5.实验：用单摆测量重力加速度 -【金版教程】2025-2026学年高中物理选择性必修第一册创新导学案全书Word（人教版2019）

物理　选择性必修 第一册 RJ 5．实验：用单摆测量重力加速度 1．学会用单摆测量当地的重力加速度。2.能正确熟练地使用游标卡尺和停表。 一、实验原理 1．实验思路：当摆角较小(一般要求不大于5°)时，单摆做简谐运动，根据其周期公式T＝2π，可得g＝，通过实验测出摆长l和周期T，即可计算得到所在地区的重力加速度数值。 2．实验器材：中心有小孔的金属小球、不易伸长的细线(长约1 m)、铁夹、铁架台、游标卡尺、毫米刻度尺、停表。 二、实验步骤 1．做单摆：在细线的一端打一个比小球上的孔径稍大些的结，将细线穿过球上的小孔。把细线上端固定在铁架台上，使摆球自由下垂，制成一个单摆。如图所示。 2．测摆长：用刻度尺测量单摆的摆长(摆线静止时从悬挂点到球心间的距离)；也可用游标卡尺测量小球的直径，算出它的半径，再测量悬挂点与小球上端之间的距离，以两者之和作为摆长的测量值。 3．测周期：把此单摆从平衡位置拉开一个角度，并使这个角不大于5°，再释放小球。当摆球摆动稳定以后，用停表测量单摆全振动30次(或50次)的时间，求出一次全振动的时间，即单摆的振动周期。 4．改变摆长，重做几次实验。 三、数据处理 1．平均值法：根据公式g＝，将每次实验的l、T数值代入，计算重力加速度g，然后取平均值。 实验 次数 摆长 l/m 周期 T/s 重力加速度 g/(m·s－2) 重力加速度g的平均值/(m·s－2) 1 2 3 2.图像法：作出T2­l图像，由T2＝可知T2­l图线是一条过原点的直线，其斜率k＝，求出k，可得g＝。 四、误差分析 1．系统误差：主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即悬点是否固定；球、线是否符合要求；振动是圆锥摆还是同一竖直平面内的振动以及测量哪段长度作为摆长等。 2．偶然误差：主要来自时间(即单摆周期)和摆长的测量。为了减小偶然误差，需进行多次测量后取平均值。 五、注意事项 1．选择摆线时要选用细、轻又不易伸长的线，长度一般在1 m左右；小球应选用密度较大、直径较小(最好不超过2 cm)的金属球。 2．悬挂点要固定，单摆悬线的上端不可随意卷在铁架台的杆上，应夹紧在铁夹中。 3．小球摆动时控制摆线偏离竖直方向的最大摆角不超过5°。 4．摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆。 5．摆长l为悬挂点到球心的距离。 6．测单摆周期时，应从摆球通过平衡位置开始计时，并且采用倒数到0开始计时计数的方法，即4、3、2、1、0、1、2……，在数“0”的同时按下表开始计时计数。 一、实验原理与操作 用如图所示的实验装置进行“用单摆测量重力加速度”的实验。 (1)实验时除用到停表、刻度尺、铁架台外，还应该选用下面列出的器材中________(选填选项前的字母代号)以备完成装置搭建。 A．长约1 m的细线 B．长约1 m的橡皮绳 C．长约5 cm的细线 D．直径约2 cm的匀质铁球 E．直径约10 cm的匀质木球 (2)选择好器材，将符合实验要求的摆球用细线悬挂在铁架台横梁上，图甲、乙分别画出了细线上端的两种不同的悬挂方式，其中图________(选填“甲”或“乙”)的悬挂方式较好。 (3)关于本实验下列说法正确的是________。 A．需要用天平称出小球的质量 B．实验时须使摆球在同一竖直面内摆动 C．测量周期时，应从摆球到达最高点时开始计时 D．为了方便测量，摆长一定的情况下，摆的振幅越大越好 E．为节约时间，经过一次全振动后停止计时，用此时间间隔作为单摆振动的周期 [解析]　(1)为了减小误差，摆线的长度不能变化，摆长也不能太短，摆长太短的话，不容易使最大摆角小于5°，且由单摆周期公式T＝2π可知，若摆长太短，则摆的周期太小，长度和时间的测量误差均较大，A符合，B、C不符合；为了减小空气阻力的影响，摆球应选择体积小、密度大的匀质铁球，D符合，E不符合。故选A、D。 (2)实验过程中要保证摆线长度不能改变，故图乙的悬挂方式较好。 (3)由T＝2π得g＝，可知不需要测出摆球的质量，A错误；实验时须使摆球在同一竖直面内摆动，以保证其做简谐运动，B正确；摆球在平衡位置时，速度最大，特征比较明显，故应从摆球到达平衡位置时开始计时，C错误；当摆球摆角较小时，可以把单摆的振动看成简谐运动，故摆长一定时，摆角不能太大，即振幅不宜太大，D错误；测量一次全振动的时间误差太大，一般采用测量30～50次全振动的时间来计算周期，从而减小误差，E错误。 [答案]　(1)AD　(2)乙　(3)B 二、数据处理与误差分析 可以利用单摆实验测量当地重力加速度，则： (1)用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g＝________。 (2)如果已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬挂点，摆线竖直下垂，如图甲所示，那么单摆摆长是________ cm。 (3)如果测定了40次全振动的时间如图乙中停表所示，那么停表读数是________ s，此单摆的摆动周期是________ s。 (4)如果测得的g值偏小，可能的原因是________。 A．测摆长时，忘记了减去摆球的半径 B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了 C．开始计时时，停表过早按下 D．实验中误将40次全振动次数记为41次 (5)某同学在实验中，测量6种不同摆长情况下单摆的振动周期，如表格所示。 l/m 0.4 0.5 0.8 0.9 1.0 1.2 T/s 1.26 1.42 1.79 1.90 2.00 2.20 T2/s2 1.59 2.02 3.20 3.61 4.00 4.84 以l为横坐标、T2为纵坐标，作出T2­l图线如图丙，π取3.14，根据此图线求重力加速度g＝________ m/s2。(结果保留两位小数) [解析]　(1)根据单摆的周期公式有T＝2π，解得g＝。 (2)摆长应为悬点到球心的距离，刻度尺读数为l0＝88.40 cm，由题意知摆球直径为d＝2.00 cm，则单摆摆长l＝l0－＝87.40 cm。 (3)停表读数为t＝1 min＋15.2 s＝75.2 s，可知振动周期T＝＝1.88 s。 (4)根据g＝，测摆长时，忘记了减去摆球的半径，使摆长的测量值大于真实值，将导致测得的重力加速度偏大，故A错误；摆线松动后，摆长的测量值小于真实值，因此测得的重力加速度偏小，故B正确；由T＝可知，开始计时时，停表过早按下，周期的测量值大于真实值，从而导致重力加速度测量值偏小，故C正确；误将40次全振动次数记为41次，周期的测量值小于真实值，从而导致重力加速度测量值偏大，故D错误。 (5)根据单摆的周期公式T＝2π，可得T2＝l，可知T2­l图线的斜率为k＝，由题图丙知k＝ s2/m＝4.00 s2/m，解得重力加速度g＝＝9.86 m/s2。 [答案]　(1)　(2)87.40 (3)75.2　1.88　(4)BC　(5)9.86 甲、乙两位同学分别用如图1所示装置测当地的重力加速度。 (1)甲同学先用游标卡尺测量小球的直径，示数如图2所示，则小球直径d＝________ cm。 (2)甲同学用停表测量单摆的周期。当单摆振动稳定且到达最低点时开始计时并记数为n＝0，单摆每经过最低点记一次数，当数到n＝50时停表的示数为50.50 s，该单摆的周期是T＝________ s。测得摆线长L＝995.1 mm，π取3.14，则求得当地重力加速度g＝________ m/s2。(结果均保留三位有效数字) (3)乙同学为了提高实验的准确度，多次改变摆长L进行实验，并测出相应的周期T，根据得出的几组对应的L和T的数值，以L为横坐标、T2为纵坐标作出T2­L图线，该同学实验时忘记测小球的直径，以摆线的长作为摆长，得到的图像应是图3中的________(选填“①”“②”或“③”)，若图像的斜率为k，则求得当地的重力加速度g＝________；若测摆长时未考虑小球的半径，则对重力加速度测量的结果________(选填“有影响”或“无影响”)。 [解析]　(1)该游标卡尺的游标尺为10分度，因此精确度为0.1 mm，则摆球直径d＝1 cm＋7×0.1 mm＝1.07 cm。 (2)由题意可知，当数到n＝50时，单摆完成的全振动次数为＝25次，则该单摆的周期T＝ s＝2.02 s，由单摆周期公式有T＝2π，其中摆长l＝L＋，代入数据解得g＝9.67 m/s2。 (3)该同学实验时忘记测小球的直径d，以摆线的长L作为摆长，则实际摆长为l＝L＋，由单摆周期公式T＝2π＝2π得T2＝L＋，可知T2­L图线与纵轴正半轴有交点，故得到的图像应是图3中的图线③，由题意＝k，解得g＝，则测摆长时未考虑小球的半径，对重力加速度测量的结果无影响。 [答案]　(1)1.07　(2)2.02　9.67 (3)③　　无影响 三、实验创新与拓展 某同学用图甲的装置测定当地的重力加速度。已知光滑圆弧形轨道ABC的半径为R，弧长为l(R≫l)，B为圆弧轨道的最低点，A、C关于B点所在的竖直线对称。小钢球的半径为r。当小钢球经过B点时，光传感器发出的光恰好能过小钢球的球心。现将小钢球由A点静止释放，沿圆弧轨道ABC自由往复运动，光传感器接收端接收到一段时间内的光信号强度变化情况如图乙所示。 (1)该同学在分析光信号变化情况时，发现Δt与ΔT相比，非常小，可以忽略不计。由此可得出，ΔT1＝________，小钢球往复运动的周期T＝________。(结果均用ΔT表示) (2)小钢球在圆弧轨道上的运动可视为简谐运动，则重力加速度g的表达式为g＝________。 (3)由于在计算周期时忽略了Δt，由此测得的重力加速度的测量值________真实值。(选填“大于”“小于”或“等于”) [解析]　(1)Δt忽略不计，分析可知ΔT1对应小钢球由A运动到B的过程，ΔT对应由B到C再回到B的过程或由B到A再回到B的过程，所以ΔT1＝，小钢球往复运动的周期T＝2ΔT。 (2)小钢球的运动可等效看作是悬挂点在圆弧轨道圆心的单摆运动，则该等效单摆的摆长L＝R－r，根据单摆周期公式得T＝2π，联立可得g＝。 (3)由于在计算周期时忽略了Δt，使得测量的周期偏小，根据T＝2π可知，测得的重力加速度的值大于真实值。 [答案]　(1)　2ΔT　(2) (3)大于 课后课时作业 1．(多选)某同学用单摆测量重力加速度的实验步骤如下： ①先把单摆悬挂起来，测出悬挂点到小球上端的距离，得到摆长L ②把小球拉开一个很小的角度，然后由静止释放 ③当摆球到达最高位置时，启动停表，并记为第一次，当摆球第(n＋1)次到达最高位置时按停停表，若停表读数为t，则单摆周期为T＝ ④不必改变摆线的长度，只要重复前三步的操作，实验多次 ⑤作出T2­L图线，求出图线的斜率k ⑥根据k＝，求出g 下列选项对该同学操作的点评中正确的是(　　) A．①测量摆长时，要测出悬挂点到摆球上端的悬线的长度，再测出小球的直径，悬线的长度加上小球的半径才是摆长 B．⑤不需作T2­L图线，直接根据公式g＝L计算，求g的平均值即可 C．④要改变摆长，重复前三步的操作，实验多次 D．③当摆球到达平衡位置时开始计时，并计为第一次，并且每次到达平衡位置且与第一次计数时的运动方向相同，计一次数；当摆球第(n＋1)次到达平衡位置且与第一次计数时的运动方向相同时按停停表，则停表的读数为n个周期 答案：ACD 解析：测量摆长时，要测出悬挂点到摆球上端悬线的长度，再测出小球的直径，悬线的长度加上小球的半径才是摆长，故A正确；作T2­L图线，利用斜率计算重力加速度，可有效减小偶然误差，故B错误；要改变摆长，重复前三步的操作，实验多次，如果不改变摆长，则无法得到不同的摆长和周期数据，从而作出T2­L图线，故C正确；摆球到达平衡位置时速度最快，此时开始计时误差最小，且每同方向经过平衡位置一次为一个周期，故D正确。 2．利用如图甲所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。 (1)下列器材和操作最合理的是________(图中的球均较小)。 (2)用20分度的游标卡尺测量小球的直径d，如图乙所示，读出小球直径的值为________ mm。 (3)将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，将其上端固定，下端自由下垂。用米尺测量摆线长度为l，小球在竖直平面内小角度平稳摆动后，测得小球完成n次全振动的总时间为t，请写出重力加速度的表达式g＝____________________。(用l、d、n、t表示) (4)正确操作后，根据多次测量数据计算出实验所在处的重力加速度值，比较后发现：此值比北京的重力加速度值略小，则实验所在处的地理位置与北京的主要不同点可能是____________________________________________________________________________(写出一条即可)。 答案：(1)D　(2)21.20　(3)　(4)见解析 解析：(1)为了保证小球摆动过程中摆线长度保持不变，摆线先选用细丝线，并且摆线上端用铁夹固定；为了减小空气阻力的影响，摆球应选择密度较大的铁球，故选D。 (2)游标卡尺的主尺读数为21 mm，游标尺读数为4×0.05 mm＝0.20 mm，则小球直径为d＝21 mm＋0.20 mm＝21.20 mm。 (3)单摆的摆长L＝l＋，单摆的周期T＝，根据T＝2π，联立得g＝。 (4)多次测量数据计算出实验所在处的重力加速度值比北京的重力加速度值略小，可能是实验所在处纬度比北京低或海拔比北京高。 3．在做“用单摆测量重力加速度”的实验时，为了提高测量精度，需多次改变l值，并测得相应的T值。现将测得的六组数据标示在以l为横坐标、以T2为纵坐标的坐标系上，即图中用“·”表示的点。 (1)根据图中给出的数据点作出T2和l的关系图线； (2)根据图线可求出g＝________ m/s2。(结果取两位有效数字) 答案：(1)图见解析　(2)9.9(或9.8) 解析：(1)作一条直线，使尽可能多的点在线上，不在直线上的点平均分布在直线的两侧，如图所示。 (2)由T＝2π得T2＝l，则图线斜率k＝，g＝，又k＝＝ s2/m，可得g＝9.9 m/s2(结果为9.8 m/s2也正确)。 4.某实验小组在利用摆长约为1 m的单摆测量当地重力加速度的实验中，改变摆长，利用测出的多组周期T、摆长L的数据，作出T2­L图像，可以更准确地求出重力加速度g。已知三位同学作出的T2­L图线如图中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线b，出现图线a的原因可能是摆长L的测量值________(填“偏大”或“偏小”)，出现图线c的原因可能是周期T的测量值________(填“偏大”或“偏小”)。 答案：偏小　偏小 解析：根据单摆的周期公式T＝2π得T2＝。已知图线b满足T2＝L，再由图可知，图线a的函数关系式可写成T2＝L＋r，其中r是图线a的纵截距，上式可整理成T2＝(L＋r)，与图线b的方程T2＝L比较可知，出现图线a的原因可能是摆长L的测量值偏小一个量r。由图可知图线c的斜率k＝偏小，可能是对于同一L值，T的测量值偏小。 5．国庆假期，物理学习小组6名学生到西山公园体验物理沉浸式课堂，他们登上西山山峰后，想要粗略测出山顶处的重力加速度。于是他们用细线拴好石块P系在树枝上，以O点为悬点做成一个简易单摆，如图甲所示。然后将石块拉开一个小角度，由静止释放，使石块在竖直平面内摆动(系石块的树枝始终静止)。 　 (1)某次用停表测量单摆的周期，当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为0，单摆每经过最低点记一次数，当数到n＝60时停表的示数如图乙所示，则该单摆的周期T＝________ s(结果保留三位有效数字)。 (2)由于难以确定石块重心，只是测出悬点O到石块最上方的结点A的距离L，并把OA距离当作摆长，这样计算出来的山顶处重力加速度值比真实值________(选填“偏大”“偏小”或“相等”)。 (3)为了消除(2)中的系统误差，请简要写出实验的改进方案：___________________________ _______________________________________________________________。 答案：(1)2.25　(2)偏小 (3)改变摆长，测出多组T和L的数据，作出T2­L图像从而进行计算 解析：(1)停表读数为t＝60 s＋7.5 s＝67.5 s，则该单摆的周期是T＝＝ s＝2.25 s。 (2)OA距离比实际的摆长小，根据单摆周期公式T＝2π得g＝，可知计算出来的山顶处重力加速度值比真实值偏小。 (3)设石块重心到A的距离为r，则有T＝2π，整理可得T2＝L＋r，因为r难以确定，可以改变悬线长L，测量多组数据，然后作T2­L图像，可得到图线斜率k，则有k＝，可得g＝。 6.某智能手机中有“手机物理工坊app”软件，其中的“磁传感器”功能能实时记录手机附近磁场的变化，磁极越靠近手机，“磁传感器”记录下的磁感应强度越大。现用手机、磁化的小球、铁架台、塑料夹子等实验器材组装成如图甲所示的装置，来测量重力加速度，实验步骤如下： ①把智能手机正面朝上放在悬点的正下方，接着往侧边拉开小球，并用夹子夹住。 ②打开夹子释放小球，小球运动，取下夹子。 ③运行“手机物理工坊app”软件，点开“磁传感器”功能，手机记录下磁感应强度的变化。 ④改变摆线长和夹子的位置，测量出各次实验的摆线长L及相应的周期T。 根据以上实验过程，回答下列问题： (1)图乙中的a、b分别记录了两次实验中磁感应强度的变化情况，a图测得连续N个磁感应强度最大值之间的总时间为t，则单摆周期T的测量值为________。b图中手机记录下的磁感应强度几乎不变，可能的操作原因是______________。 (2)实验中得到多组摆线长L及相应的周期T后，作出了T2­ L图线，图线的斜率为k，在纵轴上的截距为c，由此得到当地重力加速度g＝________，小球的半径R＝________。 (3)实验中，若手机放置的位置不在悬点正下方，则测量结果________(选填“会”或“不会”)影响实验结果。地磁场对该实验结果________(选填“会”或“不会”)产生影响。 答案：(1)　形成了圆锥摆　(2)　 (3)不会　不会 解析：(1)a图测得连续N个磁感应强度最大值之间的总时间为t，相邻的磁感应强度最大值之间时间间隔为，则(N－1)＝t，得T＝；b图中手机记录下的磁感应强度几乎不变，可能的操作原因是形成了圆锥摆，小球与手机间距离几乎不变，手机所在位置的磁感应强度大小几乎不变。 (2)单摆摆长l＝L＋R，由单摆周期公式T＝2π，得T2＝L＋R，故图线的斜率为k＝，纵轴上的截距为c＝R，得当地重力加速度g＝，小球的半径R＝。 (3)实验中，若手机放置的位置不在悬点正下方，小球运动的一个周期T内，仍是两次靠近手机最近，测得磁感应强度最大，则测量结果不会影响实验结果。实验测量的是手机处小球的磁感应强度和地磁场的磁感应强度的合磁感应强度的大小，而地磁场不变，则手机处合磁感应强度与小球的磁感应强度的变化趋势相同，地磁场对该实验结果不会产生影响。 7．若单摆的最大偏角不是足够小，单摆也做周期性振动，其周期公式是什么？经查阅资料得知：单摆在任意摆角θ时的周期公式有多种，其中两种近似公式为T＝T0和T＝T0，两式中T0均为摆角θ趋近于0°时的周期，后者与理论值的偏差更小，即使摆角θ趋近于90°，误差也只有0.17%。为了验证上述关系式，需要测量的物理量有________。该小组同学利用“用单摆测重力加速度”实验的现有器材继续做实验，利用获得的数据作图像验证关系式T＝T0。为了直观地验证此关系式，某同学作出了如图所示的图像，则图像中的纵轴、横轴分别表示的物理量是________、________。 答案：T、θ　(或θ2)　θ2 解析：为了验证T＝T0和T＝T0，则要测出不同的摆角θ，以及所对应的周期T。为了用图像法直观地验证关系式T＝T0，则应描绘线性图线，将关系式T＝T0变形可得＝－或θ2＝16－，若该关系式成立，分析知题图所示图像中的纵轴表示、横轴表示θ2，或纵轴表示θ2、横轴表示。 13 学科网（北京）股份有限公司 $$