22.2—22.3 二次函数与一元二次方程 实际问题与二次函数 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

22.2—22.3 二次函数与一元二次方程 实际问题与二次函数 二次函数与一元二次方程 一、二次函数与一元二次方程的关系 理解二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）之间的内在联系。一元二次方程是二次函数在y=0时的特殊形式，二次函数的图像与x轴的交点即为一元二次方程的根。 二、二次函数的图像 1.开口方向与开口大小：由二次项系数a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下；|a|越大，开口越小。 2.对称轴与顶点：二次函数的对称轴为x=-b/2a，顶点坐标为。 3.图像与x轴的交点：即一元二次方程的根，可通过判别式Δ=b²-4ac判断交点的个数。Δ>0时有两个不相等的交点，Δ=0时有两个重合的交点，Δ<0时没有交点。 三、一元二次方程的解法与应用 1.直接开平方法：适用于形如(x-a)²=b（b≥0）的方程。 2.配方法：将一元二次方程化为完全平方的形式，从而求解。 3.公式法：即求根公式x=(-b±√Δ)/2a，其中Δ=b²-4ac。 4.图像法：通过绘制二次函数的图像，观察图像与x轴的交点，从而求得一元二次方程的近似解。 实际问题与二次函数 1.列二次函数解应用题 通性解法列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式。对于应用题要注意以下步骤： 审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系（即函数关系）。设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。检验所得解是否符合实际，即是否为所提问题的答案。 常见的问题有求最大（小）值（如求最大利润、最大面积、最小周长等）、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线、一次函数的模型问题等。解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式。 2.建立二次函数模型求解实际问题 通性解法一般步骤包括：恰当地建立直角坐标系；将已知条件转化为点的坐标；合理地设出所求函数关系式；代入已知条件或点的坐标，求出关系式；利用关系式求解问题。 巩固课内例1:小球飞行问题 1．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：．有下列结论： ①小球飞行中的高度可以是； ②小球飞行1s时的高度小于飞行2.5s时的高度； ③当时，小球的飞行高度不低于． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用．化为顶点式，利用二次函数的性质可判断①错误，分别求出和时，h的值即可判断②正确，分别求出和时，h的值即可判断③正确，由此即可得． 【详解】解：， 则小球飞行的最大高度为，结论①错误； 当时，， 当时，， ， 小球飞行1s时的高度小于飞行2.5s时的高度，结论②正确； 当时，， 当时，， 当时，小球的飞行高度不低于，结论③正确． 综上，正确结论的个数是2个， 故选：C． 2．如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系，则小球飞出 s时，达到最大高度． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 把函数关系式配方成顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：， ∵， 当时，h的最大值为20， 即时，h的值最大， 故答案为：2． 3．二级火箭是航天发射中常见的一种火箭类型，其第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某数学兴趣小组受到启发，根据二级火箭的运行路径，运用信息技术设计了一种小球运动模型．如图，小球P从点O处发射，以发射点O为坐标原点，以水平地面为x轴建立平面直角坐标系．已知小球P飞行轨迹的段为抛物线的一部分，A为小球P飞行轨迹的最高点．小球P在距离地面高度为的点B处开始加速冲击目标C，冲击目标阶段为直线的一部分． (1)求b的值． (2)已知小球P上升阶段在竖直方向上的平均速度为，下降阶段在竖直方向上的平均速度为，冲击目标阶段在竖直方向上的平均速度为，那么小球P从点O发射开始，到击中目标C这一过程中，一共用时多少秒？ (3)现要在线段上的点M处设置一个拦截装置，发射小球Q来拦截小球P，小球Q的拦截轨迹为直线的一部分，且与平行．若要在小球P下降阶段（不包含点A）拦截，求出点M的横坐标m的取值范围． 【答案】(1) (2)一共用时秒 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用    ； （1）先由直线解析式求出，再代入计算即可； （2）先求出顶点，即可求出上升、下降、冲击三个阶段竖直方向上的路程，然后就出对应的时间，最后求和即可； （3）设，则，解析式为，求出进过时， ，然后结合图形求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，点纵坐标为， ∴当时，解得， ∴， 把代入得，解得； （2）解：由（1）可得抛物线， ∴， ∴小球P从点O发射开始，上升阶段在竖直方向上运动的路程为，时间为，下降阶段在竖直方向上运动的路程为，时间为，冲击目标阶段在竖直方向上运动的路程为，时间为， ∴小球P从点O发射开始，到击中目标C这一过程中，一共用时秒 （3）解：∵线段上的点M处，点M的横坐标m， ∴，， ∵小球Q的拦截轨迹为直线的一部分，且与平行， ∴设解析式为，在直线下方， 当过时，，解得， 当过时，，解得， ∵要在小球P下降阶段（不包含点A）拦截， ∴． 巩固课内例2:利用函数图象求一元二次方程的近似根 1．根据方程可列表如下（　　） x … 4 5 6 13 5 … 5 13 则x的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的估算．根据表格中函数值的符号变化，确定方程根所在的范围．当函数值由正变负或由负变正时，对应的区间内存在一个根． 【详解】解：观察表格数据： 当x在与之间或4到5之间时，的值由正到负， ∴x的取值范围是或． 故选：D． 2．如图是抛物线的图象，结合图象，可知方程有 个实数根． 【答案】3 【分析】本题考查函数与方程的关系，根据函数图象交点的个数即为两解析式联立方程的解得个数解答即可． 【详解】解：在同一平面直角坐标系中作出与的图象，结合图像可得有三个交点， ∴方程有3个实数根． 故答案为：3． 3．我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非．”这里一语成偈，道出了“数”和“形”不可分割的特点．仔细体会这段话所包含的数学思想方法，并解答下列问题： (1)如图1，画出了二次函数的部分图象，则关于x的方程的解为________； (2)已知关于x的方程有两个实数根m，n，且，若，求k的取值范围； (3)已知方程． ①直接回答此方程有几个实数根； ②探究此方程实数根的近似值（精确到0.1，只写答案不给分！） 【友情提示：图2已给出函数的图象】 【答案】(1)， (2) (3)①有1个实数根；②1.2 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由图象可得出该抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，进而得出与x轴的另一个交点为，即得出其相关一元二次方程的解； （2）根据二次函数解析式可得出其对称轴为直线，根据该方程的两个实数根为m，n，且，，画出其大致图象，即可的解； （3）①由，得出，令，，画出大致图象，即得出方程有1个实数根； ②由图象法确定方程的近似根即可． 【详解】（1）解：由图可知该抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴与x轴的另一个交点为， ∴关于x的方程的解为，； （2）解：设，则此抛物线的对称轴为直线， ∵关于x的方程有两个实数根m，n，且， 的图象与x轴有两个不同交点，如图： ∵， ∴时，；时，，     ∴且， ∴； （3）解：①∵， ∴， 令，，画出大致图象如下， ∴的图象与的图象有一个交点， ∴方程有1个实数根； ②由图象可知：直线与函数的图象交点的横坐标t就是方程的解， 由图象可知：当时，当时． 当时，，，，当时，，，， ∴．     当时，，，，当时，，，， ∴． 当时，，，， ∴．     当时，，，， ∴， ∴，故方程的近似解为1.2． 巩固课内例3:投球问题 1．