精品解析：吉林省吉林市永吉实验高级中学等2024-2025学年高一下学期期末联考数学试卷

2024~2025学年度高一第二学期期末考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答：字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 当m＜1时，复数m（3+i）﹣（2+i）在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】原复数化为（3m﹣2）+i（m﹣1），再根据m的范围确定. 【详解】m（3+i）﹣（2+i）化简得（3m﹣2）+i（m﹣1）， ∵ ∴3m﹣2＞0，m﹣1＜0 ∴所对应的点在第四象限 故选：D. 【点睛】本题主要考查复数的代数形式，考查了复平面内各象限复数的特点，属于基础题. 2. 已知向量，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示建立方程，再求解参数即可. 【详解】，， 得到，解得，故C正确. 故选：C． 3. 下列命题正确的是（　　） A. 三点确定一个平面 B. 一条直线和一个点确定一个平面 C. 梯形可确定一个平面 D. 圆心和圆上两点确定一个平面 【答案】C 【解析】 【分析】利用确定平面的条件逐项判断即可. 【详解】对于选项A，当三点共线时，不能确定一个平面，故A错误； 对于选项B，当该点在直线上时，不能确定一个平面，故B错误； 对于选项C，由于梯形有一组对边平行，所以确定的平面有且只有一个，故另两条边也在该平面上，故C正确； 对于选项D，当圆心和圆上的两点在同一条线上时，不能确定一个平面，故D错误． 故选：C． 4. 下列叙述中，错误的是（ ） A. 样本数据的中位数可能不受少数几个极端值的影响 B. 数据的标准差比较小时，数据比较分散 C. 数据的极差反映了数据的集中程度 D. 任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变 【答案】B 【解析】 【分析】利用样本数字特征的基本概念逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A,样本数据的中位数可能不受少数几个极端值的影响，故A正确； 对于B，数据的标准差比较小时，数据比较集中，故B错误； 对于C,数据的极差反映了数据的集中程度，故C正确； 对于D,任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，故D正确。 故选：B. 5. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知及平方关系可得，再由三角形面积公式求的面积. 【详解】由三角形内角的范围及，可得， 所以. 故选：A 6. 已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.7 【答案】D 【解析】 【分析】根据对立事件与互斥事件的概率公式及概率的性质求解即可. 【详解】由和对立，可得，则， 又由随机事件和互斥可知， 所以. 故选：D． 7. 直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（　　） A. 只有一条，不在平面α内 B. 有无数条，不一定在平面α内 C. 只有一条，且在平面α内 D. 有无数条，一定在平面α内 【答案】C 【解析】 【分析】由推论1和基本事实3可以确定平面与平面有唯一的交线，由线面平行的性质定理可推导直线与交线平行，从而确定选项. 【详解】解：由推论1可知：，则，，过与确定一平面β， 由基本事实3可知：平面α与平面β有一交点，则有一条唯一的交线与a平行，设为b， 因为直线a∥平面α，，，所以a∥b. 故选：C． 8. 甲､乙､丙､丁四人排队，则甲不排在第一位且丙，丁两人相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法可得答案. 【详解】甲､乙､丙，丁四人排队，有 （甲､乙､丙､丁），（甲､乙､丁､丙），（甲､丙､乙､丁），（甲､丙､丁､乙），（甲､丁､乙､丙）， （甲､丁､丙､乙），（乙､甲､丙､丁），（乙､甲､丁､丙），（乙､丙､甲､丁），（乙､丙､丁､甲）， （乙､丁､甲､丙），（乙､丁､丙､甲），（丙､甲､乙､丁），（丙､甲､丁､乙），（丙､乙､甲､丁）， （丙､乙､丁､甲），（丙､丁､甲､乙），（丙､丁､乙､甲），（丁､甲､乙､丙），（丁､甲､丙､乙）， （丁､乙､甲､丙），（丁､乙､丙､甲），（丁､丙､甲､乙），（丁､丙､乙､甲），共24种基本事件， 甲不排在第一位且丙，丁两人相邻有（乙､甲､丙､丁），（乙､甲､丁､丙），（乙､丙､丁､甲）， （乙､丁､丙､甲），（丙､丁､甲､乙），（丙､丁､乙､甲），（丁､丙､甲､乙），（丁､丙､乙､甲）， 共8种基本事件，所以甲不排在第一位且丙，丁两人相邻的概率. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（），则下列说法正确的有（ ） A. 复数z的实部为3 B. 复数z的共轭复数为 C. D. 若z为实数，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由复数的概念即可判断ABD，求复数的模即可判断C. 【详解】，则实部为3，故A正确；共轭复数为，故B正确； 当z为实数时，故D正确；，故C错误. 故选：ABD． 10. 在某市初三年级举行的一次体育统考考试中，共有500人参加考试．为了解考生的成绩情况，抽取了样本容量为n的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在，按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图．若在样本中，成绩落在区间的人数为32，则由样本估计总体可知下列结论正确的为（ ） A. B. 考生成绩的众数为72 C. 