第1章 数列（单元测试·提升卷）数学湘教版2019高二选择性必修第一册

2025-2026学年高二数学选择性必修第一册单元检测卷 第一章 数列·能力提升 参考答案及评分标准 第I卷 （选择题部分，共48分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B C B C C A C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC AD AC 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）(1) (2) 【分析】（1）根据递推公式写出数列前项的值，即可求出的值； （2）对为奇数和偶数两种情况讨论，结合递推公式求出、，结合可求得的值. 【详解】（1）在无穷数列中，均为正整数，且， 当时，则，，，， ，，，， 所以.（6分） （2）①若是奇数，则是偶数，， 由，得，解得，满足题意；（9分） ②若是偶数，不妨设，则. 若是偶数，则，由，得，此方程无整数解； 若是奇数，则，由，得，此方程无整数解. 综上，（13分） 16．（15分）(1)；(2)或. 【分析】（1）根据已知可得，验证是否满足要求，即可得结果； （2）根据已知可得，且，讨论的奇偶性得关系，应用分组求和及已知列方程求. 【详解】（1）由①， 当时，②， ①②则，又满足上式， 所以．（7分） （2）由（1），知，则，故 （8分） 所以，且（9分） 若为偶数，，则 （11分） 若为奇数，，则 （13分） 故（14分） 解得或．（15分） 17．（15分） 【分析】（1）赋值法，结合奇偶性定义可解； （2）数学归纳法证明即可. 【详解】（1）由已知在上有定义， 令，有，故. 令，有，得. 故在上为奇函数.（7分） （2）①时，左边右边.（9分） ②假设当时，有 （11分） 则当时， 左边 . 所以当时等式也成立. 由①②，对一切正整数等式成立.（15分） 18．（17分）(1)， (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）令代入已知可求得9，由与的关系可得； （2）由可得，结合等比数列的定义证明即可，求出的通项，即可得到的通项公式； （3）根据（2）的通项公式得，则恒成立，再根据作差法分析的单调性求得最大值即可. 【详解】（1）当时，，而， 所以，解得9（2分） 当时，，， 得：，整理得：， 经检验，，满足上式（4分） 所以；（5分） （2）由得， 又， 所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以.（10分） （3）由题意（12分） 由（2）可知：， 所以，所以，令 （14分） 则，而， 所以，即数列单调递减，（15分） 故，所以，所以的最小值为.（17分） 19．（17分）(1) (2)存在；或 (3)证明见解析 【分析】（1）利用的关系可得，利用累乘法可求数列的通项公式； （2）利用裂项相消法可求得，假设存在正整数，使得成等差数列，可得，求解即可； （3）当时，可得，利用放缩法可证明不等式成立. 【详解】（1）因为，所以当时，， 两式相减得，即． 累乘得． 经检验也符合上式，所以．（5分） （2）因为，所以， 所以， 假设存在正整数，使得成等差数列，则，即，即，（7分） 显然是18的正约数，又因为，所以，所以或18， 当，即时，，（8分） 当，即时，．（9分） 所以，存在正整数，使得成等差数列， 此时或．（10分） （3）由题意知，， 当时，，不等式成立．（12分） 当，因为 ， 所以 ．（14） 因为，所以， 所以时，，（16分） 综上，．（17分） 【点睛】方法点睛：证明数列不等式的常用方法之一：放缩法，即是从不等式的一边着手， 用不等式的传递性等性质， 舍去(或添上) 一些正项或者负项， 扩大或缩小分式的分子、 分母， 逐渐适当地有效放大或缩小到所要求的目标，注意放缩时要适度， 否则就不能同向传递．在数列求和型不等式证明中， 一般来说有先放缩再求和或先求和再放缩两种形式。若数列易于求和， 则选择先求和后再放缩； 若数列不易求和， 要考虑先放缩后再求和的证明方法 ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学选择性必修第一册单元检测卷 第一章 数列·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 第I卷 （选择题部分，共48分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列满足，，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 2．数列满足，且，则等于（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 3．已知等差数列的前n项和为，，，则使不等式成立的最大的的值为（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 4．已知是等差数列的前 n 项和，且，，则（    ） A． B．的最小值为 C．数列为递减数列 D． 5．设函数满足：，都有，且.记，则数列的前10项和为（    ） A．55 B．45 C． D． 6．已知数列的前项和为，其中，，则（    ） A． B． C． D． 7．用数学归纳法证明不等式（且）时，在证明从到时，左边增加的项数是（    ） A． B． C． D． 8．意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2020项的和为（    ） A．1346 B．673 C．1347 D．1348 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知正项数列满足，的前n项和为，则下列结论一定正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若， D．