若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：）与小球运动的时间t（单位：）之间的函数关系如图所示，有以下结论： ①小球在空中经过的路程是40； ②与之间的函数关系式为； ③小球运动的时间为6； ④当小球的高度时，．以上结论中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握知识点，读懂函数图象是解题的关键． 根据函数的图象中的信息判断即可． 【详解】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m； 故①错误； ②设函数解析式为：， 把代入得， 解得， 函数解析式为， 故②错误； ③令，， 解得：或6， 小球的运动时间为， 故③正确； ④把代入解析式得，， 解得：或， 小球的高度时，t为秒或秒， 故④错误； 综上，正确的只有一个， 故选A． 2．投壶是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，顾名思义，投壶就是由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分的游戏，其中箭头的运动轨迹可以看作一条抛物线，如图是小西在投壶时，箭头行进高度与水平距离之间的函数关系图象，投出时箭头距地面的高度为，当箭头行进的水平距离为1m时，箭头行进至最高点处，已知BC是壶的最左侧（厚度忽略不计，可看作垂直于轴的线段），且，若小西投壶恰好投中，则的长为 m． 【答案】0.3 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键，根据顶点坐标设抛物线为顶点式，再将点A的坐标代入可得关系式，将代入关系式得出答案即可． 【详解】解：由题意可知点A的坐标为，抛物线顶点坐标为． 设y与x之间的函数表达式为， 将点代入，得，     解得， ∴y与x之间的函数表达式为， 当时，， 即的长为， 故答案为：0.3． 3．贝贝和馨宝做弹球游戏，如图1，贝贝向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的拋物线形状相同．馨宝在地面竖立一块高度为的木板，然后以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，收单位长度为，建立如图2所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为． (1)求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式； (2)当乒乓球第二次弹起高度为时，求乒乓球到轴的距离； (3)馨宝需将水板立在距斜坡底端多远的范围内，才能使球第二次下落过程中碰到木板，直接写出OC的取值范围________________． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是求出乒乓球第一次、第二次弹起运行路线的抛物线的解析式． （1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出B的坐标，然后根据待定系数法求出第二次运行路线的解析式，然后把代入求解即可； （3）把和代入第二次运行的抛物线解析式，解方程求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得，， ∴， ∵第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的拋物线形状相同，第二次弹起的最大高度为． ∴设第二次弹起的运行路线的抛物线为， 把代入，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， 把代入，得， 解得，， ∴乒乓球到轴的距离为或； （3）解：把代入，得， 解得，（舍去） 把代入，得， 解得，（舍去）， ∴的取值范围为：， 故答案为：． 巩固课内例4:矩形面积问题 1．如图，在矩形中，，，点P从A点出发，以每秒的速度沿的路线运动，到达D点时停止运动，过点P作的平行线交对角线于点E．设点P运动的时间为t，的面积为S，则S与t的函数图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、函数的动点问题、一次函数的应用、二次函数的应用，根据点的位置分类讨论是解题的关键．根据题意，分3种情况讨论：①点P在边上；②点P在边上；③点P在边上，分别求出对应的S与t的函数关系式，再结合选项的函数图像分析即可判断． 【详解】解：矩形， ，，， ①当时，点P在边上， ， ，， ，即， ， ； ②当时，点P在边上，点与点重合， ， ； ③当时，点P在边上， ， ， ，， ，， ， ，即， ， ； ， S与t的函数图像大致为 故选：D． 2．如图1，已知矩形，射线绕点顺时针旋转得到射线，点是点关于直线的对称点．连接，设的长为，与的关系图象如图2所示，其中点是图象的最低点，最高点的纵坐标是，则图2中的值是 ，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、动点问题的函数图象、解直角三角形，连接，由轴对称的性质，可知，即点在以点为圆心，的长为半径的圆上运动．结合图象可得当点运动到对角线上时，取得最小值1，当时，射线与射线重合，当点运动到的延长线上时，最大，分别求解即可采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：连接， 由轴对称的性质，可知，即点在以点为圆心，的长为半径的圆上运动． 如解图1，当点运动到对角线上时，取得最小值1， 此时， ， ∴， ∴， ∴， ，， 如解图2，当时，射线与射线重合， 此时， ∴； 如解图3，当点运动到的延长线上时，最大，最大值为， 故， 故答案为：，． 3．在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：________，________（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (4)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或2 (3)存在，秒 (4)存在， 【分析】（1）根据路程与速度的关系解决问题即可； （2）利用勾股定理得到方程，求解即可得到结果； （3）根据长方形的面积减去的面积等于五边形的面积，列出方程，然后求解即可得到结果； （4）根据（3）可知的面积为，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意：， 故答案为． （2）解：由题意得：， 解得：，． 或2时，； （3）解：存在秒，能够使得五边形的面积等于． 理由如下：长方形的面积是：， 五边形的面积， ， 即， 解得：（不合题意舍去），． 即当秒时，使得五边形的面积等于． （4）解：由题意得， ， 当时，的面积最大． 【点睛】本题考查动态几何问题，矩形的性质，一元二次方程，二次函数最值等知识，利用参数构建方程解决问题是解题的关键． 巩固课内例5:销售问题 1．某宾馆有50个房间供游客居住，市场监管部门规定每间房价不得高于360元，当每个房间每天的定价为220元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的成本．有下列结论： ①若每个房间定价增加30元，则每天居住的房间数为47个； ②每个房间的定价可以有两个不同的值满足该宾馆某天利润为12000元； ③宾馆每天的最大利润为12250元． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲列式即可判断①； 设定价增加元，则定价为元，房间数为个，根据题意列出方程求解即可；设利润为w，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】结论①：定价增加30元，即定价为元， 每增加10元，空闲房间数增加1个， 故增加30元对应空闲3个，居住房间数为个，故①结论正确； 结论②：设定价增加元，则定价为元，房间数为个． 根据题意得， 解得或． 当时，对应定价为元（超过360元上限）， ∴，故②结论错误； 结论③：设利润为w，根据题意得， ∵ ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∵ ∴ ∴当， ∴最大利润为：元，故③结论错误． 综上，仅结论①正确，正确个数为1． 选B． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，有理数运算的实际应用，一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握以上知识点． 2．某商场销售一批玩具，进价为50元/件，售价为60元/件时，每月可售200件．