3.简谐运动的回复力和能量-【金版教程】2025-2026学年高中物理选择性必修第一册创新导学案全书Word（人教版2019）

物理　选择性必修 第一册 RJ 3．简谐运动的回复力和能量 1．明确回复力的概念和特点，掌握简谐运动的动力学特征。2.知道简谐运动中动能和势能之和不变，且其大小与振幅有关。3.会应用动力学、能量观点分析简谐运动中位移、回复力、加速度、速度、动能、势能等各物理量的变化规律。 任务　简谐运动的回复力 如图所示，分析水平弹簧振子的受力特征。 提示：振子受重力、杆的支持力、弹簧弹力(平衡位置不受弹簧弹力)，其中重力与支持力平衡，合力等于弹簧弹力。 1．回复力的定义：使物体在平衡位置附近做往复运动的力。 2．回复力的作用：总是要把振子拉回到平衡位置。 注意：回复力是根据力的效果命名的，它可能由几个力的合力、某个力或某个力的分力提供。回复力一定等于物体在振动方向上所受的合力。 3．简谐运动回复力的表达式：F＝－kx，即回复力的大小与物体的位移大小成正比，“－”号表示回复力与位移方向始终相反。k是常数，对于弹簧振子，k为弹簧的劲度系数。 4．简谐运动的动力学定义：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。 1．判一判 (1)简谐运动是匀变速运动。(　　) (2)简谐运动的回复力总是指向平衡位置。(　　) (3)简谐运动的回复力可以是恒力。(　　) 提示：(1)×　(2)√　(3)× 2．想一想 公式F＝－kx中的k是否就是指弹簧的劲度系数？ 提示：不一定。做简谐运动的物体，其回复力F＝－kx，这是判断物体是否做简谐运动的依据，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。 如图所示，轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，上端拴接一质量为m的可视为质点的小球，小球从弹簧的原长处由静止释放。已知弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，不计空气阻力。 (1)证明：小球在竖直方向上做简谐运动； (2)求小球运动过程中弹簧的最大压缩量xm。 [解析]　(1)当小球在平衡位置时，设弹簧的压缩量为x0，对小球受力分析，由平衡条件有 mg＝kx0 以小球的平衡位置为坐标原点，竖直向下为正方向建立坐标系，小球相对平衡位置的位移为x时，小球受到的回复力F＝mg－k(x＋x0) 联立可得F＝－kx 则小球在竖直方向上做简谐运动。 (2)小球从弹簧的原长处由静止释放，由(1)知，小球在平衡位置时弹簧的压缩量为x0，则小球做简谐运动的振幅为A＝x0 由简谐运动的对称性可知，小球运动过程中弹簧的最大压缩量为xm＝2A 联立解得xm＝。 [答案]　(1)见解析　(2) 判断物体是否做简谐运动的一般方法 (1)通过对位移的分析，列出位移—时间表达式，看看是否满足正弦函数的规律，如果满足，则物体做简谐运动。 (2)对物体进行受力分析，求振动方向上的合力，看看此合力是否满足简谐运动的动力学特征F＝－kx，如果满足，则物体做简谐运动。 在水平方向做简谐运动的弹簧振子质量为0.2 kg，当它运动到平衡位置左侧20 cm时受到的回复力大小是4 N；当它运动到平衡位置右侧40 cm时，它的加速度为(　　) A．20 m/s2，向右 B．20 m/s2，向左 C．40 m/s2，向右 D．40 m/s2，向左 [解析]　由回复力大小F和位移大小x的关系F＝kx可知，当x1＝20 cm时，F1＝4 N，故当x2＝40 cm时，F2＝8 N，加速度大小为a2＝＝40 m/s2，方向指向平衡位置，因此方向向左，D正确。 [答案]　D 任务　简谐运动的能量 如图所示，水平弹簧振子中有哪几种能量参与转化？ 提示：小球的动能和弹簧的弹性势能。 1．振动系统(水平弹簧振子)的状态与能量的对应关系：弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。 (1)在最大位移处，势能最大，动能为零。 (2)在平衡位置处，动能最大，势能最小。 2．简谐运动的能量特点：在简谐运动中，系统的动能与势能之和一定，遵守机械能守恒定律。而实际的运动都有一定的能量损耗，所以简谐运动是一种理想化的模型。 3．对于弹簧劲度系数和小球质量都一定的系统，振幅越大，机械能越大。 判一判 (1)水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，因此机械能一定为零。(　　) (2)弹簧振子位移最大时，势能也最大。(　　) 提示：(1)×　(2)√ 如图为某个弹簧振子做简谐运动的图像，由图像可知(　　) A．在0.1 s末振幅为零，振子的振动能量为零 B．在0.2 s末振子具有最大势能 C．在0.4 s末振子具有的能量尚未达到最大值 D．在0.4 s末振子的动能最大 [解析]　简谐运动振幅保持不变，且运动过程中能量是守恒的，故A、C错误；由图可知，在0.2 s末、0.4 s末振子的位移最大，振子的速度为零，则振子的动能为零，由机械能守恒定律可知，振子具有的势能最大，B正确，D错误。 [答案]　B (多选)在光滑斜面上的物块A被平行于斜面的轻弹簧拉住静止于O点，如图所示。现将物块A沿斜面拉到B点无初速度释放，物块A在B、C范围内做简谐运动，则下列说法正确的是(　　) A．OB越长，系统的机械能越大 B．在运动过程中，物块A的机械能守恒 C．物块A与轻弹簧构成的系统的势能，当物块A在C点时最大，当物块A在O点时最小 D．物块A与轻弹簧构成的系统的势能，当物块A在C点时最大，当物块A在B点时最小 [解析]　在简谐运动中，振动系统的机械能跟振幅有关，对确定的振动系统，振幅越大，系统的机械能越大，A正确；在简谐运动中，物块A与弹簧组成的系统机械能守恒，随着弹簧的弹性势能不断变化，物块A的机械能不断变化，物块A的机械能不守恒，B错误；由机械能守恒定律可知，物块A在B点和C点速度为0，动能为0，系统的势能最大，物块A在O点时速度最大，动能最大，系统的势能最小，C正确，D错误。 [答案]　AC 简谐运动中，势能与动能之和保持不变，在平衡位置动能最大，势能最小，在最大位移处动能最小，势能最大。这里的势能不一定指弹簧的弹性势能，而是指所有势能的总和，在本题中指弹簧的弹性势能与物块A的重力势能之和。 任务　简谐运动中各物理量的变化规律 简谐运动中各物理量的变化规律 以水平弹簧振子为例，如图所示，振子以O为平衡位置在A、B之间做简谐运动，各物理量的变化规律为： ( 物理量 ) ( 变化规律 ) ( 运动过程 ) A→O O→B B→O O→A 位移 大小 减小 增大 减小 增大 方向 O→A O→B O→B O→A 回复力、 加速度 大小 减小 增大 减小 增大 方向 A→O B→O B→O A→O 速度 大小 增大 减小 增大 减小 方向 A→O O→B B→O O→A 动能 增大 减小 增大 减小 势能 减小 增大 减小 增大 总结：(1)在简谐运动中，位移、回复力、加速度和势能四个物理量同时增大或减小，与速度和动能的变化步调相反。 (2)平衡位置是位移、加速度和回复力方向变化的转折点。 (3)最大位移处是速度方向变化的转折点。 如图所示是某一质点做简谐运动的振动图像，下列说法正确的是(　　) A．在第1 s内，质点的速度逐渐增大 B．在第1 s内，质点的加速度逐渐增大 C．在第4 s内，质点的势能逐渐增大 D．在第4 s内，质点的能量逐渐增大 [解析]　在第1 s内，质点由平衡位置向正向最大位移处运动，速度减小，位移增大，回复力和加速度都增大，A错误，B正确；在第4 s内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动，速度增大，位移减小，动能增大，势能减小，能量不变，C、D错误。 [答案]　B 分析简谐运动中各物理量变化情况的技巧 (1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。 (2)分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定。 [跟进训练]　如图所示为某物体做简谐运动的振动图像，下列说法正确的是(　　) A．0.3 s时刻与0.5 s时刻物体的动能相同 B．0.3 s时刻与0.5 s时刻物体的速度相同 C．0.1 s时刻与0.3 s时刻物体的回复力方向相同 D．0.1～0.3 s，物体的加速度减小 答案：A 解析：由图可知，在0.3 s与0.5 s这两个时刻，物体的位移是相同的，则物体具有相同的动能，A正确；x­t图像中图线的切线斜率表示速度，在0.3 s与0.5 s这两个时刻，物体的速度方向相反，故B错误；由图可知，0.1 s时刻与0.3 s时刻物体的位移大小相等，方向相反，根据回复力表达式F＝－kx，可知在这两个时刻物体的回复力大小相等，方向相反，故C错误；0.1～0.3 s，物体的位移先减小后增大，则其回复力和加速度先减小后增大，D错误。 课后课时作业 知识点一　简谐运动的回复力 1．(多选)关于回复力公式F＝－kx，下列说法正确的是(　　) A．k只表示弹簧的劲度系数 B．式中的负号表示回复力总是负值 C．位移x是相对平衡位置的位移 D．有的振动的回复力不遵从该公式 答案：CD 解析：简谐运动的回复力公式F＝－kx中，k是比例系数，不一定表示弹簧的劲度系数，A错误；F＝－kx中的负号表示回复力总是与振动物体的位移方向相反，B错误；位移x是物体偏离平衡位置的位移，C正确；只有简谐运动的回复力遵从该公式，其他振动的回复力不遵从该公式，D正确。 2．(多选)如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，O是平衡位置，下列说法正确的是(　　) A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用 B．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用 C．小球由A向O运动过程中，回复力逐渐增大 D．小球由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置 答案：AD 解析：弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用，回复力是根据效果命名的力，它是由物体受到的具体的力所提供的，在此情景中弹簧的弹力充当回复力，故A正确，B错误；回复力与位移的大小成正比，小球由A向O运动过程中位移在减小，故此过程回复力逐渐减小，故C错误；回复力总是指向平衡位置，故D正确。 3．做简谐运动的质点距平衡位置1 cm时的加速度大小是0.5 cm/s2，那么距平衡位置2 cm时的加速度大小是(　　) A．0.5 cm/s2 B．1.0 cm/s2 C．1.5 cm/s2 D．2.0 cm/s2 答案：B 解析：根据简谐运动回复力的表达式和牛顿第二定律得F＝－kx＝ma，由题意可知，当|x1|＝1 cm时，|a1|＝0.5 cm/s2，当|x2|＝2 cm时，设加速度大小为|a2|，代入上式有k|x1|＝m|a1|，k|x2|＝m|a2|，代入数据解得|a2|＝1.0 cm/s2，故选B。 4.(多选)如图所示，一物体系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然状态。今向右拉动物体，然后释放，物体在B、C间振动，O为平衡位置，不计阻力，以O为原点，以向右为正方向建立x轴，则下列判断正确的是(　　) A．物体做简谐运动，＝ B．物体做简谐运动，≠ C．回复力F＝－kx D．回复力F＝－3kx 答案：AD 解析：由于物体位移是x时，物体受到的回复力是F＝F1＋F2＝－k1x－k2x＝－3kx，符合简谐运动的动力学方程，故物体做的是简谐运动，所以、都是物体做简谐振动的振幅，＝。综上所述，A、D正确。 5．