5.4二次函数与一元二次方程（1）学案 2025-2026学年苏科版数学九年级下册

淮安市北京路中学九年级下学期数学学案 主备：阮燕 5.4二次函数与一元二次方程（1） 班级：____________ 姓名：____________ 【知识梳理】 二次函数的图像与x轴公共点的个数与一元二次方程的实数根的个数之间的关系： (1)若函数图像与x轴有2个公共点，那么方程__________________； (2)若函数图像与x轴有且只有1个公共点，那么方程__________________； (3)若函数图像与x轴有没有公共点，那么方程__________________. 反之也成立. 【课堂练习】 1．抛物线与轴相交于点，点，则关于的一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象过点，则的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．二次函数的图象与轴的交点坐标为和，则一元二次方程的解为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．题目：“如图，抛物线与直线相交于点和点．点是直线上的一个动点，将点向左平移3个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．” 对于其答案，甲答：；乙答：；丙答：． 则下列说法正确的是（　　） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、丙答案合在一起才完整 5．已知在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，将抛物线向右平移3个单位长度后得到抛物线（、、为常数，且），则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） 第4题 第6题 第7题 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线．给出下列结论： ①； ②； ③； ④关于x的方程一定有两个不相等的实数根； ⑤． 其中结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．设二次函数 的图像与一次函数 的图像交于点 ，若函数 的图像与 轴仅有一个交点，则 的值是（    ） A．6 B．8 C． D．7 【课后反馈】 9．表中列出了二次函数中部分和的值，则一元二次方程的一个较小根的范围是 （两相邻整数之间） … 0 1 2 … … 1 6 … 10．二次函数（，，，为常数)的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 第10题 第11题 第13题 11．如图，抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线，与x轴交于点A，点B，则的长度为 ． 12．已知关于的一元二次方程的一个根是，且二次函数的对称轴是直线，则此方程的另一个根为 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于 两点，则不等式的解集是 14．在平面直角坐标系中，二次函数的大致图象如图所示，则关于x的方程有 个实数根． 第14题 第15题 第16题 15．如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，对称轴为直线．有下列说法： ①； ②； ③对任意实数； ④方程必有一个根大于-1且小于0； ⑤方程有两个不相等的实数根，且两根的和为2； ⑥若和是抛物线上的两点，则当时，． 其中，正确的是 （填序号）． 16．已知函数的大致图象如图所示，当关于的方程（为实数）时，恰有4个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 17．二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 2 2 … 且当时，对应的函数值．则以下结论：①；②和2是关于的方程的两个根；③；④．其中正确结论的序号为 ． 18．二次函数的图象如图所示，下列结论中，正确的有 ．（填序号） ①；②；③方程的两个根是，；④． 19．已知二次函数的图象经过与两点，关于x的方程有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程有两个整数根，则这两个整数根分别为 ． 20．定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标倍的点，则把该函数称为“倍值函数”．该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．下列说法不正确的序号为 ． ①函数是“倍值函数”； ②函数的图象上的“倍值点”是和； ③若关于的函数的图象上有两个“倍值点”，则的取值范围是 21．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若抛物线与轴交于点，，且，求的值． 22．二次函数解析式为． (1)判断该函数图象与x轴交点的个数； (2)如图，在平面直角坐标系中，若二次函数图象顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于D，点C的坐标是，求直线的解析式； (3)请你作一条平行于x轴的直线交二次函数的图象于点M，N，与直线于点R，若点M，N，R的横坐标分别为m，n，r，且，求的取值范围． 23．已知抛物线 (1)求证：抛物线与x轴有两个不同的交点； (2)当时，抛物线与x轴交于点A，B，求的长． 24．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出函数的顶点坐标； (2)写出方程的两个根； (3)写出不等式的解集． 25．我们在学习二次函数时，可借助二次函数图象解决一些一元二次不等式的问题，如图是一个二次函数的图象，与轴交点的横坐标分别是和，所以的解集是或；的解集是，所以我们可以借助二次函数图象来解一元二次不等式．例：解不等式：． 第一步：化为一般式：； 第二步：求相应方程的根：，解得，； 第三步：画出相应二次函数的图象：作二次函数的图象（如图）； 第四步：根据图象得到不等式的解集为． 根据以上方法解决问题： (1)一元二次不等式的解集为 ； (2)一元二次不等式的解集为 ； (3)一元二次不等式的解集为，则 ， ； (4)已知不等式对实数都成立，则的取值范围是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$