，则的值有2种情况 10．已知数列的前项和为，且满足，则（    ） A． B． C．为递减数列 D． 11．已知数列满足，数列满足，设中不在中的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前项和为，则（   ） A． B．是等比数列 C． D． 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若单调递增数列满足，，则的取值范围是 ． 13．已知数列满足，则 ． 14．已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）在无穷数列中，均为正整数，且，记的前项和为. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 16．（15分）已知数列满足． (1)设，求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，且，求的值． 17．（15分）已知在上有定义，且满足x、时，有． (1)证明：在上为奇函数； (2)证明：等式，n为正整数． 18．（17分）已知数列的前n项和为，且. (1)求出，并求出与的递推关系； (2)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (3)在与之间插入n个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，其公差为，若对任意，有恒成立，求实数的最小值. 19．（17分）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)令，数列的前项和为，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)记，证明：． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学选择性必修第一册单元检测卷 第一章 数列·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 第I卷 （选择题部分，共48分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列满足，，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据已知得到数列的周期为4，应用周期性求项. 【详解】由题设，，，，， 所以数列的周期为4，且， 所以. 故选：C 2．数列满足，且，则等于（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【分析】递推公式两侧同时乘以，化简递推公式，得，运用累加法及裂项相消法求和，化简整理，即可得到所求通项，代入数值即可得解. 【详解】因为，，， 所以有，，，，. 累加得，又， 所以，即. 当时，符合上式，所以. 则. 故选：B. 3．已知等差数列的前n项和为，，，则使不等式成立的最大的的值为（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质判断数列的增减性，再利用等差数列的前项和公式即可. 【详解】因数列是等差数列，则， 又，则，故公差，则数列是递增数列， 故当时递减，当时递增， 又，， 故使不等式成立的最大的的值为. 故选：C 4．已知是等差数列的前 n 项和，且，，则（    ） A． B．的最小值为 C．数列为递减数列 D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质即可判断其公差，即判断AC，再利用前项和公式即可判断BD. 【详解】对A，因为等差数列，则，则，故A错误； 对B，设等差数列的公差为，则，则， 则的最小值为，故B正确； 对C，因为，则数列为递增数列，故C错误； 对D，因为，，则， 则，故D错误. 故选：B. 5．设函数满足：，都有，且.记，则数列的前10项和为（    ） A．55 B．45 C． D． 【答案】C 【分析】利用函数恒等式的赋值思想，找到，从而转化为等比数列，再利用数列思想求和即可. 【详解】令可得， 再令可得， 又因为，所以， 再令可得， 又因为，所以有， 即是等比数列，则有首项，公比， 所以，即， 则， 故选：C. 6．已知数列的前项和为，其中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意构造得，由等比数列定义和通项公式可得，从而得解. 【详解】因为， 所以，所以， 而，故， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即，所以． 故选：C 7．用数学归纳法证明不等式（且）时，在证明从到时，左边增加的项数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意由递推到时，由时的不等式左边与时不等式的左边比较即可求解. 【详解】用数学归纳法证明不等式的过程中， 假设时不等式成立，则左边， 那么当时，左边， 由递推到时，不等式左边增加了：， 共项. 故选：A 【点睛】本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题. 8．意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2020项的和为（    ） A．1346 B．673 C．1347 D．1348 【答案】C 【分析】由已知条件写出数列的前若干项，观察发现此数列周期为3，从而可求得答案. 