根据市场调查发现，售价每涨1元，则每个月会少售出10件（售价不能高于72元/件）．则该种玩具的售价为 元/件时，该商场每个月的利润最大． 【答案】65 【分析】本题考查了二次函数的应用．设售价上涨元，利润为元，则售价为元，销量为件，根据题意列出关于的二次函数，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设售价上涨元，利润为元，则售价为元，销量为件， 根据题意得 ， ∵， ∴当时，有最大值为2250． 元， ∴该种玩具的售价为65元/件时，该商场每个月的利润最大． 故答案为：65． 3．第九届亚洲冬季运动会于年月日日在哈尔滨举办．本届赛会的口号“冰雪同梦，亚洲同心（ ， ）”寓意推动亚洲各国携手合作，共同发展亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为元，规定售价不低于进价现在售价为每个元，每天可销售个．经市场调查发现，若售价每降价元，则每天的销售量将增加个．设每个吉祥物降价元（为整数），每天的销售量为个． (1)写出与之间的函数关系式； (2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为元，求出与的函数关系式； (3)在（2）的条件下，零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)； (2)； (3)定价为元，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大，最大利润是元 【分析】本题主要考查了列函数关系式、二次函数的性质、二次函数的应用等知识点，审清题意、正确列出函数关系式是解题的关键． （1）根据每天的销售量等于原来的销售量加上降价后增加的销售量即可解答； （2）根据总利润等于单个利润与总数量的乘积成为列出函数关系式即可； （3）利用（2）的函数关系式，然后运用二次函数的性质求最值即可解答． 【详解】（1）解：由题可得：与之间的函数关系式为，即． （2）解：由题可得：，即． （3）解：由（2）得：， ， 当时，随的增大而增大， 为整数， 当时，，此时定价元， 定价为元，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大，最大利润是元． 巩固课内例6:拱桥问题 1．某拱桥呈抛物线形，水面宽度为8米时，拱顶离水面4米．当水面上升2米后，宽度变为（    ）． A．4米 B．米 C．米 D．6米 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，以点C为原点，以过点C且平行于水面的直线为x轴，以过点C且垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，由题意得，，利用待定系数法可得到，再求出时，x的值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，以点C为原点，以过点C且平行于水面的直线为x轴，以过点C且垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为， 由题意得，， 把代入到中得：，解得， ∴抛物线解析式为， 当时，解得， ∵， ∴当水面上升2米后，宽度变为米， 故选：B． 2．有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数来表示，已知米，距离点2米处的棚高为米，若借助横梁建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁的长度是 米． 【答案】 【分析】此题主要考查二次函数的性质及用待定系数法求出函数的解析式，比较简单，要学会设合适的函数解析式．先用待定系数法求出函数函数解析式，求出当时的自变量的值，即可求出答案． 【详解】解：由题意可得，抛物线经过，， 故， 解得：， 故抛物线解析式为： 由题意可得：当时， ， 解得： ∴米． 故答案为： 3．天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【答案】(1) (2)能安全通过，见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入即可求解，继而得到函数解析式； （2）先求出点坐标，然后求出点距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与比较即可． 【详解】（1）解：由题意得，顶点为，即， 设抛物线的解析式为： 代入点得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：能安全通过，理由如下： 如图， 由题意得：， 将代入， 则， ∵， ∴能安全通过． 类型一、求抛物线与x、y轴的交点坐标 1．二次函数的图象与轴的交点坐标为和，则一元二次方程的解为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数图象与x轴的交点的横坐标即为对应一元二次方程的解．题目中已给出交点坐标为和，因此方程的解可直接得出． 【详解】解：二次函数的图象与x轴的交点坐标为和，说明当时，对应的值为2和． 因此，方程的解为和． 故选D． 2．二次函数的图象，与y轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题，理解函数图像与解析式的关系是解题的关键． 把代入函数解析式得到纵坐标，即可解答． 【详解】解：当时，， ∴二次函数的图象与轴的交点坐标为． 故答案为：． 3．已知，是抛物线上的两个不相同的点． (1)求该抛物线与轴的交点坐标； (2)若抛物线关于轴对称，直线过坐标原点，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，掌握二次函数图象的性质是关键． （1）根据二次函数解析式，二次函数与轴交点的计算即可求解； （2）根据题意解得，分类讨论：①若点都在轴上，由可得或；②若点不在轴上，且直线过坐标原点O，解得，不妨设，则，，根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴该抛物线与y轴的交点坐标是； （2）解：∵抛物线关于y轴对称， ∴， 解得， ①若点都在轴上，由可得或， ∴， ∴； ②若点不在轴上，且直线过坐标原点O，设直线的解析式为， 联立，可得， 解得， 不妨设，则，， ∴，， ∴ ； 综上所述，． 类型二、二次函数的应用——三角形问题 1．小磊要制作一个三角形钢架模型，在这个三角形中，长度为x的边与这条边上的高之和为，则这个三角形的最大面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了三角形的面积，整理出二次函数的顶点式解析式的形式是解题的关键．表示出这边上的高，然后利用三角形的面积公式列式整理，根据二次函数的最值问题解答． 【详解】解：设边长为，则边上的高为， 三角形的面积， ∵， ∴时，三角形的面积有最大值为50， 故选：B． 2．一块三角形材料如图所示，，，用这块材料剪出一个矩形，其中，点D，E，F分别在上，能够剪出的矩形的面积最大为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是直角三角形性质，矩形的性质，勾股定理、二次函数的性质、根据矩形的面积公式列出二次函数解析式是解题的关键．设，则，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据矩形的面积公式列出函数解析式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵，，且四边形是矩形， ∴， ∴， ， ∴在中，设，则， ∴ ∴在中， ∴ ∴矩形的面积， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，矩形的面积最大，为． 故答案为：． 3．如图，抛物线的图象经过，和x轴交于，和y轴交于C． (1)求该抛物线的表达式； (2)求经过A、C两点的直线表达式； (3)求以A、B、C为顶点的三角形面积． 【答案】(1) (2) (3)15 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出点C坐标，再设出直线解析式，并利用待定系数法求出对应的函数解析式即可； （3）求出直线与x轴的交点D的坐标，进而得到的长，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：将代入中得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，， ， 设经过两点的直线表达式为， 将代入得， 解得 经过两点的直线表达式为； （3）解：设直线和轴交点为， 在中，当时，， ， ∵， ∴， ∵到轴距离为3，到轴距离为5， ∴， 以为顶点的三角形面积为15． 