考生成绩的第70百分位数为75 D. 估计该市考生成绩的平均分为70.6 【答案】AD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的特征先计算，再计算样本数即可得A，由频率分布直方图计算众数、百分位数、平均数并估计总体即可判定B、C、D选项. 【详解】由频率分布直方图可知， ∴，故A正确； 由频率分布直方图可知众数落在区间上，则考生成绩的众数为75，故B错误； 同时可知考生成绩的第70百分位数为：，故C错误； 由频率分布直方图可知样本中， 考生成绩的平均分为， 可估计整体学生的平均分为70.6，故D正确． 故选：AD． 11. 如图，已知圆锥MO，AB是底面圆的直径，点C为圆周上的一个动点，圆锥的高与底面半径都等于8，则下列说法正确的是（ ） A. 圆锥的母线长为 B. 圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为 C. 当三棱锥的体积最大时， D. 若，则异面直线MB与AC所成的角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆锥的结构特征，结合线面角、异面直线的夹角求解. 【详解】对于A，圆锥的母线长为，A正确； 对于B，平面，则母线与底面所成的角等于，，B错误； 对于C，平面平面，且交线为，则点在平面上的射影在线段上， 当是弧中点，即时，点到平面的距离最大，而面积为定值， 此时三棱锥的体积最大，反之亦然，C正确； 对于D，当时，，连接并延长交圆于，连接，， 有，则，是异面直线与所成角或其补角， ，，，，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若一个球的体积为，则它的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据球的体积求出球的半径，再利用球的表面积公式即可求解. 【详解】设球的半径为. ∵球的体积为，∴，解得. ∴球的表面积为. 故答案为：. 13. 已知样本数据为，且是方程的两根，则这组样本数据的方差是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】求出，再利用方差的定义计算即得. 【详解】方程的二根为，不妨令， 因此样本数据的平均数， 所以这组数据的样本方差. 故答案为：4 14. 在中，为边上的中线，且，则角的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据数量积的运算律及定义得到，即，再由余弦定理求出的范围，即可得解. 【详解】设，则，， 所以 ， 所以，则， 由余弦定理， 当且仅当时取等号， 又，所以，即的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. （1）求的值； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理可得，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得，再由三角形的面积公式代入计算，即可求解. 【小问1详解】 因为，，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 因为，所以，为锐角， 因为，所以， 所以 ， 故的面积为. 16. 已知向量，为坐标原点． （1）若，求实数的值； （2）当时，求与夹角的余弦值． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量共线的坐标表示即可求解； （2）根据平面向量的夹角余弦公式的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 因为，，， 所以， 又因为，所以，解得. 【小问2详解】 当时，，已知， 设，的夹角为，则． 17. 如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，． （1）证明：平面； （2）若，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：底面，平面，， 又，，平面， 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）利用等体积法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 底面，平面，， ，， 设点到平面的距离为，则， 由（1）可知，平面，平面，， ， ，， ，， 点到平面的距离为． 18. 举办网络安全宣传周､提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分.甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队两人回答问题正确的概率分别为，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立. （1）求甲队总得分为1分的概率； （2）求两队积分相同的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误，结合独立事件概率乘法公式运算求解； （2）根据题意可得甲、乙得分的概率，分别求两队积分同为0分，1分，2分的概率，结合独立事件概率乘法公式运算求解. 【小问1详解】 记“甲队总得分为1分”为事件A，甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误， 所以； 【小问2详解】 由题意可知：甲队积0分，1分，2分的概率分别为， 乙队积0分，1分，2分的概率分别为， 记两队积分同为0分，1分，2分的分别为事件， 因为两队得分相互独立，互不影响， 则， 所以两队积分相同的概率为. 19. 