一质量为m、侧面积为S的正方体木块，放在水面上静止(平衡)，如图所示，现用力向下将其压入水中一段深度后(未全部浸没)撤掉外力，木块在水面上下振动，试判断木块的振动是否为简谐运动(不计阻力)。 答案：见解析 解析：以木块为研究对象，以向下为正方向，设水的密度为ρ，静止时木块浸入水中Δx深度，当木块被压入水中x后受力如图所示，则木块受到的回复力为F回＝mg－F浮 又F浮＝ρgS(Δx＋x) 可得F回＝mg－ρgS(Δx＋x)＝mg－ρgSΔx－ρgSx 又木块静止时有mg＝ρgSΔx 所以F回＝－ρgSx，即F回＝－kx(k＝ρgS)， 所以木块的振动为简谐运动。 知识点二　简谐运动的能量 6.(多选)如图是弹簧振子做简谐运动的振动图像，下列说法中正确的是(　　) A．曲线上A、C、E点对应的弹簧振子的势能最大 B．曲线上A、E点对应的弹簧振子的势能最大，C点对应的弹簧振子的势能最小 C．曲线上B、D点对应的弹簧振子的机械能相等 D．曲线上F点对应的弹簧振子的动能最大 答案：ACD 解析：简谐运动过程，弹簧振子的机械能守恒，即弹簧振子在任意位置的机械能都相等，C正确；由图可知，A、C、E点对应的弹簧振子处在最大位移处，此时弹簧振子的速度为零，动能为零，由机械能守恒定律可知，对应的弹簧振子的势能最大，故A正确，B错误；由图可知，F点对应的弹簧振子处在平衡位置，对应的弹簧振子的动能最大，D正确。 7.如图所示，由轻质弹簧下面悬挂一物块组成一个沿竖直方向振动的弹簧振子，弹簧的上端固定于天花板上，当物块处于静止状态时，取它的重力势能为零，现将物块向下拉一小段距离后放手，此后弹簧振子在平衡位置附近上下做简谐运动，不计空气阻力，则(　　) A．弹簧振子速度最大时，振动系统的势能为零 B．弹簧振子速度最大时，物块的重力势能与弹簧的弹性势能相等 C．弹簧振子经平衡位置时，振动系统的势能最小 D．弹簧振子在振动过程中，振动系统的机械能不守恒 答案：C 解析：弹簧振子在平衡位置时的速度最大，由题知此时物块的重力势能为零，但是弹簧处于拉伸状态，弹性势能不为零，故振动系统的势能不为零，且此时物块的重力势能与弹簧的弹性势能不相等，A、B错误。弹簧振子在振动过程中，只有重力和弹簧弹力做功，则弹簧振子的动能、重力势能及弹簧的弹性势能总和保持不变，系统的机械能守恒；由简谐运动的规律知，弹簧振子在平衡位置时动能最大，故此时振动系统的势能最小，C正确，D错误。 知识点三　简谐运动中各物理量的变化规律 8．(多选)弹簧振子振动时每次通过平衡位置(　　) A．位移为零，动能为零 B．动能最大，势能最小 C．速度最大，加速度为零 D．速度最大，加速度不一定为零 答案：BC 解析：弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零，此时速度最大，动能最大，由机械能守恒定律可知，振子的势能最小，由F＝－kx可知，回复力为零，根据牛顿第二定律F＝ma可知，振子的加速度为零，故B、C正确，A、D错误。 9.如图所示是弹簧振子做简谐运动的振动图像，可以判定(　　) A．t1到t2时间内，系统的动能不断增大，势能不断减小 B．0到t2时间内，振子的位移增大，速度增大 C．t2到t3时间内，振子的回复力先减小再增大，加速度的方向一直沿x轴正方向 D．t1、t4时刻振子的动能、速度都相同 答案：A 解析：t1到t2时间内，x减小，系统的动能不断增大，势能不断减小，A正确；0到t2时间内，振子的位移减小，速度增大，B错误；t2到t3时间内，振子的位移先增大再减小，由F＝－kx可知，回复力先增大再减小，C错误；t1和t4时刻振子的位移相同，即位于同一位置，由x­t图像中斜率表示速度可知，其速度等大反向，即两时刻动能相同，速度不同，D错误。 10.如图所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，下列说法不正确的是(　　) A．物体A的回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供 B．滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供 C．