了图形的理解能力，属于中档题． 27．（2024•虹口区二模）已知平面向量满足，若平面向量满足，则的最大值为 　　． 【分析】作出图形，设，，设，根据题意易得，在以为圆心，1为半径的圆上，从而可得，取得最大值，从而得解． 【解答】解：如图，设，，设，则，， ， ， ， 又向量满足，， 即，在以为圆心，1为半径的圆上， 又， 当，，三点共线，且在之间时，取得最大值． 故答案为：． 【点评】本题考查向量模的最值的求解，解三角形问题，数形结合思想，属中档题． 28．（2024•松江区校级模拟）已知、、，点是圆上的动点，则的取值范围是 　，　． 【分析】设点坐标，将用函数表示，用正弦函数取值范围求解． 【解答】解：设，，，， ，，， 因为，， 所以的取值范围是，， 故答案为：，． 【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题． 29．（2024•闵行区校级三模）空间中，、两点间的距离为8，设△的面积为，令，若，则的取值范围为 　　． 【分析】根据公式对向量进行处理，再结合不等式得出，即可推出点，，在以为球心4为半径的球面上，从可求得答案． 【解答】解：由题意可知， 设，中点为，则，， 所以， 由， 得， 则， 当且仅当时等号成立， 则， 即， 即， 则， 即，． 即点，，在以为球心4为半径的球面上， 先说明圆的内接三角形为正三角形时，面积最大； 设为半径为的圆的内接三角形， 则， 当且仅当时等号成立， 即为正三角形时，其面积取到最大值． 由于点，，在以为球心4为半径的球面上， 故△的面积可以无限小，， 即的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量数量积运算以及性质，属于偏难题． 30．（2024•普陀区模拟）若向量在向量上的投影为，且，则，　　． 【分析】由平面向量的模的运算，结合平面向量数量积及夹角的运算求解． 【解答】解：若向量在向量上的投影为， 则， 即， 又， 则， 即， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量的模的运算，重点考查了平面向量数量积及夹角的运算，属中档题． 31．（2024•浦东新区校级三模）已知向量，函数，若函数在内有且只有一个零点，则实数的取值范围为 　　． 【分析】由题意，函数在内有且只有一个零点，等价于对应的方程在给定区间内只有一个根，进而转化为两个函数在给定区间内只有一个交点的问题，数形结合，即可求出参数的值． 【解答】解：由题意，函数 ， 因为函数在内有且只有一个零点， 所以在内有且只有一个实根， 则有，即， 故函数在上的图象与直线只有一个交点， 因为，所以， 结合函数图象可知， 当函数在区间上的图象与直线只有一个交点时， 所以，即的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数的化简及函数零点与方程的根的关系，属中档题． 32．（2024•浦东新区校级模拟）已知，是平面内两个定点，且，点集．若，，则向量、夹角的余弦值的取值范围是 　　． 【分析】先求出的轨迹方程，再利用向量的夹角公式即可． 【解答】解：以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，，，由得，，，，解得， 因为，所以，代入，得， 设，，，，与的夹角， 则，， ， 当或时，取最小值为， 当时，取最大值为1． 故向量、夹角的余弦值的取值范围是是． 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量的数量积和夹角，属与中档题． 33．（2024•宝山区二模）空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、满足：，，且存在实数，使得成立，则由构成的空间几何体的体积是 　　． 【分析】由不等式有解，结合数量积运算，求得，又且，可得，从而根据锥体体积公式求得结论． 【解答】解：由已知得，所以， 所以存在实数，使得不等式有解， 则有，解得， 又因为且，设，所以，则， 故由构成的空间几何体的体积为． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查不等式能成立问题及锥体体积公式，属中档题． 34．（2024•崇明区二模）已知、、是半径为1的圆上的三个不同的点，且，则的最小值是 　　． 【分析】根据正弦定理，分类讨论构建三角函数模型，再通过三角函数的性质，即可求解． 【解答】解：根据正弦定理可， ， ，或， 或， ①当时，， ，， ， 当，即时，取得最小值； ②当时，， ，， ，， 无最值， 综合①②可得的最小值是． 故答案为：． 【点评】本题考查向量数量积的最值的求解，函数思想，正弦定理的应用，属中档题． 35．（2024•浦东新区校级模拟）平面直角坐标系中，、两点到直线和的距离之和均为．当最大时，的最小值为 　　． 【分析】利用点到直线的距离公式可得：，通过分类讨论可知：点，的运动轨迹是如图所示的正方形的4条边．结合向量运算即可得到最小值． 【解答】解：设动点，由题意得，， 即，如图所示： 按区域①④去绝对值讨论： ①区域中，，化为，； ②区域中，且，化为，； ③区域中，，化为，； ④区域中，且，化为，； 所以点的轨迹为一个正方形，即点，的运动轨迹为如图正方形的四条边． 