类型三、二次函数的应用——四边形问题 1．如图，四边形为矩形，，，点从点出发沿以的速度向终点匀速运动，同时，点从点出发沿以的速度向终点匀速运动，设点运动的时间为，的面积为，下列选项中能表示与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的应用，矩形的性质，熟练掌握相关知识点，求出每一段对应的函数解析式是解题的关键．分类讨论，利用三角形面积公式求出每一阶段对应的函数解析式，结合对应的函数图像及性质分析即可． 【详解】解：当时，如图， 此时， ∴， ∴当时，图像为二次函数的部分图像，开口向上，且当时，； 当时，如图， 此时， ∴当时，图像为一次函数图像一部分，且当时，； 当时，如图， 此时， 则， ∴， ∴当时，图像为开口向下的二次函数的图像一部分，且时，． 综合分析，只有B符合题意． 故选：B． 2．如图，在四边形中，是边上的动点，，连接为的中点，连接，若，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题关键是熟练运用二次函数解决问题．首先根据已知条件可得、、都是直角三角形，设，由含30度直角的三角形性质和勾股定理可得，再由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出，进而可得，由二次函数的性质求出的最小值，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵在中，是线段的中点， ∴， ∴，即， ∴当时，取最小值为，此时取最小值． 答案为：． 3．如图，抛物线的最大值为4，顶点为，轴于，经过中点的任意直线与抛物线交于分别与轴交于． (1)求抛物线的解析式． (2)当四边形是平行四边形时，求四边形的面积． (3)判断是否为定值，并说明由． 【答案】(1) (2) (3)是定值，为8 【分析】（1）把解析式化为顶点式得到顶点坐标，再根据最大值为4求出a的值即可得到答案； （2）作于，延长交抛物线于，作于．可证明．得到．由对称性可得．则．可知点与点重合．则轴．可求出．由，解得．则，． （3）可求出直线为．直线为．设．由，得．则直线为．由，得．据此可求出，．由根系关系，得．则． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∵抛物线的最大值为4， ∴． ∴． ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图1，作于，延长交抛物线于，作于． ∴． 当四边形是平行四边形时，． 又∵， ∴． ∴． 由题意，为对称轴，则． ∴． ∴点与点重合． ∴轴． 由（1），得顶点坐标为， ∴． 由，得． ∴． ∴． ∴． （3）解：设直线为，则． ∴． ∴直线为． 同理，可设直线为． 设． 则．否则，无两个交点． 由，得． ∴直线为． 由，得． ∴． 同理，． 由，得． 以为元，由根系关系，得． ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于证明轴，解（3）的关键在于设出坐标，进而用A、B横坐标表示出线段的长． 类型四、二次函数的应用——增长率问题 1．据统计，7月份我国新能源汽车的销量为98万辆，8，9月份销量逐月增加．若第三季度的累计销量为万辆，平均月增长率为，则关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式，学会由实际问题抽象出函数的关系式是解题的关键． 分别表示8月，9月的销量，再把7，8，9三月的销量加起来即可得到关于的函数解析式． 【详解】解：平均月增长率为， 则8月份销量为：， 9月份销量为：， ∴， 故选：D． 2．某商店一月份销售额为万元，月平均增长率，一季度的销售额为万元，那么关于月平均增长率的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数解析式，理解题意，找到变量之间的关系是解题的关键． 根据题意分别把二月份、三月份的销售额表示出来，由一季度的销售额为万元即可求出函数解析式． 【详解】一月份销售额为万元， 二月份销售额为万元， 三月份的销售额为万元， 根据题意可得，， 故答案为：． 3．某种产品现在的年产量是，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 【答案】，y是x的函数 【分析】根据题意可得一年后的产量是，再经过一年后的产量是，由此求解即可． 【详解】解：这种产品的原产量是，一年后的产量是，再经过一年后的产量是，即两年后的产量， 即① ①式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数． 【电锯】本题考查了函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键，注意增加x倍是原来的（x+1）倍． 类型一、根据二次函数图象确定方程根的情况 1．如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关键． 根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，，则，当时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线的位置关系可判定②；根据题意得到，可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；由此即可求解． 【详解】解：二次函数与轴交于点、，图象开口向上， ∴对称轴直线为，， ∴， 当时，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，函数有最小值，最小值轴的下方， ∴抛物线与直线两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故②错误； ∵二次函数与轴交于点，其中， ∴当，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，，故③正确； 当时，函数有最小值，最小值为，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，错误的有②， ∴错误的有1个， 故选：A ． 2．二次函数的图象如图所示，下列结论中，正确的有 ．（填序号） ①；②；③方程的两个根是，；④． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，①由抛物线开口向上，可得出，由抛物线与x轴交点知对称轴为，即，根据抛物线与y轴的交点在轴下方，可得，可判断结论①正确；②由抛物线与x轴的交点求得对称轴，得到，当时，，代入得，由，可得，结论②正确； ③根据抛物线与x轴的交点，可得结论③正确；④把代入，整理得到，即可得出，结论④正确． 【详解】∵由图象可知，抛物线的开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴相交于y轴的负半轴， ∴， ∵抛物线与轴交于，， ∴抛物线的对称轴直线， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 当时， ， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵二次函数与轴交于，， ∴当， 即方程， ∴该方程的两个根式，故③正确； ∵时， ， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①②③④． 3．小明利用一次函数和二次函数知识设计了一个运算程序，其框图如图1所示，输入x的值为时，输出y的值为3；输入x的值为1时，输出y的值为2；输入x的值为4时，输出y的值为5． (1)求出一次函数和二次函数的表达式； (2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图象，如图2， ①当y随着x的增大而减小时，直接写出x取值范围________； ②若关于x的方程（t为实数），在时无解，求t的取值范围； ③若在函数图象上有M，N两个点（M，N不重合），点M的横坐标为m，点N的横坐标为．当M，N之间（含M，N两点）的图象对应函数的最大值和最小值不随m的变化而变化，直接写出m的取值范围：________________． 【答案】(1)； (2)①；②或；③或 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解，正确理解题意，利用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）先确定输入x值的范围，确定好之后将x，y的值代入所给的y关于x的函数解析式中解方程或方程组即可； （2）①根据（1）所求判断出对应的一次函数和二次函数的增减性即可得到答案； ②根据题意可得二次函数与直线在时没有交点，那么要大于等于时二次函数的函数值或小于二次函数的顶点的纵坐标，据此列式求解即可； ③根据题意可求出M、N关于直线对称，那么点M和点N中一定要有一个点在一次函数图象上，且在一次函数图象上的点的纵坐标要不小于二次函数的顶点的纵坐标，另一个点在二次函数图象上，且纵坐标一定不小于一次函数与y轴的交点的纵坐标，据此求解即可． 【详解】（1）解：把代入到中得， 解得， ∴一次函数解析式为； 把代入到中得：， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：①∵一次函数解析式为， ∴当时，y随x增大而增大； ∵二次函数解析式为， ∴当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大， 故答案为：； ②∵， ∴， ∵关于x的方程（t为实数），在时无解， ∴二次函数与直线在时没有交点， 在中，当时，，且二次函数的顶点坐标为， ∴当或时，满足时，二次函数与直线没有交点，即此时关于x的方程（t为实数），在时无解； ③∵，， ∴点M、N关于直线对称， 当，即时， ∵M，N之间（含M，N两点）的图象对应函数的最大值和最小值不随m的变化而变化， ∴点M一定要在一次函数图象上且其纵坐标一定要大于等于二次函数顶点的纵坐标，且点N的纵坐标不能超过一次函数与y轴交点的纵坐标， 在中，当时， 在中，当时，或， ∴，解得； 当，即时， 同理可得， ∴； 综上所述，或． 类型二、图像法解一元二次不等式 1．二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据题意，当函数值时，自变量x的取值范围，就是求当函数图象在x轴上方时，对应的x取值范围，由此得到答案． 【详解】观察图象知，当函数值时，自变量x的取值范围是或， 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 【答案】或 【分析】本题考查图象法求不等式的解集，将不等式变形为，即找到抛物线在直线下方时的自变量的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵抛物线与直线交于两点， ∴由图象可知：的解集为：或； 故答案为：或． 3．已知抛物线的顶点坐标为，且图象经过点，交轴于、两点， (1)求此二次函数的解析式； (2)求、点坐标， (3)根据图象，当函数值时，写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了求二次函数解析式，求抛物线与坐标轴的交点，根据函数图象求不等式的解集，掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）设抛物线解析式为，代入，求得的值，即可求解； （2）令，解方程即可求得、点坐标； （3）根据函数图象以及、点的横坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，且图象经过点， ∴设抛物线解析式为 代入，得 解得： ∴ （2）解：当时， 解得： ∴， （3）解：∵， 根据函数图象可得，当函数值时，自变量的取值范围为． 类型三、滑行问题 1．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是．有下列结论： ①飞机着陆后滑行时间t的取值范围是； ②飞机着陆后滑行40m才能完全停下来； ③飞机着陆后到完全停下这段时间的最后10s滑行了450m． 其中，正确结论的个数有（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质；由题意可得，然后依此判断①②③即可． 【详解】解：∵，，开口向下， ∴当时，飞机着陆后滑行的最大距离为， ∴飞机着陆后滑行时间t的取值范围是，故①错误； 飞机着陆后滑行才能完全停下来，故②错误； 飞机前10秒滑行的距离为， ∴飞机着陆后到完全停下这段时间的最后10秒滑行了；故③错误； 综上所述：正确结论的个数有0个； 故选A． 2．飞机着陆后滑行的距离（单位：米）与滑行的时间（单位：秒）之间的函数关系式是，那么飞机着陆后滑行 秒停下． 【答案】25 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．对函数关系式配方得到，再求出有最大值时对应的值即可解答． 【详解】解：， 当时，有最大值，即飞机着陆后滑行的距离最大， 当时，飞机着陆后才能停下． 故答案为：25． 3．小球以一定速度从发射口出发后沿直线轨道向前滑行．小球从发射口A出发后的滑行速度m（米/秒）与滑行时间x（秒）满足：．测得滑行距离y（米）与滑行时间x（秒）的部分对应数据如下表所示： x 0 1 y 0 6 9 (1)①由表格中的数据可以推测出y是x的______函数（填“一次”，“反比例”或“二次”）； ②求y与x的函数关系式； (2)求小球滑行停止时，所滑行的距离和滑行的时间； (3)若在小球滑行1秒时，遇到障碍物B后腾空飞行，此时小球的速度记为．小球腾空飞行高度h（米）与腾空飞行时间t（秒）的关系为：．请直接写出：当e满足什么条件时，小球腾空的最大高度不低于1.25米． 【答案】(1)①二次函数；② (2)小球滑行停止时，所滑行的距离为米，滑行的时间为秒 (3) 【分析】（1）①由表格中的数据判断即可； ②利用待定系数法求解即可； （2）首先得到，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）首先得到当时，，代入得到，得到，然后表示出，代入得到，然后根据题意得到，，进而求解即可． 【详解】（1）①由表格中的数据可以推测出y是x的二次函数； ②设行距离y（米）与滑行时间x（秒）的表达式为 根据题意得， 解得 ∴； （2）当小球滑行的距离y最大时，小球滑行停止 ∵ ∵ ∴抛物线开口向下 ∴当时，y有最大值 ∴小球滑行停止时，所滑行的距离为米，滑行的时间为秒； （3）由（2）得，当小球滑行的距离y最大时，小球滑行停止，此时速度 ∴当时， ∴ ∴ ∴ ∵在小球滑行1秒时，遇到障碍物B后腾空飞行，此时小球的速度记为 ∴ ∴ ∵，小球腾空的最大高度不低于1.25米 ∴ ∴ ∴或 ∴解得或 ∵ ∴ ∴应舍去， ∴． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数的最值等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 类型一、图形运动问题 1．如图，在边长为的正方形中，动点P从点A出发沿A→B的方向以1 cm/s的速度运动；同时，动点Q从点D出发沿D→C→B的方向以的速度运动．当点Q到达点B时，点P，Q同时停止运动．设的面积为y（），运动时间为x（），下列能大致反映y与x之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与二次函数，正方形的性质，动点问题，正确作出图形是解题的关键。 根据点Q所在正方形的不同边上，分类讨论，逐一计算，即可解答。 【详解】解：①当点Q在上时，如图 有，， ∴（）． 此时y与x之间的函数为一次函数． ②当点Q在上时，如图 有，， ∴， ∴（）． 此时y与x之间的函数为二次函数． 综上所述，符合当时，图像为一次函数；时，图像为二次函数，只有B选项． 故选B． 2．如图1，在中，，，动点从点，出发以的速度沿折线方向运动到点停止，动点以的速度沿方向运动到点停止．设的面积为，运动时间为．表示与之间关系的图象如图2所示，则当面积时，对应的运动时间的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质. 分别求出，，求出直线的解析式，将代入即可. 【详解】如图， ∵，， ∴ ∵， ∴动点到达点时，动点到达点， 此时， ∴ ∵， ∴的面积降为0时，， ∴ 设直线的解析式为， 将，代入得 解得 ∴直线的解析式为， 当时， 解得： ∴当面积时，对应的运动时间的值是4 故答案为：4 3．如图，在中，，，，点为边的中点．点从点出发，以3单位长度/s的速度沿方向运动，到点停止．当点与、两点不重合时，过点作交于点，点在点右侧，，以、为边作矩形．设点的运动时间为． (1)直接写出线段长．（用含的代数式表示） (2)求当点落在线段上时的值． (3)设矩形与重叠部分图形面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)当时，．当时， (2) (3) 【分析】本题考查矩形的性质，动点问题； （1）分为或两种情况解答即可； （2）由题意列方程求出t值即可； （3）分为，或三种情况求出关系式即可． 【详解】（1）解：∵是的中点， ∴， 当时，． 当时，． （2）解：当点落在线段上时，． ， 解得； （3）当时，如图，点在的左侧，设与交于点，重叠部分是， 这时， ∵， ∴， ∴， ． 当时，如图，点在的右侧，点在的左侧，设直线交矩形的两边长于点，，则重叠部分为五边形， 这时， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 当时，如图，点在的右侧，点在的左侧，设直线交矩形的两边长于点，，交于点，则重叠部分为五边形， 则， ． ∴． 类型二、面积最值问题 1．如图，在中，，，．动点从点开始以的速度沿边向点运动；动点从点开始以的速度沿边向点运动．如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为秒．①当时，的面积为；②有两个不同的值，都使的面积为；③面积的最大值为；其中，正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意和三角形的面积公式列出函数关系进而判断①②，根据二次函数的性质，即可判断③． 【详解】解：由题意得：，， ，， ，， 当时，，故①正确； 当的面积为时，，解得：或，即有两个不同的值，都使的面积为，故②正确； ，， 当时，面积有最大值，其最大值为，故③错误； 故选：． 2．如图，已知抛物线过点，点． （1）该抛物线的顶点坐标为 ． （2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】（1）先根据抛物线经过点，，求出抛物线的解析式，再化为顶点式求出该抛物线的顶点坐标； （2）先利用待定系数法求得直线，再设过点C且与直线平行的直线解析式为，根据当直线与抛物线有唯一的公共点，求出，从而可得关于的方程求出，从而可得，进而可求得点D的坐标，再求出此时的面积即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴，解得， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）设直线的解析式为， ∵，点， ∴，解得： ∴直线的解析式为， 设过点C且与直线平行的直线解析式为， 当直线与抛物线有唯一的公共点， 则点C到的距离最大， ∴面积最大， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， ∴有两个相等的实数根， ∴，解得：， ∴过点C且与直线平行的直线解析式为， ∴，解得：， ∴． 作轴交于点D， 则点的横坐标为， 又点在直线上， ∴， ∴点D的坐标为， ∴此时的面积． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，解题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接，对称轴为，点D为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式． (2)若连接，则________ (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． (4)点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q，当以点为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点Q的横坐标． 【答案】(1) (2)90 (3) (4) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意求得A的坐标，根据对称性求得B的坐标，进而待定系数法求二次函数解析式即可； （2）求出顶点的坐标，分别求出，根据勾股定理逆定理得是直角三角形，故可得； 先根据解析式求得C的坐标，进而求得的解析式，设，作轴交于点F，则，进而求得关于x的表达式，根据二次函数的性质即可求得最大值； （3）分情况讨论，为矩形的对角线，设，根据矩形的性质以及中点坐标公式求得m的值，进而求得Q点的横坐标． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点A、B，，对称轴为直线， ∴， ∴， 将A，B代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴， 又， ∴， ∴，，， ∴， ∴； 故答案为：90； （3）解：设直线的解析式为， 将点B，点C的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， 如图，作轴交于点F， 则， ∴， ∴ 当时，有最大值为； （4）解：设，， 由（1）知， ①若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：， 解得：， ∴点的横坐标为2； ②若为矩形得对角线， 由中点坐标公式得：， 解得， ∴点的横坐标为4； ③若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：， 解得：， ∴点Q的横坐标为， 综上，点Q的横坐标为4或2或． 类型三、角度问题 1．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交线段于点，点是抛物线上一点，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．先利用待定系数法求出抛物线解析式为，直线的解析式为，则，再证明等腰直角三角形得到，所以，则利用轴可设，当时，，然后方程确定点坐标，从而得到的长． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 即， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 等腰直角三角形， ， ， ， 轴， 设， 当时，， 解得，， 点坐标为，或，， ． 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接，作于点．若，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．设点的坐标为，求出点A的坐标，再由轴，，可得点Q的坐标为，再根据是等腰直角三角形，可得到关于m的方程，即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 当时，， ∴点A的坐标为， ∵轴，， ∴点Q的坐标为， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或0（舍去）， ∴点的坐标为． 故答案为： 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴的交点分别为，，过点、的抛物线与轴的另一个交点为，连接、． (1)求该抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)是抛物线上的任意一点（不与点重合），且点的横坐标为，过点作轴于点，作轴于点，当此抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）将，，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）分两种情况讨论，①在上截取，证明，得出直线与抛物线的交点即为所求点，求得直线的解析式，联立抛物线解析式，即可求解；②过作轴，过作轴，交于点，则四边形为正方形，作关于的对称点，点在上，连接，则直线与抛物线的交点即为所求点，进而得出点和点重合，即可求解； （3）根据题意画出图形，根据图象点在轴之间，即或点在点的左侧，即可求解． 【详解】（1）解：将，，代入 ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 （2）解：存在， 当时， 解得； ∴，即， ①如图所示，在上截取， ，， ， ， ， ， 即 所以直线与抛物线的交点即为所求点 设直线 的解析式为 将，，代入得， 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：（舍去）或 ∴点的坐标为 ②如图所示，过作轴，过作轴，交于点，则四边形为正方形，作关于的对称点，点在上，连接，则直线与抛物线的交点即为所求点 ，， 把 代入得 点 即为所求点 综上所述，点的坐标为或 （3）解：如图，     ∵点的横坐标为，过点作轴于点，作轴于点， ∴的横坐标为， 又，， 当，解得：或 ∵抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大时， ∴点在轴之间，即或点在点的左侧 ∴或 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.2—22.3 二次函数与一元二次方程 实际问题与二次函数 二次函数与一元二次方程 一、二次函数与一元二次方程的关系 理解二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）之间的内在联系。一元二次方程是二次函数在y=0时的特殊形式，二次函数的图像与x轴的交点即为一元二次方程的根。 二、二次函数的图像 1.开口方向与开口大小：由二次项系数a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下；|a|越大，开口越小。 2.对称轴与顶点：二次函数的对称轴为x=-b/2a，顶点坐标为。 3.图像与x轴的交点：即一元二次方程的根，可通过判别式Δ=b²-4ac判断交点的个数。Δ>0时有两个不相等的交点，Δ=0时有两个重合的交点，Δ<0时没有交点。 三、一元二次方程的解法与应用 1.直接开平方法：适用于形如(x-a)²=b（b≥0）的方程。 2.配方法：将一元二次方程化为完全平方的形式，从而求解。 3.公式法：即求根公式x=(-b±√Δ)/2a，其中Δ=b²-4ac。 4.图像法：通过绘制二次函数的图像，观察图像与x轴的交点，从而求得一元二次方程的近似解。 实际问题与二次函数 1.列二次函数解应用题 通性解法列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式。对于应用题要注意以下步骤： 审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系（即函数关系）。设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。检验所得解是否符合实际，即是否为所提问题的答案。 常见的问题有求最大（小）值（如求最大利润、最大面积、最小周长等）、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线、一次函数的模型问题等。解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式。 2.建立二次函数模型求解实际问题 通性解法一般步骤包括：恰当地建立直角坐标系；将已知条件转化为点的坐标；合理地设出所求函数关系式；代入已知条件或点的坐标，求出关系式；利用关系式求解问题。 巩固课内例1:小球飞行问题 1．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：．有下列结论： ①小球飞行中的高度可以是； ②小球飞行1s时的高度小于飞行2.5s时的高度； ③当时，小球的飞行高度不低于． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系，则小球飞出 s时，达到最大高度． 3．二级火箭是航天发射中常见的一种火箭类型，其第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某数学兴趣小组受到启发，根据二级火箭的运行路径，运用信息技术设计了一种小球运动模型．如图，小球P从点O处发射，以发射点O为坐标原点，以水平地面为x轴建立平面直角坐标系．已知小球P飞行轨迹的段为抛物线的一部分，A为小球P飞行轨迹的最高点．小球P在距离地面高度为的点B处开始加速冲击目标C，冲击目标阶段为直线的一部分． (1)求b的值． (2)已知小球P上升阶段在竖直方向上的平均速度为，下降阶段在竖直方向上的平均速度为，冲击目标阶段在竖直方向上的平均速度为，那么小球P从点O发射开始，到击中目标C这一过程中，一共用时多少秒？ (3)现要在线段上的点M处设置一个拦截装置，发射小球Q来拦截小球P，小球Q的拦截轨迹为直线的一部分，且与平行．若要在小球P下降阶段（不包含点A）拦截，求出点M的横坐标m的取值范围． 巩固课内例2:利用函数图象求一元二次方程的近似根 1．根据方程可列表如下（　　） x … 4 5 6 13 5 … 5 13 则x的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 2．如图是抛物线的图象，结合图象，可知方程有 个实数根． 3．我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非．”这里一语成偈，道出了“数”和“形”不可分割的特点．仔细体会这段话所包含的数学思想方法，并解答下列问题： (1)如图1，画出了二次函数的部分图象，则关于x的方程的解为________； (2)已知关于x的方程有两个实数根m，n，且，若，求k的取值范围； (3)已知方程． ①直接回答此方程有几个实数根； ②探究此方程实数根的近似值（精确到0.1，只写答案不给分！） 【友情提示：图2已给出函数的图象】 巩固课内例3:投球问题 1．若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：）与小球运动的时间t（单位：）之间的函数关系如图所示，有以下结论： ①小球在空中经过的路程是40； ②与之间的函数关系式为； ③小球运动的时间为6； ④当小球的高度时，．以上结论中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．投壶是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，顾名思义，投壶就是由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分的游戏，其中箭头的运动轨迹可以看作一条抛物线，如图是小西在投壶时，箭头行进高度与水平距离之间的函数关系图象，投出时箭头距地面的高度为，当箭头行进的水平距离为1m时，箭头行进至最高点处，已知BC是壶的最左侧（厚度忽略不计，可看作垂直于轴的线段），且，若小西投壶恰好投中，则的长为 m． 3．贝贝和馨宝做弹球游戏，如图1，贝贝向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的拋物线形状相同．馨宝在地面竖立一块高度为的木板，然后以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，收单位长度为，建立如图2所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为． (1)求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式； (2)当乒乓球第二次弹起高度为时，求乒乓球到轴的距离； (3)馨宝需将水板立在距斜坡底端多远的范围内，才能使球第二次下落过程中碰到木板，直接写出OC的取值范围________________． 巩固课内例4:矩形面积问题 1．如图，在矩形中，，，点P从A点出发，以每秒的速度沿的路线运动，到达D点时停止运动，过点P作的平行线交对角线于点E．设点P运动的时间为t，的面积为S，则S与t的函数图像大致为（    ） A． B． C． D． 2．如图1，已知矩形，射线绕点顺时针旋转得到射线，点是点关于直线的对称点．连接，设的长为，与的关系图象如图2所示，其中点是图象的最低点，最高点的纵坐标是，则图2中的值是 ，的值是 ． 3．在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：________，________（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (4)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 巩固课内例5:销售问题 1．某宾馆有50个房间供游客居住，市场监管部门规定每间房价不得高于360元，当每个房间每天的定价为220元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的成本．有下列结论： ①若每个房间定价增加30元，则每天居住的房间数为47个； ②每个房间的定价可以有两个不同的值满足该宾馆某天利润为12000元； ③宾馆每天的最大利润为12250元． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．某商场销售一批玩具，进价为50元/件，售价为60元/件时，每月可售200件．根据市场调查发现，售价每涨1元，则每个月会少售出10件（售价不能高于72元/件）．则该种玩具的售价为 元/件时，该商场每个月的利润最大． 3．第九届亚洲冬季运动会于年月日日在哈尔滨举办．本届赛会的口号“冰雪同梦，亚洲同心（ ， ）”寓意推动亚洲各国携手合作，共同发展亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为元，规定售价不低于进价现在售价为每个元，每天可销售个．经市场调查发现，若售价每降价元，则每天的销售量将增加个．设每个吉祥物降价元（为整数），每天的销售量为个． (1)写出与之间的函数关系式； (2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为元，求出与的函数关系式； (3)在（2）的条件下，零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大？