物体A与滑块B看成一个振子，其回复力大小跟位移大小之比为k D．若A、B之间的动摩擦因数为μ，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则A、B间无相对滑动的最大振幅为 答案：B 解析：物体A做简谐运动，在水平方向只受到滑块B对它的静摩擦力，所以物体A做简谐运动的回复力是由滑块B对物体A的静摩擦力提供，故A正确；滑块B做简谐运动的回复力是由弹簧的弹力和A对B的静摩擦力的合力提供，故B错误；物体A与滑块B看成一个振子，其回复力F＝－kx ，回复力大小跟位移大小之比为k，负号表示回复力的方向与位移方向相反，故C正确；设最大振幅为A，A、B间恰不发生相对滑动时，根据牛顿第二定律，以整体为研究对象有kA＝(m＋M)amax，以物体A为研究对象有μmg＝mamax，联立解得A＝，故D正确。本题选说法不正确的，故选B。 11.(多选)如图所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M。若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是(　　) A．振幅不变 B．振幅减小 C．最大速度不变 D．最大速度减小 答案：AD 解析：振子运动到B点时速度恰为零，此时放上m，系统的机械能即为此时弹簧储存的弹性势能，故简谐运动的机械能不变，所以振幅保持不变，A正确，B错误；由机械能守恒知，系统的最大动能不变，而振子质量增大，则最大速度减小，故C错误，D正确。 12.如图所示，竖直轻质弹性绳上端固定，原长状态时下端在P点。现取来一块带有小孔的薄板，使小孔处在P点，并将绳下端穿过小孔悬挂一个质量为m的小球，小球静止时位于O点。现将小球拉至与O点等高的A点静止释放，B为A点关于O点的对称点，不计一切阻力且弹性绳始终遵循胡克定律。请判断：小球释放之后的运动是否为简谐运动。 答案：见解析 解析：设PO＝h，弹性绳的劲度系数为k，则小球静止时，由平衡条件有mg＝kh 设小球在A点时弹性绳与竖直方向的夹角为θ0，则弹力的竖直分量为 kcosθ0＝kh＝mg 可知小球所受合力始终沿水平方向，小球将沿直线AB来回运动，且O点为平衡位置。以O点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立坐标系，水平向右为x轴正方向，设小球坐标为x时，弹性绳与竖直方向的夹角为θ，则小球所受合力为 F合＝－ksinθ＝－mgtanθ＝－·x 满足简谐运动的回复力特征F＝－kx，则小球释放之后的运动是简谐运动。 13．如图甲所示，劲度系数为k的轻弹簧下端挂一质量为m的小球(可视为质点)，小球在竖直方向上做简谐运动，弹簧对小球的拉力F随时间变化的图像如图乙所示。已知弹簧弹性势能的表达式为Ep＝kx2，x为弹簧的形变量，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　) A．小球的振幅为 B．小球的最大加速度为2g C．小球的最大动能为 D．在振动过程中，弹簧的弹性势能和小球的动能总和不变 答案：C 解析：设小球在平衡位置时弹簧伸长量为x0，则有kx0＝mg，解得x0＝，由图乙知，小球在最大位移处时，弹簧弹力为2mg或0，则此时弹簧伸长量为x1＝或x2＝0，则小球的振幅为A＝|x1－x0|＝|x0－x2|＝，故A错误；弹簧的弹力最大时，小球的加速度最大，此时有2mg－mg＝mamax，解得amax＝g，故B错误；小球经过平衡位置时动能最大，从最高点到平衡位置的过程，根据机械能守恒定律有mgx0＝kx＋Ekmax，解得小球的最大动能为Ekmax＝，故C正确；由于小球在竖直方向做简谐运动，则弹簧与小球组成的系统机械能守恒，所以在振动过程中，小球的重力势能、弹簧的弹性势能和小球的动能总和不变，故D错误。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$