当最大时，有， 所以为中点）， 所以的最小值的等价于最小时， 显然当正方形①或④中的边时，， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量数量积的运算问题，也考查了数形结合思想，是难题． 36．（2024•黄浦区校级三模）已知平面向量两两都不共线．若，，2，3，4，，则的最大值是 　　． 【分析】的最大值就是在上的投影之和最大值，依题意可得相邻两向量夹角为，以相邻两向量的模为边长的第三边长度为1，结合图象即可得解． 【解答】解：由于，于是的最大值就是在上的投影之和最大值， 由，，2，3，4，知，相邻两向量夹角为，以相邻两向量的模为边长的第三边长度为1， 取，作出图象如下图所示， 则，由图可知，当时，所有向量在上的投影之和最大， ． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量的综合运用，考查转化思想及数形结合思想，属于难题． 37．（2024•徐汇区模拟）如图所示，已知满足，，为所在平面内一点．定义点集，．若存在点，使得对任意，满足恒成立，则的最大值为 　3　． 【分析】延长到满足，取的靠近的三等分点，连接，由向量共线定理得，，三点共线，从而表示的边上的高，利用正弦定理求得的面积的最大值，从而可得结论． 【解答】解：延长到满足，取的靠近的三等分点，连接，如图， ， 所以，，三点共线， 又存在点，使得对任意，满足恒成立， 则的长表示到直线的距离，即的边上的高，设， 由得，，公用，因此， 所以， 中，设， 由正弦定理得，记为角， 所以， 所以 ， 若不是钝角， 则， 又，所以，即， 所以， 设，则，它是减函数， 所以时，， 若是钝角，则 ， 设，则，， 令，则， 令，得， 所以时，，递减，时，递增， 所以时，，，此时． 故答案为：3． 【点评】本题考查了平面向量的应用，考查了正弦定理的应用，考查了函数思想，属于难题． 三．解答题（共2小题） 38．（2024•松江区校级模拟）△中，角、、的对边分别为、、，已知，． （1）求； （2）已知△的面积为，点满足，求的值． 【分析】（1）根据正弦定理化简已知等式，算出且，然后在△中，根据余弦定理列式算出的值； （2）利用同角三角函数的基本关系算出，根据三角形的面积公式求出，可得，．然后在△中利用余弦定理算出长，根据正弦定理求出，结合△是等腰三角形，求出的值． 【解答】解：（1）在△中，，， 由正弦定理得且，所以，根据余弦定理得． （2）根据，可得（舍负）． 所以△中的面积，解得，，． 由题意得， 在△中，由余弦定理得 ， 根据正弦定理得，即，解得． 因为，所以，可得． 【点评】本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角恒等变换公式、三角形的面积公式及其应用，属于中档题． 39．（2024•崇明区二模）在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，为在方向上的投影向量，且满足． （1）求的值； （2）若，，求的周长． 【分析】（1）由题意可知，，代入得，再利用正弦定理求解即可； （2）由余弦定理可得，再结合可求出的值，进而求出的值，得到的周长． 【解答】解：（1）为在方向上的投影向量， ， 又， ， ， 又，， ， ，，，， 又， ， 解得； （2），， ，， ， ，， ， ， 解得， ， 的周长为． 【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 平面向量及其应用（真题5个考点精准练+精选模拟练） 5年考情 考题示例 考点分析 2024年秋考5、15题 向量平行的坐标表示，平面向量基本定理、空间向量基本定理 2023秋考2题 2023春考2、12题 平面向量的数量积运算 平面向量的坐标运算，平面向量数量积的性质及其运算、空间向量的坐标运算 2022秋考11题 2022春考10题 平面向量数量积的性质及其运算 平面向量数量积的性质及其运算 2021年秋考4题 2021年春考16题 平面向量数量积的性质及其运算 平面向量数量积的性质及其运算 2020年秋考12题 2020年春考9、11题 两个平面向量的和或差的模的最值 平面向量数量积的性质及其运算、向量垂直的充要条件，利用向量坐标解决向量问题的方法 一．两个平面向量的和或差的模的最值（共1小题） 1．（2020•上海）已知，，，，，是平面内两两互不相等的向量，满足，且，（其中，2，，2，，，则的最大值是　　． 二．平面向量的数量积运算（共1小题） 2．（2023•上海）已知向量，，则　　． 三．平面向量数量积的性质及其运算（共6小题） 3．（2021•上海）在中，为中点，为中点，则以下结论：①存在，使得；②存在，使得；它们的成立情况是　　 A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 4．（2022•上海）若平面向量，且满足，，，则　　． 5．（2022•上海）在中，，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为 　　． 6．（2021•上海）如图正方形的边长为3，求　　． 7．（2020•上海）已知、、、、五个点，满足，2，，，2，，则的最小值为　　． 8．（2020•上海）三角形中，是中点，，，，则　　． 四．平面向量的坐标运算（共1小题） 9．（2023•上海）已知向量，，则　　． 五．平面向量共线（平行）的坐标表示（共1小题） 10．（2024•上海）已知，，，则的值为 　　． 一．