如图，已知在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设. （1）当平面时，求实数的值； （2）当平面平面时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，则为的中点，由线面平行的性质定理得，从而可得为的中点，进而得实数的值； （2）过点作于点，可证得平面平面，延长交于点，过点作交于点，过点作于点，则是平面与平面所成锐二面角的平面角，然后在中求解即可. 【小问1详解】 连接，交于点，连接， 因为四边形为矩形，所以为的中点， 因为平面平面，平面，平面， 所以， 所以为的中点，即实数的值为； 【小问2详解】 在直三棱柱中，平面平面， 所以， 因为，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 过点作于点，因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面， 延长交于点，过点作交于点，过点作于点， 因为，所以， 因为，所以, 因为，所以∽， 所以，所以，得， 因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以是平面与平面所成锐二面角的平面角， 因为，且，，所以， 取的中点，连接，则， 因为，所以， 所以，所以，解得， 所以， 所以， 因为，所以， 解得， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 【点睛】关键点点睛：此题考查线面平行，考查面面垂直，考查求二面角，解题的关键是根据题意作出二面角的平面角，也是难点，然后在三角形中求解，考查空间想象能力和计算能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度高一第二学期期末考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答：字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 当m＜1时，复数m（3+i）﹣（2+i）在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 下列命题正确的是（　　） A. 三点确定一个平面 B. 一条直线和一个点确定一个平面 C. 梯形可确定一个平面 D. 圆心和圆上两点确定一个平面 4. 下列叙述中，错误的是（ ） A. 样本数据的中位数可能不受少数几个极端值的影响 B. 数据的标准差比较小时，数据比较分散 C. 数据的极差反映了数据的集中程度 D. 任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变 5. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.7 7. 直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（　　） A. 只有一条，不在平面α内 B. 有无数条，不一定在平面α内 C. 只有一条，且在平面α内 D. 有无数条，一定在平面α内 8. 甲､乙､丙､丁四人排队，则甲不排在第一位且丙，丁两人相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（），则下列说法正确的有（ ） A. 复数z的实部为3 B. 复数z的共轭复数为 C. D. 若z为实数，则 10. 在某市初三年级举行的一次体育统考考试中，共有500人参加考试．为了解考生的成绩情况，抽取了样本容量为n的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在，按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图．若在样本中，成绩落在区间的人数为32，则由样本估计总体可知下列结论正确的为（ ） A. B. 考生成绩的众数为72 C. 考生成绩的第70百分位数为75 D. 估计该市考生成绩的平均分为70.6 11. 如图，已知圆锥MO，AB是底面圆的直径，点C为圆周上的一个动点，圆锥的高与底面半径都等于8，则下列说法正确的是（ ） A. 圆锥的母线长为 B. 圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为 C. 当三棱锥的体积最大时， D. 若，则异面直线MB与AC所成的角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若一个球的体积为，则它的表面积为______. 13. 已知样本数据为，且是方程的两根，则这组样本数据的方差是__________． 14. 在中，为边上的中线，且，则角的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. （1）求的值； （2）若，求的面积. 16. 已知向量，为坐标原点． （1）若，求实数的值； （2）当时，求与夹角的余弦值． 17. 如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，． （1）证明：平面； （2）若，求点到平面的距离． 18. 举办网络安全宣传周､提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分.甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队两人回答问题正确的概率分别为，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立. （1）求甲队总得分为1分的概率； （2）求两队积分相同的概率. 19. 如图，已知在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设. （1）当平面时，求实数的值； （2）当平面平面时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $