2.简谐运动的描述-【金版教程】2025-2026学年高中物理选择性必修第一册创新导学案全书Word（人教版2019）

物理　选择性必修 第一册 RJ 2．简谐运动的描述 1．知道振幅、周期和频率的概念，知道全振动的含义，理解周期和频率、圆频率的关系。2.知道相位、初相位的概念，理解相位差的含义。3.知道简谐运动的表达式及其各量的物理意义。4.能依据简谐运动的表达式描绘图像，或根据简谐运动图像写出表达式。 任务　振幅、周期和频率 我们已经知道，做简谐运动的物体的位移x与运动时间t之间满足正弦函数关系。根据高中数学的相关知识，写出位移x的一般函数表达式。 提示：x＝Asin(ωt＋φ) 1．振幅 振动物体离开平衡位置的最大距离。振幅是表示振动幅度大小的物理量，常用字母A表示，单位是米。振动物体运动的范围是振幅的两倍。 2．全振动 在图中，如果从振动物体向右通过O的时刻开始计时，则从O→M→O→M′→O，这样一个完整的振动过程称为一次全振动。不管以哪里作为开始研究的起点，做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的。 注意：完成一次全振动时，位移(x)、速度(v)同时与初始状态相同。 3．周期和频率 (1)周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫作振动的周期，用T表示。在国际单位制中，周期的单位是秒(s)。 (2)频率：物体完成全振动的次数与所用时间之比叫作振动的频率，数值等于单位时间内完成全振动的次数，用f表示，f＝。在国际单位制中，频率的单位是赫兹，简称赫，符号是Hz，1 Hz＝1 s－1。 (3)周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快。 (4)ω是一个与周期成反比、与频率成正比的量，叫作简谐运动的“圆频率”。它也表示简谐运动的快慢，ω＝＝2πf。 (5)所有简谐运动的周期均与其振幅无关。 判一判 (1)简谐运动的振幅大，振动的周期一定大。(　　) (2)振幅就是振子的最大位移。(　　) (3)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动过程。(　　) (4)简谐运动的表达式x＝Asin(ωt＋φ)中，ω表示振动的快慢，ω越大，振动的周期越小。(　　) 提示：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 如图所示，将弹簧振子从平衡位置拉下一段距离Δx，释放后振子在A、B间做简谐运动，且AB＝20 cm，振子首次由A到B的时间为0.1 s，则： (1)振子振动的振幅为________，周期为________，频率为________； (2)振子由A到O的时间为________； (3)振子在5 s内通过的路程为________，5 s末相对平衡位置的位移大小为________。 (1)AB间距与振幅有何关系？ 提示：AB间距等于2个振幅，即A＝10 cm。 (2)“振子首次由A到B的时间”与周期有何关系？ 提示：振子首次由A到B的时间等于半个周期，即T＝0.2 s。 [解析]　(1)从题图可知，振子振动的振幅为10 cm，t＝0.1 s＝，所以T＝0.2 s。 由f＝得f＝5 Hz。 (2)振子由A到O的时间与振子由O到B的时间相等，均为0.05 s。 (3)弹簧振子的振幅A＝10 cm，振子在1个周期内通过的路程为4A，故在t′＝5 s＝25T内通过的路程为s＝40×25 cm＝1000 cm。5 s内振子振动了25个周期，5 s末振子仍处在A点，所以振子偏离平衡位置的位移大小为10 cm。 [答案]　(1)10 cm　0.2 s　5 Hz (2)0.05 s　(3)1000 cm　10 cm 振动物体在一段时间内通过的路程 (1)振动物体在一个周期内通过的路程一定为四倍振幅，则在n个周期内通过的路程必为4nA(n为正整数)； (2)振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅； (3)振动物体在内通过的路程可能等于一倍振幅，还可能大于或小于一倍振幅，只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，内通过的路程才一定等于振幅。 在一般题目中，先判断所求时间内有几个周期，再依据上述规律求路程。 (多选)如图是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是(　　) A．该物体振动的周期为2×10－2 s B．该物体振动的频率为25 Hz C．该物体振动的振幅为10 cm D．该物体在0～6×10－2 s内通过的路程是60 cm [解析]　由题图知该物体振动的周期为T＝4×10－2 s，A错误；由f＝，可知该物体振动的频率为f＝25 Hz，B正确；由题图知该物体振动的振幅为A＝10 cm，C正确；6×10－2 s＝1T，所以该物体在0～6×10－2 s内通过的路程为s＝4A＋2A＝6A＝60 cm，D正确。 [答案]　BCD 任务　相位、简谐运动的表达式 1．相位 (1)ωt＋φ 代表了做简谐运动的物体此时正处于一个运动周期中的哪个状态，叫作相位。φ是t＝0时的相位，称作初相位，或初相。 拓展：相位(ωt＋φ)相当于三角函数中的角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。 (2)相位差：如果两个简谐运动的频率相同，其初相分别是φ1和φ2，当φ1>φ2时，它们的相位差是Δφ＝φ1－φ2。此时，我们常说1的相位比2超前Δφ，或者说2的相位比1落后Δφ。 2．简谐运动的表达式 根据一个简谐运动的振幅A、周期T、初相位φ0，可以知道做简谐运动的物体在任意时刻t的位移x是x＝Asin。振幅、周期、初相位是描述简谐运动特征的物理量。 想一想 (1)两个简谐运动有相位差Δφ，说明了什么？甲、乙两个简谐运动的相位差为π，意味着什么？ 提示：两个简谐运动有相位差，说明其振动步调不相同。甲、乙两个简谐运动的相位差为π，意味着乙(甲)总比甲(乙)滞后(超前)个周期或次全振动。 (2)频率相同的两个简谐运动的相位差Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)，若Δφ＝0，表明两个物体运动步调相同还是相反？若Δφ＝π，表明两个物体运动步调相同还是相反？ 提示：若Δφ＝0，表明两个物体运动步调相同，即同相。若Δφ＝π，表明两个物体运动步调相反，即反相。 (多选)一弹簧振子A的位移y随时间t变化的关系式为y＝0.1sin(2.5πt) m。则(　　) A．弹簧振子A的振幅为0.2 m B．弹簧振子A的周期为1.25 s C．在t＝0.2 s时，振子A的运动速度为零 D．若另一弹簧振子B的位移y随时间变化的关系式为y＝0.2sin m，则振动A滞后振动B的相位为 (1)由弹簧振子的位移表达式可以得出哪些物理量？ 提示：振幅、周期、初相位。 (2)弹簧振子A与B的哪些物理量相同？哪些物理量不同？ 提示：频率相同，振幅、初相位不同。 [解析]　由A的振动方程可知弹簧振子A的振幅A＝0.1 m，圆频率ω＝2.5π rad/s，周期T＝＝ s＝0.8 s，故A、B错误；在t＝0.2 s＝时，振子A的位移最大，速度为零，故C正确；两振动的相位差Δφ＝φ2－φ1＝2.5πt＋－2.5πt＝，即振动B超前振动A的相位为，或者说振动A滞后振动B的相位为(也可画出两个振动的图像来直观判断)，故D正确。 [答案]　CD 根据如图所示弹簧振子的振动图像回答下列问题： (1)将位移随时间的变化规律写成x＝Asin(ωt＋φ)的形式，并指出振动的初相位。 (2)分别求出t1＝0.5 s时和t2＝1.5 s时振子相对平衡位置的位移。 [解析]　(1)由题图知，A＝10 cm，T＝4 s，ω＝＝ rad/s，φ＝ 则弹簧振子位移随时间的变化规律为 x＝Asin(ωt＋φ)＝10sin cm 振动的初相位是。 (2)振子的振动方程为x＝10sin cm 则t1＝0.5 s时，振子相对平衡位置的位移 x1＝10sin cm＝5 cm 则t2＝1.5 s时，振子相对平衡位置的位移 x2＝10sin cm＝－5 cm。 [答案]　(1)x＝10sin cm　 (2)5 cm　－5 cm 简谐运动两类典型问题的解题思路 (1)根据表达式画振动图像 ①根据x＝Asin(ωt＋φ0)找出振幅A和振动周期T＝。 ②令t＝0，找出初始时刻的位移x(x的正、负要有明确表示)，并根据表达式判断此后极短时间内x的变化。 ③选好标度，作出正弦函数图像。 (2)根据振动图像写表达式 ①从振动图像中找出振幅A和周期T，ω＝。 ②根据t＝0时的位移求出初相φ0，即x0＝Asinφ0。根据三角函数的周期性，一般在区间[0，2π)内或(－π，π]内求φ0，而且通常需要根据t＝0前后极短时间内x的变化，排除2个可能解中的一个。 ③把A、ω、φ0代入表达式x＝Asin(ωt＋φ0)即可。 注：a.有的题目给出振动表达式而不要求画振动图像，但可以通过画振动图像从而更直观地分析问题；b.有的题目给出振动图像而不要求写振动表达式，但可以借助表达式进行定量计算。 任务　简谐运动的周期性与对称性 1．简谐运动的对称性 (1)瞬时量的对称性：振动质点连续两次通过同一点时，位移相同，速度的大小相等，方向相反；振动质点经过关于平衡位置对称的两点时，位移大小相等，方向相反，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。 (2)过程量的对称性：振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如tBC＝tCB；振动质点通过关于平衡位置对称的两线段的时间相等，如tBC＝tB′C′，如图所示。 2．简谐运动的周期性 (1)若t2－t1＝nT(n为正整数)，则t1、t2两时刻，振动物体在同一位置，运动情况相同。 (2)若t2－t1＝nT＋T(n为自然数)，则t1、t2两时刻，描述运动的物理量(x，a，v)均大小相等，方向相反。 (3)若t2－t1＝nT＋T(n为自然数)或t2－t1＝nT＋T(n为自然数)，则当t1时刻物体在最大位移处时，t2时刻物体到达平衡位置；当t1时刻物体在平衡位置时，t2时刻物体到达最大位移处；若t1时刻物体在其他位置，t2时刻物体到达何处要视具体情况而定。 如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子经过a、b两点时的速度相同，若它从a经O到b历时0.2 s，然后从b再回到a的最短时间为0.4 s，则该振子的振动频率为(　　) A．1 Hz B．1.25 Hz C．2 Hz D．2.5 Hz [解析]　振子经过a、b两点时的速度相同，根据弹簧振子的运动特点，可知a、b两点相对平衡位置O一定是对称的，振子由b经O到a所用的时间也是0.2 s，由于“从b再回到a的最短时间为0.4 s”，即振子运动到b后第一次回到a点所用时间为0.4 s，且Ob不是振子的振动过程中相对平衡位置的最大位移。设图中的c、d点为振动过程中相对平衡位置的最大位移处，则振子从b经c到b历时0.2 s，同理，振子从a经d到a也历时0.2 s，故该振子的周期T＝0.8 s，根据周期和频率互为倒数的关系，就可以确定该振子的振动频率为1.25 Hz，B正确。 [答案]　B 解决这类问题时，应通过画草图讨论弹簧振子可能的运动情况，对于不是从平衡位置或不是从最大位移处开始计时的振动问题，分析的突破口是弄清从开始计时起的半个周期的轨迹或几个不规则的轨迹怎样组成一个振幅或若干个振幅。 课后课时作业 知识点一　振幅、周期和频率 1．(多选)如图所示，光滑水平地面上，小球在B、C之间做简谐运动，O为BC的中点，B、C间的距离为10 cm，则下列说法正确的是(　　) A．小球的最大位移大小是10 cm B．只有在B、C两点时，小球的振幅是5 cm，在O点时，小球的振幅是0 C．无论小球在哪个位置，它的振幅都是5 cm D．从任意时刻起，一个完整的振动过程内小球经过的路程都是20 cm 答案：CD 解析：由题意可知，O点是平衡位置，B点和C点是最大位移处，则小球的最大位移大小为＝5 cm，故A错误；小球做简谐运动，振幅不变，由题意知，振幅A＝＝5 cm，故B错误，C正确；从任意时刻起，一个完整的振动过程内小球经过的路程都是4倍振幅，即s＝4A＝4×5 cm＝20 cm，故D正确。 2．(多选)甲、乙两物体均做简谐运动，在1 min内，甲全振动30次，乙全振动75次，则(　　) A．甲的周期为0.5 s B．乙的周期为0.8 s C．甲的频率为0.5 Hz D．乙的频率为0.8 Hz 答案：BC 解析：在简谐运动中，周期是完成一次全振动所用的时间，故甲、乙的周期分别为T甲＝＝2 s，T乙＝＝0.8 s，故A错误，B正确；简谐运动中，频率等于周期的倒数，故甲、乙的频率分别为f甲＝＝0.5 Hz，f乙＝＝1.25 Hz，故C正确，D错误。 3．一质点做简谐运动，振幅是4 cm、频率是2.5 Hz，某时刻该质点从平衡位置向正方向运动，经2.5 s质点的位移和路程分别是(　　) A．4 cm，24 cm B．－4 cm，100 cm C．0，100 cm D．4 cm，100 cm 答案：D 解析：该质点做简谐运动的周期为T＝＝ s＝0.4 s，t＝2.5 s＝6T，则经2.5 s质点到达正向最大位移处，位移为4 cm，路程为6×4A＋A＝25A＝100 cm，D正确。 4．如图所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间的距离是20 cm，振子由A运动到B的时间是2 s，则(　　) A．从O→B→O的运动过程，振子做了一次全振动 B．振动周期为2 s，振幅是10 cm C．从B开始经过6 s，振子通过的路程是60 cm D．