【详解】由题意可得：若，等价于为偶数，若，等价于为奇数， 则， 猜想：， 当时，成立； 假设当时，成立，则为奇数，为偶数； 当时，则为奇数，为奇数，为偶数， 故符合猜想； 得证， 则连续三项之和为2，故数列的前2020项的和为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的周期性以及应用，考查了递推关系求数列各项的和，利用递推关系求数列中的项或求数列的和： （1）项的序号较小时，逐步递推求出即可； （2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知正项数列满足，的前n项和为，则下列结论一定正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若， D．，则的值有2种情况 【答案】AC 【分析】通过对数列递推公式的分析，根据的奇偶来确定数列的项，进而对各选项进行判断. 【详解】若，则，，，，，，，，， 所以从第4项开始呈现周期为3的规律. 对于A，，故A正确； 对于B，因为没有余数，所以，故B错误； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，若，则或， 若，则或；若，则， 所以的值有3种情况，故D错误. 故选：AC 10．已知数列的前项和为，且满足，则（    ） A． B． C．为递减数列 D． 【答案】AD 【分析】令，计算可判断A；当，可得，两式相减可求得通项公式判断B；由，可判断C；利用错位相减法可求得可判断D. 【详解】当时，，故A正确； 当时，，又， 两式相减得，所以， 当时，适合上式，所以，故B错误； 所以， 所以，当时，，所以从第二项起是递减数列，故C错误； ， 所以， 两式相减得 所以，故D正确. 故选：AD. 11．已知数列满足，数列满足，设中不在中的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前项和为，则（   ） A． B．是等比数列 C． D． 【答案】AC 【分析】由的递推公式可判断A，由可判断B，确定数列中含的个数，可判断CD； 【详解】对于A：由， 可得：， 所以：， 所以，正确， 对于B： 所以， 即是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，所以 则，不是等比数列，错误； 对于C：数列的第106项为213， 又，，，，，，， 所以， 所以的前项和为 ， C对，D错； 故选：AC 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若单调递增数列满足，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据求的取值范围. 【详解】由，可得， 两式相减可得：， 又，所以. . 因为数列为递增数列， 所以，故. 故答案为： 13．已知数列满足，则 ． 【答案】 【分析】由题意整理数列的通项公式，利用列举法与观察可得通项，可得答案. 【详解】由，则， 所以， 可得，即，经检验，符合题意， 故. 故答案为：. 14．已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由已知根据递推关系可得，由此可知，根据裂项相消法即可求解. 【详解】当时，， 因为， 当时，， 两式相减可得，即，当时不适合此式， 所以，所以， 当时，， 当时，， 若对任意恒成立， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）在无穷数列中，均为正整数，且，记的前项和为. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推公式写出数列前项的值，即可求出的值； （2）对为奇数和偶数两种情况讨论，结合递推公式求出、，结合可求得的值. 【详解】（1）在无穷数列中，均为正整数，且， 当时，则，，，， ，，，， 所以.（6分） （2）①若是奇数，则是偶数，， 由，得，解得，满足题意；（9分） ②若是偶数，不妨设，则. 若是偶数，则，由，得，此方程无整数解； 若是奇数，则，由，得，此方程无整数解. 综上，（13分） 16．（15分）已知数列满足． (1)设，求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，且，求的值． 【答案】(1)；(2)或. 【分析】（1）根据已知可得，验证是否满足要求，即可得结果； （2）根据已知可得，且，讨论的奇偶性得关系，应用分组求和及已知列方程求. 【详解】（1）由①， 当时，②， ①②则，又满足上式， 所以．（7分） （2）由（1），知，则，故 （8分） 所以，且（9分） 若为偶数，，则 （11分） 若为奇数，，则 （13分） 故（14分） 解得或．（15分） 17．（15分）已知在上有定义，且满足x、时，有． (1)证明：在上为奇函数； (2)证明：等式，n为正整数． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）赋值法，结合奇偶性定义可解； （2）数学归纳法证明即可. 【详解】（1）由已知在上有定义， 令，有，故. 令，有，得. 故在上为奇函数.（7分） （2）①时，左边右边.（9分） ②假设当时，有 （11分） 则当时， 左边 . 所以当时等式也成立. 由①②，对一切正整数等式成立.（15分） 18．（17分）已知数列的前n项和为，且. (1)求出，并求出与的递推关系； (2)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (3)在与之间插入n个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，其公差为，若对任意，有恒成立，求实数的最小值. 【答案】(1)， (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）令代入已知可求得9，由与的关系可得； （2）由可得，结合等比数列的定义证明即可，求出的通项，即可得到的通项公式； （3）根据（2）的通项公式得，则恒成立，再根据作差法分析的单调性求得最大值即可. 