最大利润是多少元？ 巩固课内例6:拱桥问题 1．某拱桥呈抛物线形，水面宽度为8米时，拱顶离水面4米．当水面上升2米后，宽度变为（    ）． A．4米 B．米 C．米 D．6米 2．有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数来表示，已知米，距离点2米处的棚高为米，若借助横梁建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁的长度是 米． 3．天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 类型一、求抛物线与x、y轴的交点坐标 1．二次函数的图象与轴的交点坐标为和，则一元二次方程的解为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．二次函数的图象，与y轴的交点坐标为 ． 3．已知，是抛物线上的两个不相同的点． (1)求该抛物线与轴的交点坐标； (2)若抛物线关于轴对称，直线过坐标原点，求的值． 类型二、二次函数的应用——三角形问题 1．小磊要制作一个三角形钢架模型，在这个三角形中，长度为x的边与这条边上的高之和为，则这个三角形的最大面积为（   ） A． B． C． D． 2．一块三角形材料如图所示，，，用这块材料剪出一个矩形，其中，点D，E，F分别在上，能够剪出的矩形的面积最大为 ． 3．如图，抛物线的图象经过，和x轴交于，和y轴交于C． (1)求该抛物线的表达式； (2)求经过A、C两点的直线表达式； (3)求以A、B、C为顶点的三角形面积． 类型三、二次函数的应用——四边形问题 1．如图，四边形为矩形，，，点从点出发沿以的速度向终点匀速运动，同时，点从点出发沿以的速度向终点匀速运动，设点运动的时间为，的面积为，下列选项中能表示与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，是边上的动点，，连接为的中点，连接，若，，则的最小值是 ． 3．如图，抛物线的最大值为4，顶点为，轴于，经过中点的任意直线与抛物线交于分别与轴交于． (1)求抛物线的解析式． (2)当四边形是平行四边形时，求四边形的面积． (3)判断是否为定值，并说明由． 类型四、二次函数的应用——增长率问题 1．据统计，7月份我国新能源汽车的销量为98万辆，8，9月份销量逐月增加．若第三季度的累计销量为万辆，平均月增长率为，则关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 2．某商店一月份销售额为万元，月平均增长率，一季度的销售额为万元，那么关于月平均增长率的函数解析式是 ． 3．某种产品现在的年产量是，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 类型一、根据二次函数图象确定方程根的情况 1．如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．二次函数的图象如图所示，下列结论中，正确的有 ．（填序号） ①；②；③方程的两个根是，；④． 3．小明利用一次函数和二次函数知识设计了一个运算程序，其框图如图1所示，输入x的值为时，输出y的值为3；输入x的值为1时，输出y的值为2；输入x的值为4时，输出y的值为5． (1)求出一次函数和二次函数的表达式； (2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图象，如图2， ①当y随着x的增大而减小时，直接写出x取值范围________； ②若关于x的方程（t为实数），在时无解，求t的取值范围； ③若在函数图象上有M，N两个点（M，N不重合），点M的横坐标为m，点N的横坐标为．当M，N之间（含M，N两点）的图象对应函数的最大值和最小值不随m的变化而变化，直接写出m的取值范围：________________． 类型二、图像法解一元二次不等式 1．二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 3．已知抛物线的顶点坐标为，且图象经过点，交轴于、两点， (1)求此二次函数的解析式； (2)求、点坐标， (3)根据图象，当函数值时，写出自变量的取值范围． 类型三、滑行问题 1．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是．有下列结论： ①飞机着陆后滑行时间t的取值范围是； ②飞机着陆后滑行40m才能完全停下来； ③飞机着陆后到完全停下这段时间的最后10s滑行了450m． 其中，正确结论的个数有（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．飞机着陆后滑行的距离（单位：米）与滑行的时间（单位：秒）之间的函数关系式是，那么飞机着陆后滑行 秒停下． 3．小球以一定速度从发射口出发后沿直线轨道向前滑行．小球从发射口A出发后的滑行速度m（米/秒）与滑行时间x（秒）满足：．测得滑行距离y（米）与滑行时间x（秒）的部分对应数据如下表所示： x 0 1 y 0 6 9 (1)①由表格中的数据可以推测出y是x的______函数（填“一次”，“反比例”或“二次”）； ②求y与x的函数关系式； (2)求小球滑行停止时，所滑行的距离和滑行的时间； (3)若在小球滑行1秒时，遇到障碍物B后腾空飞行，此时小球的速度记为．小球腾空飞行高度h（米）与腾空飞行时间t（秒）的关系为：．请直接写出：当e满足什么条件时，小球腾空的最大高度不低于1.25米． 类型一、图形运动问题 1．如图，在边长为的正方形中，动点P从点A出发沿A→B的方向以1 cm/s的速度运动；同时，动点Q从点D出发沿D→C→B的方向以的速度运动．当点Q到达点B时，点P，Q同时停止运动．设的面积为y（），运动时间为x（），下列能大致反映y与x之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 2．如图1，在中，，，动点从点，出发以的速度沿折线方向运动到点停止，动点以的速度沿方向运动到点停止．设的面积为，运动时间为．表示与之间关系的图象如图2所示，则当面积时，对应的运动时间的值是 ． 3．如图，在中，，，，点为边的中点．点从点出发，以3单位长度/s的速度沿方向运动，到点停止．当点与、两点不重合时，过点作交于点，点在点右侧，，以、为边作矩形．设点的运动时间为． (1)直接写出线段长．（用含的代数式表示） (2)求当点落在线段上时的值． (3)设矩形与重叠部分图形面积为，求与之间的函数关系式． 类型二、面积最值问题 1．如图，在中，，，．动点从点开始以的速度沿边向点运动；动点从点开始以的速度沿边向点运动．如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为秒．①当时，的面积为；②有两个不同的值，都使的面积为；③面积的最大值为；其中，正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知抛物线过点，点． （1）该抛物线的顶点坐标为 ． （2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接，对称轴为，点D为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式． (2)若连接，则________ (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． (4)点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q，当以点为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点Q的横坐标． 类型三、角度问题 1．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交线段于点，点是抛物线上一点，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D． 2．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接，作于点．若，则点的坐标为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴的交点分别为，，过点、的抛物线与轴的另一个交点为，连接、． (1)求该抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)是抛物线上的任意一点（不与点重合），且点的横坐标为，过点作轴于点，作轴于点，当此抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$