从O开始经过3 s，振子处在平衡位置 答案：C 解析：从O→B→O的运动过程，振子只完成半个全振动，A错误；从A→B振子也只完成了半个全振动，半个全振动的时间是2 s，所以振动周期是T＝4 s，振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，则振幅A＝＝10 cm，B错误；从B开始经过6 s＝1T，振子通过的路程为4A＋2A＝6A＝60 cm，C正确；从O开始经过3 s＝T，振子处在位置A或B，D错误。 知识点二　相位、简谐运动的表达式 5．一质点做简谐运动的位移x与时间t的关系如图所示，由图可知(　　) A．频率是2 Hz B．振幅是10 cm C．初相位为 D．初相位为π 答案：D 解析：由题图可知，该质点以x＝0为平衡位置，A＝5 cm为振幅做简谐运动，其振动周期为T＝2 s，可知其频率为f＝＝0.5 Hz，A、B错误；由题图可知，t＝0时质点的位移为x0＝－5 cm，设初相位为φ0，则有Asinφ0＝x0，代入可得φ0＝π，故C错误，D正确。 6．(多选)有两个简谐运动，其表达式分别是x1＝4sin cm，x2＝5sin cm，下列说法正确的是(　　) A．它们的振幅相同 B．它们的周期相同 C．它们的相位差恒定 D．它们的振动步调一致 答案：BC 解析：对比x＝Asin(ωt＋φ0)，可知它们的振幅分别是4 cm、5 cm，圆频率都是ω＝100π rad/s，所以周期都是T＝＝0.02 s，故A错误，B正确；由Δφ＝－＝，可知它们的相位差恒定，C正确；Δφ≠0，即它们的振动步调不一致，D错误。 7．(多选)如图所示，A、B为两简谐运动的图像，下列说法正确的是(　　) A．A、B之间的相位差是 B．A、B之间的相位差是 C．B比A超前 D．A比B超前 答案：AD 解析：由题图可知A比B超前T＝，相位差为Δφ＝2π×＝，A、D正确。 8．有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有正方向的最大位移，则它的振动方程是(　　) A．x＝8×10－3sin m B．x＝8×10－3sin m C．x＝8×10－1sin m D．x＝8×10－1sin m 答案：A 解析：简谐运动的一般表达式为x＝Asin(ωt＋φ0)。根据题意知A＝0.8 cm＝8×10－3 m，T＝0.5 s，ω＝＝4π rad/s；初始时刻具有正方向的最大位移，即初相位φ0＝，则振动方程为x＝8×10－3sin m，A正确。 9．某一物体做简谐运动的位移随时间变化的关系式为x＝Asin cm，t的单位为s。已知t＝1 s时，运动位移为－1 cm。请画出其x­t图像，并在图中标出能反映图像特征的坐标值。(须写出主要计算分析过程) 答案：见解析 解析：由表达式可知ω＝π rad/s 周期T＝＝2 s 将数据t＝1 s和x＝－1 cm代入表达式x＝Asin cm 可解得振幅A＝2 cm 则x＝2sin cm 将t＝0代入上式，可得x0＝2sin cm＝1 cm 再根据x＝2sin cm可知，开始振动的极小一段时间，位移x增大 综上所述，可画出x­t图像如图所示。 知识点三　简谐运动的周期性与对称性 10．一水平弹簧振子做简谐运动，周期为T，则(　　) A．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍 B．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相反，则Δt一定等于的整数倍 C．若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子振动的速度一定相等 D．若Δt＝，则在t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度一定相等 答案：C 解析：本题可以结合弹簧振子的运动示意图和振动图像进行分析。如图所示，图中的a、b、c三点位移大小相等、方向相同，显然Δt不一定等于T的整数倍，故A错误；图中的a、d两点的位移大小相等、方向相反，Δt<，故B错误；在相隔一个周期T的两个时刻，振子只能位于同一位置，其位移相同，速度也相等，C正确；相隔的两个时刻，振子的位移大小相等，方向相反(平衡位置除外)，其位置关于平衡位置对称，弹簧分别处于压缩和拉伸状态，弹簧的形变量相等，弹簧的长度并不相等，D错误。 11．一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过A、B两点，历时1 s，质点通过B点后，再经过1 s，第二次通过B点，在这2 s内，质点的总路程是12 cm，则质点振动的周期和振幅分别可能为(　　) A．