【详解】（1）当时，，而， 所以，解得9（2分） 当时，，， 得：，整理得：， 经检验，，满足上式（4分） 所以；（5分） （2）由得， 又， 所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以.（10分） （3）由题意（12分） 由（2）可知：， 所以，所以，令 （14分） 则，而， 所以，即数列单调递减，（15分） 故，所以，所以的最小值为.（17分） 19．（17分）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)令，数列的前项和为，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)记，证明：． 【答案】(1) (2)存在；或 (3)证明见解析 【分析】（1）利用的关系可得，利用累乘法可求数列的通项公式； （2）利用裂项相消法可求得，假设存在正整数，使得成等差数列，可得，求解即可； （3）当时，可得，利用放缩法可证明不等式成立. 【详解】（1）因为，所以当时，， 两式相减得，即． 累乘得． 经检验也符合上式，所以．（5分） （2）因为，所以， 所以， 假设存在正整数，使得成等差数列，则，即，即，（7分） 显然是18的正约数，又因为，所以，所以或18， 当，即时，，（8分） 当，即时，．（9分） 所以，存在正整数，使得成等差数列， 此时或．（10分） （3）由题意知，， 当时，，不等式成立．（12分） 当，因为 ， 所以 ．（14） 因为，所以， 所以时，，（16分） 综上，．（17分） 【点睛】方法点睛：证明数列不等式的常用方法之一：放缩法，即是从不等式的一边着手， 用不等式的传递性等性质， 舍去(或添上) 一些正项或者负项， 扩大或缩小分式的分子、 分母， 逐渐适当地有效放大或缩小到所要求的目标，注意放缩时要适度， 否则就不能同向传递．在数列求和型不等式证明中， 一般来说有先放缩再求和或先求和再放缩两种形式。若数列易于求和， 则选择先求和后再放缩； 若数列不易求和， 要考虑先放缩后再求和的证明方法 ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学选择性必修第一册单元检测卷 第一章 数列·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 第I卷 （选择题部分，共48分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列满足，，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 2．数列满足，且，则等于（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 3．已知等差数列的前n项和为，，，则使不等式成立的最大的的值为（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 4．已知是等差数列的前 n 项和，且，，则（    ） A． B．的最小值为 C．数列为递减数列 D． 5．设函数满足：，都有，且.记，则数列的前10项和为（    ） A．55 B．45 C． D． 6．已知数列的前项和为，其中，，则（    ） A． B． C． D． 7．用数学归纳法证明不等式（且）时，在证明从到时，左边增加的项数是（    ） A． B． C． D． 8．意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2020项的和为（    ） A．1346 B．673 C．1347 D．1348 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知正项数列满足，的前n项和为，则下列结论一定正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若， D．，则的值有2种情况 10．已知数列的前项和为，且满足，则（    ） A． B． C．为递减数列 D． 11．已知数列满足，数列满足，设中不在中的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前项和为，则（   ） A． B．是等比数列 C． D． 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若单调递增数列满足，，则的取值范围是 ． 13．已知数列满足，则 ． 14．已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）在无穷数列中，均为正整数，且，记的前项和为. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 16．（15分）已知数列满足． (1)设，求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，且，求的值． 17．（15分）已知在上有定义，且满足x、时，有． (1)证明：在上为奇函数； (2)证明：等式，n为正整数． 18．（17分）已知数列的前n项和为，且. (1)求出，并求出与的递推关系； (2)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (3)在与之间插入n个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，其公差为，若对任意，有恒成立，求实数的最小值. 19．（17分）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)令，数列的前项和为，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)记，证明：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$