选择题（共6小题） 1．（2024•嘉定区校级模拟）已知为不共线的两个单位向量，，为非零实数，设，则“”是“”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024•浦东新区三模）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 3．（2024•徐汇区校级模拟）在中，，，．为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论： ①的最小值为； ②的最小值为； ③的最大值为； ④的最大值为8． 其中，正确结论的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024•闵行区校级三模）已知，，，，．若，，则 的最小值为　　 A．0 B． C．1 D． 5．（2024•杨浦区二模）平面上的向量、满足：，，． 定义该平面上的向量集合．给出如下两个结论： ①对任意，存在该平面的向量，满足 ②对任意，存在该平面向量，满足 则下面判断正确的为　　 A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误 6．（2024•嘉定区二模）已知，，且、不共线，则的面积为　　 A． B． C． D． 二．填空题（共31小题） 7．（2024•浦东新区校级四模）已知平面内，，三点不共线，且点满足，则是的 　　心．（填“重”或“垂”或“内”或“外” 8．（2024•闵行区校级模拟）已知点在以为直径的球面上，若，则　　． 9．（2024•浦东新区校级模拟）已知非零向量，满足，且，则向量与的夹角为　　． 10．（2024•宝山区三模）若向量在向量上的投影向量为，则等于 　　． 11．（2024•浦东新区校级模拟）向量在向量方向上的投影向量是 　　． 12．（2024•黄浦区校级模拟）在平面直角坐标系中，，把向量顺时针旋转定角得到，关于轴的对称点记为，，1，，10，则的坐标为 　　． 13．（2024•闵行区校级模拟）设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，则　　． 14．（2024•青浦区二模）已知向量，，则　　． 15．（2024•金山区二模）已知向量，，若，则实数的值为 　　． 16．（2024•黄浦区校级三模）已知向量，且，则　　． 17．（2024•浦东新区校级模拟）已知向量，的夹角为，，，则　　． 18．（2024•黄浦区校级三模）中，，，为上一点，，则　　． 19．（2024•闵行区三模）已知，若向量在向量方向上的数量投影为，则实数的值为 　　． 20．（2024•宝山区校级四模）如图，矩形中，为中点，与交于点，若将，作为平面向量的一个基，则向量可表示为 　　（用表示）． 21．（2024•虹口区模拟）已知向量满足，，，则等于 　　． 22．（2024•浦东新区校级模拟）已知均为单位向量，且，则与的夹角的余弦值为 　　． 23．（2024•浦东新区校级四模）向量，且，则　　． 24．（2024•浦东新区校级模拟）在所在的平面上有一点，满足，则　　． 25．（2024•黄浦区校级三模）已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图），若在上，且，则的最大值为 　　． 26．（2024•嘉定区校级模拟）平面内互不重合的点、、、、、、，若，其中，2，3，4，则的取值范围为 　　． 27．（2024•虹口区二模）已知平面向量满足，若平面向量满足，则的最大值为 　　． 28．（2024•松江区校级模拟）已知、、，点是圆上的动点，则的取值范围是 　　． 29．（2024•闵行区校级三模）空间中，、两点间的距离为8，设△的面积为，令，若，则的取值范围为 　　． 30．（2024•普陀区模拟）若向量在向量上的投影为，且，则，　　． 31．（2024•浦东新区校级三模）已知向量，函数，若函数在内有且只有一个零点，则实数的取值范围为 　　． 32．（2024•浦东新区校级模拟）已知，是平面内两个定点，且，点集．若，，则向量、夹角的余弦值的取值范围是 　　． 33．（2024•宝山区二模）空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、满足：，，且存在实数，使得成立，则由构成的空间几何体的体积是 　　． 34．（2024•崇明区二模）已知、、是半径为1的圆上的三个不同的点，且，则的最小值是 　　． 35．（2024•浦东新区校级模拟）平面直角坐标系中，、两点到直线和的距离之和均为．当最大时，的最小值为 　　． 36．（2024•黄浦区校级三模）已知平面向量两两都不共线．若，，2，3，4，，则的最大值是 　　． 37．（2024•徐汇区模拟）如图所示，已知满足，，为所在平面内一点．定义点集，．若存在点，使得对任意，满足恒成立，则的最大值为 　　． 三．解答题（共2小题） 38．（2024•松江区校级模拟）△中，角、、的对边分别为、、，已知，． （1）求； （2）已知△的面积为，点满足，求的值． 39．（2024•崇明区二模）在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，为在方向上的投影向量，且满足． （1）求的值； （2）若，，求的周长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$