2 s，6 cm B．4 s，6 cm C．4 s，9 cm D．2 s，8 cm 答案：B 解析：做简谐运动的质点，先后以同样大小的速度通过A、B两点，可知这两点关于平衡位置O点对称，所以质点由A到O的时间和由O到B的时间相等，那么从平衡位置O到B点的时间t1＝ s，因为通过B点后再经过t＝1 s质点经最大位移处第二次通过B点，则从B点到最大位移处的时间t2＝ s，因此，质点振动的周期是T＝4×(t1＋t2)＝4 s，由简谐运动的对称性可知，在这2 s内，质点总路程的一半即为振幅，所以振幅为A＝ cm＝6 cm，故B正确，A、C、D错误。 12．(多选)一弹簧振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点，t＝0时刻振子的位移x＝－0.1 m；t＝1.2 s时刻振子刚好第二次经过x＝0.1 m的位置且速度为零。下列有关该振子运动问题的说法正确的是(　　) A．振幅为0.1 m B．周期为1.2 s C．1.2 s内的路程是0.6 m D．t＝0.6 s时刻的位移为0.1 m 答案：AC 解析：由振子在x＝0.1 m处速度为零可知，t＝1.2 s时刻振子处在正向最大位移处，又平衡位置在坐标原点，则振幅为0.1 m，且t＝0时刻振子在负向最大位移处，由于t＝1.2 s时刻振子第二次经过正向最大位移处，所以1.2 s＝1.5T，解得该振子的周期为T＝0.8 s，A正确，B错误；一个周期内经过的路程是4倍振幅，则1.2 s＝1.5T内的路程是s＝1.5×4A＝0.6 m，C正确；t＝0时刻振子处于负向最大位移处，则t＝0.6 s时刻即从t＝0时刻经过T，振子位于平衡位置，所以t＝0.6 s时刻的位移为0，D错误。 13．一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为3.0 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船。在一个周期内，游客能舒服登船的时间是(　　) A．0.5 s B．0.75 s C．1.0 s D．1.5 s 答案：C 解析：从船上升到最高点开始计时，以竖直向上为正方向，游船的振动方程为y＝Acost，代入数据得y＝20cost cm，在前半个周期内，当y＝10 cm时，可得t＝0.5 s，故在一个周期内，游客能舒服登船的时间是2t＝1.0 s，故C正确。 14．(多选)一弹簧振子做简谐运动，O点为平衡位置，当它经过O点时开始计时，经过0.3 s第一次到达M点，再经过0.2 s，第二次到达M点，则弹簧振子第三次到达M点还要经过的时间可能为(　　) A. s B. s C．1.4 s D．1.6 s 答案：AC 解析：如图甲所示，O为平衡位置，M点在O点右侧，设B、C为最大位移处，若振子t＝0时从平衡位置向M运动，从O点到C点所需时间为，由简谐运动的对称性可知，振子从M点到C点所用时间和从C点到M点所用时间相等，由题意得＝0.3 s＋＝0.4 s，解得T＝1.6 s，则弹簧振子第三次到达M点还要经过的时间为t＝T－0.2 s＝1.6 s－0.2 s＝1.4 s，故C正确；如图乙所示，若振子t＝0时从平衡位置背离M向B点运动，则有T＝0.3 s＋＝0.4 s，解得T＝ s，则弹簧振子第三次到达M点还要经过的时间为t＝T－0.2 s＝ s－0.2 s＝ s，故A正确。 15.(多选)如图所示，轻质弹簧的上端固定，下端连接一质量为m的金属小球，托住小球使弹簧处于原长，在t＝0时由静止释放，一段时间内小球在竖直方向做周期为T的简谐运动。已知弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，小球的位移为x(以向下为正方向)，则(　　) A．x＝sin B．x＝sin C．释放小球的位置略向下移动，T减小 D．释放小球的位置略向下移动，T不变 答案：BD 解析：小球处于平衡位置时，有kx0＝mg，解得此时弹簧的伸长量为x0＝，托住小球使弹簧处于原长，在t＝0时由静止释放，可知此时小球处于负的最大位移处，小球做简谐运动的振幅为A＝x0＝，设小球做简谐运动的表达式为x＝Asin＝sin，以向下为正方向，则t＝0时刻，小球的位移为x＝Asinφ＝sinφ＝－，解得φ＝－，则小球做简谐运动的表达式为x＝sin，故A错误，B正确；弹簧振子的振动周期与其振幅无关，则释放小球的位置略向下移动，T不变，故C错误，D正确。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$